औसती फलन: Difference between revisions

Revision as of 20:06, 30 May 2023

गणित में और विशेष रूप से माप सिद्धांत में, मापने योग्य कार्य दो मापने योग्य रिक्त स्थान के अंतर्निहित समूहों के मध्य का कार्य है जो रिक्त स्थान की संरचना को संरक्षित करता है। इस प्रकार किसी भी माप (गणित) समूह की पूर्व अनुमान मापने योग्य है। यह परिभाषा के सीधे सादृश्य में है कि टोपोलॉजिकल स्पेस के मध्य सतत कार्य कार्य टोपोलॉजिकल संरचना को संरक्षित करता है। वास्तविक विश्लेषण में, मापने योग्य कार्यों का उपयोग लेबेसेग एकीकरण की परिभाषा में किया जाता है। अतः संभाव्यता सिद्धांत में, संभाव्यता स्थान पर मापने योग्य कार्य को यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।

औपचारिक परिभाषा

सामान्यतः $(X,\Sigma )$ और $(Y,\mathrm {T} )$ मापने योग्य स्थान है, जिसका अर्थ होता है $X$ और $Y$ संबंधित से सुसज्जित समूह हैं। इस प्रकार $\sigma$ -बीजगणित $\Sigma$ और $\mathrm {T} .$ कार्य $f:X\to Y$ को मापने योग्य कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए $E\in \mathrm {T}$ के पूर्व प्रतिबिम्ब $E$ के अंतर्गत $f$ में $\Sigma$ है, अर्थात् सभी के लिए $E\in \mathrm {T}$ होता है।

f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .

वह

\sigma (f)\subseteq \Sigma ,

होता है, जहाँ

\sigma (f)

f द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है। यदि

f:X\to Y

मापने योग्य कार्य होता है, तब कोई लिखता है।

f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).

\sigma

-बीजगणित पर निर्भरता

\Sigma

और

\mathrm {T} .

पर जोर दिया जाता है।

शब्द उपयोग विविधताएं

इसका चुनाव $\sigma$ उपरोक्त परिभाषा में बीजगणित कभी-कभी अंतनिहित होता है और संदर्भ तक छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ या अन्य सामयिक रिक्त स्थान, बोरेल बीजगणित (सभी खुले समूहों द्वारा उत्पन्न) साधारण पसंद होती है। इस प्रकार कुछ लेखक मापने योग्य कार्यों को बोरेल बीजगणित के संबंध में विशेष रूप से वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं।^[1]

यदि फ़ंक्शन के मान अनंत-आयामी सदिश अंतरिक्ष में हैं, तब मापनीयता की अन्य गैर-समतुल्य परिभाषाएं, जैसे कमजोर मापनीयता और बोचनर मापनीयता उपस्तिथ होती हैं।

मापने योग्य कार्यों के उल्लेखनीय वर्ग

यादृच्छिक चर परिभाषा के अनुसार प्रायिकता रिक्त स्थान पर परिभाषित औसत दर्जे के कार्य हैं।
यदि $(X,\Sigma )$ और $(Y,T)$ मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय होते हैं, जो मापने योग्य कार्य $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ को बोरेल कार्य भी कहा जाता है। सतत फलन बोरेल फलन होते हैं किन्तु सभी बोरेल फलन संतत नहीं होते हैं। चूँकि, मापने योग्य कार्य लगभग सतत कार्य होते है। इस प्रकार लुज़िन की प्रमेय देख सकते है। यदि बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का $Y\xrightarrow {~\pi ~} X,$ भाग होता है। इसे बोरेल खंड कहा जाता है।
लेबेस्ग औसत दर्जे का कार्य होता है $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),$ जहाँ ${\mathcal {L}}$ है $\sigma$ लेबेस्ग मापने योग्य समूहों का बीजगणित और ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित होता है $\mathbb {C} .$ लेबेस्ग मापने योग्य कार्य गणितीय विश्लेषण में रुचि रखते हैं जिससे कि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि $f : X \to R$

[1]

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 == औपचारिक परिभाषा ==
-सामान्यतः <math>(X,\Sigma)</math> और <math>(Y,\Tau)</math> मापने योग्य स्थान है, जिसका अर्थ होता है <math>X</math> और <math>Y</Math> संबंधित से सुसज्जित समूह हैं। इस प्रकार <math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\Sigma</math> और <math>\Tau.</math> फंक्शन <math>f:X\to Y</math> को मापने योग्य कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए <math>E\in \Tau</math> के पूर्व प्रतिबिम्ब <math>E</math> के अंतर्गत <math>f</math> में <math>\Sigma</math> है, अर्थात् सभी के लिए <math>E \in \Tau </math> होता है।
+सामान्यतः <math>(X,\Sigma)</math> और <math>(Y,\Tau)</math> मापने योग्य स्थान है, जिसका अर्थ होता है <math>X</math> और <math>Y</Math> संबंधित से सुसज्जित समूह हैं। इस प्रकार <math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\Sigma</math> और <math>\Tau.</math> कार्य <math>f:X\to Y</math> को मापने योग्य कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए <math>E\in \Tau</math> के पूर्व प्रतिबिम्ब <math>E</math> के अंतर्गत <math>f</math> में <math>\Sigma</math> है, अर्थात् सभी के लिए <math>E \in \Tau </math> होता है।
 <math display="block">f^{-1}(E) := \{ x\in X \mid f(x) \in E \} \in \Sigma.</math>
 वह <math>\sigma (f)\subseteq\Sigma,</math> होता है, जहाँ <math>\sigma (f)</math> f द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है। यदि <math>f:X\to Y</math> मापने योग्य कार्य होता है, तब कोई लिखता है।
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 * यादृच्छिक चर परिभाषा के अनुसार प्रायिकता रिक्त स्थान पर परिभाषित औसत दर्जे के कार्य हैं।
-* यदि <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय होते हैं, जो मापने योग्य कार्य <math>f:(X, \Sigma) \to (Y, T)</math> को बोरेल फंक्शन भी कहा जाता है। सतत फलन बोरेल फलन होते हैं किन्तु सभी बोरेल फलन संतत नहीं होते हैं। चूँकि, मापने योग्य कार्य लगभग सतत कार्य होते है। इस प्रकार लुज़िन की प्रमेय देख सकते है। यदि बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का <math>Y\xrightarrow{~\pi~}X,</math> भाग होता है। इसे बोरेल खंड कहा जाता है।
+* यदि <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय होते हैं, जो मापने योग्य कार्य <math>f:(X, \Sigma) \to (Y, T)</math> को बोरेल कार्य भी कहा जाता है। सतत फलन बोरेल फलन होते हैं किन्तु सभी बोरेल फलन संतत नहीं होते हैं। चूँकि, मापने योग्य कार्य लगभग सतत कार्य होते है। इस प्रकार लुज़िन की प्रमेय देख सकते है। यदि बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का <math>Y\xrightarrow{~\pi~}X,</math> भाग होता है। इसे बोरेल खंड कहा जाता है।
-* लेबेस्ग औसत दर्जे का कार्य होता है <math>f : (\R, \mathcal{L}) \to (\Complex, \mathcal{B}_\Complex),</math> जहाँ <math>\mathcal{L}</math> है <math>\sigma</math> लेबेस्ग मापने योग्य समूहों का बीजगणित और <math>\mathcal{B}_\Complex</math> सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित होता है <math>\Complex.</math> लेबेस्ग मापने योग्य कार्य [[गणितीय विश्लेषण]] में रुचि रखते हैं जिससे कि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि <math>f : X \to \R,</math> <math>f</math> लेबेस्ग मापने योग्य है और यदि <math>\{f > \alpha\} = \{ x\in X : f(x) > \alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य होता है <math>\alpha\in\R.</math> यह भी इनमें से किसी के समान्तर होता है अतः यह <math>\{f \geq \alpha\},\{f<\alpha\},\{f\le\alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य होता है और <math>\alpha,</math> या किसी भी खुले समूह के मापने योग्य होने की पूर्व-छवि निरंतर कार्य, मोनोटोन कार्य, चरण कार्य, अर्ध-सतत कार्य, रीमैन-अभिन्न कार्य और परिबद्ध भिन्नता के कार्य सभी लेबेस्ग मापने योग्य होते हैं।<ref name="carothers">{{cite book |last=Carothers|first=N. L.|title=वास्तविक विश्लेषण|url=https://archive.org/details/realanalysis0000caro| url-access=registration | year=2000| publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-49756-6}}</ref> इस प्रकार फंक्शन <math>f:X\to\Complex</math> के मापनीय होते है और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग भी मापने योग्य होते हैं।
+* लेबेस्ग औसत दर्जे का कार्य होता है <math>f : (\R, \mathcal{L}) \to (\Complex, \mathcal{B}_\Complex),</math> जहाँ <math>\mathcal{L}</math> है <math>\sigma</math> लेबेस्ग मापने योग्य समूहों का बीजगणित और <math>\mathcal{B}_\Complex</math> सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित होता है <math>\Complex.</math> लेबेस्ग मापने योग्य कार्य [[गणितीय विश्लेषण]] में रुचि रखते हैं जिससे कि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि <math>f : X \to \R,</math> <math>f</math> लेबेस्ग मापने योग्य है और यदि <math>\{f > \alpha\} = \{ x\in X : f(x) > \alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य होता है <math>\alpha\in\R.</math> यह भी इनमें से किसी के समान्तर होता है अतः यह <math>\{f \geq \alpha\},\{f<\alpha\},\{f\le\alpha\}</math> सभी के लिए मापने योग्य होता है और <math>\alpha,</math> या किसी भी खुले समूह के मापने योग्य होने की पूर्व-छवि निरंतर कार्य, मोनोटोन कार्य, चरण कार्य, अर्ध-सतत कार्य, रीमैन-अभिन्न कार्य और परिबद्ध भिन्नता के कार्य सभी लेबेस्ग मापने योग्य होते हैं।<ref name="carothers">{{cite book |last=Carothers|first=N. L.|title=वास्तविक विश्लेषण|url=https://archive.org/details/realanalysis0000caro| url-access=registration | year=2000| publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-49756-6}}</ref> इस प्रकार कार्य <math>f:X\to\Complex</math> के मापनीय होते है और इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग भी मापने योग्य होते हैं।
 == मापने योग्य कार्यों के गुण ==
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 सामान्यतः अनुप्रयोगों में सामने आने वाले वास्तविक-मूल्यवान कार्य औसत दर्जे के होते हैं; चूँकि, गैर-मापने योग्य कार्यों के अस्तित्व को सिद्ध करना जटिल नहीं होता है। इस प्रकार के प्रमाण आवश्यक प्रकार से पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करते हैं, इस अर्थ में कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध के अतिरिक्त ऐसे कार्यों के अस्तित्व को सिद्ध नहीं करता है।
-किसी भी माप स्थान में <math>(X, \Sigma)</math> [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समूह]] के साथ <math>A \subset X,</math> <math>A \notin \Sigma,</math> गैर-मापने योग्य संकेतक फंक्शन का निर्माण कर सकता है।
+किसी भी माप स्थान में <math>(X, \Sigma)</math> [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समूह]] के साथ <math>A \subset X,</math> <math>A \notin \Sigma,</math> गैर-मापने योग्य संकेतक कार्य का निर्माण कर सकता है।
 <math display="block">\mathbf{1}_A:(X,\Sigma) \to \R,
 \quad
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 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|बोचनर औसत दर्जे का फंक्शन}}
+* {{annotated link|बोचनर औसत दर्जे का कार्य}}
-* {{annotated link|बोचनर रिक्त स्थान}}
+* {{annotated link|बोचनर रिक्त स्थान}}  - गणितीय अवधारणा
 * {{annotated link|एलपी रिक्त स्थान}} - मापने योग्य कार्यों के सदिश रिक्त स्थान <math>L^p</math> रिक्त स्थान
 * {{annotated link|माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली}}
 * {{annotated link|सदिश माप}}
-* {{annotated link|कमजोर औसत दर्जे का कार्य}}
+* {{annotated link|निर्बल औसत दर्जे का कार्य}}
 == टिप्पणियाँ ==

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