विग्नर D-आव्यूह: Difference between revisions

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एक 3-आयामी [[रोटेशन (गणित)]] के रूप में लिखा जा सकता है
एक 3-आयामी [[रोटेशन (गणित)]] के रूप में लिखा जा सकता है
:<math>\mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\gamma J_z},</math>
:<math>\mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) = e^{-i\alpha J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\gamma J_z},</math>
जहां ''α'', ''β'', ''γ'' [[यूलर कोण]] हैं (कीवर्ड द्वारा विशेषता: z-y-z कन्वेंशन, राइट-हैंडेड फ्रेम, राइट-हैंड स्क्रू रूल, एक्टिव इंटरप्रिटेशन) है।
जहाँ ''α'', ''β'', ''γ'' [[यूलर कोण]] हैं (कीवर्ड द्वारा विशेषता: z-y-z कन्वेंशन, राइट-हैंडेड फ्रेम, राइट-हैंड स्क्रू रूल, एक्टिव इंटरप्रिटेशन) है।


'विग्नर डी-मैट्रिक्स' तत्वों के साथ इस गोलाकार आधार में आयाम 2j + 1 का एक एकात्मक वर्ग मैट्रिक्स है
'विग्नर डी-मैट्रिक्स' तत्वों के साथ इस गोलाकार आधार में आयाम 2j + 1 का एक एकात्मक वर्ग मैट्रिक्स है
:<math>D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv \langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle =e^{-im'\alpha } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma},</math>
:<math>D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) \equiv \langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle =e^{-im'\alpha } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\gamma},</math>
कहाँ
जहाँ
:<math>d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle = D^j_{m'm}(0,\beta,0) </math> ऑर्थोगोनल विग्नर्स (छोटा) डी-मैट्रिक्स का एक तत्व है।
:<math>d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle = D^j_{m'm}(0,\beta,0) </math> ऑर्थोगोनल विग्नर्स (छोटा) डी-मैट्रिक्स का एक तत्व है।


यानी इस आधार पर
यानी इस आधार पर
:<math> D^j_{m'm}(\alpha,0,0) = e^{-im'\alpha } \delta_{m'm} </math>
:<math> D^j_{m'm}(\alpha,0,0) = e^{-im'\alpha } \delta_{m'm} </math>
विकर्ण है, γ मैट्रिक्स कारक की तरह, लेकिन उपरोक्त β कारक के विपरीत।
''γ'' मैट्रिक्स कारक की तरह, लेकिन उपरोक्त ''β'' कारक के विपरीत विकर्ण है।


== विग्नर (छोटा) डी-मैट्रिक्स ==
== विग्नर (छोटा) डी-मैट्रिक्स ==
विग्नर ने निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी:<ref>{{cite book |first=E. P. |last=Wigner |title=परमाणु स्पेक्ट्रा के क्वांटम यांत्रिकी के लिए समूह सिद्धांत और इसके अनुप्रयोग|publisher=Vieweg Verlag |location=Braunschweig |year=1951 |orig-year=1931 |oclc=602430512}} Translated into English by {{cite book |translator-first=J.J. |translator-last=Griffin |title=Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra |publisher=Elsevier |isbn=978-1-4832-7576-5 |year=2013 |url={{GBurl|UITNCgAAQBAJ|pg=PR9}} |orig-year=1959 }}</ref>
विग्नर ने निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी:<ref>{{cite book |first=E. P. |last=Wigner |title=परमाणु स्पेक्ट्रा के क्वांटम यांत्रिकी के लिए समूह सिद्धांत और इसके अनुप्रयोग|publisher=Vieweg Verlag |location=Braunschweig |year=1951 |orig-year=1931 |oclc=602430512}} Translated into English by {{cite book |translator-first=J.J. |translator-last=Griffin |title=Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra |publisher=Elsevier |isbn=978-1-4832-7576-5 |year=2013 |url={{GBurl|UITNCgAAQBAJ|pg=PR9}} |orig-year=1959 }}</ref>
:<math>d^j_{m'm}(\beta) =[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac{1}{2}} \sum_{s=s_{\mathrm{min}}}^{s_{\mathrm{max}}} \left[\frac{(-1)^{m'-m+s} \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!} \right].</math>
:<math>d^j_{m'm}(\beta) =[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac{1}{2}} \sum_{s=s_{\mathrm{min}}}^{s_{\mathrm{max}}} \left[\frac{(-1)^{m'-m+s} \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!} \right].</math>
s का योग ऐसे मानों से अधिक है कि भाज्य गैर-नकारात्मक हैं, अर्थात <math>s_{\mathrm{min}}=\mathrm{max}(0,m-m')</math>, <math>s_{\mathrm{max}}=\mathrm{min}(j+m,j-m')</math>.
''s'' का योग ऐसे मानों से अधिक है कि भाज्य गैर-ऋणात्मक हैं, अर्थात <math>s_{\mathrm{min}}=\mathrm{max}(0,m-m')</math>, <math>s_{\mathrm{max}}=\mathrm{min}(j+m,j-m')</math>.


नोट: यहाँ परिभाषित डी-मैट्रिक्स तत्व वास्तविक हैं। यूलर कोण # सम्मेलनों के अक्सर उपयोग किए जाने वाले z-x-z सम्मेलन में, कारक <math>(-1)^{m'-m+s}</math> इस सूत्र में द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है <math>(-1)^s i^{m-m'},</math> आधे कार्यों को पूरी तरह से काल्पनिक होने का कारण बनता है। डी-मैट्रिक्स तत्वों की वास्तविकता एक कारण है कि इस आलेख में उपयोग किए जाने वाले जेड-वाई-जेड सम्मेलन को आमतौर पर क्वांटम यांत्रिक अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।
नोट: यहाँ परिभाषित डी-मैट्रिक्स तत्व वास्तविक हैं। यूलर कोण के प्रायः उपयोग किए जाने वाले z-x-z कन्वेंशन में, कारक <math>(-1)^{m'-m+s}</math> इस सूत्र में द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है <math>(-1)^s i^{m-m'},</math> आधे फलन को पूरी तरह से काल्पनिक होने का कारण बनता है। डी-मैट्रिक्स तत्वों की वास्तविकता एक कारण है कि इस आलेख में उपयोग किए जाने वाले जेड-वाई-जेड कन्वेंशन को आमतौर पर क्वांटम यांत्रिक अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।


डी-मैट्रिक्स तत्व [[जैकोबी बहुपद]] से संबंधित हैं <math>P^{(a,b)}_k(\cos\beta)</math> गैर नकारात्मक के साथ <math>a</math> और <math>b.</math><ref>{{cite book |first1=L. C. |last1=Biedenharn |first2=J. D. |last2=Louck |title=क्वांटम भौतिकी में कोणीय गति|publisher=Addison-Wesley |location=Reading |year=1981 |isbn=0-201-13507-8 }}</ref> होने देना
डी-मैट्रिक्स तत्व [[जैकोबी बहुपद]] से संबंधित हैं <math>P^{(a,b)}_k(\cos\beta)</math> गैर ऋणात्मक के साथ <math>a</math> और <math>b.</math><ref>{{cite book |first1=L. C. |last1=Biedenharn |first2=J. D. |last2=Louck |title=क्वांटम भौतिकी में कोणीय गति|publisher=Addison-Wesley |location=Reading |year=1981 |isbn=0-201-13507-8 }}</ref> होने देना


:<math> k = \min(j+m, j-m, j+m', j-m').</math>
:<math> k = \min(j+m, j-m, j+m', j-m').</math>
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:<math>d^j_{m'm}(\beta) = (-1)^{\lambda} \binom{2j-k}{k+a}^{\frac{1}{2}} \binom{k+b}{b}^{-\frac{1}{2}} \left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^a \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^b P^{(a,b)}_k(\cos\beta),</math>
:<math>d^j_{m'm}(\beta) = (-1)^{\lambda} \binom{2j-k}{k+a}^{\frac{1}{2}} \binom{k+b}{b}^{-\frac{1}{2}} \left(\sin\frac{\beta}{2}\right)^a \left(\cos\frac{\beta}{2}\right)^b P^{(a,b)}_k(\cos\beta),</math>
कहाँ <math> a,b \ge 0.</math>
जहाँ <math> a,b \ge 0.</math>




== विग्नर डी-मैट्रिक्स के गुण ==
== विग्नर डी-मैट्रिक्स के गुण ==
डी-मैट्रिक्स का जटिल संयुग्म कई अलग-अलग गुणों को संतुष्ट करता है जिन्हें निम्नलिखित ऑपरेटरों को पेश करके संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है <math>(x, y, z) = (1, 2, 3),</math>
डी-मैट्रिक्स का जटिल संयुग्म कई अलग-अलग गुणों को पूरा करता है जिन्हें निम्नलिखित ऑपरेटरों को पेश करके संक्षिप्त रूप से तैयार किया जा सकता है <math>(x, y, z) = (1, 2, 3),</math>
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\hat{\mathcal{J}}_1 &= i \left( \cos \alpha \cot \beta \frac{\partial}{\partial \alpha} + \sin \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\cos \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
\hat{\mathcal{J}}_1 &= i \left( \cos \alpha \cot \beta \frac{\partial}{\partial \alpha} + \sin \alpha {\partial \over \partial \beta} - {\cos \alpha \over \sin \beta} {\partial \over \partial \gamma} \right) \\
Line 69: Line 69:
जिनका क्वांटम मैकेनिकल अर्थ है: वे बॉडी-फिक्स्ड रिजिड रोटर एंगुलर मोमेंटम ऑपरेटर हैं।
जिनका क्वांटम मैकेनिकल अर्थ है: वे बॉडी-फिक्स्ड रिजिड रोटर एंगुलर मोमेंटम ऑपरेटर हैं।


ऑपरेटर कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं
ऑपरेटर कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं
:<math> \left[\mathcal{J}_1, \mathcal{J}_2\right] = i \mathcal{J}_3, \qquad \hbox{and}\qquad \left[\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2\right] = -i \mathcal{P}_3,</math>
:<math> \left[\mathcal{J}_1, \mathcal{J}_2\right] = i \mathcal{J}_3, \qquad \hbox{and}\qquad \left[\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2\right] = -i \mathcal{P}_3,</math>
और सूचकांकों के साथ संबंधित संबंधों को चक्रीय रूप से अनुमत किया गया। <math>\mathcal{P}_i</math> h> विषम रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करें (दाईं ओर एक ऋण चिह्न है)।
और सूचकांकों के साथ संबंधित संबंधों को चक्रीय रूप से अनुमत किया गया। <math>\mathcal{P}_i</math> h> विषम रूपान्तरण संबंधों को पूरा करें (दाईं ओर एक ऋण चिह्न है)।
   
   
दो सेट परस्पर यात्रा करते हैं,
दो सेट परस्पर कम्यूट करते हैं,
:<math>\left[\mathcal{P}_i, \mathcal{J}_j\right] = 0,\quad i, j = 1, 2, 3,</math>
:<math>\left[\mathcal{P}_i, \mathcal{J}_j\right] = 0,\quad i, j = 1, 2, 3,</math>
और कुल संकारकों का वर्ग बराबर है,
और कुल संकारकों का वर्ग बराबर है,
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आखिरकार,
आखिरकार,
:<math>\mathcal{J}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* =\mathcal{P}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = j(j+1) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*.</math>
:<math>\mathcal{J}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* =\mathcal{P}^2 D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = j(j+1) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^*.</math>
दूसरे शब्दों में, (जटिल संयुग्म) विग्नर डी-मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों द्वारा उत्पन्न आइसोमोर्फिक लाइ बीजगणित के इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व <math>\{\mathcal{J}_i\}</math> और <math>\{-\mathcal{P}_i\}</math>.
दूसरे शब्दों में, (जटिल संयुग्म) विग्नर डी-मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों द्वारा उत्पन्न आइसोमोर्फिक लाइ बीजगणित के इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व <math>\{\mathcal{J}_i\}</math> और <math>\{-\mathcal{P}_i\}</math> है।


विग्नर डी-मैट्रिक्स की एक महत्वपूर्ण संपत्ति के कम्यूटेशन से होती है
विग्नर डी-मैट्रिक्स की महत्वपूर्ण संपत्ति के कम्यूटेशन से होती है
  <math> \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) </math> क्वांटम यांत्रिकी में टी-समरूपता # टाइम रिवर्सल के साथ
  <math> \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) </math> क्वांटम यांत्रिकी में टी-समरूपता टाइम रिवर्सल के साथ
  {{mvar|T}},
  {{mvar|T}},
:<math>\langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = \langle jm' | T^{ \dagger} \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) T| jm \rangle =(-1)^{m'-m} \langle j,-m' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| j,-m \rangle^*,</math>
:<math>\langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle = \langle jm' | T^{ \dagger} \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma) T| jm \rangle =(-1)^{m'-m} \langle j,-m' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| j,-m \rangle^*,</math>
या
या
:<math>D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) = (-1)^{m'-m} D^j_{-m',-m}(\alpha,\beta,\gamma)^*.</math> यहाँ, हमने उसका उपयोग किया <math>T </math> एकात्मक विरोधी है (इसलिए आगे बढ़ने के बाद जटिल संयुग्मन <math>T^\dagger </math> केट से ब्रा तक), <math> T | jm \rangle = (-1)^{j-m} | j,-m \rangle</math> और <math>(-1)^{2j-m'-m} = (-1)^{m'-m}</math>.
:<math>D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma) = (-1)^{m'-m} D^j_{-m',-m}(\alpha,\beta,\gamma)^*.</math>  
:यहाँ, हमने उसका उपयोग किया <math>T </math> एकात्मक विरोधी है (इसलिए आगे बढ़ने के बाद जटिल संयुग्मन <math>T^\dagger </math> केट से ब्रा तक), <math> T | jm \rangle = (-1)^{j-m} | j,-m \rangle</math> और <math>(-1)^{2j-m'-m} = (-1)^{m'-m}</math>.


एक और समरूपता का अर्थ है
एक और समरूपता का अर्थ है
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== ओर्थोगोनलिटी संबंध ==
== ओर्थोगोनलिटी संबंध ==
विग्नर डी-मैट्रिक्स तत्व <math>D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)</math> यूलर कोणों के ऑर्थोगोनल कार्यों का एक सेट बनाते हैं <math>\alpha, \beta,</math> और <math>\gamma</math>:
विग्नर डी-मैट्रिक्स तत्व <math>D^j_{mk}(\alpha,\beta,\gamma)</math> यूलर कोणों के ऑर्थोगोनल फलन <math>\alpha, \beta,</math> और <math>\gamma</math> का एक सेट बनाते हैं।


:<math>\int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi d\beta \sin \beta \int_0^{2\pi} d\gamma \,\, D^{j'}_{m'k'}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma) = \frac{8\pi^2}{2j+1} \delta_{m'm}\delta_{k'k}\delta_{j'j}.</math>
:<math>\int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi d\beta \sin \beta \int_0^{2\pi} d\gamma \,\, D^{j'}_{m'k'}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma) = \frac{8\pi^2}{2j+1} \delta_{m'm}\delta_{k'k}\delta_{j'j}.</math>
यह [[शूर ऑर्थोगोनलिटी संबंध]]ों का एक विशेष मामला है।
यह [[शूर ऑर्थोगोनलिटी संबंध|शूर ऑर्थोगोनलिटी संबंधो]] की एक विशेष स्थिति है।


महत्वपूर्ण रूप से, पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा, वे आगे एक पूर्ण सेट बनाते हैं।
महत्वपूर्ण रूप से, पीटर-वेइल प्रमेय द्वारा, वे आगे एक पूर्ण सेट बनाते हैं।
Line 114: Line 115:
:<math>\sum_k  D^j_{m'k}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'},</math>
:<math>\sum_k  D^j_{m'k}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{mk}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'},</math>
:<math>\sum_k  D^j_{k m'}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{km}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'}.</math>
:<math>\sum_k  D^j_{k m'}(\alpha, \beta, \gamma)^* D^j_{km}(\alpha, \beta, \gamma)  = \delta_{m,m'}.</math>
एसयू (2) के लिए समूह वर्ण केवल रोटेशन कोण β पर निर्भर करते हैं, क्लास फ़ंक्शन (बीजगणित) होने के नाते, फिर, रोटेशन के अक्षों से स्वतंत्र,
एसयू (2) के लिए समूह वर्ण केवल रोटेशन कोण β पर निर्भर करते हैं, क्लास फलन (बीजगणित) होने के नाते, फिर, रोटेशन के अक्षों से स्वतंत्र,


:<math>\chi^j (\beta)\equiv \sum_m D^j_{mm}(\beta)=\sum_m d^j_{mm}(\beta) = \frac{\sin\left (\frac{(2j+1)\beta}{2} \right )}{\sin \left (\frac{\beta}{2} \right )},</math>
:<math>\chi^j (\beta)\equiv \sum_m D^j_{mm}(\beta)=\sum_m d^j_{mm}(\beta) = \frac{\sin\left (\frac{(2j+1)\beta}{2} \right )}{\sin \left (\frac{\beta}{2} \right )},</math>
और फलस्वरूप समूह के हार उपाय के माध्यम से, सरल ओर्थोगोनलिटी संबंधों को संतुष्ट करते हैं,<ref>{{cite techreport |last=Schwinger |first=J. |url=https://www.osti.gov/biblio/4389568-angular-momentum |title=कोणीय गति पर|institution=[[Harvard University]], Nuclear Development Associates |id=NYO-3071, TRN: US200506%%295 |date=January 26, 1952 |doi=10.2172/4389568}}</ref>
और फलस्वरूप समूह के हार उपाय के माध्यम से, सरल ओर्थोगोनलिटी संबंधों को पूरा करते हैं,<ref>{{cite techreport |last=Schwinger |first=J. |url=https://www.osti.gov/biblio/4389568-angular-momentum |title=कोणीय गति पर|institution=[[Harvard University]], Nuclear Development Associates |id=NYO-3071, TRN: US200506%%295 |date=January 26, 1952 |doi=10.2172/4389568}}</ref>
:<math>\frac{1}{\pi} \int _0^{2\pi} d\beta \sin^2 \left (\frac{\beta}{2} \right )  \chi^j (\beta)  \chi^{j'}(\beta)=  \delta_{j'j}.</math>
:<math>\frac{1}{\pi} \int _0^{2\pi} d\beta \sin^2 \left (\frac{\beta}{2} \right )  \chi^j (\beta)  \chi^{j'}(\beta)=  \delta_{j'j}.</math>
पूर्णता संबंध (इसी संदर्भ में निकाला गया, (3.95)) है
पूर्णता संबंध (इसी संदर्भ में निकाला गया, (3.95)) है


:<math>\sum_j \chi^j (\beta) \chi^j (\beta')= \delta (\beta -\beta'),</math>
:<math>\sum_j \chi^j (\beta) \chi^j (\beta')= \delta (\beta -\beta'),</math>
कहां से, के लिए <math>\beta' =0,</math>
जहाँ, <math>\beta' =0</math> के लिए
:<math>\sum_j \chi^j (\beta) (2j+1)= \delta (\beta ).</math>
:<math>\sum_j \chi^j (\beta) (2j+1)= \delta (\beta ).</math>


 
=== विग्नर डी-मैट्रिसेस, क्लेबश-गॉर्डन श्रृंखला का क्रोनकर उत्पाद ===
== विग्नर डी-मैट्रिसेस, क्लेबश-गॉर्डन श्रृंखला == का [[क्रोनकर उत्पाद]]
क्रोनकर उत्पाद मैट्रिक्स का सेट
:<math>
:<math>
  \mathbf{D}^j(\alpha,\beta,\gamma)\otimes \mathbf{D}^{j'}(\alpha,\beta,\gamma)
  \mathbf{D}^j(\alpha,\beta,\gamma)\otimes \mathbf{D}^{j'}(\alpha,\beta,\gamma)
</math>
</math>
SO(3) और SU(2) समूहों का एक कम करने योग्य मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व बनाता है। अलघुकरणीय घटकों में कमी निम्नलिखित समीकरण द्वारा होती है:<ref name=RoseME/>:<math>
SO(3) और SU(2) समूहों का एक कम करने योग्य मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व बनाता है। अलघुकरणीय घटकों में कमी निम्नलिखित समीकरण द्वारा होती है:<ref name="RoseME" />:<math>
   D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j'}_{m' k'}(\alpha,\beta,\gamma) =
   D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j'}_{m' k'}(\alpha,\beta,\gamma) =
   \sum_{J=|j-j'|}^{j+j'}  \langle j m j' m' | J \left(m + m'\right) \rangle
   \sum_{J=|j-j'|}^{j+j'}  \langle j m j' m' | J \left(m + m'\right) \rangle
Line 137: Line 136:
   D^J_{\left(m + m'\right) \left(k + k'\right)}(\alpha,\beta,\gamma)
   D^J_{\left(m + m'\right) \left(k + k'\right)}(\alpha,\beta,\gamma)
</math>
</math>
प्रतीक <math>\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle</math> एक क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक है।
प्रतीक <math>\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle</math> एक क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक है।


== गोलाकार हार्मोनिक्स और लीजेंड्रे बहुपदों से संबंध ==
== गोलाकार हार्मोनिक्स और लीजेंड्रे बहुपदों से संबंध ==
के पूर्णांक मानों के लिए <math>l</math>, डी-मैट्रिक्स तत्व शून्य के बराबर दूसरी अनुक्रमणिका के साथ आनुपातिक हैं
पूर्णांक मान के लिए <math>l</math>, डी-मैट्रिक्स तत्व शून्य के बराबर दूसरी अनुक्रमणिका के साथ आनुपातिक हैं [[गोलाकार हार्मोनिक्स]] और [[संबंधित लीजेंड्रे बहुपद]], एकता के लिए सामान्यीकृत और कॉन्डन और शॉर्टली चरण कन्वेंशन के साथ:
[[गोलाकार हार्मोनिक्स]] और [[संबंधित लीजेंड्रे बहुपद]], एकता के लिए सामान्यीकृत और कॉन्डन और शॉर्टली चरण सम्मेलन के साथ:
:<math>
:<math>
D^{\ell}_{m 0}(\alpha,\beta,\gamma) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell}^{m*} (\beta, \alpha ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\beta} ) \, e^{-i m \alpha }.
D^{\ell}_{m 0}(\alpha,\beta,\gamma) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell}^{m*} (\beta, \alpha ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\beta} ) \, e^{-i m \alpha }.
Line 153: Line 152:
  \sum^\ell_{m'=-\ell} Y_{\ell}^ {m'} (\theta, \phi )  ~ D^{\ell}_{m' ~m }(\alpha,\beta,\gamma).
  \sum^\ell_{m'=-\ell} Y_{\ell}^ {m'} (\theta, \phi )  ~ D^{\ell}_{m' ~m }(\alpha,\beta,\gamma).
</math>
</math>
जब दोनों सूचकांकों को शून्य पर सेट किया जाता है, तो विग्नेर डी-मैट्रिक्स तत्व साधारण [[लीजेंड्रे बहुपद]]ों द्वारा दिए जाते हैं:
जब दोनों सूचकांकों को शून्य पर सेट किया जाता है, तो विग्नेर डी-मैट्रिक्स तत्व साधारण [[लीजेंड्रे बहुपद|लीजेंड्रे बहुपदों]] द्वारा दिए जाते हैं:
:<math>
:<math>
   D^{\ell}_{0,0}(\alpha,\beta,\gamma) = d^{\ell}_{0,0}(\beta) = P_{\ell}(\cos\beta).
   D^{\ell}_{0,0}(\alpha,\beta,\gamma) = d^{\ell}_{0,0}(\beta) = P_{\ell}(\cos\beta).
</math>
</math>
यूलर कोणों की वर्तमान परिपाटी में, <math>\alpha</math> है
यूलर कोणों की वर्तमान परिपाटी में, <math>\alpha</math> है। एक अनुदैर्ध्य कोण और  <math>\beta</math> एक कोटिट्यूडिनल कोण है (गोलाकार ध्रुवीय कोण
एक अनुदैर्ध्य कोण और  <math>\beta</math> एक कोटिट्यूडिनल कोण है (गोलाकार ध्रुवीय कोण
ऐसे कोणों की भौतिक परिभाषा में)। यह एक कारण है कि ''z''-''y''-''z'' यूलर कोण परिपाटी का प्रयोग आणविक भौतिकी में प्रायः किया जाता है। विग्नर डी-मैट्रिक्स की समय-उलट संपत्ति से तुरंत अनुसरण करता है
ऐसे कोणों की भौतिक परिभाषा में)। यह एक कारण है कि z-y-z
यूलर कोण#परंपरा का प्रयोग आणविक भौतिकी में अक्सर किया जाता है।
विग्नर डी-मैट्रिक्स की समय-उलट संपत्ति से तुरंत अनुसरण करता है
:<math>
:<math>
\left( Y_{\ell}^m \right) ^* = (-1)^m Y_{\ell}^{-m}.
\left( Y_{\ell}^m \right) ^* = (-1)^m Y_{\ell}^{-m}.
Line 171: Line 167:




== रोटेशन के तहत संक्रमण की संभावना के साथ संबंध ==
== रोटेशन के तहत परिवर्तन की संभावना के साथ संबंध ==
डी-मैट्रिक्स के एक तत्व का पूर्ण वर्ग,
डी-मैट्रिक्स के एक तत्व का पूर्ण वर्ग,


Line 177: Line 173:
   F_{mm'}(\beta) = | D^j_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) |^2,
   F_{mm'}(\beta) = | D^j_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) |^2,
</math>
</math>
संभावना देता है कि स्पिन के साथ एक प्रणाली <math>j</math> स्पिन प्रक्षेपण के साथ एक राज्य में तैयार किया गया <math>m</math> साथ में
संभावना देता है कि स्पिन के साथ एक प्रणाली <math>j</math> स्पिन प्रक्षेपण के साथ वर्ग में तैयार किया गया <math>m</math> साथ में स्पिन प्रोजेक्शन के लिए कुछ दिशा <math>m'</math> दूसरी दिशा में एक कोण पर <math>\beta</math> पहली दिशा में मापी जाएगी। मात्राओं का समुच्चय <math>F_{mm'}</math> स्वयं एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स बनाता है, <math>\beta</math> केवल यूलर कोण पर निर्भर करता है। जैसा कि संकेत दिया गया है।
स्पिन प्रोजेक्शन के लिए कुछ दिशा मापी जाएगी <math>m'</math> दूसरी दिशा में एक कोण पर <math>\beta</math>
पहली दिशा में। मात्राओं का समुच्चय <math>F_{mm'}</math> स्वयं एक वास्तविक सममित मैट्रिक्स बनाता है, वह
केवल यूलर कोण पर निर्भर करता है <math>\beta</math>, यथासूचित।


उल्लेखनीय रूप से, के लिए eigenvalue समस्या <math>F</math> मैट्रिक्स को पूरी तरह से हल किया जा सकता है:<ref>{{cite journal
उल्लेखनीय रूप से, के लिए इगेनवलुए समस्या <math>F</math> मैट्रिक्स को पूरी तरह से हल किया जा सकता है:<ref>{{cite journal
| first = A. |last=Meckler
| first = A. |last=Meckler
| title = Majorana formula
| title = Majorana formula
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यहाँ, ईजेनवेक्टर, <math>f^j_{\ell}(m)</math>, एक स्केल्ड और शिफ्ट किया गया [[असतत चेबिशेव बहुपद]] है, और संबंधित आइगेनवेल्यू है, <math>P_{\ell}(\cos\beta)</math>, लीजेंड्रे बहुपद है।
यहाँ, ईजेनवेक्टर, <math>f^j_{\ell}(m)</math>, एक स्केल्ड और शिफ्ट किया गया [[असतत चेबिशेव बहुपद]] है, और संबंधित आइगेनवेल्यू है, <math>P_{\ell}(\cos\beta)</math>, लीजेंड्रे बहुपद है।


== बेसेल कार्यों से संबंध ==
== बेसेल फलन से संबंध ==
सीमा में जब <math>\ell \gg m, m^\prime</math> अपने पास
सीमा में जब <math>\ell \gg m, m^\prime</math> अपने पास


:<math>D^\ell_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) \approx e^{-im\alpha-im'\gamma}J_{m-m'}(\ell\beta)</math>
:<math>D^\ell_{mm'}(\alpha,\beta,\gamma) \approx e^{-im\alpha-im'\gamma}J_{m-m'}(\ell\beta)</math>
कहाँ <math>J_{m-m'}(\ell\beta)</math> [[बेसेल समारोह]] है और <math>\ell\beta</math> परिमित है।
जहाँ <math>J_{m-m'}(\ell\beta)</math> [[बेसेल समारोह|बेसेल फलन]] है और <math>\ell\beta</math> परिमित है।


== डी-मैट्रिक्स तत्वों की सूची ==
== डी-मैट्रिक्स तत्वों की सूची ==
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जे के लिए = 1/2, 1, 3/2, और 2 नीचे दिए गए हैं।
जे के लिए = 1/2, 1, 3/2, और 2 नीचे दिए गए हैं।


जे = 1/2 के लिए
''j'' = 1/2 के लिए


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 220: Line 213:
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= -\sin \frac{\theta}{2}
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} &= -\sin \frac{\theta}{2}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जे = 1 के लिए
''j'' = 1 के लिए


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 228: Line 221:
d_{0,0}^{1}  &= \cos \theta
d_{0,0}^{1}  &= \cos \theta
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जे = 3/2 के लिए
''j'' = 3/2 के लिए


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 238: Line 231:
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (3\cos \theta + 1) \sin \frac{\theta}{2}
d_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} &= -\frac{1}{2} (3\cos \theta + 1) \sin \frac{\theta}{2}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जे = 2 के लिए<ref>{{cite journal | doi = 10.1002/cmr.a.10061 | author = Edén, M.
''j'' = 2 के लिए<ref>{{cite journal | doi = 10.1002/cmr.a.10061 | author = Edén, M.
| title = सॉलिड-स्टेट एनएमआर में कंप्यूटर सिमुलेशन। I. स्पिन गतिकी सिद्धांत| journal = Concepts in Magnetic Resonance Part A| volume=17A| issue=1| pages=117–154| year=2003}}</ref>
| title = सॉलिड-स्टेट एनएमआर में कंप्यूटर सिमुलेशन। I. स्पिन गतिकी सिद्धांत| journal = Concepts in Magnetic Resonance Part A| volume=17A| issue=1| pages=117–154| year=2003}}</ref>
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 251: Line 244:
d_{0,0}^{2}  &= \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right)
d_{0,0}^{2}  &= \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
Wigner डी-मैट्रिक्स तत्व स्वैप किए गए निचले सूचकांकों के साथ संबंध के साथ पाए जाते हैं:
विग्नर डी-मैट्रिक्स तत्व स्वैप किए गए निचले सूचकांकों के साथ संबंध के साथ पाए जाते हैं:


:<math>d_{m', m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m, m'}^j = d_{-m,-m'}^j.</math>
:<math>d_{m', m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m, m'}^j = d_{-m,-m'}^j.</math>




== समरूपता और विशेष मामले ==
== समरूपता और विशेष स्थितियाँ ==


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}

Revision as of 14:17, 26 May 2023

विग्नर डी-मैट्रिक्स एसयू (2) और एसओ (3) समूहों के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व में एकात्मक मैट्रिक्स है। यह 1927 में यूजीन विग्नर द्वारा पेश किया गया था, और कोणीय गति के क्वांटम यांत्रिक सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाता है। डी-मैट्रिक्स का जटिल संयुग्म गोलाकार और सममित कठोर रोटार के हैमिल्टनियन का ईजेनफंक्शन है। अक्षर D डारस्टेलुंग के लिए है, जिसका अर्थ जर्मन में प्रतिनिधित्व है।

विग्नर डी-मैट्रिक्स की परिभाषा

मान ले कि Jx, Jy, Jz SU(2) और SO(3) के लाई बीजगणित के जनक बनें। क्वांटम यांत्रिकी में, ये तीन ऑपरेटर एक वेक्टर ऑपरेटर के घटक होते हैं जिन्हें कोणीय गति के रूप में जाना जाता है। उदाहरण एक परमाणु, इलेक्ट्रॉनिक स्पिन, और स्पिन (भौतिकी) की कोणीय गति में एक इलेक्ट्रॉन की कोणीय गति है।

सभी स्थितियो में, तीन ऑपरेटर निम्नलिखित रूपान्तरण संबंधो को पूरा करते हैं,