सममित फलन वलय: Difference between revisions
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:<math>X_1X_2\cdots X_n. \, </math> | :<math>X_1X_2\cdots X_n. \, </math> | ||
कुछ और जटिल उदाहरण है | कुछ और जटिल उदाहरण है''X''<sub>1</sub><sup>3</sup>''X''<sub>2</sub>''X''<sub>3</sub> + ''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub><sup>3</sup>''X''<sub>3</sub> + ''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub>''X''<sub>3</sub><sup>3</sup> + ''X''<sub>1</sub><sup>3</sup>''X''<sub>2</sub>''X''<sub>4</sub> + ''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub><sup>3</sup>''X''<sub>4</sub> + ''X''<sub>1</sub>''X''<sub>2</sub>''X''<sub>4</sub><sup>3</sup> + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे [[प्राथमिक सममित बहुपद]], [[शक्ति योग सममित बहुपद]], [[मोनोमियल सममित बहुपद|एकपद सममित बहुपद]], [[पूर्ण सजातीय सममित बहुपद]], और [[शूर बहुपद]]। | ||
जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को | |||
== सममित कार्यों की अंगूठी == | == सममित कार्यों की अंगूठी == | ||
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==== औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में ==== | ==== औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में ==== | ||
सबसे आसान (हालांकि कुछ हद तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # पावर श्रृंखला की अंगूठी से शुरू होता है <math>R[[X_1,X_2,...]]</math> आर पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस पावर सीरीज़ अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक [[ एकपद |एकपद]] द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक | सबसे आसान (हालांकि कुछ हद तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # पावर श्रृंखला की अंगूठी से शुरू होता है <math>R[[X_1,X_2,...]]</math> आर पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस पावर सीरीज़ अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक [[ एकपद |एकपद]] द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ को परिभाषित करता है<sub>''R''</sub> इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं | ||
#S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और | #S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और | ||
#S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है। | #S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है। | ||
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==== बीजगणितीय सीमा के रूप में ==== | ==== बीजगणितीय सीमा के रूप में ==== | ||
एल का और निर्माण<sub>''R''</sub> वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु अंगूठी R [X के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub>n अनिश्चित में सममित बहुपदों का </sup>। प्रत्येक n के लिए [[विशेषण]] वलय समरूपता ρ है<sub>''n''</sub> समरूप वलय R[X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>]<sup>S<sub>''n''+1</sub></sup> R[X पर और अनिश्चित के साथ<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub></sup>, अंतिम अनिश्चित X को सेट करके परिभाषित किया गया है<sub>''n''+1</sub> से 0. हालांकि ρ<sub>''n''</sub> गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री है <math>n+1</math> (वे X के गुणक हैं<sub>1</sub>X<sub>2</sub>...एक्स<sub>''n''+1</sub>). इसका मतलब है कि ρ का प्रतिबंध<sub>''n''</sub> अधिक से अधिक n डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण [[रैखिक नक्शा]] है, और ρ<sub>''n''</sub>(यह है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>)) = ई<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) सभी के लिए k≤ n. इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से अंगूठी समरूपता φ तक बढ़ाया जा सकता है<sub>''n''</sub> आर [एक्स से<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub></sup> से R[X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>]<sup>S<sub>''n''+1</sub></sup>, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φ<sub>''n''</sub>(यह है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>)) = ई<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>) k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φ पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं<sub>''n''</sub> [[इंजेक्शन]] है और इसे रिंगों के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ लागू करना<sub>''n''</sub> पहले से मौजूद | एल का और निर्माण<sub>''R''</sub> वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु अंगूठी R [X के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub>n अनिश्चित में सममित बहुपदों का </sup>। प्रत्येक n के लिए [[विशेषण]] वलय समरूपता ρ है<sub>''n''</sub> समरूप वलय R[X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>]<sup>S<sub>''n''+1</sub></sup> R[X पर और अनिश्चित के साथ<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub></sup>, अंतिम अनिश्चित X को सेट करके परिभाषित किया गया है<sub>''n''+1</sub> से 0. हालांकि ρ<sub>''n''</sub> गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री है <math>n+1</math> (वे X के गुणक हैं<sub>1</sub>X<sub>2</sub>...एक्स<sub>''n''+1</sub>). इसका मतलब है कि ρ का प्रतिबंध<sub>''n''</sub> अधिक से अधिक n डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण [[रैखिक नक्शा]] है, और ρ<sub>''n''</sub>(यह है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>)) = ई<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) सभी के लिए k≤ n. इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से अंगूठी समरूपता φ तक बढ़ाया जा सकता है<sub>''n''</sub> आर [एक्स से<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]<sup>S<sub>''n''</sub></sup> से R[X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>]<sup>S<sub>''n''+1</sub></sup>, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φ<sub>''n''</sub>(यह है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>)) = ई<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''+1</sub>) k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φ पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं<sub>''n''</sub> [[इंजेक्शन]] है और इसे रिंगों के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ लागू करना<sub>''n''</sub> पहले से मौजूद एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चित वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। अंगूठी एल<sub>''R''</sub> तब इन समावेशन के अधीन इन सभी छल्लों का संघ ([[प्रत्यक्ष सीमा]]) है। चूंकि सभी φ<sub>''n''</sub> सम्मलित रिंगों की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ<sub>''R''</sub> वर्गीकृत अंगूठी की संरचना प्राप्त करता है। | ||
यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ का उपयोग करता है<sub>''n''</sub> इंजेक्शन morphisms φ का उल्लेख किए बिना<sub>''n''</sub>: यह Λ के सजातीय घटकों का निर्माण करता है<sub>''R''</sub> अलग से, और ρ का उपयोग करके उनके [[प्रत्यक्ष योग]] को अंगूठी संरचना से लैस करता है<sub>''n''</sub>. यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत छल्लों की [[श्रेणी (गणित)]] में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हालांकि यह विवरण कुछ हद तक इंजेक्टिव मोर्फिज्म की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में ईमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां अंगूठी आर [एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''d''</sub>]<sup>S<sub>''d''</sub></सुप>। यह d के लिए सममित फ़ंक्शन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस अंगूठी के डिग्री d में भाग को आइसोमोर्फिक रूप से मैप किया जाता है, जो कि φ द्वारा अधिक अनिश्चित होता है।<sub>''n''</sub> सभी के लिए एन ≥ डी। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित कार्यों के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है। | यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ का उपयोग करता है<sub>''n''</sub> इंजेक्शन morphisms φ का उल्लेख किए बिना<sub>''n''</sub>: यह Λ के सजातीय घटकों का निर्माण करता है<sub>''R''</sub> अलग से, और ρ का उपयोग करके उनके [[प्रत्यक्ष योग]] को अंगूठी संरचना से लैस करता है<sub>''n''</sub>. यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत छल्लों की [[श्रेणी (गणित)]] में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हालांकि यह विवरण कुछ हद तक इंजेक्टिव मोर्फिज्म की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में ईमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां अंगूठी आर [एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''d''</sub>]<sup>S<sub>''d''</sub></सुप>। यह d के लिए सममित फ़ंक्शन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस अंगूठी के डिग्री d में भाग को आइसोमोर्फिक रूप से मैप किया जाता है, जो कि φ द्वारा अधिक अनिश्चित होता है।<sub>''n''</sub> सभी के लिए एन ≥ डी। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित कार्यों के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है। | ||
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सममित समारोह को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n अनिश्चित में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है | सममित समारोह को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n अनिश्चित में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है | ||
:<math>e_2=\sum_{i<j}X_iX_j\,</math> | :<math>e_2=\sum_{i<j}X_iX_j\,</math> | ||
प्राथमिक सममित समारोह की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है यदि अनिश्चित की संख्या अनंत है, या किसी भी परिमित संख्या में प्राथमिक सममित बहुपद की परिभाषा के रूप में। समान सममित फलन के लिए सममित बहुपदों को समरूपता ρ के साथ संगत होना चाहिए<sub>''n''</sub> (उनमें से कुछ को शून्य पर सेट करके अनिश्चितताओं की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है, ताकि शेष अनिश्चितताओं में किसी भी | प्राथमिक सममित समारोह की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है यदि अनिश्चित की संख्या अनंत है, या किसी भी परिमित संख्या में प्राथमिक सममित बहुपद की परिभाषा के रूप में। समान सममित फलन के लिए सममित बहुपदों को समरूपता ρ के साथ संगत होना चाहिए<sub>''n''</sub> (उनमें से कुछ को शून्य पर सेट करके अनिश्चितताओं की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है, ताकि शेष अनिश्चितताओं में किसी भी एकपद के गुणांक अपरिवर्तित रहें), और उनकी डिग्री बंधी रहनी चाहिए। (सममित बहुपदों के परिवार का उदाहरण जो दोनों स्थितियों में विफल रहता है <math>\textstyle\prod_{i=1}^nX_i</math>; परिवार <math>\textstyle\prod_{i=1}^n(X_i+1)</math> केवल दूसरी स्थिति में विफल रहता है।) n अनिश्चित में किसी भी सममित बहुपद का उपयोग सममित बहुपदों के संगत परिवार के निर्माण के लिए किया जा सकता है, समरूपता ρ का उपयोग करके<sub>''i''</sub> for i < n अनिश्चित की संख्या कम करने के लिए, और φ<sub>''i''</sub> i ≥ n के लिए अनिश्चितताओं की संख्या बढ़ाने के लिए (जो पहले से मौजूद मोनोमियल्स से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चितकों में सभी मोनोमियल्स को जोड़ने के बराबर है)। | ||
निम्नलिखित सममित कार्यों के मूलभूत उदाहरण हैं। | निम्नलिखित सममित कार्यों के मूलभूत उदाहरण हैं। | ||
* ' | * 'एकपद सिमेट्रिक फ़ंक्शंस' एम<sub>α</sub>. मान लीजिए = (ए<sub>1</sub>,ए<sub>2</sub>,...) गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का अनुक्रम है, जिनमें से केवल बहुत से गैर-शून्य हैं। तब हम α: X द्वारा परिभाषित एकपद पर विचार कर सकते हैं<sup>α</sup> = एक्स<sub>1</sub><sup>α<sub>1</sub></sup>एक्स<sub>2</sub><sup>α<sub>2</sub></sup>एक्स<sub>3</sub><sup>α<sub>3</sub></sup>.... फिर म<sub>α</sub> एक्स द्वारा निर्धारित सममित कार्य है<sup>α</sup>, अर्थात X से प्राप्त सभी एकपदीयों का योग<sup>α</sup> समरूपता द्वारा। औपचारिक परिभाषा के लिए, β ~ α को परिभाषित करें जिसका अर्थ है कि अनुक्रम β अनुक्रम α और सेट का क्रमपरिवर्तन है | ||
::<math>m_\alpha=\sum\nolimits_{\beta\sim\alpha}X^\beta.</math> | ::<math>m_\alpha=\sum\nolimits_{\beta\sim\alpha}X^\beta.</math> | ||
:यह सममित कार्य | :यह सममित कार्य एकपद सममित बहुपद एम से मेल खाता है<sub>α</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) किसी भी बड़े n के लिए एकपदी X रखने के लिए पर्याप्त है<sup>α</sup>. अलग-अलग एकपद सममित कार्यों को [[पूर्णांक विभाजन]] द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है (प्रत्येक मी<sub>α</sub> अद्वितीय प्रतिनिधि एकपदी X है<sup>λ</sup> भागों के साथ λ<sub>''i''</sub> कमजोर घटते क्रम में)। चूंकि किसी भी सममित समारोह में कुछ एम के एकपद सम्मलित हैं<sub>α</sub> ही गुणांक के साथ उन सभी को सम्मलित करना चाहिए, प्रत्येक सममित फ़ंक्शन को एकपद सममित कार्यों के आर-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, और विशिष्ट एकपद सममित फ़ंक्शन इसलिए Λ का आधार बनाते हैं<sub>''R''</sub> आर-[[मॉड्यूल (गणित)]] के रूप में। | ||
* 'प्राथमिक सममित कार्य' ई<sub>''k''</sub>, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; के पास ई है<sub>''k''</sub>= मी<sub>α</sub> कहाँ <math>\textstyle | * 'प्राथमिक सममित कार्य' ई<sub>''k''</sub>, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; के पास ई है<sub>''k''</sub>= मी<sub>α</sub> कहाँ <math>\textstyle | ||
X^\alpha=\prod_{i=1}^kX_i</math>. शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह k विशिष्ट अनिश्चित के सभी विशिष्ट उत्पादों का योग है। यह सममित कार्य प्राथमिक सममित बहुपद ई से मेल खाता है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) किसी भी n ≥ k के लिए। | X^\alpha=\prod_{i=1}^kX_i</math>. शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह k विशिष्ट अनिश्चित के सभी विशिष्ट उत्पादों का योग है। यह सममित कार्य प्राथमिक सममित बहुपद ई से मेल खाता है<sub>''k''</sub>(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) किसी भी n ≥ k के लिए। | ||
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=== Λ के संरचनात्मक गुण<sub>''R''</sub> === | === Λ के संरचनात्मक गुण<sub>''R''</sub> === | ||
एल के महत्वपूर्ण गुण<sub>''R''</sub> निम्नलिखित को | एल के महत्वपूर्ण गुण<sub>''R''</sub> निम्नलिखित को सम्मलित कीजिए। | ||
# विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड | # विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकपद सममित कार्यों का सेट Λ का आधार बनता है<sub>''R''</sub> ग्रेडेड आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, डी के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फ़ंक्शंस के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)। | ||
# एल<sub>''R''</sub> बहुपद वलय R [Y के लिए ग्रेडेड R-बीजगणित के रूप में [[समरूपी]] है<sub>1</sub>,और<sub>2</sub>, ...] अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Y<sub>''i''</sub> सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, समरूपता वह है जो Y भेजता है<sub>''i''</sub> तब<sub>''i''</sub>∈ एल<sub>''R''</sub> प्रत्येक i के लिए। | # एल<sub>''R''</sub> बहुपद वलय R [Y के लिए ग्रेडेड R-बीजगणित के रूप में [[समरूपी]] है<sub>1</sub>,और<sub>2</sub>, ...] अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Y<sub>''i''</sub> सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, समरूपता वह है जो Y भेजता है<sub>''i''</sub> तब<sub>''i''</sub>∈ एल<sub>''R''</sub> प्रत्येक i के लिए। | ||
# Λ का इनवॉल्यूशन (गणित) [[ automorphism |automorphism]] ω है<sub>''R''</sub> जो प्रारंभिक सममित कार्यों को बदल देता है ई<sub>''i''</sub> और पूर्ण सजातीय सममित फलन h<sub>''i''</sub> सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फ़ंक्शन पी भी भेजता है<sub>''i''</sub> से (−1)<sup>i−1</sup>प<sub>''i''</sub>, और यह एस को इंटरचेंज करते हुए दूसरे के बीच शूर कार्यों की अनुमति देता है<sub>λ</sub> और एस<sub>λ<sup>t</sup></sub> जहां एल<sup>t</sup> λ का स्थानान्तरण विभाजन है। | # Λ का इनवॉल्यूशन (गणित) [[ automorphism |automorphism]] ω है<sub>''R''</sub> जो प्रारंभिक सममित कार्यों को बदल देता है ई<sub>''i''</sub> और पूर्ण सजातीय सममित फलन h<sub>''i''</sub> सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फ़ंक्शन पी भी भेजता है<sub>''i''</sub> से (−1)<sup>i−1</sup>प<sub>''i''</sub>, और यह एस को इंटरचेंज करते हुए दूसरे के बीच शूर कार्यों की अनुमति देता है<sub>λ</sub> और एस<sub>λ<sup>t</sup></sub> जहां एल<sup>t</sup> λ का स्थानान्तरण विभाजन है। | ||
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=== निर्माण कार्य === | === निर्माण कार्य === | ||
एल की पहली परिभाषा<sub>''R''</sub> के सबअंगूठी के रूप में <math>R[[X_1, X_2, ...]]</math> सममित कार्यों के कई अनुक्रमों के उत्पन्न कार्यों को सुरुचिपूर्ण ढंग से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो Λ के लिए आंतरिक हैं<sub>''R''</sub>, इन भावों में RX में संक्रियाएँ | एल की पहली परिभाषा<sub>''R''</sub> के सबअंगूठी के रूप में <math>R[[X_1, X_2, ...]]</math> सममित कार्यों के कई अनुक्रमों के उत्पन्न कार्यों को सुरुचिपूर्ण ढंग से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो Λ के लिए आंतरिक हैं<sub>''R''</sub>, इन भावों में RX में संक्रियाएँ सम्मलित हैं<sub>1</sub>,एक्स<sub>2</sub>,...;t किन्तु इसके उपसमूह Λ के बाहर<sub>''R''</sub>t, इसलिए वे केवल तभी अर्थपूर्ण हैं जब सममित कार्यों को अनिश्चित एक्स में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जाता है<sub>''i''</sub>. हम इस व्याख्या पर जोर देने के लिए सममित कार्यों के बाद (एक्स) लिखेंगे। | ||
प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन है | प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन है | ||
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पावर योग सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है | पावर योग सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है | ||
:<math>P(t) = \sum_{k>0} p_k(X)t^k = \sum_{k>0}\sum_{i=1}^\infty (X_it)^k = \sum_{i=1}^\infty\frac{X_it}{1-X_it} = \frac{tE'(-t)}{E(-t)} = \frac{tH'(t)}{H(t)}</math> | :<math>P(t) = \sum_{k>0} p_k(X)t^k = \sum_{k>0}\sum_{i=1}^\infty (X_it)^k = \sum_{i=1}^\infty\frac{X_it}{1-X_it} = \frac{tE'(-t)}{E(-t)} = \frac{tH'(t)}{H(t)}</math> | ||
((मैकडॉनल्ड, 1979) पी(टी) को Σ के रूप में परिभाषित करता है<sub>''k''>0</sub>पी<sub>''k''</sub>(एक्स) टी<sup>k−1</sup>, और इसके व्यंजकों में यहाँ दिए गए कारकों के संबंध में कारक t का अभाव है)। दो अंतिम व्यंजक, जिनमें जनक फलन E(t) और H(t) के औपचारिक अवकलज | ((मैकडॉनल्ड, 1979) पी(टी) को Σ के रूप में परिभाषित करता है<sub>''k''>0</sub>पी<sub>''k''</sub>(एक्स) टी<sup>k−1</sup>, और इसके व्यंजकों में यहाँ दिए गए कारकों के संबंध में कारक t का अभाव है)। दो अंतिम व्यंजक, जिनमें जनक फलन E(t) और H(t) के औपचारिक अवकलज सम्मलित हैं, न्यूटन की सर्वसमिका और पूर्ण सजातीय सममित फलन के लिए उनके रूपों को दर्शाते हैं। इन अभिव्यक्तियों को कभी-कभी लिखा जाता है | ||
:<math>P(t) = -t\frac d{dt}\log(E(-t)) = t\frac d{dt}\log(H(t)),</math> | :<math>P(t) = -t\frac d{dt}\log(E(-t)) = t\frac d{dt}\log(H(t)),</math> | ||
जिसकी मात्रा समान है, किन्तु इसके लिए आवश्यक है कि R में परिमेय संख्याएँ हों, ताकि निरंतर पद 1 के साथ घात श्रृंखला का लघुगणक परिभाषित किया जा सके (द्वारा <math>\textstyle\log(1-tS) = -\sum_{i>0} \frac1i(tS)^i</math>). | जिसकी मात्रा समान है, किन्तु इसके लिए आवश्यक है कि R में परिमेय संख्याएँ हों, ताकि निरंतर पद 1 के साथ घात श्रृंखला का लघुगणक परिभाषित किया जा सके (द्वारा <math>\textstyle\log(1-tS) = -\sum_{i>0} \frac1i(tS)^i</math>). | ||
Revision as of 08:51, 16 May 2023
बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में सममित बहुपद की अंगूठी (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित ग्रेडेड बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।
सममित बहुपद
सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह Sn के अंगूठी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा समूह क्रिया होती है n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक अनिश्चित को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित X1, ..., Xn,हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं
और
कुछ और जटिल उदाहरण हैX13X2X3 + X1X23X3 + X1X2X33 + X13X2X4 + X1X23X4 + X1X2X43 + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।
सममित कार्यों की अंगूठी
सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, सिवाय इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए काफी बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक|तीसरी घात योग बहुपद p के लिए न्यूटन की तत्समक3ओर जाता है