तंग अवधि: Difference between revisions

Revision as of 10:22, 28 April 2023

मीट्रिक ज्यामिति में, मीट्रिक स्पेस M का मीट्रिक लिफ़ाफ़ा या तंग अवधि एक इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस है जिसमें M को एम्बेड किया जा सकता है। कुछ अर्थों में इसमें M के बिंदुओं के मध्य के सभी बिंदु होते हैं, जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में स्थापित बिंदु के उत्तल हल के समान होते हैं। तंग अवधि को कभी-कभी 'M' के इंजेक्शन एनवेलप या हाइपरकोनवेक्स हल के रूप में भी जाना जाता है। इसे इंजेक्शन पतवार भी कहा जाता है, परंतु बीजगणित में एक मॉड्यूल के इंजेक्शन हल के सापेक्ष भ्रमित नहीं होना चाहिए, एक अवधारणा जिसमें मीट्रिक रिक्त स्पेस के अतिरिक्त 'R '-मॉड्यूल की श्रेणी के सापेक्ष समान विवरण होता है ।

तंग अवधि का वर्णन सबसे पहले इसबेल (1964) द्वारा वर्णित किया गया था , और इसका अध्ययन 1960 के दशक में होल्स्ज़्Tस्की द्वारा प्रारंभ किया गया था। इसके उपरांत में ड्रेस (1984) और क्रोबक और & लारमोर (1994) स्वतंत्र रूप से पुनः से खोजा गया था इस इतिहास के लिए चेपोई (1997) को देखें। तंग अवधि T-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है।

परिभाषा

एक मीट्रिक स्पेस की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। माना (X,d) एक मीट्रिक स्पेस हैं, और T(X) को X पर 'चरम फलन' का सेट बनने दे, जहां हम X को 'एक्सट्रीमल फलन' कहते हैं, जिसका अर्थ X से 'R ' तक एक फलन f है जैसे कि

X में किसी x, y के लिए, d(x,y) ≤ f(x) + f(y), और
X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.^[1]^: 124

विशेष रूप से (ऊपर विशेषता1 में x = y लेने पर) सभी x के लिए f(x) ≥ 0। ऊपर दी गई पहली आवश्यकता की व्याख्या करने की एक विधि यह है कि f कुछ नए बिंदु से X के बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक सेट को परिभाषित करता है जो कि (X, d) में दूरियों के सापेक्ष त्रिकोण असमानता को पूरा करना चाहता है। दूसरी आवश्यकता बताती है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को न्यूनतम नहीं किया जा सकता है।

(X, d) का 'तंग अवधि' मीट्रिक स्पेस (T (X), δ) है, जहां

\delta =(\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|g(x)-f(x)|\leq C{\text{ for all }}x\in X\})_{f,g\in T(X)}=(\|g-f\|_{\infty })_{f,g\in T(X)}

ℓ \infty

मानदंड से प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है। (यदि d बाध्य है, तो δ

ℓ \infty

मानदंड से प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उप-मीट्रिक मीट्रिक होता है। यदि d बाध्य नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम कार्य असीमित होता है और इसलिए

T(X)\not \subseteq \ell ^{\infty }(X).

भले ही, यह सच होगा कि T(X) में किसी भी f,g के लिए, अंतर

g-f

का है

\ell ^{\infty }(X)

यानी बाउंडेड है।

चरम कार्यों की समतुल्य परिभाषाएँ

X से 'R ' तक एक फलन f के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैं:

X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.होता हैं
f पूर्वोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में बिंदुवार न्यूनतम है, अर्थात, X से 'R' तक किसी भी फलन g के लिए ऐसा है कि d(x,y) ≤ g(x) + g(y) सभी x,y के लिए X में , अगर g≤f बिन्दुवार, तो f=g होता है.^[2]^{: 93, प्रस्ताव 4.6.2}^{[Note 1]}^{[Note 2]}^[3]^{: लेम्मा 5.1}
X = ∅ या X में उपस्थित है जैसे X में सभी X के लिए, f (X) ≤ d (a, X) उपस्थित होता है।^[4]

मूल गुण और उदाहरण

X में सभी X के लिए, $0\leq f(x).$
X में प्रत्येक X के लिए, $(d(x,y))_{y\in X}$ अतिवादी है। (सबूत: समरूपता और त्रिभुज असमानता#मेट्रिक स्पेस का उपयोग करें।)^{[Note 3]}
यदि X परिमित है, तो X से 'R' तक किसी भी फलन f के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, दूसरी आवश्यकता इस शर्त के बराबर है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y उपस्थित है जैसे कि f(x) + f (y) = d (X, y)। (अगर $X=\emptyset ,$ तो दोनों स्थितियाँ सत्य हैं। अगर $X\neq \emptyset ,$ तब श्रेष्ठता प्राप्त की जाती है, और पहली आवश्यकता का तात्पर्य समानता से है।)
कहें |X|=2, और विशिष्ट ए, बी चुनें जैसे कि X={ए,बी}। तब $T(X)=\{f\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{X}:f(a)+f(b)=d(a,b)\}$ का उत्तल पतवार है{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}. [तस्वीर जोड़ें। कैप्शन: यदि X = {0,1}, तो $T(X)=\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{2}:v_{0}+v_{1}=d(0,1)\}$ {(0,1),(1,0)} का उत्तल पतवार है।]^[5]^: 124
X पर प्रत्येक चरम कार्य f कातेतोव है:^[6]^[7]^{: Section 2} f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और $\forall x,y\in X\quad f(x)\leq d(x,y)+f(y),$ या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और $\forall x,y\in X\quad |f(y)-f(x)|\leq d(x,y)$ (1-लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है), या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है और $\forall x\in X\quad \sup\{f(y)-d(x,y):y\in X\}=f(x).$ ^[2]^{: Proof of Proposition 4.6.1}^{[Note 4]}
T(X)⊆कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस#सामान्यीकरण|C(X) पर निरंतर कार्य। (लिप्सचिट्ज़ कार्य निरंतर हैं।)
T (X) समान है। (X के 1-लिप्सचिट्ज़ होने पर प्रत्येक चरम कार्य से अनुसरण करता है; cf. इक्विकंटिन्यूटी # उदाहरण।)
X पर प्रत्येक केटोव कार्य चरम नहीं है। उदाहरण के लिए, ए, बी को अलग होने दें, X = {ए, बी}, d = ([x≠y]) दें_{x,y in X} X पर असतत मीट्रिक बनें, और f = {(ए, 1), (बी, 2)} दें। पुनः f कातेतोव है परंतु चरम नहीं है। (यह लगभग तत्काल है कि f कटेटोव है। f चरम नहीं है क्योंकि यह इस खंड की तीसरी बुलेट में विशेषताको विफल करता है।)
यदि d परिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f परिबद्ध है। वास्तव में, T(X) में प्रत्येक f के लिए, $\|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }.$ (टिप्पणी $d\in \ell ^{\infty }(X\times X).$ ) (उपर्युक्त खंड में तीसरे समकक्ष विशेषतासे अनुसरण करता है।)
यदि d अपरिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f अपरिबद्ध है। (पहली आवश्यकता से अनुसरण करता है।)
$T(X)$ बिंदुवार सीमा के तहत बंद है। किसी भी बिंदुवार अभिसरण के लिए $f\in (T(X))^{\omega },$ $\lim f\in T(X).$
अगर (X, d) कॉम्पैक्ट है, तो (T (X), δ) कॉम्पैक्ट है।^[8]^[2]^{: Proposition 4.6.3} (सबूत: Xट्रीम वैल्यू थ्योरम#मैट्रिक और टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यीकरण|Xट्रीम-वैल्यू प्रमेय का मतलब है कि d, एक फंक्शन के रूप में निरंतर होना $X\times X\to \mathbb {R} ,$ घिरा हुआ है, इसलिए (पिछली गोली देखें) $T(X)\subseteq \{f\in C(X):\|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }\}$ C(X) का परिबद्ध उपसमुच्चय है। हमने दिखाया है कि T (X) समान है, इसलिए अर्जेला-एस्कोली प्रमेय का अर्थ है कि T (X) अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट है। हालाँकि, पिछली बुलेट का तात्पर्य T(X) के तहत बंद है $\ell ^{\infty }$ मानदंड, चूंकि $\ell ^{\infty }$ अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है। इस प्रकार T (X) कॉम्पैक्ट है।)
X से 'R' तक के किसी भी फलन g के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, T(X) में f उपस्थित है जैसे कि f≤g बिंदुवार।^[2]^{: Lemma 4.4}
X पर किसी भी चरम समारोह f के लिए, $\forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.$ ^[2]^{: Proposition 4.6.1}^{[Note 5]}
T(X) में किसी भी f,g के लिए अंतर $g-f$ से संबंधित $\ell ^{\infty }(X)$ , यानी, बंधा हुआ है। (उपरोक्त गोली का प्रयोग करें।)
कुराटोव्स्की मानचित्र^[5]^: 125 $e:=((d(x,y))_{y\in X})_{x\in X}$ एक आइसोमेट्री है। (जब X=∅, परिणाम स्पष्ट होता है। जब X≠∅, विपरीत त्रिकोण असमानता का अर्थ परिणाम होता है।)
मान लीजिए कि T(X) में f है। X में किसी a के लिए, यदि f(a)=0, तो f=e(a).^[3]^{: Lemma 5.1} (X में प्रत्येक X के लिए हमारे पास है $(e(a))(x)=d(a,x)\leq f(a)+f(x)=f(x).$ f की न्यूनतमता (उपरोक्त खंड में दूसरा समकक्ष लक्षण वर्णन) और तथ्य यह है कि $e(a)$ इसके उपरांत की पहली आवश्यकता को पूरा करता है $f=e_{a}.$ )
(X,d) अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्पेस है यदि और केवल यदि (T(X),δ) अतिशयोक्तिपूर्ण है।^[3]^{: Theorem 5.3}

हाइपरकोन्वेक्सिT गुण

(T(X),δ) और $\left(X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(T(X)\setminus \operatorname {range} e)\times (T(X)\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in T(X)\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)$ दोनों इंजेक्शन मेट्रिक स्पेस हैं।^[2]^{: Proposition 4.7.1}
किसी भी y के लिए ऐसा है $\operatorname {range} e\subseteq Y\subsetneq X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),$ $\left(X\cup (Y\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(Y\setminus \operatorname {range} e)\times (Y\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in Y\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)$ अतिउत्तल नहीं है।^[2]^{: Proposition 4.7.2} ((T (X), δ) (X, d) का एक अतिउत्तल पतवार है।)
होने देना $(H,\varepsilon )$ के सापेक्ष एक अतिउत्तल मीट्रिक स्पेस हो $X\subseteq H$ और $\varepsilon |_{X\times X}=\delta$ . अगर सभी के लिए मैं सापेक्ष $X\subseteq I\subsetneq H,$ $(I,\varepsilon |_{I\times I})$ तब अतिउत्तल नहीं है $(H,\varepsilon )$ और (T(X),δ) आइसोमेट्री#आइसोमेट्री परिभाषा हैं।^[2]^{: Proposition 4.7.1} ((X, d) का प्रत्येक हाइपरकॉन्वेक्स हल (T (X), δ) के सापेक्ष आइसोमेट्रिक है।)

उदाहरण

कहें |X|=3, विशिष्ट a, b, c चुनें जैसे कि X={a,b,c}, और मान लीजिए कि i=d(a,b), j=d(a,c), k=d (b,c) हैं। तब
T⁡(X)={v∈(R≥0)3:1=va+vb,2=va+vc,3≤vb+vcor 1=va+vb,2≤va+vc,3=vb+vcor 1≤va+vb,2=va+vc,3=vb+vc}={v∈(R≥0)3:va≤(i+j)−k2,vb=i−va,vc=j−vaor va=i−vb,vb≤(i+k)−j2,vc=k−vbor va=j−vc,vb=k−vc,vc≤(j+k)−i2}={(t,i−t,j जहाँ x=2−1⁢(i+j−k,i+k−j,j+k−i).{\displaystyle x=2^{-1}(i+j-k,i+k-j,j+k-i).} अगर X={0,1,2}, तो T(X)=conv{(,,),(,,)} u conv{(,,),(,,)} u conv{(,, ),(,,)} अक्षर Y के आकार का होता है] (Cf. [5]: 124 )

यदि विमान में बिंदुओं का एक सेट, टैक्सीकैब ज्यामिति के सापेक्ष, एक जुड़ा हुआ ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार होता है, तो वह पतवार बिंदुओं की तंग अवधि के सापेक्ष मेल खाता है।

आंकड़ा विमान में 16 बिंदुओं का एक सेट X दर्शाया जाता है; इन बिंदुओं से एक परिमित मीट्रिक स्पेस बनाने के लिए, हम मैनहट्टन दूरी (ℓ1 दूरी) का उपयोग करते हैं ।[9] आकृति में दर्शाया गया हैं कि नीला क्षेत्र ऑर्थोगोनल उत्तल पतवार है, बिंदु z का सेट ऐसा है कि शीर्ष के रूप में z के सापेक्ष चार बंद चतुर्भुजों में से प्रत्येक में X का एक बिंदु होता है। ऐसा कोई भी बिंदु z तंग अवधि के बिंदु से मेल खाता है: फलन f(x) एक बिंदु z के अनुरूप f(x) = d(z,x) है। मैनहट्टन मीट्रिक के लिए त्रिकोण असमानता द्वारा, इस फॉर्म का एक फलन मैनहट्टन-मीट्रिक विमान में किसी भी z के लिए तंग अवधि की विशेषता 1 को संतुष्ट करता है। तंग अवधि की विशेषता 2 दिखाने के लिए, X में कुछ बिंदु x पर विचार करें; हमें X में y इस तरह खोजना चाहिए कि f(x)+f(y)=d(x,y). परंतु यदि x शीर्ष के रूप में z वाले चार चतुर्थांशों में से एक में है, तो y को विपरीत चतुर्थांश में किसी भी बिंदु के रूप में लिया जा सकता है, इसलिए गुण 2 भी संतुष्ट होता है। इसके विपरीत यह दिखाया जा सकता है कि तंग अवधि का प्रत्येक बिंदु इस तरह से इन बिंदुओं के ऑर्थोगोनल उत्तल हल में एक बिंदु से मेल खाता है।यद्यपि, उच्च आयामों में मैनहट्टन मीट्रिक के सापेक्ष पॉइंट सेट के लिए, और डिस्कनेक्ट किए गए ऑर्थोगोनल हल्स के सापेक्ष प्लानर पॉइंट सेट के लिए, तंग अवधि ऑर्थोगोनल उत्तल हल से भिन्न होता है।

तंग अवधि का आयाम जब X परिमित है

ऊपर दी गई परिभाषा n (n∈Z≥0{\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}) RX में निर्देशित करता है, आयाम n का एक वास्तविक सदिश स्पेस ग्रहण करता हैं। दूसरी ओर, यदि हम T(X) के आयाम को बहुफलकीय संकुल मानते हैं, तो डेवेलिन (2006) harvtxt error: no target: CITEREFडेवेलिन2006 (help) ने दर्शाया कि, मीट्रिक पर उपयुक्त सामान्य स्थिति धारणा के सापेक्ष, यह परिभाषा n/3 और n/2 के मध्य आयाम वाले स्पेस की ओर ले जाती है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

इसके उप-स्पेस के उद्देश्य से एक मीट्रिक स्पेस की धारणा के आधार पर एक वैकल्पिक परिभाषा का वर्णन होल्स्ज़टीन्स्की (1968) harvtxt error: no target: CITEREFहोल्स्ज़टीन्स्की1968 (help) द्वारा किया गया था जिन्होंने यह सिद्ध किया था कि बैनच स्पेस का इंजेक्शन लिफाफा, बनच स्पेस की श्रेणी में, तंग अवधि के सापेक्ष मेल खाता है (रैखिक संरचना को भूलने के उपरांत)। यह प्रमेय विवेकाधीन ढंग से बनच रिक्त स्पेस से C(X)) के बनच स्पेस तक कुछ समस्याओं को न्यूनतम करने की अनुमति देता है, जहां X एक कॉम्पैक्ट स्पेस है।
डेवेलिन और & स्टर्मफेल्स (2004) harvtxt error: no target: CITEREFडेवेलिन_औरस्टर्मफेल्स2004 (help) ने अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु से एक दूसरे बिंदु तक दूरी के सदिशो के उष्णकटिबंधीय ज्यामिति के रूप में एक सीमित मीट्रिक अंतरिक्ष की तंग अवधि की वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करने का प्रयास किया।यद्यपि, उपरांत में उसी वर्ष उन्होंने इरेटम डेवेलिन एंड & स्टर्मफेल्स (2004a) harvtxt error: no target: CITEREFडेवेलिन_एंडस्टर्मफेल्स2004a (help) में स्वीकार किया था कि, जबकि उष्णकटिबंधीय उत्तल पतवार में हमेशा तंग अवधि होता है, यह इसके सापेक्ष मेल नहीं हो सकता है।

अनुप्रयोग

ड्रेस,, ह्यूबर & और मौलटन (2001) harvtxt error: no target: CITEREFड्रेस,ह्यूबरऔर_मौलटन2001 (help) जैविक डेटा से विकासवादी पेड़ों के पुनर्निर्माण में तंग अवधि के अनुप्रयोगों का वर्णन किया जाता हैं।

तंग अवधि K-सर्वर समस्या के लिए कई ऑनलाइन एल्गोरिदम में एक भूमिका निभाता है।[10]
स्टर्मफेल्स & और यू (2004) harvtxt error: no target: CITEREFस्टर्मफेल्सऔर_यू2004 (help) मेट्रिक स्पेस को छह बिंदुओं तक वर्गीकृत करने के लिए तंग अवधि का उपयोग किया जाता हैं।

चेपोई (1997) harvtxt error: no target: CITEREFचेपोई1997 (help) कट मीट्रिक को अधिक सामान्य परिमित मीट्रिक स्पेसों में पैक करने के परिणामों को सिद्ध करने के प्रति तंग अवधि का उपयोग किया जाता हैं।

यह भी देखें

कुराटोव्स्की एंबेडिंग, किसी भी मीट्रिक स्पेस को बनच स्पेस में एम्बेड करना, जिसे कुराटोव्स्की मैप के समान परिभाषित किया गया है

इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस

टिप्पणियाँ

↑ Dress, Huber & Moulton (2001).

↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A. (2001). मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय. Wiley.

↑ 3.0 3.1 3.2 Dress, Andreas; Huber, Katharina T.; Koolen, Jacobus; Moulton, Vincent; Spillner, Andreas (2012). बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76832-0.

↑ Kirk, William; Shahzad, Naseer (2014). डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी. Springer. p. 24. ISBN 978-3-319-10926-8.

↑ 5.0 5.1 5.2 Huson, Daniel H.; Rupp, Regula; Scornavacca, Celine (2010). Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-75596-2.

↑ Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2014). दूरियों का विश्वकोश (Third ed.). Springer. p. 47. ISBN 978-3-662-44341-5.

↑ Melleray, Julien (2008). "उरीसोहन अंतरिक्ष के कुछ ज्यामितीय और गतिशील गुण". Topology and Its Applications. 155 (14): 1531–1560. doi:10.1016/j.topol.2007.04.029.

↑ Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण. American Mathematical Society. p. 32. ISBN 978-0-8218-0835-1.

↑ In two dimensions, the Manhattan distance is isometric after rotation and scaling to the [[Lp space#General_ℓp-space|ℓ∞ distance]], so with this metric the plane is itself injective, but this equivalence between ℓ1 and ℓ∞ does not hold in higher dimensions.

↑ Chrobak & Larmore (1994).

↑ Khamsi and Kirk use this condition in their definition.

↑ Khamsi and Kirk's proof shows one implication of the equivalence to the condition immediately above. The other implication is not difficult to show.

↑ I.e., the Kuratowski map e⁡(x)∈T⁡(X).{\displaystyle e(x)\in T(X).} We will introduce the Kuratowski map below.

↑ The supremum is achieved with y=x.

↑ The supremum is achieved with y=x.

संदर्भ

Chepoi, Victor (1997), "A TX approach to some results on cuts and metrics", Advances in Applied Mathematics, 19 (4): 453–470, doi:10.1006/aama.1997.0549.

Chrobak, Marek; Larmore, Lawrence L. (1994), "Generosity helps or an 11-competitive algorithm for three servers", Journal of Algorithms, 16 (2): 234–263, doi:10.1006/jagm.1994.1011, S2CID 15169525.

Develin, Mike (2006), "Dimensions of tight spans", Annals of Combinatorics, 10 (1): 53–61, arXiv:math.CO/0407317, doi:10.1007/s00026-006-0273-y, S2CID 92984638.

Develin, Mike; Sturmfels, Bernd (2004), "Tropical convexity" (PDF), Documenta Mathematica, 9: 1–27, doi:10.4171/dm/154, S2CID 64471.

Develin, Mike; Sturmfels, Bernd (2004a), "Erratum for "Tropical Convexity"" (PDF), Documenta Mathematica, 9: 205–206, doi:10.4171/dm/154, S2CID 64471.

Dress, Andreas W. M. (1984), "Trees, tight extensions of metric spaces, and the cohomological dimension of certain groups", Advances in Mathematics, 53 (3): 321–402, doi:10.1016/0001-8708(84)90029-X.

Dress, Andreas W. M.; Huber, K. T.; Moulton, V. (2001), "Metric spaces in pure and applied mathematics" (PDF), Documenta Mathematica (Proceedings Quadratic Forms LSU): 121–139.

Holsztyński, Włodzimierz (1968), "Linearisation of isometric embeddings of Banach Spaces. Metric Envelopes.", Bull. Acad. Polon. Sci., 16: 189–193.

Isbell, J. R. (1964), "Six theorems about injective metric spaces", Comment. Math. Helv., 39: 65–76, doi:10.1007/BF02566944, S2CID 121857986.

Sturmfels, Bernd; Yu, Josephine (2004), "Classification of Six-Point Metrics", The Electronic Journal of Combinatorics, 11: R44, arXiv:math.MG/0403147, Bibcode:2004math......3147S, doi:10.37236/1797, S2CID 6733896.

बाहरी संबंध

Joswig, Michael, Tight spans.

Navigation
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Help about MediaWiki
Wiki tools
Wiki tools
Special pages
Cite this page
Page tools
Page tools
User page tools
More
What links here
Related changes
Printable version
Permanent link
Page information
Page logs
Other projects
In other languages
Add links
Categories
Categories
मीट्रिक ज्यामिति
Hidden categories
Templates Vigyan Ready
Short description with empty Wikidata description
Lua-based templates
Pages with script errors
Templates that add a tracking category
Templates that generate short descriptions
Templates using TemplateData
Machine Translated Page
Created On 24/04/2023
This page was last modified on 28 April 2023, at 10:22.
Content is available under Creative Commons Attribution-ShareAlike unless otherwise noted.
Privacy policy
About Vigyanwiki
Disclaimers

[1] Dress, Huber & Moulton (2001).

[KK-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 ^2.5 ^2.6 ^2.7 Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A. (2001). मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय. Wiley.

[DHKMS-5] 3.0 ^3.1 ^3.2 Dress, Andreas; Huber, Katharina T.; Koolen, Jacobus; Moulton, Vincent; Spillner, Andreas (2012). बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76832-0.

[6] Kirk, William; Shahzad, Naseer (2014). डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी. Springer. p. 24. ISBN 978-3-319-10926-8.

[HRS-8] 5.0 ^5.1 ^5.2 Huson, Daniel H.; Rupp, Regula; Scornavacca, Celine (2010). Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-75596-2.

[9] Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2014). दूरियों का विश्वकोश (Third ed.). Springer. p. 47. ISBN 978-3-662-44341-5.

[10] Melleray, Julien (2008). "उरीसोहन अंतरिक्ष के कुछ ज्यामितीय और गतिशील गुण". Topology and Its Applications. 155 (14): 1531–1560. doi:10.1016/j.topol.2007.04.029.

[12] Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण. American Mathematical Society. p. 32. ISBN 978-0-8218-0835-1.

[14] In two dimensions, the Manhattan distance is isometric after rotation and scaling to the [[Lp space#General_ℓp-space| $ℓ \infty$ distance]], so with this metric the plane is itself injective, but this equivalence between $ℓ 1$ and $ℓ \infty$ does not hold in higher dimensions.

[15] Chrobak & Larmore (1994).

[3] Khamsi and Kirk use this condition in their definition.

[4] Khamsi and Kirk's proof shows one implication of the equivalence to the condition immediately above. The other implication is not difficult to show.

[7] I.e., the Kuratowski map $e(x)\in T(X).$ We will introduce the Kuratowski map below.

[11] The supremum is achieved with y=x.

[13] The supremum is achieved with y=x.

[1]

[2]

[Note 1]

[Note 2]

[3]

[4]

[Note 3]

[5]

[6]

[7]

[Note 4]

[8]

[Note 5]

[9]

[10]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Notion in metric geometry}}
-[[मीट्रिक ज्यामिति]] में, [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्पेस]] ''M'' का मीट्रिक लिफ़ाफ़ा या टाइट स्पान एक [[इंजेक्शन मीट्रिक स्थान|इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस]] है जिसमें ''M'' एम्बेड किया जा सकता है। कुछ अर्थों में इसमें ''एम'' के बिंदुओं के मध्यके सभी बिंदु होते हैं, जो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में स्थापित बिंदु के उत्तल हल के समान होते हैं। टाइट स्पान को कभी-कभी 'M' के इंजेक्शन एनवेलप या हाइपरकोनवेक्स हल के रूप में भी जाना जाता है। इसे [[इंजेक्शन पतवार]] भी कहा जाता है, परंतु [[बीजगणित]] में एक [[मॉड्यूल (गणित)]] के इंजेक्शन हल के सापेक्ष भ्रमित नहीं होना चाहिए, एक अवधारणा जिसमें 'आर'-मॉड्यूल की [[श्रेणी (गणित)]] के सापेक्ष समान विवरण होता है मीट्रिक रिक्त स्पेस।
+[[मीट्रिक ज्यामिति]] में, [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक स्पेस]] ''M'' का मीट्रिक लिफ़ाफ़ा या तंग अवधि एक [[इंजेक्शन मीट्रिक स्थान|इंजेक्शन मीट्रिक स्पेस]] है जिसमें ''M को'' एम्बेड किया जा सकता है। कुछ अर्थों में इसमें ''M'' के बिंदुओं के मध्य के सभी बिंदु होते हैं, जो [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में स्थापित बिंदु के उत्तल हल के समान होते हैं। तंग अवधि को कभी-कभी 'M' के इंजेक्शन एनवेलप या हाइपरकोनवेक्स हल के रूप में भी जाना जाता है। इसे [[इंजेक्शन पतवार]] भी कहा जाता है, परंतु [[बीजगणित]] में एक [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल]] के इंजेक्शन हल के सापेक्ष भ्रमित नहीं होना चाहिए, एक अवधारणा जिसमें मीट्रिक रिक्त स्पेस के अतिरिक्त 'R '-मॉड्यूल की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] के सापेक्ष समान विवरण होता है ।
-तंग अवधि का वर्णन सबसे पहले किसके द्वारा किया गया था {{harvtxt|Isbell|1964}}, और 1960 के दशक में W. Holsztyński|Holsztyński द्वारा इसका अध्ययन और प्रयोग किया गया था। इसे उपरांत में द्वारा स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया {{harvtxt|Dress|1984}} और {{harvtxt|Chrobak|Larmore|1994}}; देखना {{harvtxt|Chepoi|1997}} इस इतिहास के लिए। तंग अवधि टी-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है।
+तंग अवधि का वर्णन सबसे पहले {{harvtxt|इसबेल|1964}} द्वारा वर्णित किया गया था , और  इसका अध्ययन 1960 के दशक में होल्स्ज़्Tस्की द्वारा प्रारंभ किया गया था। इसके उपरांत में {{harvtxt|ड्रेस|1984}} और {{harvtxt|क्रोबक और |लारमोर|1994}}  स्वतंत्र रूप से पुनः से खोजा गया  था  इस इतिहास के लिए {{harvtxt|चेपोई|1997}} को देखें। तंग अवधि T-सिद्धांत के केंद्रीय निर्माणों में से एक है।
 == परिभाषा ==
-एक मीट्रिक स्पेस की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। चलो (एक्स, डी) एक मीट्रिक स्पेस बनें, और टी (एक्स) एक्स पर 'चरम कार्यों' का सेट बनें, जहां हम एक्स पर 'एक्सट्रीमल फलन' कहते हैं, जिसका मतलब एक्स से 'आर' तक एक फलन एफ है वह
+एक मीट्रिक स्पेस की तंग अवधि को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। माना (X,d) एक मीट्रिक स्पेस हैं, और T(X) को X पर 'चरम फलन' का सेट बनने दे, जहां हम X को 'एक्सट्रीमल फलन' कहते हैं, जिसका अर्थ X से 'R ' तक एक फलन f है जैसे कि
-# किसी भी एक्स के लिए, एक्स में वाई, डी (एक्स, वाई) ≤ एफ (एक्स) + एफ (वाई), और
+# X में किसी x, y के लिए, d(x,y) ≤ f(x) + f(y), और
 # X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.<ref>{{harvtxt|Dress|Huber|Moulton|2001}}.</ref>{{rp|124}}
-विशेष रूप से (ऊपर विशेषता1 में x = y लेने पर) सभी x के लिए f(x) ≥ 0। ऊपर दी गई पहली आवश्यकता की व्याख्या करने का एक तरीका यह है कि f कुछ नए बिंदु से X के बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक सेट को परिभाषित करता है जो कि (X, d) में दूरियों के सापेक्ष त्रिकोण असमानता को पूरा करना चाहिए। दूसरी आवश्यकता बताती है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को कम नहीं किया जा सकता है।
+विशेष रूप से (ऊपर विशेषता1 में x = y लेने पर) सभी x के लिए f(x) ≥ 0। ऊपर दी गई पहली आवश्यकता की व्याख्या करने की एक विधि यह है कि f कुछ नए बिंदु से X के बिंदुओं तक संभावित दूरी के एक सेट को परिभाषित करता है जो कि (X, d) में दूरियों के सापेक्ष त्रिकोण असमानता को पूरा करना चाहता है। दूसरी आवश्यकता बताती है कि त्रिभुज असमानता का उल्लंघन किए बिना इनमें से किसी भी दूरी को न्यूनतम नहीं किया जा सकता है।
-(एक्स, डी) का 'तंग अवधि' मीट्रिक स्पेस (टी (एक्स), δ) है, जहां
+(X, d) का 'तंग अवधि' मीट्रिक स्पेस (T (X), δ) है, जहां
 <math display=block>\delta=(\inf\{C\in\mathbb R_{\ge0}:|g(x)-f(x)|\le C\text{ for all }x\in X\})_{f,g\in T(X)}=(\|g-f\|_\infty)_{f,g\in T(X)}</math>
-Lp स्पेस#सामान्य_ℓp-स्पेस| द्वारा प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड। (यदि डी बाध्य है, तो δ एलपी स्पेस#सामान्य_ℓपी-स्पेस द्वारा प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उप-मीट्रिक है।{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड। यदि d परिबद्ध नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम फलन अपरिबद्ध है और इसलिए <math>T(X)\not\subseteq\ell^\infty(X).</math> भले ही, यह सच होगा कि टी (एक्स) में किसी भी एफ, जी के लिए अंतर <math>g-f</math> से संबंधित <math>\ell^\infty(X)</math>, यानी, घिरा हुआ है।)
+{{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड से प्रेरित मीट्रिक के अनुरूप है। (यदि d बाध्य है, तो δ {{math|''ℓ''{{i sup|∞}}}} मानदंड से प्रेरित मीट्रिक द्वारा प्रेरित उप-मीट्रिक मीट्रिक होता है। यदि d बाध्य नहीं है, तो X पर प्रत्येक चरम कार्य असीमित होता है और इसलिए <math>T(X)\not\subseteq\ell^\infty(X).</math> भले ही, यह सच होगा कि T(X) में किसी भी f,g के लिए, अंतर <math>g-f</math> का है <math>\ell^\infty(X)</math> यानी बाउंडेड है।
 == चरम कार्यों की समतुल्य परिभाषाएँ ==
-एक्स से 'आर' तक एक फलन एफ के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैं:
+X से 'R ' तक एक फलन f के लिए पहली आवश्यकता को पूरा करने के लिए, दूसरी आवश्यकता के निम्नलिखित संस्करण समतुल्य हैं:
-* X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.
+* X में प्रत्येक x के लिए, f(x) = sup{d(x,y) - f(y):y in X}.होता हैं
-* f उपरोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में बिंदुवार न्यूनतम है, अर्थात, X से 'R' तक किसी भी फलन g के लिए ऐसा है कि d(x,y) ≤ g(x) + g(y) सभी x,y in X के लिए , अगर g≤f बिन्दुवार, तो f=g.<ref name=KK>{{cite book |last1=Khamsi |first1=Mohamed A. |author1-link=Mohamed Amine Khamsi |last2=Kirk |first2=William A. |author2-link=William Arthur Kirk |title=मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय|date=2001 |publisher=Wiley}}</ref>{{rp|93, Proposition 4.6.2}}<ref group=Note>Khamsi and Kirk use this condition in their definition.</ref><ref group=Note>Khamsi and Kirk's proof shows one implication of the equivalence to the condition immediately above. The other implication is not difficult to show.</ref><ref name=DHKMS>{{cite book |last1=Dress |first1=Andreas |author1-link=Andreas Dress |last2=Huber |first2=Katharina T. |author2-link=Katharina T. Huber |last3=Koolen |first3=Jacobus |last4=Moulton |first4=Vincent |last5=Spillner |first5=Andreas |title=बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स|date=2012 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76832-0}}</ref>{{rp|at=Lemma 5.1}}
+* f पूर्वोक्त पहली आवश्यकता के संबंध में बिंदुवार न्यूनतम है, अर्थात, X से 'R' तक किसी भी फलन g के लिए ऐसा है कि d(x,y) ≤ g(x) + g(y) सभी x,y के लिए X में , अगर g≤f बिन्दुवार, तो f=g होता है.<ref name=KK>{{cite book |last1=Khamsi |first1=Mohamed A. |author1-link=Mohamed Amine Khamsi |last2=Kirk |first2=William A. |author2-link=William Arthur Kirk |title=मेट्रिक स्पेस और फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी का परिचय|date=2001 |publisher=Wiley}}</ref>{{rp|93,  प्रस्ताव 4.6.2}}<ref group=Note>Khamsi and Kirk use this condition in their definition.</ref><ref group=Note>Khamsi and Kirk's proof shows one implication of the equivalence to the condition immediately above. The other implication is not difficult to show.</ref><ref name=DHKMS>{{cite book |last1=Dress |first1=Andreas |author1-link=Andreas Dress |last2=Huber |first2=Katharina T. |author2-link=Katharina T. Huber |last3=Koolen |first3=Jacobus |last4=Moulton |first4=Vincent |last5=Spillner |first5=Andreas |title=बेसिक फाइलोजेनेटिक कॉम्बिनेटरिक्स|date=2012 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76832-0}}</ref>{{rp|at=लेम्मा 5.1}}
-* एक्स = ∅ या एक्स में मौजूद है जैसे एक्स में सभी एक्स के लिए, एफ (एक्स) ≤ डी (ए, एक्स)।<ref>{{cite book |last1=Kirk |first1=William |author1-link=William Arthur Kirk |last2=Shahzad |first2=Naseer |title=डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी|date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-10926-8 |page=24}}</ref>
+* X = ∅ या X में उपस्थित है जैसे X में सभी X के लिए, f (X) ≤ d (a, X) उपस्थित होता है।<ref>{{cite book |last1=Kirk |first1=William |author1-link=William Arthur Kirk |last2=Shahzad |first2=Naseer |title=डिस्टेंस स्पेस में फिक्स्ड पॉइंट थ्योरी|date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-10926-8 |page=24}}</ref><br />
 == मूल गुण और उदाहरण ==
-* एक्स में सभी एक्स के लिए, <math>0\le f(x).</math>
+* X में सभी X के लिए, <math>0\le f(x).</math>
-* एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए, <math>(d(x,y))_{y\in X}</math> अतिवादी है। (सबूत: समरूपता और त्रिभुज असमानता#मेट्रिक स्पेस का उपयोग करें।)<ref group="Note">I.e., the Kuratowski map <math>e(x)\in T(X).</math> We will introduce the Kuratowski map below.</ref>
+* X में प्रत्येक X के लिए, <math>(d(x,y))_{y\in X}</math> अतिवादी है। (सबूत: समरूपता और त्रिभुज असमानता#मेट्रिक स्पेस का उपयोग करें।)<ref group="Note">I.e., the Kuratowski map <math>e(x)\in T(X).</math> We will introduce the Kuratowski map below.</ref>
-* यदि X परिमित है, तो X से 'R' तक किसी भी फलन f के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, दूसरी आवश्यकता इस शर्त के बराबर है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y मौजूद है जैसे कि f(x) + एफ (वाई) = डी (एक्स, वाई)। (अगर <math>X=\emptyset,</math> तो दोनों स्थितियाँ सत्य हैं। अगर <math>X\ne\emptyset,</math> तब श्रेष्ठता प्राप्त की जाती है, और पहली आवश्यकता का तात्पर्य समानता से है।)
+* यदि X परिमित है, तो X से 'R' तक किसी भी फलन f के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, दूसरी आवश्यकता इस शर्त के बराबर है कि X में प्रत्येक x के लिए, X में y उपस्थित है जैसे कि f(x) + f (y) = d (X, y)। (अगर <math>X=\emptyset,</math> तो दोनों स्थितियाँ सत्य हैं। अगर <math>X\ne\emptyset,</math> तब श्रेष्ठता प्राप्त की जाती है, और पहली आवश्यकता का तात्पर्य समानता से है।)
-* कहें |X|=2, और विशिष्ट ए, बी चुनें जैसे कि एक्स={ए,बी}। तब <math>T(X)=\{f\in(\R_{\ge0})^X:f(a)+f(b)=d(a,b)\}</math> का उत्तल पतवार है{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}. [तस्वीर जोड़ें। कैप्शन: यदि एक्स = {0,1}, तो <math>T(X)=\{v\in(\R_{\ge0})^2:v_0+v_1=d(0,1)\}</math> {(0,1),(1,0)} का उत्तल पतवार है।]<ref name=HRS>{{cite book |last1=Huson |first1=Daniel H. |last2=Rupp |first2=Regula |last3=Scornavacca |first3=Celine |title=Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications |date=2010 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-75596-2}}</ref>{{rp|124}}
+* कहें |X|=2, और विशिष्ट ए, बी चुनें जैसे कि X={ए,बी}। तब <math>T(X)=\{f\in(\R_{\ge0})^X:f(a)+f(b)=d(a,b)\}</math> का उत्तल पतवार है<nowiki>{{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}</nowiki>. [तस्वीर जोड़ें। कैप्शन: यदि X = {0,1}, तो <math>T(X)=\{v\in(\R_{\ge0})^2:v_0+v_1=d(0,1)\}</math> {(0,1),(1,0)} का उत्तल पतवार है।]<ref name=HRS>{{cite book |last1=Huson |first1=Daniel H. |last2=Rupp |first2=Regula |last3=Scornavacca |first3=Celine |title=Phylogenetic Networks: Conceps, Algorithms and Applications |date=2010 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-75596-2}}</ref>{{rp|124}}
 * X पर प्रत्येक चरम कार्य f कातेतोव है:<ref>{{cite book |last1=Deza |first1=Michel Marie |author1-link=Michel Deza |last2=Deza |first2=Elena |author2-link=Elena Deza |title=दूरियों का विश्वकोश|date=2014 |publisher=Springer |isbn=978-3-662-44341-5 |page=47 |edition=Third}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Melleray |first1=Julien |title=उरीसोहन अंतरिक्ष के कुछ ज्यामितीय और गतिशील गुण|journal=Topology and Its Applications |date=2008 |volume=155 |issue=14 |pages=1531–1560 |doi=10.1016/j.topol.2007.04.029 |doi-access=free }}</ref>{{rp|at=Section 2}} f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और <math>\forall x,y\in X\quad f(x)\le d(x,y)+f(y),</math> या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को पूरा करता है और <math>\forall x,y\in X\quad|f(y)-f(x)|\le d(x,y)</math> (1-लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है), या समकक्ष, f पहली आवश्यकता को संतुष्ट करता है और <math>\forall x\in X\quad\sup\{f(y)-d(x,y):y\in X\}=f(x).</math><ref name=KK/>{{rp|at=Proof of Proposition 4.6.1}}<ref group=Note>The supremum is achieved with ''y=x''.</ref>
 * T(X)⊆कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस#सामान्यीकरण|C(X) पर निरंतर कार्य। (लिप्सचिट्ज़ कार्य निरंतर हैं।)
-* टी (एक्स) समान है। (X के 1-लिप्सचिट्ज़ होने पर प्रत्येक चरम कार्य से अनुसरण करता है; cf. इक्विकंटिन्यूटी # उदाहरण।)
+* T (X) समान है। (X के 1-लिप्सचिट्ज़ होने पर प्रत्येक चरम कार्य से अनुसरण करता है; cf. इक्विकंटिन्यूटी # उदाहरण।)
-* X पर प्रत्येक केटोव कार्य चरम नहीं है। उदाहरण के लिए, ए, बी को अलग होने दें, एक्स = {ए, बी}, डी = ([x≠y]) दें<sub>''x,y'' in ''X''</sub> एक्स पर [[असतत मीट्रिक]] बनें, और f = {(ए, 1), (बी, 2)} दें। फिर एफ कातेतोव है परंतु चरम नहीं है। (यह लगभग तत्काल है कि f कटेटोव है। f चरम नहीं है क्योंकि यह इस खंड की तीसरी बुलेट में विशेषताको विफल करता है।)
+* X पर प्रत्येक केटोव कार्य चरम नहीं है। उदाहरण के लिए, ए, बी को अलग होने दें, X = {ए, बी}, d = ([x≠y]) दें<sub>''x,y'' in ''X''</sub> X पर [[असतत मीट्रिक]] बनें, और f = {(ए, 1), (बी, 2)} दें। पुनः f कातेतोव है परंतु चरम नहीं है। (यह लगभग तत्काल है कि f कटेटोव है। f चरम नहीं है क्योंकि यह इस खंड की तीसरी बुलेट में विशेषताको विफल करता है।)
 * यदि d परिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f परिबद्ध है। वास्तव में, T(X) में प्रत्येक f के लिए, <math>\|f\|_\infty\le\|d\|_\infty.</math> (टिप्पणी <math>d\in\ell^\infty(X\times X).</math>) (उपर्युक्त खंड में तीसरे समकक्ष विशेषतासे अनुसरण करता है।)
 * यदि d अपरिबद्ध है, तो T(X) में प्रत्येक f अपरिबद्ध है। (पहली आवश्यकता से अनुसरण करता है।)
 * <math>T(X)</math> बिंदुवार सीमा के तहत बंद है। किसी भी बिंदुवार अभिसरण के लिए <math>f\in (T(X))^\omega,</math> <math>\lim f\in T(X).</math>
-* अगर (एक्स, डी) कॉम्पैक्ट है, तो (टी (एक्स), δ) कॉम्पैक्ट है।<ref>{{cite book |last1=Benyamini |first1=Yoav |author1-link=Yoav Benjamini |last2=Lindenstrauss |first2=Joram |author2-link=Joram Lindenstrauss |title=ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण|date=2000 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0835-1 |page=32}}</ref><ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.6.3}} (सबूत: एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम#मैट्रिक और टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यीकरण|एक्सट्रीम-वैल्यू प्रमेय का मतलब है कि डी, एक फंक्शन के रूप में निरंतर होना <math>X\times X\to\mathbb R,</math> घिरा हुआ है, इसलिए (पिछली गोली देखें) <math>T(X)\subseteq\{f\in C(X):\|f\|_\infty\le\|d\|_\infty\}</math> C(X) का परिबद्ध उपसमुच्चय है। हमने दिखाया है कि टी (एक्स) समान है, इसलिए अर्जेला-एस्कोली प्रमेय का अर्थ है कि टी (एक्स) [[अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट]] है। हालाँकि, पिछली बुलेट का तात्पर्य T(X) के तहत बंद है <math>\ell^\infty</math> मानदंड, चूंकि <math>\ell^\infty</math> अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है। इस प्रकार टी (एक्स) कॉम्पैक्ट है।)
+* अगर (X, d) कॉम्पैक्ट है, तो (T (X), δ) कॉम्पैक्ट है।<ref>{{cite book |last1=Benyamini |first1=Yoav |author1-link=Yoav Benjamini |last2=Lindenstrauss |first2=Joram |author2-link=Joram Lindenstrauss |title=ज्यामितीय गैर रेखीय कार्यात्मक विश्लेषण|date=2000 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0835-1 |page=32}}</ref><ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.6.3}} (सबूत: Xट्रीम वैल्यू थ्योरम#मैट्रिक और टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यीकरण|Xट्रीम-वैल्यू प्रमेय का मतलब है कि d, एक फंक्शन के रूप में निरंतर होना <math>X\times X\to\mathbb R,</math> घिरा हुआ है, इसलिए (पिछली गोली देखें) <math>T(X)\subseteq\{f\in C(X):\|f\|_\infty\le\|d\|_\infty\}</math> C(X) का परिबद्ध उपसमुच्चय है। हमने दिखाया है कि T (X) समान है, इसलिए अर्जेला-एस्कोली प्रमेय का अर्थ है कि T (X) [[अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट]] है। हालाँकि, पिछली बुलेट का तात्पर्य T(X) के तहत बंद है <math>\ell^\infty</math> मानदंड, चूंकि <math>\ell^\infty</math> अभिसरण का अर्थ बिंदुवार अभिसरण है। इस प्रकार T (X) कॉम्पैक्ट है।)
-* X से 'R' तक के किसी भी फलन g के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, T(X) में f मौजूद है जैसे कि f≤g बिंदुवार।<ref name=KK/>{{rp|at=Lemma 4.4}}
+* X से 'R' तक के किसी भी फलन g के लिए जो पहली आवश्यकता को पूरा करता है, T(X) में f उपस्थित है जैसे कि f≤g बिंदुवार।<ref name=KK/>{{rp|at=Lemma 4.4}}
-* एक्स पर किसी भी चरम समारोह एफ के लिए, <math>\forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.</math><ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.6.1}}<ref group=Note>The supremum is achieved with ''y=x''.</ref>
+* X पर किसी भी चरम समारोह f के लिए, <math>\forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.</math><ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.6.1}}<ref group=Note>The supremum is achieved with ''y=x''.</ref>
 * T(X) में किसी भी f,g के लिए अंतर <math>g-f</math> से संबंधित <math>\ell^\infty(X)</math>, यानी, बंधा हुआ है। (उपरोक्त गोली का प्रयोग करें।)
 * कुराटोव्स्की मानचित्र<ref name=HRS/>{{rp|125}} <math>e:=((d(x,y))_{y\in X})_{x\in X}</math> एक [[आइसोमेट्री]] है। (जब X=∅, परिणाम स्पष्ट होता है। जब X≠∅, विपरीत त्रिकोण असमानता का अर्थ परिणाम होता है।)
-* मान लीजिए कि T(X) में f है। X में किसी a के लिए, यदि f(a)=0, तो f=e(a).<ref name=DHKMS/>{{rp|at=Lemma 5.1}} (एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए हमारे पास है <math>(e(a))(x)=d(a,x)\le f(a)+f(x)=f(x).</math> एफ की न्यूनतमता (उपरोक्त खंड में दूसरा समकक्ष लक्षण वर्णन) और तथ्य यह है कि <math>e(a)</math> इसके उपरांत की पहली आवश्यकता को पूरा करता है <math>f=e_a.</math>)
+* मान लीजिए कि T(X) में f है। X में किसी a के लिए, यदि f(a)=0, तो f=e(a).<ref name=DHKMS/>{{rp|at=Lemma 5.1}} (X में प्रत्येक X के लिए हमारे पास है <math>(e(a))(x)=d(a,x)\le f(a)+f(x)=f(x).</math> f की न्यूनतमता (उपरोक्त खंड में दूसरा समकक्ष लक्षण वर्णन) और तथ्य यह है कि <math>e(a)</math> इसके उपरांत की पहली आवश्यकता को पूरा करता है <math>f=e_a.</math>)
 *(X,d) [[अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान|अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्पेस]] है यदि और केवल यदि (T(X),δ) अतिशयोक्तिपूर्ण है।<ref name=DHKMS/>{{rp|at=Theorem 5.3}}
-== हाइपरकोन्वेक्सिटी गुण ==
+== हाइपरकोन्वेक्सिT गुण ==
-* (टी(एक्स),δ) और <math display=block>\left(X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(T(X)\setminus\operatorname{range}e)\times(T(X)\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in T(X)\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> दोनों इंजेक्शन मेट्रिक स्पेस हैं।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.1}}
+* (T(X),δ) और <math display=block>\left(X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(T(X)\setminus\operatorname{range}e)\times(T(X)\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in T(X)\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> दोनों इंजेक्शन मेट्रिक स्पेस हैं।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.1}}
-* किसी भी वाई के लिए ऐसा है <math>\operatorname{range}e\subseteq Y\subsetneq X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),</math> <math display=block>\left(X\cup(Y\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(Y\setminus\operatorname{range}e)\times(Y\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in Y\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> अतिउत्तल नहीं है।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.2}} ((टी (एक्स), δ) (एक्स, डी) का एक अतिउत्तल पतवार है।)
+* किसी भी y के लिए ऐसा है <math>\operatorname{range}e\subseteq Y\subsetneq X\cup(T(X)\setminus\operatorname{range}e),</math> <math display=block>\left(X\cup(Y\setminus\operatorname{range}e),\delta_{(Y\setminus\operatorname{range}e)\times(Y\setminus\operatorname{range}e)}\cup(\delta(e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup(\delta(e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus\operatorname{range}e}\cup(\delta(f,e(y))_{f\in Y\setminus\operatorname{range}e,y\in X}\right)</math> अतिउत्तल नहीं है।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.2}} ((T (X), δ) (X, d) का एक अतिउत्तल पतवार है।)
-* होने देना <math>(H,\varepsilon)</math> के सापेक्ष एक अतिउत्तल मीट्रिक स्पेस हो <math>X\subseteq H</math> और <math>\varepsilon|_{X\times X}=\delta</math>. अगर सभी के लिए मैं सापेक्ष <math>X\subseteq I\subsetneq H,</math> <math>(I,\varepsilon|_{I\times I})</math> तब अतिउत्तल नहीं है <math>(H,\varepsilon)</math> और (टी(एक्स),δ) आइसोमेट्री#आइसोमेट्री परिभाषा हैं।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.1}} ((एक्स, डी) का प्रत्येक हाइपरकॉन्वेक्स हल (टी (एक्स), δ) के सापेक्ष आइसोमेट्रिक है।)
+* होने देना <math>(H,\varepsilon)</math> के सापेक्ष एक अतिउत्तल मीट्रिक स्पेस हो <math>X\subseteq H</math> और <math>\varepsilon|_{X\times X}=\delta</math>. अगर सभी के लिए मैं सापेक्ष <math>X\subseteq I\subsetneq H,</math> <math>(I,\varepsilon|_{I\times I})</math> तब अतिउत्तल नहीं है <math>(H,\varepsilon)</math> और (T(X),δ) आइसोमेट्री#आइसोमेट्री परिभाषा हैं।<ref name=KK/>{{rp|at=Proposition 4.7.1}} ((X, d) का प्रत्येक हाइपरकॉन्वेक्स हल (T (X), δ) के सापेक्ष आइसोमेट्रिक है।)
 == उदाहरण ==

Anonymous

Search

तंग अवधि: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 10:22, 28 April 2023

Contents

परिभाषा

चरम कार्यों की समतुल्य परिभाषाएँ

मूल गुण और उदाहरण

हाइपरकोन्वेक्सिT गुण

उदाहरण

तंग अवधि का आयाम जब X परिमित है

वैकल्पिक परिभाषाएँ

अनुप्रयोग

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Navigation

Wiki tools

Wiki tools

Anonymous

Search

तंग अवधि: Difference between revisions

Revision as of 10:22, 28 April 2023

परिभाषा

चरम कार्यों की समतुल्य परिभाषाएँ

मूल गुण और उदाहरण

हाइपरकोन्वेक्सिT गुण

उदाहरण

तंग अवधि का आयाम जब X परिमित है

वैकल्पिक परिभाषाएँ

अनुप्रयोग

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

बाहरी संबंध

Navigation

Wiki tools

Page tools

Other projects

Categories