गाऊसी चतुर्भुज

File:Comparison Gaussquad trapezoidal.svg

2-पॉइंट गॉसियन और ट्रेपोजॉइडल क्वाडरेचर के बीच तुलना।
नीला वक्र उस फलन को दर्शाता है जिसका अंतराल पर निश्चित समाकल है [−1, 1] की गणना (इंटीग्रैंड) की जानी है। ट्रैपोज़ाइडल नियम फ़ंक्शन को एक रैखिक फ़ंक्शन के साथ अनुमानित करता है जो अंतराल के अंत बिंदुओं पर इंटीग्रैंड के साथ मेल खाता है और नारंगी धराशायी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। सन्निकटन स्पष्ट रूप से अच्छा नहीं है, इसलिए त्रुटि बड़ी है (ट्रैपेज़ॉइडल नियम अभिन्न के बराबर सन्निकटन देता है y(–1) + y(1) = –10, जबकि सही मान है 2⁄3). अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए, अंतराल को कई उप-अंतरालों में विभाजित किया जाना चाहिए और फिर समग्र समलम्बाकार नियम का उपयोग किया जाना चाहिए, जिसके लिए बहुत अधिक गणनाओं की आवश्यकता होती है।
गॉसियन चतुर्भुज इसके बजाय अधिक उपयुक्त बिंदु चुनता है, इसलिए एक रैखिक फ़ंक्शन भी फ़ंक्शन को बेहतर (काली धराशायी रेखा) अनुमानित करता है। जैसा कि इंटीग्रैंड डिग्री 3 का बहुपद है (y(x) = 7x³ – 8x² – 3x + 3), 2-बिंदु गॉसियन चतुर्भुज नियम भी एक सटीक परिणाम देता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, एक चतुर्भुज नियम एक फ़ंक्शन (गणित) के अभिन्न अंग का एक अनुमान है, जिसे आमतौर पर एकीकरण के डोमेन के भीतर निर्दिष्ट बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के भारित योग के रूप में कहा जाता है। (चतुर्भुज (गणित) नियमों पर अधिक जानकारी के लिए संख्यात्मक एकीकरण देखें।) An n-बिंदु गॉसियन चतुर्भुज नियम, कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर, डिग्री के बहुपदों के लिए एक सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्मित एक चतुर्भुज नियम है 2n − 1 या उससे कम नोड्स के उपयुक्त विकल्प द्वारा x_i और वजन w_i के लिए i = 1, …, n. 1826 में कार्ल गुस्ताव जैकोबी द्वारा ऑर्थोगोनल बहुपदों का उपयोग करते हुए आधुनिक सूत्रीकरण विकसित किया गया था। इस तरह के नियम के लिए एकीकरण का सबसे आम डोमेन लिया जाता है [−1, 1], इसलिए नियम के रूप में कहा गया है

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),$

जो डिग्री के बहुपदों के लिए सटीक है 2n − 1 या कम। इस सटीक नियम को गॉस-लेजेंड्रे चतुर्भुज नियम के रूप में जाना जाता है। चतुष्कोण नियम उपरोक्त समाकलन के लिए केवल एक सटीक सन्निकटन होगा यदि f (x) डिग्री के बहुपद द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है 2n − 1 या उससे कम [−1, 1].

एड्रियन मैरी लीजेंड्रे क्वाडरेचर नियम आमतौर पर समापन बिंदु विलक्षणता (गणित) के साथ पूर्णांक कार्यों के लिए उपयोग नहीं किया जाता है। इसके बजाय, यदि इंटीग्रैंड को इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(x)=\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x),\quad \alpha ,\beta >-1,$

कहाँ g(x) कम-डिग्री बहुपद, फिर वैकल्पिक नोड्स द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है x_i' और वजन w_i' आमतौर पर अधिक सटीक चतुर्भुज नियम देगा। इन्हें गॉस-जैकोबी चतुष्कोण नियम के रूप में जाना जाता है, अर्थात,

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}\left(1-x\right)^{\alpha }\left(1+x\right)^{\beta }g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}'g\left(x_{i}'\right).$

सामान्य भार शामिल हैं ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ (चेबीशेव-गॉस चतुर्भुज | चेबिशेव-गॉस) और ${\sqrt {1-x^{2}}}$. कोई अर्ध-अनंत (गॉस-लगुएरे चतुष्कोण) और अनंत अंतराल (गॉस-हर्माइट चतुष्कोण) पर भी एकीकृत करना चाह सकता है।

यह दिखाया जा सकता है (देखें प्रेस, एट अल।, या स्टोअर और बुलिरश) कि चतुर्भुज नोड्स x_i ओर्थोगोनल बहुपदों के एक वर्ग से संबंधित बहुपद के फलन के मूल हैं (भारित आंतरिक-उत्पाद के संबंध में वर्ग ऑर्थोगोनल)। गॉस क्वाडरेचर नोड्स और वेट की गणना के लिए यह एक महत्वपूर्ण अवलोकन है।

गॉस-लीजेंड्रे चतुर्भुज

Further information: Gauss–Legendre quadrature

File:Legendrepolynomials6.svg

लीजेंड्रे बहुपदों के रेखांकन (तक n = 5)

ऊपर बताई गई सरलतम एकीकरण समस्या के लिए, अर्थात, f(x) पर बहुपदों द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है $[-1,1]$, संबंधित ऑर्थोगोनल बहुपद लीजेंड्रे बहुपद हैं, जिन्हें द्वारा दर्शाया गया है P_n(x). साथ n-वाँ बहुपद देने के लिए सामान्यीकृत P_n(1) = 1, द i-वां गॉस नोड, x_i, है i-की जड़ P_n और भार सूत्र द्वारा दिए गए हैं

$w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)\left[P'_{n}(x_{i})\right]^{2}}}.$

कुछ निम्न-क्रम द्विघात नियम नीचे सारणीबद्ध हैं (अंतराल पर [−1, 1], अन्य अंतरालों के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें)।

Number of points, n	Points, xi		Weights, wi
1	0		2
2	$\pm {\frac {1}{\sqrt {3}}}$	±0.57735...	1
3	0		${\frac {8}{9}}$	0.888889...
	$\pm {\sqrt {\frac {3}{5}}}$	±0.774597...	${\frac {5}{9}}$	0.555556...
4	$\pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	±0.339981...	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	0.652145...
	$\pm {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	±0.861136...	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$	0.347855...
5	0		${\frac {128}{225}}$	0.568889...