एक्सट ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 00:26, 18 May 2023

गणित में, एक्सट प्रकार्यक होम प्रकार्यक के व्युत्पन्न प्रकार्यक हैं। टॉर प्रकार्यक के साथ, एक्सट समरूप बीजगणि तीय की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें बीजगणितीय सांस्थितिकी के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के अचरों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। समूहों की सह-समरूपता, लाई बीजगणितीय और साहचर्य बीजगणितीय सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला एक्सट समूह Ext¹ एक मापांक के विस्तारण को दूसरे के द्वारा वर्गीकृत करता है।

एबेलियन समूहों की विशेष स्थिति में, रेनहोल्ड बेयर (1934) द्वारा एक्सट प्रस्तुत किया गया था। इसका नाम सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैकलेन (1942) द्वारा रखा गया था और सांस्थितिकी (सह-समरूपता के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय) पर अनुप्रयुक्त किया गया था। किसी भी वलय पर मापांक के लिए, एक्सट को हेनरी कार्टन और ईलेनबर्ग ने अपनी 1956 की पुस्तक तुल्य बीजगणितीय में परिभाषित किया गया था।^[1]

परिभाषा

मान लीजिए कि R एक वलय और R-अत्याधुनिक को R पर मापांक की श्रेणी है। कोई इसका अर्थ बाएं R-मापांक या दाएं R-मापांक के रूप में ले सकता है। एक नियत R-मापांक A के लिए, मान लीजिए कि R-मापांक में B के लिए T(B) = Hom_R(A, B) है। (यहाँ Hom_R(A, B) A से B तक R-रैखिक प्रतिचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक R-मापांक है यदि R क्रमविनिमेय है)। यह R-अत्याधुनिक से एबेलियन समूहों की श्रेणी के लिए एक बाएं सटीक प्रकार्यक है। Ab और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक RⁱT हैं। एक्सट समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं।

\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B)

एक पूर्णांक i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई अंतःक्षेपक वियोजन हैं।

0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,

B पद को पदच्युत कर दें और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .

प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, Extⁱ
_R(A, B) स्थिति i पर इस समष्टि की सह-समरूपता है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, Ext⁰
_R(A, B) प्रतिचित्र Hom_R(A, I⁰) → Hom_R(A, I¹) का केंद्र है, जो Hom_R(A, B) के लिए तुल्याकारी है।

एक वैकल्पिक परिभाषा एक नियत R-मापांक B के लिए प्रकार्यक G(A)=Hom(A, B) का उपयोग करती है। यह एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक है, जिसे विपरीत श्रेणी (R-अत्याधुनिक)^op से Ab के लिए बाएं सटीक प्रकार्यक के रूप में देखा जा सकता है। एक्सट समूहों को दाहिने व्युत्पन्न प्रकार्यक RⁱG के रूप में परिभाषित किया गया है:

\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).

अर्थात, कोई भी प्रक्षेपी वियोजन चयन करें,

\cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0

शब्द A को हटा दें, और सह श्रृंखला समष्टि बनाएं:

0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .

तब, Extⁱ
_R(A, B) स्थिति i पर इस परिसर की सह-समरूपता है।

कार्टन और ईलेनबर्ग ने दर्शाया कि ये निर्माण प्रक्षेपी या अंतःक्षेपी वियोजन के चयन से स्वतंत्र हैं और यह कि दोनों निर्माण एक ही एक्सट समूह उत्पन्न करते हैं।^[2] इसके अतिरिक्त, एक निश्चित वलय R के लिए, एक्सट प्रत्येक चर में एक प्रकार्यक (A में प्रतिपरिवर्ती, B में सहसंयोजक) है।

एक क्रमविनिमेय वलय R और R-मापांक A और B के लिए, Extⁱ
_R(A, B) एक R-मापांक है (Hom_R(A, B) इस स्थिति में एक R-मापांक है)। एक गैर-क्रमविनिमेय वलय R के लिए, Extⁱ
_R(A, B) सामान्यतः केवल एक एबेलियन समूह है। यदि R एक वलय S पर एक बीजगणितीय है (जिसका विशेष रूप से अर्थ है कि S क्रमविनिमेय है), तो Extⁱ
_R(A, B) कम-से-कम एक S-मापांक है।

एक्सट के गुणधर्म

यहाँ एक्सट समूहों के कुछ मूलभूत गुणधर्म और संगणनाएँ दी गई हैं।^[3]

Ext⁰
_R(A, B) ≅ Hom_R(A, B) किसी भी R-मापांक A और B के लिए है।

Extⁱ
_R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए, यदि R-मापांक A प्रक्षेपी मापांक है (उदाहरण के लिए, मुफ्त मापांक ) या यदि B अंतःक्षेपक मापांक है।

बातचीत भी रखती है:
- यदि Ext¹
  _R(A, B) = 0 सभी B के लिए, तो A प्रक्षेपी (और इसलिए Extⁱ
  _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए) है।
- यदि Ext¹
  _R(A, B) = 0 सभी A के लिए, फिर B अंतःक्षेपी (और इसलिए एक्सटⁱ
  _R(A, B) = 0 सभी i> 0 के लिए) है।

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0$ सभी i ≥ 2 और सभी एबेलियन समूहों A और B के लिए है।^[4]
यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और u में R एक शून्य भाजक नहीं है, तब

\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

किसी भी R-मापांक B के लिए है। यहां B [u] B के u-विमोटन उपसमूह {x ∈ B: ux = 0} क

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Construction in homological algebra}}
-गणित में, एक्सट प्रकार्यक [[मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं]] के व्युत्पन्न प्रकार्यक हैं। [[Tor functor|Tor प्रकार्यक]] के साथ, एक्सट [[समरूप बीजगणित]] की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थितिकी]] के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के आक्रमणकारियों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। [[समूह कोहोलॉजी|समूह सह-समरूपता]], लाई बीजगणित सह-समरूपता और [[होशचाइल्ड कोहोलॉजी|होशचाइल्ड सह-समरूपता]] सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला एक्सट समूह एक्सट<sup>1</sup> एक [[मॉड्यूल (गणित)|मापांक (गणित)]] के [[समूह विस्तार]] को दूसरे द्वारा वर्गीकृत करता है।
+गणित में, एक्सट प्रकार्यक [[मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं|होम प्रकार्यक]] के व्युत्पन्न प्रकार्यक हैं। [[Tor functor|टॉर प्रकार्यक]] के साथ, एक्सट [[समरूप बीजगणित|समरूप बीजगणि]][[बीजगणितीय टोपोलॉजी|तीय]] की मूल अवधारणाओं में से एक है, जिसमें [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सांस्थितिकी]] के विचारों का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं के अचरों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। समूहों की [[समूह कोहोलॉजी|सह-समरूपता]], लाई बीजगणितीय और [[होशचाइल्ड कोहोलॉजी|साहचर्य बीजगणितीय]] सभी को एक्सट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह नाम इस तथ्य से आता है कि पहला एक्सट समूह Ext<sup>1</sup> एक [[मॉड्यूल (गणित)|मापांक]] के [[समूह विस्तार|विस्तारण]] को दूसरे के द्वारा वर्गीकृत करता है।
-[[एबेलियन समूह]]ों के विशेष स्थिति में, [[रेनहोल्ड बेयर]] (1934) द्वारा एक्सट प्रस्तुत किया गया था। इसका नाम [[सैमुअल एलेनबर्ग]] और [[सॉन्डर्स मैकलेन]] (1942) द्वारा रखा गया था, और सांस्थितिकी ([[कोहोलॉजी के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय|सह-समरूपता के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय]]) पर अनुप्रयुक्त किया गया था। किसी भी वलय (गणित) पर मापांक के लिए, एक्सट को [[ हेनरी कर्तन ]]और ईलेनबर्ग द्वारा उनकी 1956 की पुस्तक तुल्य बीजगणित में परिभाषित किया गया था।<ref>Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.</ref>
+[[एबेलियन समूह|एबेलियन समूहों]] की विशेष स्थिति में, [[रेनहोल्ड बेयर]] (1934) द्वारा एक्सट प्रस्तुत किया गया था। इसका नाम [[सैमुअल एलेनबर्ग]] और [[सॉन्डर्स मैकलेन]] (1942) द्वारा रखा गया था और सांस्थितिकी ([[कोहोलॉजी के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय|सह-समरूपता के लिए सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय]]) पर अनुप्रयुक्त किया गया था। किसी भी वलय पर मापांक के लिए, एक्सट को[[ हेनरी कर्तन | हेनरी कार्टन]] और ईलेनबर्ग ने अपनी 1956 की पुस्तक तुल्य बीजगणितीय में परिभाषित किया गया था।<ref>Weibel (1999); Cartan & Eilenberg (1956), section VI.1.</ref>
 == परिभाषा ==
-R को एक वलय होने दें और R-अत्याधुनिक को R पर मापांक की [[श्रेणी (गणित)]] होने दें। ''T''(''B'') = Hom<sub>''R''</sub>(''A'', ''B'') R-अत्याधुनिक में B के लिए। (यहाँ होम<sub>''R''</sub>(ए, B) ए से B तक R-रैखिक मानचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक R-मापांक है यदि R [[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय वलय]] है)। यह R-अत्याधुनिक से एबेलियन समूह एB की श्रेणी के लिए बाएं सटीक प्रकार्यक है, और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक R हैं<sup>मैंटी. एक्सट समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं
+मान लीजिए कि R एक वलय और R-अत्याधुनिक को R पर मापांक की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] है। कोई इसका अर्थ बाएं R-मापांक या दाएं R-मापांक के रूप में ले सकता है। एक नियत R-मापांक ''A'' के लिए, मान लीजिए कि R-मापांक में ''B'' के लिए ''T''(''B'') = Hom<sub>''R''</sub>(''A'', ''B'') है। (यहाँ Hom<sub>''R''</sub>(''A'', ''B'') ''A'' से B तक R-रैखिक प्रतिचित्रों का एबेलियन समूह है; यह एक R-मापांक है यदि R [[ क्रमविनिमेय अंगूठी |क्रमविनिमेय]] है)। यह R-अत्याधुनिक से एबेलियन समूहों की श्रेणी के लिए एक बाएं सटीक प्रकार्यक है। Ab और इसलिए इसमें दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक ''R<sup>i</sup>T'' हैं। एक्सट समूह द्वारा परिभाषित एबेलियन समूह हैं।
-:<math>\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iT)(B),</math>
+:<math>\operatorname{Ext}_R^i(A,B)=(R^iT)(B)</math>
-एक [[पूर्णांक]] i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई भी [[इंजेक्शन संकल्प|अंतःक्षेपक संकल्प]] लें
+एक [[पूर्णांक]] i के लिए परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है: कोई [[इंजेक्शन संकल्प|अंतःक्षेपक वियोजन]] हैं।
 :<math>0 \to B \to I^0 \to I^1 \to \cdots,</math>
-B शब्द को पदच्युत कर दें और [[कोचेन कॉम्प्लेक्स|सह श्रृंखला समष्टि]] बनाएं:
+B पद को पदच्युत कर दें और [[कोचेन कॉम्प्लेक्स|सह श्रृंखला समष्टि]] बनाएं:
 :<math>0 \to \operatorname{Hom}_R(A,I^0) \to \operatorname{Hom}_R(A,I^1) \to \cdots.</math>
-प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, Ext{{supsub|''i''|''R''}}(ए, B) स्थिति i पर इस समष्टि का [[चेन कॉम्प्लेक्स|श्रृंखला समष्टि]] है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, Ext{{supsub|0|''R''}}(ए, B) होम मैप का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है<sub>''R''</sub>(ए, आई<sup>0</sup>) → होम<sub>''R''</sub>(ए, आई<sup>1</sup>), जो कि होम के लिए तुल्याकारी है<sub>''R''</sub>(ए, B)।
+प्रत्येक पूर्णांक i के लिए, Ext{{supsub|''i''|''R''}}(''A'', ''B'') स्थिति i पर इस समष्टि की [[चेन कॉम्प्लेक्स|सह-समरूपता]] है। यह i ऋणात्मक के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए, Ext{{supsub|0|''R''}}(''A'', ''B'') प्रतिचित्र Hom<sub>''R''</sub>(''A'', ''I''<sup>0</sup>) → Hom<sub>''R''</sub>(''A'', ''I''<sup>1</sup>) का केंद्र है, जो  Hom<sub>''R''</sub>(''A'', ''B)'' के लिए तुल्याकारी है।
 एक वैकल्पिक परिभाषा एक नियत R-मापांक B के लिए प्रकार्यक G(A)=Hom(''A'', ''B'') का उपयोग करती है। यह एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक है, जिसे [[विपरीत श्रेणी]] (R-अत्याधुनिक)<sup>op</sup> से Ab के लिए बाएं सटीक प्रकार्यक के रूप में देखा जा सकता है। एक्सट समूहों को दाहिने व्युत्पन्न प्रकार्यक ''R<sup>i</sup>G'' के रूप में परिभाषित किया गया है:

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