विशेषण संख्या

विशेषण संख्या एक ऐसी अंक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों को अंकों की परिमित स्ट्रिंग (गणित) का उपयोग करके पूर्णतः दर्शाया जा सकता है। यह नाम उस आपेक्षता (अर्थात समानता) को संदर्भित करता है जो इस स्थिति में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय और प्रतीकों के परिमित समुच्चय ("अंक") का उपयोग करके परिमित स्ट्रिंग के समुच्चय के बीच सम्मिलित है।

अधिकांश सामान्य अंक प्रणाली जैसे कि सामान्य दशमलव प्रणाली, द्विभाजित नहीं होती हैं क्योंकि अंकों की एक से अधिक स्ट्रिंग एक ही धनात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। विशेष रूप से प्रथम शून्य जोड़ने से प्रतिनिधित्व मान नहीं परिवर्तित होता है। इसलिए "1", "01" और "001" सभी संख्याओ का प्रतिनिधित्व करते हैं। यद्यपि केवल पहला सामान्य है तथ्य यह है कि अन्य संभव हैं इसका तात्पर्य है कि दशमलव प्रणाली द्विभाजित नहीं है। हालाँकि केवल एक अंक वाली यूनरी अंक प्रणाली द्विभाजित है।

द्विभाजित मूलांक k संख्या एक द्विभाजित स्थितिगत संकेतन है। यह प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को एन्कोड करने के लिए समुच्चय {1, 2, ..., k} जहाँ k ≥ 1 से अंकों की एक स्ट्रिंग का उपयोग करता है। स्ट्रिंग में एक अंक की स्थिति इसके मान को k की घात के गुणक के रूप में परिभाषित करती है। इस संकेतन को k-एडिक कहते हैं, लेकिन इसे P एडिक संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है। द्विभाजित अंक गैर-शून्य अंकों के परिमित स्ट्रिंग द्वारा साधारण पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्रणाली है जबकि P एडिक संख्याओं की एक प्रणाली हैं। जिनमें गणितीय मान पूर्णांक के एक उपसमुच्चय के रूप में होते हैं और किसी भी संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में अंकों के अनंत अनुक्रम की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा

आधार K द्विभाजित संख्या प्रणाली अंक समुच्चय {1, 2, ..., k} (k ≥ 1) के प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करते है। जो इस प्रकार है:

• पूर्णांक शून्य को रिक्त स्ट्रिंग a_na_n−1 ... a₁a₀ द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्णांक गैर-रिक्त अंक-स्ट्रिंग a_n kⁿ + a_n−1 kⁿ⁻¹ + ... + a₁ k¹ + a₀ k⁰ द्वारा दर्शाया जाता है।
• पूर्णांक m> 0 का प्रतिनिधित्व करने वाला अंक-स्ट्रिंग a_na_n−1 ... a₁a₀ है।

जहाँ,

${\begin{aligned}a_{0}&=m-q_{0}k,&q_{0}&=f\left({\frac {m}{k}}\right)&\\a_{1}&=q_{0}-q_{1}k,&q_{1}&=f\left({\frac {q_{0}}{k}}\right)&\\a_{2}&=q_{1}-q_{2}k,&q_{2}&=f\left({\frac {q_{1}}{k}}\right)&\\&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\a_{n}&=q_{n-1}-0k,&q_{n}&=f\left({\frac {q_{n-1}}{k}}\right)=0\end{aligned}}$

और

$f(x)=\lceil x\rceil -1,$

$\lceil x\rceil$ मे कम से कम पूर्णांक x (अन्तिम सीमा फलन) से कम नहीं है।

इसके विपरीत मानक स्थितीय संकेतन को एक समान पुनरावर्ती कलनविधि के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

जहां,

$f(x)=\lfloor x\rfloor ,$

पूर्णांकों तक विस्तार

आधार $k>1$ के लिए द्विभाजित आधार $k$ संख्या प्रणाली को ऋणात्मक पूर्णांक तक बढ़ाया जा सकता है। उसी प्रकार मानक आधार के रूप में $b$ अंकों की अनंत संख्या का उपयोग करके अंक प्रणाली $d_{k-1}$, जहाँ $f(d_{k-1})=k-1$, अंकों के बाएं अनंत अनुक्रम $\ldots d_{k-1}d_{k-1}d_{k-1}={\overline {d_{k-1}}}$ के रूप में दर्शाया गया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यूलर योग निम्न है:

$$