औसती फलन

गणित में और विशेष रूप से माप सिद्धांत में, मापने योग्य कार्य दो मापने योग्य रिक्त स्थान के अंतर्निहित समूहों के मध्य का कार्य है जो रिक्त स्थान की संरचना को संरक्षित करता है। इस प्रकार किसी भी माप (गणित) समूह की पूर्व अनुमान मापने योग्य है। यह परिभाषा के सीधे सादृश्य में है कि टोपोलॉजिकल स्पेस के मध्य सतत कार्य कार्य टोपोलॉजिकल संरचना को संरक्षित करता है। वास्तविक विश्लेषण में, मापने योग्य कार्यों का उपयोग लेबेसेग एकीकरण की परिभाषा में किया जाता है। अतः संभाव्यता सिद्धांत में, संभाव्यता स्थान पर मापने योग्य कार्य को यादृच्छिक चर के रूप में जाना जाता है।

औपचारिक परिभाषा

सामान्यतः $(X,\Sigma )$ और $(Y,\mathrm {T} )$ मापने योग्य स्थान है, जिसका अर्थ होता है $X$ और $Y$ संबंधित से सुसज्जित समूह हैं। इस प्रकार $\sigma$-बीजगणित $\Sigma$ और $\mathrm {T} .$ फंक्शन $f:X\to Y$ को मापने योग्य कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए $E\in \mathrm {T}$ के पूर्व प्रतिबिम्ब $E$ के अंतर्गत $f$ में $\Sigma$ है, अर्थात् सभी के लिए $E\in \mathrm {T}$ होता है।

$$f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .$$

वह $\sigma (f)\subseteq \Sigma ,$ होता है, जहाँ $\sigma (f)$ f द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है। यदि $f:X\to Y$ मापने योग्य कार्य होता है, तब कोई लिखता है।

$$f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).$$

$\sigma$-बीजगणित पर निर्भरता $\Sigma$ और $\mathrm {T} .$ पर जोर दिया जाता है।

शब्द उपयोग विविधताएं

इसका चुनाव $\sigma$उपरोक्त परिभाषा में बीजगणित कभी-कभी अंतनिहित होता है और संदर्भ तक छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ या अन्य सामयिक रिक्त स्थान, बोरेल बीजगणित (सभी खुले समूहों द्वारा उत्पन्न) साधारण पसंद होती है। इस प्रकार कुछ लेखक मापने योग्य कार्यों को बोरेल बीजगणित के संबंध में विशेष रूप से वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं।

यदि फ़ंक्शन के मान अनंत-आयामी सदिश अंतरिक्ष में हैं, तब मापनीयता की अन्य गैर-समतुल्य परिभाषाएं, जैसे कमजोर मापनीयता और बोचनर मापनीयता उपस्तिथ होती हैं।

मापने योग्य कार्यों के उल्लेखनीय वर्ग

• रैंडम वेरिएबल्स परिभाषा के अनुसार प्रायिकता रिक्त स्थान पर परिभाषित औसत अंकिते के कार्य हैं।
• यदि $(X,\Sigma )$ और $(Y,T)$ बोरेल समूह # मानक बोरेल रिक्त स्थान और कुराटोस्की प्रमेय हैं, मापने योग्य कार्य $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ इसे बोरेल फंक्शन भी कहा जाता है। सतत फलन बोरेल फलन होते हैं किन्तु सभी बोरेल फलन संतत नहीं होते हैं। चूँकि, मापने योग्य कार्य लगभग सतत कार्य है; लुज़िन की प्रमेय देखें। यदि बोरेल फ़ंक्शन मानचित्र का भाग होता है $Y\xrightarrow {~\pi ~} X,$ इसे बोरेल सेक्शन कहा जाता है।
• लेबेस्ग औसत अंकिते का कार्य औसत अंकिते का कार्य है $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),$ कहाँ ${\mathcal {L}}$ है $\sigma$लेबेस्ग औसत अंकिते का समूह का बीजगणित, और ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ सम्मिश्र संख्याओं पर बोरेल बीजगणित है $\mathbb {C} .$ लेबेस्ग मापने योग्य कार्य गणितीय विश्लेषण में रुचि रखते हैं जिससे कि उन्हें एकीकृत किया जा सकता है। यदि $f:X\to \mathbb {R} ,$ $f$ लेबेस्ग मापने योग्य है यदि और केवल यदि $\{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ सभी के लिए मापने योग्य है $\alpha \in \mathbb {R} .$ यह भी इनमें से किसी के बराबर है ${\displaystyle }$