अवकल फलन: Difference between revisions
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[[ गणना |गणना]] में, अवकलन फलन (गणित) स्वतंत्र वेरिएबल्स में परिवर्तन के संबंध में फलन <math>y=f(x)</math> में परिवर्तन के मुख्य भाग का प्रतिनिधित्व करता है। अवकलन <math>dy</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | |||
[[ गणना |गणना]] में, अवकलन फलन (गणित) स्वतंत्र | |||
:<math>dy = f'(x)\,dx,</math> | :<math>dy = f'(x)\,dx,</math> | ||
जहाँ <math>f'(x)</math> <math>x</math> के संबंध में f का व्युत्पन्न है, और <math>dx</math> एक अतिरिक्त वास्तविक [[चर (गणित)]] (जिससे <math>dy</math> <math>x</math> और <math>dx</math> का एक फलन हो) है। अंकन ऐसा है कि समीकरण | जहाँ <math>f'(x)</math> <math>x</math> के संबंध में f का व्युत्पन्न है, और <math>dx</math> एक अतिरिक्त वास्तविक [[चर (गणित)|वेरिएबल्स (गणित)]] (जिससे <math>dy</math> <math>x</math> और <math>dx</math> का एक फलन हो) है। अंकन ऐसा है कि समीकरण | ||
:<math>dy = \frac{dy}{dx}\, dx</math> | :<math>dy = \frac{dy}{dx}\, dx</math> | ||
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:<math>df(x) = f'(x)\,dx.</math> | :<math>df(x) = f'(x)\,dx.</math> | ||
वेरिएबल्स का सटीक अर्थ <math>dy</math> और <math>dx</math> आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन वेरिएबल्स का डोमेन विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अवकलन को विशेष अवकलन रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अवकलन को किसी फलन की वृद्धि के लिए [[रैखिक सन्निकटन]] के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, वेरिएबल्स <math>dx</math> और <math>dy</math> बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है। | |||
== इतिहास और उपयोग == | == इतिहास और उपयोग == | ||
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उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}}; translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके अतिरिक्त, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अवकलन भागफलों की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया था, और अवकलन तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अवकलन <math>dy</math> को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था अभिव्यक्ति द्वारा | उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (1823) ने लीबनिज के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना अंतर को परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject. An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}}; translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके अतिरिक्त, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अवकलन भागफलों की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया था, और अवकलन तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अवकलन <math>dy</math> को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था अभिव्यक्ति द्वारा | ||
:<math>dy = f'(x)\,dx</math> | :<math>dy = f'(x)\,dx</math> | ||
जिसमें <math>dy</math> और <math>dx</math> परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए | जिसमें <math>dy</math> और <math>dx</math> परिमित वास्तविक मान लेने वाले बस नए वेरिएबल्स हैं,<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}</ref> नियत अतिसूक्ष्म नहीं जैसा कि लाइबनिज के लिए था।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: "The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals..."</ref> | ||
के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को प्रायुक्त करने के अतिरिक्त, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्राएँ सार्थक विधि के समान ही हेरफेर किया जा सकता है। अवकलनों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है,<ref>{{harvnb|Courant|1937a|loc=II, §9}}: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment <math>\Delta y</math> by the linear expression <math>hf(x)</math> to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."</ref> चूंकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] के कारण थी।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=284}}</ref> | के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को प्रायुक्त करने के अतिरिक्त, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्राएँ सार्थक विधि के समान ही हेरफेर किया जा सकता है। अवकलनों के प्रति कॉची का समग्र अवधारणात्मक दृष्टिकोण आधुनिक विश्लेषणात्मक उपचारों में मानक बना हुआ है,<ref>{{harvnb|Courant|1937a|loc=II, §9}}: "Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment <math>\Delta y</math> by the linear expression <math>hf(x)</math> to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular."</ref> चूंकि कठोरता पर अंतिम शब्द, सीमा की पूरी तरह से आधुनिक धारणा, अंततः [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] के कारण थी।<ref>{{harvnb|Boyer|1959|p=284}}</ref> | ||
भौतिक उपचारों में, जैसे कि [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांत पर प्रायुक्त होने वाले, अनंत दृश्य अभी भी प्रबल है। {{harvtxt|कुरेंट |जॉन|1999|p=184}} इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ इस प्रकार मिलाते हैं। अवकलन परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक शुद्धता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका लक्ष्य होता है। इस प्रकार भौतिक अतिसूक्ष्मों को त्रुटिहीन अर्थ रखने के लिए संबंधित गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है। | भौतिक उपचारों में, जैसे कि [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांत पर प्रायुक्त होने वाले, अनंत दृश्य अभी भी प्रबल है। {{harvtxt|कुरेंट |जॉन|1999|p=184}} इनफिनिटिमल डिफरेंशियल के भौतिक उपयोग को उनकी गणितीय असंभवता के साथ इस प्रकार मिलाते हैं। अवकलन परिमित गैर-शून्य मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो उस विशेष उद्देश्य के लिए आवश्यक शुद्धता की डिग्री से छोटे होते हैं जिसके लिए उनका लक्ष्य होता है। इस प्रकार भौतिक अतिसूक्ष्मों को त्रुटिहीन अर्थ रखने के लिए संबंधित गणितीय अतिसूक्ष्म से अपील करने की आवश्यकता नहीं है। | ||
[[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि फलन के अवकलन की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, किसी फलन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अवकलन से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि बिंदु पर फलन का अवकलन वेतन वृद्धि <math>\Delta x</math> का रैखिक | [[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि फलन के अवकलन की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, किसी फलन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अवकलन से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि बिंदु पर फलन का अवकलन वेतन वृद्धि <math>\Delta x</math> का रैखिक फलन है। यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अवकलन (रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, बिंदु पर फलन का अवकलन स्पर्शरेखा सदिश (अनंत रूप से छोटा विस्थापन) का रैखिक फलन है, जो इसे प्रकार के रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फलन का [[बाहरी व्युत्पन्न]]। गैर-मानक कैलकुलस में, अवकलनों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं कठोर (देखें अवकलन (इनफिनिटिमल)) आधार पर रखा जा सकता है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|upright=1.25|फलन का अवकलन <math>f(x)</math> बिंदु पर <math>x_0</math>.]]अवकलन कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में अवकलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।<ref>See, for instance, the influential treatises of {{harvnb|Courant|1937a}}, {{harvnb|Kline|1977}}, {{harvnb|Goursat|1904}}, and {{harvnb|Hardy|1908}}. Tertiary sources for this definition include also {{harvnb|Tolstov|2001}} and {{harvnb|Itô|1993|loc=§106}}.</ref> | [[File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|upright=1.25|फलन का अवकलन <math>f(x)</math> बिंदु पर <math>x_0</math>.]]अवकलन कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में अवकलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।<ref>See, for instance, the influential treatises of {{harvnb|Courant|1937a}}, {{harvnb|Kline|1977}}, {{harvnb|Goursat|1904}}, and {{harvnb|Hardy|1908}}. Tertiary sources for this definition include also {{harvnb|Tolstov|2001}} and {{harvnb|Itô|1993|loc=§106}}.</ref> एकल वास्तविक वेरिएबल्स <math>x</math> के फलन <math>f(x)</math> का अवकलन दो स्वतंत्र वास्तविक वेरिएबल्स <math>x</math> और <math>\Delta x</math> का फलन <math>df</math> है | ||
:<math>df(x, \Delta x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.</math> | :<math>df(x, \Delta x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.</math> | ||
या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, | या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, अर्थात् कोई <math>df(x)</math> या केवल <math>df</math> देख सकता है। यदि <math>y=f(x)</math>, अवकलन को <math>dy</math> के रूप में भी लिखा जा सकता है। तब से <math>dx(x,\Delta x)=\Delta x</math>, यह लिखने के लिए पारंपरिक है <math>dx=\Delta x</math> जिससे निम्नलिखित समानता हो: | ||
:<math>df(x) = f'(x) \, dx</math> | :<math>df(x) = f'(x) \, dx</math> | ||
अवकलन की यह धारणा सामान्यतः तब प्रायुक्त होती है जब किसी फलन के लिए रैखिक सन्निकटन मांगा जाता है, जिसमें वृद्धि का मान <math>\Delta x</math> काफी छोटा है। अधिक सटीक, | अवकलन की यह धारणा सामान्यतः तब प्रायुक्त होती है जब किसी फलन के लिए रैखिक सन्निकटन मांगा जाता है, जिसमें वृद्धि का मान <math>\Delta x</math> काफी छोटा है। अधिक सटीक, यदि <math>f</math> पर अवकलनीय फलन है <math>x</math>, फिर में अवकलन <math>y</math>-मान | ||
:<math>\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x)</math> | :<math>\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x)</math> | ||
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:<math>\Delta y \approx dy</math> | :<math>\Delta y \approx dy</math> | ||
जिसमें | जिसमें <math>\Delta x</math> को पर्याप्त रूप से छोटा करने के लिए बाध्य करके त्रुटि को <math>\Delta x</math> के सापेक्ष वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है; अर्थात्, | ||
:<math>\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0</math> | :<math>\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0</math> | ||
जैसा <math>\Delta x\rightarrow 0</math>. इस कारण से, किसी फलन के अवकलन को मुख्य भाग के रूप में जाना जाता है | [[प्रमुख भाग]]रैखिक) भाग फलन के | जैसा <math>\Delta x\rightarrow 0</math>. इस कारण से, किसी फलन के अवकलन को मुख्य भाग के रूप में जाना जाता है | [[प्रमुख भाग]] (रैखिक) भाग फलन के वृद्धि में होता है: अवकलन वृद्धि <math>\Delta x</math> का रैखिक फलन है, और यद्यपि त्रुटि <math>\varepsilon</math> अरेखीय हो सकता है, यह तेजी से शून्य हो जाता है क्योंकि <math>\Delta x</math> शून्य हो जाता है। | ||
== कई | == कई वेरिएबल्स में अवकलन == | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|+ | |+ | ||
! | !ऑपरेटर / फलन | ||
!<math>f(x)</math> | !<math>f(x)</math> | ||
!<math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math> | !<math>f(x, y, u(x, y), v(x, y))</math> | ||
|- | |- | ||
| | |अवकलन | ||
|1: <math>df \, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \, f'_x\,dx</math> | |1: <math>df \, \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \, f'_x\,dx</math> | ||
|2: <math>d_x f \, | |2: <math>d_x f \, | ||
| Line 66: | Line 65: | ||
f'_x dx + f'_y dy + f'_u du + f'_v dv</math>]] | f'_x dx + f'_y dy + f'_u du + f'_v dv</math>]] | ||
|- | |- | ||
|[[Partial derivative]] | |[[Partial derivative|आंशिक व्युत्पन्न]] | ||
|<math>f'_x \, \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \, \frac{df}{dx}</math> | |<math>f'_x \, \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \, \frac{df}{dx}</math> | ||
|<math>f'_x \, | |<math>f'_x \, | ||
| Line 73: | Line 72: | ||
\frac{\partial f}{\partial x}</math> | \frac{\partial f}{\partial x}</math> | ||
|- | |- | ||
|[[Total derivative]] | |[[Total derivative|कुल व्युत्पन्न]] | ||
|<math>\frac{df}{dx} \, | |<math>\frac{df}{dx} \, | ||
\overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \, | \overset{\underset{\mathrm{(1)}}{}}{=} \, | ||
| Line 82: | Line 81: | ||
(f'_y \frac{dy}{dx} = 0) </math> | (f'_y \frac{dy}{dx} = 0) </math> | ||
|} | |} | ||
अगले {{harvtxt|Goursat|1904|loc=I, §15}}, से अधिक स्वतंत्र | अगले {{harvtxt|Goursat|1904|loc=I, §15}}, से अधिक स्वतंत्र वेरिएबल्स के फलनों के लिए, | ||
: <math> y = f(x_1,\dots,x_n), </math> | : <math> y = f(x_1,\dots,x_n), </math> | ||
किसी | किसी एक वेरिएबल्स x<sub>1</sub> के संबंध में y का आंशिक अंतर y में परिवर्तन का मुख्य भाग है जो उस एक वेरिएबल्स में परिवर्तन dx<sub>1</sub> के परिणामस्वरूप होता है। आंशिक अंतर इसलिए है | ||
: <math> \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 </math> | : <math> \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 </math> | ||
x | x<sub>1</sub> के संबंध में y का आंशिक अवकलज सम्मिलित है. सभी स्वतंत्र वेरिएबल्स के संबंध में आंशिक अवकलनों का योग कुल अवकलन है | ||
: <math> dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, </math> | : <math> dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, </math> | ||
जो y में परिवर्तन का मुख्य भाग है जो स्वतंत्र | जो y में परिवर्तन का मुख्य भाग है जो स्वतंत्र वेरिएबल्स x<sub>''i''</sub> में परिवर्तनों के परिणामस्वरूप होता है. | ||
अधिक सटीक रूप से, बहुभिन्नरूपी कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित {{harvtxt| | अधिक सटीक रूप से, बहुभिन्नरूपी कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित {{harvtxt|कुरंट|1937b}}, यदि f अवकलनीय फलन है, तो फ्रेचेट व्युत्पन्न द्वारा, वृद्धि | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 99: | Line 98: | ||
&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n | &{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहां त्रुटि शब्द ε<sub> | जहां त्रुटि शब्द ε<sub>''i''</sub> वृद्धि Δx<sub>''i''</sub> के रूप में शून्य हो जाती है संयुक्त रूप से शून्य हो जाते हैं। कुल अवकलन को तब कड़ाई से परिभाषित किया जाता है | ||
:<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.</math> | :<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.</math> | ||
| Line 106: | Line 105: | ||
किसी के पास | किसी के पास | ||
:<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,d x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,d x_n.</math> | :<math>dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,d x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,d x_n.</math> | ||
जैसा कि | जैसा कि वेरिएबल्स के मामले में, अनुमानित तत्समक धारण करता है | ||
:<math>dy \approx \Delta y</math> | :<math>dy \approx \Delta y</math> | ||
जिसमें | जिसमें पर्याप्त रूप से छोटे वेतन वृद्धि पर ध्यान केंद्रित करके <math>\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}</math> के सापेक्ष कुल त्रुटि को वांछित के रूप में छोटा किया जा सकता है। | ||
=== त्रुटि अनुमान के लिए कुल अवकलन का अनुप्रयोग === | === त्रुटि अनुमान के लिए कुल अवकलन का अनुप्रयोग === | ||
मापन में, [[प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण]] में कुल | मापन में, [[प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण]] में कुल अंतर का उपयोग पैरामीटर <math>x, y, \ldots</math>, के <math>\Delta x,\Delta y,\ldots </math> की त्रुटियों के आधार पर फ़लन <math>f</math> की त्रुटि <math>\Delta f</math> का अनुमान लगाने में किया जाता है। यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए पर्याप्त छोटा है: | ||
:<math>\Delta f(x)=f'(x)\Delta x</math> | :<math>\Delta f(x)=f'(x)\Delta x</math> | ||
और यह कि सभी | और यह कि सभी वेरिएबल्स स्वतंत्र हैं, फिर सभी वेरिएबल्स के लिए, | ||
:<math>\Delta f = f_x \Delta x + f_y \Delta y + \cdots</math> | :<math>\Delta f = f_x \Delta x + f_y \Delta y + \cdots</math> | ||
ऐसा इसलिए है क्योंकि | ऐसा इसलिए है क्योंकि विशेष पैरामीटर <math>x</math> के संबंध में व्युत्पन्न <math>f_x</math> फ़ंक्शन <math>f</math> की संवेदनशीलता को <math>x</math> में परिवर्तन के लिए देता है, विशेष रूप से त्रुटि <math>\Delta x</math> है। जैसा कि उन्हें स्वतंत्र माना जाता है, विश्लेषण सबसे खराब स्थिति का वर्णन करता है। घटक त्रुटियों के निरपेक्ष मूल्यों का उपयोग किया जाता है, क्योंकि सरल संगणना के बाद, व्युत्पन्न में ऋणात्मक चिह्न हो सकता है। इस सिद्धांत से योग, गुणन आदि के त्रुटि नियम व्युत्पन्न होते हैं, जैसे: | ||
: | :मान लिजिये <math>f(a,b)=ab</math>; | ||
:<math>\Delta f=f_a\Delta a+f_b\Delta b</math>; डेरिवेटिव का मानांकन | :<math>\Delta f=f_a\Delta a+f_b\Delta b</math>; डेरिवेटिव का मानांकन | ||
| Line 130: | Line 129: | ||
कहने का तात्पर्य यह है कि गुणन में, कुल सापेक्ष त्रुटि प्राचलों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है। | कहने का तात्पर्य यह है कि गुणन में, कुल सापेक्ष त्रुटि प्राचलों की सापेक्ष त्रुटियों का योग होती है। | ||
यह समझने के लिए कि यह किस प्रकार | यह समझने के लिए कि यह किस प्रकार फलन पर निर्भर करता है, उस मामले पर विचार करें जहां फलन <math>f(a,b)=a\ln b</math> है। फिर, यह गणना की जा सकती है कि त्रुटि अनुमान है | ||
:Δf/f = Δa/a + Δb/(b ln b) | :Δf/f = Δa/a + Δb/(b ln b) | ||
अतिरिक्त ' | एक साधारण उत्पाद के मामले में एक अतिरिक्त '{{nowrap|ln ''b''}}' कारक नहीं मिला थ। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा करता है, क्योंकि {{nowrap|ln ''b''}} एक नंगे b जितना बड़ा नहीं है। | ||
== उच्च-क्रम अवकलन == | == उच्च-क्रम अवकलन == | ||
किसी एकल | किसी एकल वेरिएबल्स x के फलन y = f(x) के उच्च-क्रम के अवकलनों को इसके माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{harvnb|Cauchy|1823}}. See also, for instance, {{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}.</ref> | ||
:<math>d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f''(x)\,(dx)^2,</math> | :<math>d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f''(x)\,(dx)^2,</math> | ||
और, सामान्य तौर पर, | और, सामान्य तौर पर, | ||
| Line 141: | Line 140: | ||
अनौपचारिक रूप से, यह उच्च क्रम के डेरिवेटिव के लिए लिबनिज़ के अंकन को प्रेरित करता है | अनौपचारिक रूप से, यह उच्च क्रम के डेरिवेटिव के लिए लिबनिज़ के अंकन को प्रेरित करता है | ||
:<math>f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.</math> | :<math>f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.</math> | ||
जब स्वतंत्र | जब स्वतंत्र वेरिएबल्स x को स्वयं अन्य वेरिएबल्स पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है, तो अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है, क्योंकि इसमें x में ही उच्च क्रम के अवकलन भी सम्मिलित होने चाहिए। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, | ||
:<math> | :<math> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
| Line 149: | Line 148: | ||
इत्यादि। | इत्यादि। | ||
इसी तरह के विचार कई | इसी तरह के विचार कई वेरिएबल्स के फलनों के उच्च क्रम के अवकलन को परिभाषित करने के लिए प्रायुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि f दो वेरिएबल्स x और y का फलन है, तो | ||
:<math>d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},</math> | :<math>d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},</math> | ||
जहाँ <math display="inline">\binom{n}{k}</math> [[द्विपद गुणांक]] है। अधिक | जहाँ <math display="inline">\binom{n}{k}</math> [[द्विपद गुणांक]] है। अधिक वेरिएबल्स में, समान अभिव्यक्ति धारण करती है, लेकिन द्विपद विस्तार के अतिरिक्त उपयुक्त [[बहुपद गुणांक]] विस्तार के साथ।<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}</ref> | ||
कई | कई वेरिएबल्स में उच्च क्रम के अवकलन भी अधिक जटिल हो जाते हैं जब स्वतंत्र वेरिएबल्स को स्वयं अन्य वेरिएबल्स पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है। उदाहरण के लिए, x और y के फलन f के लिए, जिन्हें सहायक वेरिएबल्स पर निर्भर रहने की अनुमति है, के पास है | ||
:<math>d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y}d^2y.</math> | :<math>d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y}d^2y.</math> | ||
इस सांकेतिक अक्षमता के कारण, उच्च क्रम के अवकलनों के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी {{harvnb| | इस सांकेतिक अक्षमता के कारण, उच्च क्रम के अवकलनों के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी {{harvnb|हैडमार्ड|1935}}, जिन्होंने निष्कर्ष निकाला: | ||
: अंत में, समानता का अर्थ या प्रतिनिधित्व क्या है? | : अंत में, समानता का अर्थ या प्रतिनिधित्व क्या है? | ||
::<math>d^2z = r\,dx^2 + 2s\,dx\,dy + t\,dy^2\,?</math> | ::<math>d^2z = r\,dx^2 + 2s\,dx\,dy + t\,dy^2\,?</math> | ||
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जहाँ <math>\Delta^n_{t\Delta x} f</math> वृद्धि tΔx के साथ nवां [[आगे का अंतर|आगे का अवकलन]] है। | जहाँ <math>\Delta^n_{t\Delta x} f</math> वृद्धि tΔx के साथ nवां [[आगे का अंतर|आगे का अवकलन]] है। | ||
यह परिभाषा तब भी समझ में आती है जब f कई | यह परिभाषा तब भी समझ में आती है जब f कई वेरिएबल्स का फलन है (सादगी के लिए यहाँ वेक्टर तर्क के रूप में लिया गया है)। फिर इस तरह से परिभाषित nवां अवकलन सदिश वृद्धि Δx में डिग्री n का सजातीय फलन है। इसके अतिरिक्त, बिंदु x पर f की [[टेलर श्रृंखला]] द्वारा दी गई है | ||
:<math>f(x+\Delta x)\sim f(x) + df(x,\Delta x) + \frac{1}{2}d^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x,\Delta x) + \cdots</math> | :<math>f(x+\Delta x)\sim f(x) + df(x,\Delta x) + \frac{1}{2}d^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x,\Delta x) + \cdots</math> | ||
उच्च क्रम गैटॉक्स व्युत्पन्न इन विचारों को अनंत आयामी स्थानों के लिए सामान्यीकृत करता है। | उच्च क्रम गैटॉक्स व्युत्पन्न इन विचारों को अनंत आयामी स्थानों के लिए सामान्यीकृत करता है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
अवकलन के कई गुण व्युत्पन्न, आंशिक व्युत्पन्न और कुल व्युत्पन्न के संबंधित गुणों से सीधे | अवकलन के कई गुण व्युत्पन्न, आंशिक व्युत्पन्न और कुल व्युत्पन्न के संबंधित गुणों से सीधे विधि से अनुसरण करते हैं। इसमे सम्मिलित है:<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §17}}</ref> | ||
* [[रैखिकता]]: स्थिरांक a और b और अवकलनीय फलन f और g के लिए, | * [[रैखिकता]]: स्थिरांक a और b और अवकलनीय फलन f और g के लिए, | ||
::<math>d(af+bg) = a\,df + b\,dg.</math> | ::<math>d(af+bg) = a\,df + b\,dg.</math> | ||
* उत्पाद नियम: दो अलग-अलग | * उत्पाद नियम: दो अलग-अलग फलनों f और g के लिए, | ||
::<math>d(fg) = f\,dg+g\,df.</math> | ::<math>d(fg) = f\,dg+g\,df.</math> | ||
इन दो गुणों के साथ ऑपरेशन डी [[सार बीजगणित]] में व्युत्पन्न (अमूर्त बीजगणित) के रूप में जाना जाता है। वे शक्ति नियम प्रायुक्त करते हैं | इन दो गुणों के साथ ऑपरेशन डी [[सार बीजगणित]] में व्युत्पन्न (अमूर्त बीजगणित) के रूप में जाना जाता है। वे शक्ति नियम प्रायुक्त करते हैं | ||
::<math> d( f^n ) = n f^{n-1} df </math> | ::<math> d( f^n ) = n f^{n-1} df </math> | ||
इसके | इसके अतिरिक्त, व्यापकता के बढ़ते स्तर में [[श्रृंखला नियम]] के विभिन्न रूप धारण करते हैं:<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §§14,16}}</ref> | ||
* यदि y = f(u) वेरिएबल u का अवकलनीय फलन है और u = g(x) x का अवकलनीय फलन है, तो | * यदि y = f(u) वेरिएबल u का अवकलनीय फलन है और u = g(x) x का अवकलनीय फलन है, तो | ||
::<math>dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.</math> | ::<math>dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.</math> | ||
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