अवकल फलन: Difference between revisions

[[ गणना ]] में, डिफरेंशियल एक फंक्शन (गणित) में परिवर्तन के प्रमुख भाग#कैलकुलस का प्रतिनिधित्व करता है <math>y=f(x)</math> स्वतंत्र चर में परिवर्तन के संबंध में। अंतर <math>dy</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

कहाँ <math>f'(x)</math> के संबंध में f का व्युत्पन्न है <math>x</math>, और <math>dx</math> एक अतिरिक्त वास्तविक [[चर (गणित)]] है (ताकि <math>dy</math> का एक कार्य है <math>x</math> और <math>dx</math>). अंकन ऐसा है कि समीकरण

धारण करता है, जहां [[लीबनिज संकेतन]] में व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व किया जाता है <math>dy/dx</math>, और यह अंतर के भागफल के रूप में व्युत्पन्न के संबंध में संगत है। एक लिखता भी है

चर का सटीक अर्थ <math>dy</math> और <math>dx</math> आवेदन के संदर्भ और गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर पर निर्भर करता है। इन चरों का डोमेन एक विशेष ज्यामितीय महत्व पर ले सकता है यदि अंतर को एक विशेष अंतर रूप, या विश्लेषणात्मक महत्व के रूप में माना जाता है, यदि अंतर को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए एक [[रैखिक सन्निकटन]] के रूप में माना जाता है। परंपरागत रूप से, चर <math>dx</math> और <math>dy</math> बहुत छोटा (अनंत) माना जाता है, और इस व्याख्या को गैर-मानक विश्लेषण में कठोर बनाया जाता है।

अंतर को पहली बार [[आइजैक न्यूटन]] द्वारा एक सहज या अनुमानी परिभाषा के माध्यम से पेश किया गया था और [[लाइबनिट्स]] द्वारा आगे बढ़ाया गया था, जिन्होंने अंतर के बारे में सोचा था।<math>dy</math> मूल्य में एक असीम रूप से छोटे (या अतिसूक्ष्म) परिवर्तन के रूप में<math>y</math> फ़ंक्शन का, एक असीम रूप से छोटे परिवर्तन के अनुरूप<math>dx</math> समारोह के तर्क में<math>x</math>. उस कारण से, के परिवर्तन की तात्कालिक दर <math>y</math> इसके संबंध में <math>x</math>, जो कि फलन के अवकलज का मान है, को भिन्न द्वारा निरूपित किया जाता है

डेरिवेटिव के लिए लाइबनिज संकेतन कहा जाता है। भागफल <math>dy/dx</math> असीम रूप से छोटा नहीं है; बल्कि यह एक [[वास्तविक संख्या]] है।

उदाहरण के लिए, बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट [[विश्लेषक]] द्वारा इस रूप में इनफिनिटिमल्स के उपयोग की व्यापक रूप से आलोचना की गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] (#CITEREFCauchy1823) ने डिफरेंशियल को लाइबनिट्स के इनफिनिटिमल्स के परमाणुवाद की अपील के बिना परिभाषित किया।<ref>For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject.  An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.</ref><ref>Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that "a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero" ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}};  translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).</ref> इसके बजाय, कॉची, जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट | डी'अलेम्बर्ट का अनुसरण करते हुए, लीबनिज़ और उनके उत्तराधिकारियों के तार्किक क्रम को उल्टा कर दिया: व्युत्पन्न ही मौलिक वस्तु बन गया, जिसे अंतर भागफलों की [[सीमा (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया था, और अंतर तब थे इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अर्थात्, अंतर को परिभाषित करने के लिए कोई भी स्वतंत्र था <math>dy</math> एक अभिव्यक्ति द्वारा

के अनुसार {{harvtxt|Boyer|1959|p=12}}, कॉची का दृष्टिकोण लीबनिज के अतिसूक्ष्म दृष्टिकोण पर एक महत्वपूर्ण तार्किक सुधार था, क्योंकि, अत्यल्प मात्राओं की आध्यात्मिक धारणा को लागू करने के बजाय, मात्राएँ <math>dy</math> और <math>dx</math> अब किसी भी अन्य वास्तविक मात्रा के समान ही हेरफेर किया जा सकता है

[[गणितीय विश्लेषण]] और विभेदक ज्यामिति में बीसवीं शताब्दी के विकास के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि एक समारोह के अंतर की धारणा को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया जा सकता है। [[वास्तविक विश्लेषण]] में, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि के प्रमुख भाग के रूप में सीधे अंतर से निपटना अधिक वांछनीय है। यह सीधे इस धारणा की ओर जाता है कि एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक वेतन वृद्धि का रैखिक कार्य है <math>\Delta x</math>. यह दृष्टिकोण विभिन्न प्रकार के अधिक परिष्कृत स्थानों के लिए अंतर (एक रेखीय मानचित्र के रूप में) को विकसित करने की अनुमति देता है, अंततः इस तरह की धारणाओं को जन्म देता है जैसे कि फ्रेचेट व्युत्पन्न | फ्रेचेट या गेटॉक्स व्युत्पन्न। इसी तरह, विभेदक ज्यामिति में, एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का अंतर एक स्पर्शरेखा सदिश (एक असीम रूप से छोटा विस्थापन) का एक रैखिक कार्य है, जो इसे एक प्रकार के एक रूप के रूप में प्रदर्शित करता है: फ़ंक्शन का [[बाहरी व्युत्पन्न]]। गैर-मानक कैलकुलस में, अंतरों को इनफिनिटिमल्स के रूप में माना जाता है, जिसे स्वयं एक कठोर आधार पर रखा जा सकता है (देखें अंतर (इनफिनिटिमल))।

[[File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|upright=1.25|एक समारोह का अंतर <math>f(x)</math> एक बिंदु पर <math>x_0</math>.]]डिफरेंशियल कैलकुलस के आधुनिक उपचारों में डिफरेंशियल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।<ref>See, for instance, the influential treatises of {{harvnb|Courant|1937a}}, {{harvnb|Kline|1977}}, {{harvnb|Goursat|1904}}, and {{harvnb|Hardy|1908}}.  Tertiary sources for this definition include also {{harvnb|Tolstov|2001}} and {{harvnb|Itô|1993|loc=§106}}.</ref> एक समारोह का अंतर <math>f(x)</math> एक वास्तविक चर का <math>x</math> कार्य है <math>df</math> दो स्वतंत्र वास्तविक चर के <math>x</math> और <math>\Delta x</math> द्वारा दिए गए

एक या दोनों तर्कों को दबा दिया जा सकता है, यानी कोई देख सकता है <math>df(x)</math> या केवल <math>df</math>. अगर <math>y=f(x)</math>, अवकलन को इस रूप में भी लिखा जा सकता है <math>dy</math>. तब से <math>dx(x,\Delta x)=\Delta x</math>, यह लिखने के लिए पारंपरिक है <math>dx=\Delta x</math> ताकि निम्नलिखित समानता हो:

अंतर की यह धारणा मोटे तौर पर तब लागू होती है जब किसी फ़ंक्शन के लिए एक रैखिक सन्निकटन मांगा जाता है, जिसमें वृद्धि का मूल्य <math>\Delta x</math> काफी छोटा है। अधिक सटीक, अगर <math>f</math> पर एक अवकलनीय फलन है <math>x</math>, फिर में अंतर <math>y</math>-मूल्य

जैसा <math>\Delta x\rightarrow 0</math>. इस कारण से, किसी फ़ंक्शन के अंतर को मुख्य भाग के रूप में जाना जाता है | [[प्रमुख भाग]]रैखिक) भाग एक फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि में होता है: अंतर वेतन वृद्धि का एक रैखिक कार्य है <math>\Delta x</math>, और यद्यपि त्रुटि <math>\varepsilon</math> अरेखीय हो सकता है, यह तेजी से शून्य हो जाता है <math>\Delta x</math> शून्य हो जाता है।

अगले {{harvtxt|Goursat|1904|loc=I, §15}}, एक से अधिक स्वतंत्र चर के कार्यों के लिए,

किसी एक वेरिएबल ''x'' के संबंध में ''y'' का आंशिक अंतर₁ परिवर्तन dx के परिणामस्वरूप y में परिवर्तन का मुख्य भाग है₁ उस एक चर में। आंशिक अंतर इसलिए है

अधिक सटीक रूप से, बहुभिन्नरूपी कलन के संदर्भ में, निम्नलिखित {{harvtxt|Courant|1937b}}, यदि f एक अवकलनीय फलन है, तो Fréchet व्युत्पन्न द्वारा, वृद्धि

जैसा कि एक चर के मामले में, अनुमानित तत्समक धारण करता है

मापन में, [[प्रायोगिक अनिश्चितता विश्लेषण]] में कुल अंतर का उपयोग किया जाता है <math>\Delta f</math> एक समारोह का <math>f</math> त्रुटियों के आधार पर <math>\Delta x,\Delta y,\ldots </math> मापदंडों का <math>x, y, \ldots</math>. यह मानते हुए कि परिवर्तन लगभग रैखिक होने के लिए पर्याप्त छोटा है:

एक अतिरिक्त 'के साथ{{nowrap|ln ''b''}}' कारक एक साधारण उत्पाद के मामले में नहीं मिला। यह अतिरिक्त कारक त्रुटि को छोटा बनाता है, जैसे {{nowrap|ln ''b''}} नंगे b जितना बड़ा नहीं है।

इसी तरह के विचार कई चरों के कार्यों के उच्च क्रम के अंतर को परिभाषित करने के लिए लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि f दो चरों x और y का एक फलन है, तो

कहाँ <math display="inline">\binom{n}{k}</math> [[द्विपद गुणांक]] है। अधिक चर में, एक समान अभिव्यक्ति धारण करती है, लेकिन द्विपद विस्तार के बजाय एक उपयुक्त [[बहुपद गुणांक]] विस्तार के साथ।<ref>{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}</ref>

कई चरों में उच्च क्रम के अंतर भी अधिक जटिल हो जाते हैं जब स्वतंत्र चरों को स्वयं अन्य चरों पर निर्भर रहने की अनुमति दी जाती है। उदाहरण के लिए, x और y के फलन f के लिए, जिन्हें सहायक चरों पर निर्भर रहने की अनुमति है, एक के पास है

वह है: अंत में, समानता [...] का क्या अर्थ है, या प्रतिनिधित्व किया गया है? मेरी राय में, कुछ भी नहीं। इस संशयवाद के बावजूद, उच्च क्रम के अंतर विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में उभरे।<ref>In particular to [[infinite dimensional holomorphy]] {{harv|Hille|Phillips|1974}} and [[numerical analysis]] via the calculus of [[finite differences]].</ref>

कहाँ <math>\Delta^n_{t\Delta x} f</math> वृद्धि tΔx के साथ एक nवां [[आगे का अंतर]] है।

यह परिभाषा तब भी समझ में आती है जब f कई चरों का एक कार्य है (सादगी के लिए यहाँ एक वेक्टर तर्क के रूप में लिया गया है)। फिर इस तरह से परिभाषित nवां अंतर सदिश वृद्धि Δx में डिग्री n का एक सजातीय कार्य है। इसके अलावा, बिंदु x पर f की [[टेलर श्रृंखला]] द्वारा दी गई है

इन दो गुणों के साथ एक ऑपरेशन डी [[सार बीजगणित]] में व्युत्पन्न (अमूर्त बीजगणित) के रूप में जाना जाता है। वे शक्ति नियम लागू करते हैं

* यदि y = f(u) वेरिएबल u का एक अवकलनीय फलन है और u = g(x) x का एक अवकलनीय फलन है, तो

* अगर {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''x''₁, ..., ''x''_''n'')}} और सभी चर x₁, ..., एक्स_''n'' दूसरे वेरिएबल t पर निर्भर करते हैं, फिर चेन रूल # चेन रूल द्वारा कई वेरिएबल्स के लिए, एक के पास है

* अधिक सामान्य अनुरूप भाव धारण करते हैं, जिसमें मध्यवर्ती चर x होते हैं_''i'' एक से अधिक चरों पर निर्भर करते हैं।

एक समारोह के लिए अंतर की एक सुसंगत धारणा विकसित की जा सकती है {{nowrap|''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''^''m''}} दो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] स्थान के बीच। माना x,Δx ∈ Rⁿ यूक्लिडियन सदिशों का एक युग्म हो। फलन f में वृद्धि है

जिसमें वेक्टर ''ε'' → 0 के रूप में Δx → 0, फिर ''f'' परिभाषा के अनुसार बिंदु x पर अवकलनीय है। मैट्रिक्स ''ए'' को कभी-कभी [[ जैकबियन मैट्रिक्स ]] के रूप में जाना जाता है, और [[रैखिक परिवर्तन]] जो वेतन वृद्धि Δx ∈ R से जुड़ा होता हैⁿ सदिश AΔ'x' ∈ 'R'^m, इस सामान्य सेटिंग में, बिंदु x पर f के अवकल df(x) के रूप में जाना जाता है। यह बिल्कुल फ्रेचेट डेरिवेटिव है, और किसी भी बनच रिक्त स्थान के बीच एक समारोह के लिए काम करने के लिए एक ही निर्माण किया जा सकता है।

एक और उपयोगी दृष्टिकोण अंतर को सीधे एक प्रकार के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] के रूप में परिभाषित करना है:

जो उच्च क्रम के अंतर को परिभाषित करने के लिए पहले से ही लिया गया दृष्टिकोण है (और कॉची द्वारा निर्धारित परिभाषा के लगभग है)। यदि टी समय और 'एक्स' स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, तो 'एच' विस्थापन के बजाय वेग का प्रतिनिधित्व करता है जैसा कि हमने इसे पहले माना है। यह अंतर की धारणा का एक और शोधन देता है: कि यह गतिज वेग का एक रैखिक कार्य होना चाहिए। अंतरिक्ष के किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से सभी वेगों का सेट [[स्पर्शरेखा स्थान]] के रूप में जाना जाता है, और इसलिए df स्पर्शरेखा स्थान पर एक रैखिक कार्य देता है: एक अंतर रूप। इस व्याख्या के साथ, एफ के अंतर को बाहरी व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है, और अंतर ज्यामिति में व्यापक अनुप्रयोग होता है क्योंकि वेग और स्पर्शरेखा स्थान की धारणा किसी भी अलग-अलग कई गुना पर समझ में आती है। यदि, इसके अलावा, f का आउटपुट मान भी एक स्थिति (यूक्लिडियन अंतरिक्ष में) का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक आयामी विश्लेषण पुष्टि करता है कि df का आउटपुट मान एक वेग होना चाहिए। यदि कोई इस तरीके से अंतर का इलाज करता है, तो इसे पुशफॉर्वर्ड (अंतर) के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह एक स्रोत स्थान से वेग को लक्ष्य स्थान में वेग में धकेलता है।

यद्यपि एक अतिसूक्ष्म वेतन वृद्धि dx होने की धारणा आधुनिक गणितीय विश्लेषण में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, अंतर (अनंत) को परिभाषित करने के लिए कई तरह की तकनीकें मौजूद हैं ताकि किसी फ़ंक्शन के अंतर को इस तरह से नियंत्रित किया जा सके जो इसके साथ संघर्ष न करे। लीबनिज संकेतन। इसमे शामिल है:

* डिफरेंशियल को एक प्रकार के डिफरेंशियल फॉर्म के रूप में परिभाषित करना, विशेष रूप से किसी फ़ंक्शन का बाहरी डेरिवेटिव। फिर एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में वैक्टर के साथ असीम वेतन वृद्धि की पहचान की जाती है। यह दृष्टिकोण अंतर ज्यामिति और संबंधित क्षेत्रों में लोकप्रिय है, क्योंकि यह अलग-अलग कई गुनाओं के बीच मैपिंग को आसानी से सामान्यीकृत करता है।