ओवररिंग: Difference between revisions

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==== परिभाषाएं ====
==== परिभाषाएं ====
एक <em>[[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]]</em> 3 समतुल्य <em>[[परिमित]] स्थितियों</em> को संतुष्ट करता है i) आदर्श (वलय सिद्धांत) की प्रत्येक [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] परिमित है, ii) आदर्शों के प्रत्येक गैर-रिक्त श्रेणी का अधिकतम होता है और iii) प्रत्येक आदर्श का एक परिमित आधार होता है।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|199}}
एक <em>[[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]]</em> 3 समतुल्य <em>[[परिमित]] स्थितियों</em> को संतुष्ट करता है i) गुणावली (वलय सिद्धांत) की प्रत्येक [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] परिमित है, ii) गुणावलीों के प्रत्येक गैर-रिक्त श्रेणी का अधिकतम होता है और iii) प्रत्येक गुणावली का एक परिमित आधार होता है।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|199}}


एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक <em>डेडेकिंड कार्यक्षेत्र</em> होता है, अगर कार्यक्षेत्र का हर आदर्श आदर्श आदर्शों का एक परिमित उत्पाद है।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|270}}
एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक <em>डेडेकिंड कार्यक्षेत्र</em> होता है, अगर कार्यक्षेत्र का प्रत्येक गुणावली प्रमुख गुणावलीों का एक परिमित उत्पाद है ।{{sfn|Zariski|Samuel|1965}}{{rp|270}}


वलय का <em>प्रतिबंधित [[ आयाम ]]</em> उन सभी प्राइम आइडियल्स के रैंकों के बीच अधिकतम [[क्रुल आयाम]] है जिसमें एक [[नियमित तत्व]] होता है.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}}
वलय का <em>प्रतिबंधित [[ आयाम |आकार]] </em>उन सभी प्राथमिक गुणावली की श्रेणियों के बीच अधिकतम [[क्रुल आयाम|क्रुल आकार]] है जिसमें एक [[नियमित तत्व]] होता है.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}}


एक वलय <math display="inline">R</math> <a>स्थानीय वलय [[ nilpotent ]] फ्री</me> है अगर हर वलय <math display="inline">R_{M}</math> [[अधिकतम आदर्श]] के साथ <math display="inline">M</math> निलपोटेंट तत्वों से मुक्त है या प्रत्येक गैर इकाई के साथ एक शून्य विभाजक है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}}
एक वलय <math display="inline">R</math> स्थानीय रूप से [[ nilpotent |नगण्य]] है अगर हर वलय <math display="inline">R_{M}</math> [[अधिकतम आदर्श|अधिकतम गुणावली]] के साथ <math display="inline">M</math> [[ nilpotent |नगण्य]] तत्वों से मुक्त है या प्रत्येक गैर इकाई के साथ एक शून्य विभाजक है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|52}}


एक <em>एफ़िन वलय</em> एक फ़ील्ड (गणित) पर एक बहुपद वलय की [[समरूपता]] [[छवि (गणित)]] है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|58}}
एक <em>प्रायोजित वलय</em> एक <em>क्षेत्र</em> (गणित) पर एक बहुपद वलय की [[समरूपता|समरूप]] [[छवि (गणित)]] है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|58}}


==== गुण ====
==== गुण ====
डेडेकाइंड वलय का हर ऊपरी वलय डेडेकाइंड वलय होता है।{{sfn|Cohen|1950}}{{sfn|Lane|Schilling|1939}}
डेडेकाइंड वलय का हर ऊपरी वलय डेडेकाइंड वलय होता है।{{sfn|Cohen|1950}}{{sfn|Lane|Schilling|1939}}


छल्लों के [[प्रत्यक्ष योग]] का प्रत्येक ऊपरी वलय, जिसके गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं, एक नोथेरियन वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|53}}
वलय के [[प्रत्यक्ष योग]] का प्रत्येक ऊपरी वलय, जिसके गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं, एक नोथेरियन वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|53}}


क्रुल डायमेंशन 1-डायमेंशनल नोथेरियन कार्यक्षेत्र का हर ऊपरी वलय नोथेरियन वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|53}}
क्रुल डायमेंशन 1-डायमेंशनल नोथेरियन कार्यक्षेत्र का हर ऊपरी वलय नोथेरियन वलय है।{{sfn|Davis|1962}}{{rp|53}}
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ये कथन नोथेरियन वलय के समतुल्य हैं <math display="inline">R</math> अभिन्न बंद होने के साथ <math display="inline">\bar{R}</math>.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|57}}
ये कथन नोथेरियन वलय के समतुल्य हैं <math display="inline">R</math> अभिन्न बंद होने के साथ <math display="inline">\bar{R}</math>.{{sfn|Davis|1962}}{{rp|57}}
* हर ओववलय <math display="inline">R</math> एक नोथेरियन वलय है।
* हर ओववलय <math display="inline">R</math> एक नोथेरियन वलय है।
* प्रत्येक अधिकतम आदर्श के लिए <math display="inline">M</math> का <math display="inline">R</math>, हर ओवरिंग <math display="inline">R_{M}</math> एक नोथेरियन वलय है।
* प्रत्येक अधिकतम गुणावली के लिए <math display="inline">M</math> का <math display="inline">R</math>, हर ओवरिंग <math display="inline">R_{M}</math> एक नोथेरियन वलय है।
* अँगूठी <math display="inline">R</math> प्रतिबंधित आयाम 1 या उससे कम के साथ स्थानीय रूप से शून्य है।
* अँगूठी <math display="inline">R</math> प्रतिबंधित आकार 1 या उससे कम के साथ स्थानीय रूप से शून्य है।
* अँगूठी <math display="inline">\bar{R}</math> नोथेरियन है, और वलय <math display="inline">R</math> सीमित आयाम 1 या उससे कम है।
* अँगूठी <math display="inline">\bar{R}</math> नोथेरियन है, और वलय <math display="inline">R</math> सीमित आकार 1 या उससे कम है।
* हर ओवरिंग <math display="inline">\bar{R}</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* हर ओवरिंग <math display="inline">\bar{R}</math> अभिन्न रूप से बंद है।


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==== परिभाषाएं ====
==== परिभाषाएं ====
एक <em>सुसंगत वलय</em> क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की आदर्श शब्दावली है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} नोथेरियन कार्यक्षेत्र और प्रुफ़र कार्यक्षेत्र सुसंगत हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}}
एक <em>सुसंगत वलय</em> क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की गुणावली शब्दावली है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}} नोथेरियन कार्यक्षेत्र और प्रुफ़र कार्यक्षेत्र सुसंगत हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}}


एक <em>जोड़ी</em> <math display="inline">(R,T)</math> वलय सिद्धांत के अविभाज्य कार्यक्षेत्र  ग्लोसरी को इंगित करता है <math display="inline">T</math> ऊपर <math display="inline">R</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|331}}
एक <em>जोड़ी</em> <math display="inline">(R,T)</math> वलय सिद्धांत के अविभाज्य कार्यक्षेत्र  ग्लोसरी को इंगित करता है <math display="inline">T</math> ऊपर <math display="inline">R</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|331}}
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==== गुण ====
==== गुण ====
प्रत्येक ऊपरी वलय सुसंगत होने पर एक नोथेरियन वलय का क्रुल आयाम 1 या उससे कम होता है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}}
प्रत्येक ऊपरी वलय सुसंगत होने पर एक नोथेरियन वलय का क्रुल आकार 1 या उससे कम होता है।{{sfn|Papick|1978}}{{rp|373}}


अविभाज्य कार्यक्षेत्र  जोड़ी के लिए <math display="inline">(R,T)</math>, <math display="inline">T</math> का ऊपरी वलय है <math display="inline">R</math> यदि प्रत्येक मध्यवर्ती अविभाज्य कार्यक्षेत्र  अभिन्न रूप से बंद है <math display="inline">T</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|332}}{{sfn|Davis|1973}}{{rp|175}}
अविभाज्य कार्यक्षेत्र  जोड़ी के लिए <math display="inline">(R,T)</math>, <math display="inline">T</math> का ऊपरी वलय है <math display="inline">R</math> यदि प्रत्येक मध्यवर्ती अविभाज्य कार्यक्षेत्र  अभिन्न रूप से बंद है <math display="inline">T</math>.{{sfn|Papick|1979}}{{rp|332}}{{sfn|Davis|1973}}{{rp|175}}
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का अभिन्न समापन <math display="inline">R</math> एक Prüfer कार्यक्षेत्र है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> सुसंगत है।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}}
का अभिन्न समापन <math display="inline">R</math> एक Prüfer कार्यक्षेत्र है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ऊपरी वलय <math display="inline">R</math> सुसंगत है।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|137}}


Prüfer कार्यक्षेत्र और Krull 1-आयामी नोथेरियन कार्यक्षेत्र के ऊपरी वलय सुसंगत हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|138}}
Prüfer कार्यक्षेत्र और Krull 1-आकारी नोथेरियन कार्यक्षेत्र के ऊपरी वलय सुसंगत हैं।{{sfn|Papick|1980}}{{rp|138}}


=== चेकर कार्यक्षेत्र ===
=== चेकर कार्यक्षेत्र ===


==== गुण ====
==== गुण ====
एक वलय में <em>QR गुण</em> होता है यदि प्रत्येक ऊपरी वलय गुणक सेट के साथ एक स्थानीयकरण है।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} QR कार्यक्षेत्र Prüfer कार्यक्षेत्र हैं।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} मरोड़ [[पिकार्ड समूह]] वाला Prüfer कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र है।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} एक Prüfer कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श के रिंग का रेडिकल एक [[प्रमुख आदर्श]] द्वारा उत्पन्न रेडिकल के बराबर होता है।{{sfn|Pendleton|1966}}{{rp|500}}
एक वलय में <em>QR गुण</em> होता है यदि प्रत्येक ऊपरी वलय गुणक सेट के साथ एक स्थानीयकरण है।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} QR कार्यक्षेत्र Prüfer कार्यक्षेत्र हैं।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} मरोड़ [[पिकार्ड समूह]] वाला Prüfer कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र है।{{sfn|Fuchs|Heinzer|Olberding|2004}}{{rp|196}} एक Prüfer कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न गुणावली के रिंग का रेडिकल एक [[प्रमुख आदर्श|प्रमुख गुणावली]] द्वारा उत्पन्न रेडिकल के बराबर होता है।{{sfn|Pendleton|1966}}{{rp|500}}


कथन <math display="inline">R</math> एक Prüfer कार्यक्षेत्र इसके बराबर है:{{sfn|Bazzoni|Glaz|2006}}{{rp|56}}
कथन <math display="inline">R</math> एक Prüfer कार्यक्षेत्र इसके बराबर है:{{sfn|Bazzoni|Glaz|2006}}{{rp|56}}
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है <math display="inline"> R</math>,  और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है <math display="inline"> R</math>,  और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के अंशों के छल्लों का प्रतिच्छेदन है <math display="inline"> R</math>,  और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के अंशों के छल्लों का प्रतिच्छेदन है <math display="inline"> R</math>,  और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> प्रमुख आदर्श हैं जो के प्रमुख आदर्शों के विस्तार हैं <math display="inline"> R</math>, और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> प्रमुख गुणावली हैं जो के प्रमुख गुणावलीों के विस्तार हैं <math display="inline"> R</math>, और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के किसी भी अभाज्य आदर्श के ऊपर अधिक से अधिक 1 मुख्य आदर्श होता है <math display="inline"> R</math>,  और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> के किसी भी अभाज्य गुणावली के ऊपर अधिक से अधिक 1 मुख्य गुणावली होता है <math display="inline"> R</math>,  और <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> अभिन्न रूप से बंद है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> सुसंगत है।
* प्रत्येक ऊपरी वलय <math display="inline"> R</math> सुसंगत है।
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एक <em>न्यूनतम ऊपरी वलय</em> <math display="inline">T</math> वलय का <math display="inline">R</math> होता है अगर <math display="inline">T</math> रोकना <math display="inline">R</math> एक उपवलय और वलय जोड़ी के रूप में <math display="inline">(R,T)</math> कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
एक <em>न्यूनतम ऊपरी वलय</em> <math display="inline">T</math> वलय का <math display="inline">R</math> होता है अगर <math display="inline">T</math> रोकना <math display="inline">R</math> एक उपवलय और वलय जोड़ी के रूप में <math display="inline">(R,T)</math> कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}


आदर्श का <em>कप्लैन्स्की आदर्श रूपांतरण</em> (<em>हेज़ रूपांतरण</em>, <em>S-रूपांतरण</em>) <math display="inline">I</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र  के संबंध में <math display="inline">R</math> अंश क्षेत्र का एक उपसमुच्चय है <math display="inline">Q(R)</math>. इस उपसमुच्चय में तत्व होते हैं <math display="inline">x</math> ऐसा है कि प्रत्येक तत्व के लिए <math display="inline">y</math> आदर्श का <math display="inline">I</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है <math display="inline">n</math> उत्पाद के साथ <math display="inline">x \cdot y^{n}</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र में निहित <math display="inline">R</math>.{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
गुणावली का <em>कप्लैन्स्की गुणावली रूपांतरण</em> (<em>हेज़ रूपांतरण</em>, <em>S-रूपांतरण</em>) <math display="inline">I</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र  के संबंध में <math display="inline">R</math> अंश क्षेत्र का एक उपसमुच्चय है <math display="inline">Q(R)</math>. इस उपसमुच्चय में तत्व होते हैं <math display="inline">x</math> ऐसा है कि प्रत्येक तत्व के लिए <math display="inline">y</math> गुणावली का <math display="inline">I</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है <math display="inline">n</math> उत्पाद के साथ <math display="inline">x \cdot y^{n}</math> अविभाज्य कार्यक्षेत्र में निहित <math display="inline">R</math>.{{sfn|Sato|Sugatani|Yoshida|1992}}{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}


==== गुण ====
==== गुण ====
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के अंशों का क्षेत्र <math display="inline">R</math> न्यूनतम ऊपरी वलय शामिल है <math display="inline">T</math> का <math display="inline">R</math> कब <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
के अंशों का क्षेत्र <math display="inline">R</math> न्यूनतम ऊपरी वलय शामिल है <math display="inline">T</math> का <math display="inline">R</math> कब <math display="inline">R</math> एक क्षेत्र नहीं है।{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}


एक अभिन्न रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र  मान लें <math display="inline">R</math> एक फ़ील्ड नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र  का न्यूनतम ऊपरी वलय है <math display="inline">R</math> मौजूद है, यह न्यूनतम ऊपरी वलय एक अधिकतम आदर्श के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है <math display="inline">R</math>.{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}
एक अभिन्न रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र  मान लें <math display="inline">R</math> एक फ़ील्ड नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र  का न्यूनतम ऊपरी वलय है <math display="inline">R</math> मौजूद है, यह न्यूनतम ऊपरी वलय एक अधिकतम गुणावली के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है <math display="inline">R</math>.{{sfn|Dobbs|Shapiro|2007}}{{rp|60}}


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
बेज़ाउट कार्यक्षेत्र | बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र का एक प्रकार है; बेज़ाउट कार्यक्षेत्र की पारिभाषिक संपत्ति प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न आदर्श एक प्रमुख आदर्श है। बेज़ाउट कार्यक्षेत्र एक Prüfer कार्यक्षेत्र के सभी ऊपरी वलय गुणों को साझा करेगा।{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|168}}
बेज़ाउट कार्यक्षेत्र | बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र का एक प्रकार है; बेज़ाउट कार्यक्षेत्र की पारिभाषिक संपत्ति प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न गुणावली एक प्रमुख गुणावली है। बेज़ाउट कार्यक्षेत्र एक Prüfer कार्यक्षेत्र के सभी ऊपरी वलय गुणों को साझा करेगा।{{sfn|Fontana|Papick|2002}}{{rp|168}}


पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}}
पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं।{{sfn|Davis|1964}}{{rp|196}}
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== संबंधित श्रेणियां ==
== संबंधित श्रेणियां ==
श्रेणी:रिंग सिद्धांत
श्रेणी:रिंग सिद्धांत
श्रेणी:आदर्श (वलय सिद्धांत)
 
श्रेणी:गुणावली (वलय सिद्धांत)
 
श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं
श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं
श्रेणी:क्रमविनिमेय बीजगणित
श्रेणी:क्रमविनिमेय बीजगणित


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 18/05/2023]]
[[Category:Created On 18/05/2023]]

Revision as of 15:51, 24 May 2023

यह लेख गणितीय अवधारणा के बारे में है। उच्चारण के लिए, रिंग (विशेषक) देखें

Algebraic structure → Ring theory
Ring theory
File:Latex integers.svg
Basic concepts
Rings
• Subrings
• Ideal
• Quotient ring
• Fractional ideal
• Total ring of fractions
• Product of rings
• Free product of associative algebras
• Tensor product of algebras

Ring homomorphisms

• Kernel
• Inner automorphism
• Frobenius endomorphism

Algebraic structures

• Module
• Associative algebra
• Graded ring
• Involutive ring
• Category of rings
• Initial ring
• Terminal ring

Related structures

• Field
• Finite field
• Non-associative ring
• Lie ring
• Jordan ring
• Semiring
• Semifield
Commutative algebra
Commutative rings
• Integral domain
• Integrally closed domain
• GCD domain
• Unique factorization domain
• Principal ideal domain
• Euclidean domain
• Field
• Finite field
• Composition ring
• Polynomial ring
• Formal power series ring

Algebraic number theory

• Algebraic number field
• Ring of integers
• Algebraic independence
• Transcendental number theory
• Transcendence degree

p-adic number theory and decimals

• Direct limit/Inverse limit
• Zero ring
• Integers modulo pn
• Prüfer p-ring
• Base-p circle ring
• Base-p integers
• p-adic rationals
• Base-p real numbers
• p-adic integers
• p-adic numbers
• p-adic solenoid

Algebraic geometry

• Affine variety
Noncommutative algebra
Noncommutative rings
• Division ring
• Semiprimitive ring
• Simple ring
• Commutator

Noncommutative algebraic geometry

Free algebra

Clifford algebra

• Geometric algebra
Operator algebra

गणित में, अविभाज्य कार्यक्षेत्र के ओवररिंग (ऊपरी वलय) में अविभाज्य कार्यक्षेत्र होता है, और अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में ऊपरी वलय होता है। ऊपरी वलय विभिन्न प्रकार के वलय और कार्यक्षेत्र (रिंग सिद्धांत) की बेहतर समझ प्रदान करते हैं।

परिभाषा

इस लेख में, सभी वलय (गणित) क्रमविनिमेय वलय हैं, और वलय और ऊपरी वलय समान समरूप तत्व साझा करते हैं।

माना की एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, वलय