हार्मोनिक मैप: Difference between revisions

[[ अंतर ज्यामिति | अंतर ज्यामिति]] के गणितीय क्षेत्र में, [[ रीमैनियन कई गुना |रीमैनियन कई गुना]] के बीच निर्बाध मैप को [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक कार्य]] जाता है यदि इसके समन्वय प्रतिनिधि निश्चित अरेखीय [[आंशिक विभेदक समीकरण]] को संतुष्ट करते हैं। मानचित्रण के लिए यह आंशिक अवकल समीकरण प्रकार्यात्मक के [[यूलर-लैग्रेंज समीकरण]] के रूप में भी उत्पन्न होता है जिसे डाइरिचलेट ऊर्जा कहा जाता है। इस प्रकार, हार्मोनिक मानचित्रों के सिद्धांत में रिमेंनियन ज्यामिति में [[ geodesic |जियोडेसिक]] इकाई-गति जियोडेसिक्स के सिद्धांत और हार्मोनिक कार्यों के सिद्धांत दोनों सम्मिलित हैं।

अनौपचारिक रूप से, मानचित्रण की [[डिरिचलेट ऊर्जा]] {{mvar|f}} रिमेंनियन मैनिफोल्ड से {{mvar|M}} रिमेंनियन मैनिफोल्ड के लिए {{mvar|N}} को कुल राशि के रूप में माना जा सकता है {{mvar|f}} खिंचता है {{mvar|M}} इसके प्रत्येक तत्व को बिंदु पर आवंटित करने में {{mvar|N}}. उदाहरण के लिए, बिना फैला हुआ [[रबर बैंड]] और सुचारू पत्थर दोनों को स्वाभाविक रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के रूप में देखा जा सकता है। पत्थर पर रबर बैंड को खींचने के किसी भी विधि को इन मैनिफोल्ड के बीच मैपिंग के रूप में देखा जा सकता है, और इसमें सम्मिलित कुल तनाव को डिरिचलेट ऊर्जा द्वारा दर्शाया जाता है। इस तरह के मानचित्रण की सामंजस्यता का अर्थ है कि दिए गए खिंचाव को शारीरिक रूप से विकृत करने के किसी भी काल्पनिक विधि को देखते हुए, विरूपण प्रारंभ होने पर तनाव (जब समय के कार्य के रूप में माना जाता है) का पहला व्युत्पन्न शून्य के समान होता है।

हार्मोनिक मानचित्रों का सिद्धांत 1964 में [[जेम्स एल्स]] और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा प्रारंभ किया गया था, जिन्होंने दिखाया था कि कुछ ज्यामितीय संदर्भों में, इच्छानुसार नक्शे हार्मोनिक मानचित्रों में [[होमोटॉपी]] हो सकते हैं।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Sampson|1y=1964|1loc=Section 11A}} उनका काम रिचर्ड एस. हैमिल्टन के [[रिक्की प्रवाह]] पर प्रारंभिक काम के लिए प्रेरणा था। [[ज्यामितीय विश्लेषण]] के क्षेत्र में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए विषयों में हार्मोनिक मानचित्र और संबंधित हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह स्वयं में और हैं।

{{mvar|U}} को {{math|ℝ^''m''}} का एक खुला उपसमुच्चय होने दें और {{mvar|V}} को {{math|ℝ^''n''}} का एक खुला उपसमुच्चय होने दें। 1 और {{mvar|n}} के बीच प्रत्येक {{mvar|i}} और {{mvar|j}} के लिए, {{math|''g''_''ij''}} को {{mvar|U}} पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान फलन होने दें, जैसे कि {{mvar|U}} में प्रत्येक {{mvar|p}} के लिए, एक के पास {{math|''m'' × ''m''}} [[मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स]] {{math|[''g_ij''(''p'')]}} और सकारात्मक-निश्चित है . 1 और {{mvar|m}} के बीच प्रत्येक {{mvar|α}} और {{mvar|β}} के लिए, {{math|''h''_''αβ''}} को {{mvar|V}} पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान कार्य होने दें, जैसे कि {{mvar|V}} में प्रत्येक {{mvar|q}} के लिए, {{math|''n'' × ''n''}} मैट्रिक्स{{math|[''h_αβ''(''q'')]}} सममित और सकारात्मक-निश्चित है . प्रतिलोम आव्यूहों को {{math|[''g^ij''(''p'')]}} और {{math|[''h^αβ''(''q'')]}} से निरूपित करें।

एक सुचारू नक्शा दिया {{mvar|f}} से {{mvar|U}} को {{mvar|V}}, इसका दूसरा मूलभूत रूप प्रत्येक के लिए परिभाषित करता है {{mvar|i}} और {{mvar|j}} 1 और के बीच {{mvar|m}} और प्रत्येक के लिए {{mvar|α}} 1 और के बीच {{mvar|n}} वास्तविक-मूल्यवान कार्य {{math|∇(''df'')^''α''_''ij''}} पर {{mvar|U}} द्वारा{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=p.349|2a1=Eells|2a2=Lemaire|2y=1978|2loc=p.9|3a1=Eells|3a2=Lemaire|3y=1983|3loc=p.15|4a1=Hamilton|4y=1975|4loc=p.4}}

इसका लाप्लासियन प्रत्येक के लिए परिभाषित करता है {{mvar|α}} 1 और के बीच {{mvar|n}} वास्तविक-मूल्यवान कार्य {{math|(∆''f'')^''α''}} पर {{mvar|U}} द्वारा{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Definition 10.2|2a1=Eells|2a2=Lemaire|2y=1978|2loc=p.9|3a1=Eells|3a2=Lemaire|3y=1983|3loc=p.15|4a1=Eells|4a2=Sampson|4y=1964|4loc=Section 2B|5a1=Hamilton|5y=1975|5loc=p.4|6a1=Lin|6a2=Wang|6y=2008|6loc=p.3}}

चलो {{math|(''M'', ''g'')}} और {{math|(''N'', ''h'')}} रीमैनियन कई गुना हो। {{mvar|M}} से {{mvar|N}} तक एक सुचारू मानचित्र {{mvar|f}} दिया गया है, कोई वेक्टर बंडल {{math|''T''^*''M'' ⊗ ''f''^*''TN''}} ऊपर {{mvar|M}} के एक खंड के रूप में इसके अंतर {{math|''df''}} पर विचार कर सकता है; इसका अर्थ यह है कि {{mvar|M}} में प्रत्येक {{mvar|p}} के लिए, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान {{math|''T_pM'' → ''T_f(p)N''}} के बीच एक रैखिक मानचित्र {{math|''df''_''p''}} है। [7] वेक्टर बंडल{{math|''T''^*''M'' ⊗ ''f''^*''TN''}} में {{mvar|M}} और {{mvar|N}} पर लेवी-सिविता कनेक्शन से प्रेरित एक कनेक्शन है।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1983|1loc=p.4}} तो कोई सहसंयोजक व्युत्पन्न {{math|∇(''df'')}} ले सकता है, जो सदिश बंडल {{math|''T''^*''M'' ⊗ ''T''^*''M'' ⊗ ''f''^*''TN''}} ऊपर {{mvar|M}} का एक भाग है; कहने का तात्पर्य यह है कि {{mvar|M}} में प्रत्येक {{mvar|p}} के लिए, किसी के पास स्पर्शरेखा रिक्त स्थान {{math|''T_pM'' × ''T_pM'' → ''T_f(p)N''}} का एक द्विरेखीय नक्शा {{math|(∇(''df''))_''p''}} होता है।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1978|1loc=p.8|2a1=Eells|2a2=Sampson|2y=1964|2loc=Section 3B|3a1=Hamilton|3y=1975|3loc=p.4}} इस खंड को {{mvar|f}} के हेसियन के रूप में जाना जाता है।

{{mvar|g}} का उपयोग करके, {{mvar|f}} के लेपलासीन पर पहुंचने के लिए {{mvar|f}} के हेसियन का पता लगाया जा सकता है, जो बंडल {{math|''f''^*''TN''}} ऊपर {{mvar|M}}; का एक भाग है; यह कहता है कि {{mvar|f}} का लैपलेशियन प्रत्येक {{mvar|p}} को {{mvar|M}} में स्पर्शरेखा स्थान {{math|''T''_''f''(''p'')''N''}} का एक तत्व प्रदान करता है।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1978|1loc=p.9|2a1=Hamilton|2y=1975|2loc=p.4|3a1=Jost|3y=2017|3loc=p.494}} ट्रेस संचालिका की परिभाषा के अनुसार, लैपलासीन को इस रूप में लिखा जा सकता है

वैकल्पिक रूप से, बंडल औपचारिकता में, {{mvar|M}} और {{mvar|N}} पर रिमेंनियन मेट्रिक्स {{math|''T''^*''M'' ⊗ ''f''^*''TN''}} पर एक बंडल मीट्रिक प्रेरित करते हैं, और इसलिए ऊर्जा घनत्व को सुचारू कार्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। {{math|{{sfrac|1|2}} {{!}} ''df'' {{!}}²}} पर {{mvar|M}}.{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1978|1loc=p.10|2a1=Eells|2a2=Lemaire|2y=1983|2loc=p.13|3a1=Jost|3y=2017|3loc=p.490-491}} यह भी संभव है कि ऊर्जा घनत्व को पहले मौलिक रूप के {{mvar|g}} ट्रेस द्वारा (आधा) दिया जा रहा है।{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Definition 10.1|2a1=Eells|2a2=Lemaire|2y=1978|2loc=p.10|3a1=Eells|3a2=Lemaire|3y=1983|3loc=p.13|4a1=Eells|4a2=Sampson|4y=1964|4loc=Section 1A|5a1=Jost|5y=2017|5loc=p.490-491|6a1=Schoen|6a2=Yau|6y=1997|6loc=p.1}} दृष्टिकोण के अतिरिक्त , ऊर्जा घनत्व {{math|''e''(''f'')}} {{mvar|M}} पर कार्य है जो सुचारू और गैर-ऋणात्मक है। यदि {{mvar|M}} उन्मुख है और {{mvar|M}} सघन है, {{mvar|f}} की डिरिचलेट ऊर्जा परिभाषित किया जाता है

डिरिचलेट ऊर्जा के लिए भिन्नता सूत्र डिरिचलेट ऊर्जा {{math|''E''(''f'')}} व्युत्पत्ति की गणना करते हैं क्योंकि मैपिंग {{mvar|f}} विकृत है। इसके लिए, मानचित्रों के एक-पैरामीटर वर्ग पर विचार करें {{math|''f''_''s'' : ''M'' → ''N''}} {{math|''f''₀ {{=}} ''f''}} के साथ जिसके लिए {{mvar|M}} का एक प्रीकंपैक्ट ओपन सेट {{mvar|K}} उपस्थित है जैसे कि {{math|''f''_''s''{{!}}_{''M'' − ''K''} {{=}} ''f''{{!}}_{''M'' − ''K''}}} सभी {{mvar|s}};के लिए मानता है कि पैरामीट्रिज्ड वर्ग इस मायने में सुचारू है कि संबंधित मानचित्र {{math|(−ε, ε) × ''M'' → ''N''}} द्वारा दिए गए {{math|(''s'', ''p'') ↦ ''f''_''s''(''p'')}} सुचारू है।

प्रथम भिन्नता सूत्र के कारण, लाप्लासियन का {{mvar|f}} को डिरिचलेट ऊर्जा की प्रवणता के रूप में सोचा जा सकता है; तदनुसार, हार्मोनिक नक्शा डिरिचलेट ऊर्जा का महत्वपूर्ण बिंदु है।{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Definition 10.3|2a1=Eells|2a2=Lemaire|2y=1978|2loc=p.11|3a1=Eells|3a2=Lemaire|3y=1983|3loc=p.14}} यह औपचारिक रूप से [[वैश्विक विश्लेषण]] और बनच कई गुना की भाषा में किया जा सकता है।

: याद रखें कि यदि {{mvar|M}} आयामी है, तो {{mvar|f}} की न्यूनतम {{mvar|''f''}} के जियोडेसिक होने के समान है , चूँकि इसका अर्थ यह नहीं है कि यह स्थिर-गति वाला पैरामीट्रिजेशन है, और इसलिए इसका अर्थ यह नहीं है की {{mvar|f}} जियोडेसिक विभेदक समीकरण को हल करता है।

होने देना {{math|(''M'', ''g'')}} और {{math|(''N'', ''h'')}} सुचारू रीमैनियन मैनिफोल्ड्स बनें अंतराल {{math|(''a'', ''b'')}} पर हार्मोनिक नक्शा गर्मी प्रवाह प्रत्येक {{mvar|t}} में {{math|(''a'', ''b'')}} दो बार अलग-अलग नक्शा {{math|''f''_''t'' : ''M'' → ''N''}} इस तरह से असाइन करता है कि, {{mvar|M}} में {{mvar|p}} प्रत्येक के लिए , वो नक्शा {{math|(''a'', ''b'') → ''N''}} {{math|''t'' ↦ ''f''_{''t ''}(''p'')}} अलग-अलग है, और {{mvar|t}} इसका व्युत्पन्न दिए गए मान पर इसका व्युत्पन्न, {{math|''T''_{''f''_{''t ''}(''p'')}''N''}} में एक वेक्टर के रूप में,{{math|(∆'' f''_{''t ''})_''p''}} के समान है। इसे सामान्यतः संक्षिप्त किया जाता है:

* नियमितता। मानचित्र के रूप में कोई हार्मोनिक मानचित्र {{math|(''a'', ''b'') × ''M'' → ''N''}} द्वारा दिए गए {{math|(''t'', ''p'') ↦ ''f''_''t''(''p'')}}.ताप प्रवाह सुचारू है

* अस्तित्व। {{mvar|M}} से {{mvar|N}} तक एक लगातार अलग-अलग मानचित्र {{math|''f''}} को देखते हुए, अंतराल {{math|(0, ''T'')}} पर एक सकारात्मक संख्या {{mvar|T}} और एक हार्मोनिक नक्शा ताप प्रवाह {{math|''f''_''t''}} उपस्थित है, जैसे कि {{math|''C''¹}} टोपोलॉजी में {{math|''f''_''t''}} , {{math|''f''}} में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि {{mvar|t}} 0 तक घट जाती है।<ref>This means that, relative to any local coordinate charts, one has uniform convergence on compact sets of the functions and their first partial derivatives.</ref>

*विशिष्टता। {{math|<nowiki>{</nowiki>'' f''_''t'' : 0 < ''t'' < ''T ''<nowiki>}</nowiki>}} और {{math|<nowiki>{</nowiki>{{overline|'' f ''}}_''t'' : 0 < ''t'' < {{overline|''T''}} <nowiki>}</nowiki>}} अस्तित्व प्रमेय के अनुसार दो हार्मोनिक मैप उष्णता प्रवाह हैं, फिर{{math|''f''_''t'' {{=}} {{overline|''f ''}}_''t''}} जहां {{math|0 < ''t'' < min(''T'', {{overline|''T''}})}} है।

विशिष्टता प्रमेय के परिणामस्वरूप, प्रारंभिक डेटा {{math|''f''}} के साथ अधिकतम हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह उपस्थित है , जिसका अर्थ है कि किसी के पास हार्मोनिक मैप उष्णता प्रवाह{{math|<nowiki>{</nowiki>'' f''_''t'' : 0 < ''t'' < ''T ''<nowiki>}</nowiki>}} है अस्तित्व प्रमेय के कथन के रूप में, और यह विशिष्ट रूप से अतिरिक्त मानदंड के तहत परिभाषित किया गया है {{mvar|T}} इसका अधिकतम संभव मान लेता है, जो अनंत हो सकता है।

=== एकवचन और अशक्त समाधान ===

एल्स और सैम्पसन के काम के बाद कई वर्षों तक, यह स्पष्ट नहीं था कि अनुभागीय वक्रता की धारणा किस हद तक है {{math|(''N'', ''h'')}} आवश्यक था। 1992 में कुंग-चिंग चांग, ​​वेई-यू डिंग और रगांग ये के काम के बाद, यह व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है कि हार्मोनिक नक्शा गर्मी प्रवाह के अस्तित्व का अधिकतम समय सामान्यतः अनंत होने की उम्मीद नहीं की जा सकती।{{sfnm|1a1=Chang|1a2=Ding|1a3=Ye|1y=1992|2a1=Lin|2a2=Wang|2y=2008|2loc=Section 6.3}} उनके परिणाम दृढ़ता से सुझाव देते हैं कि हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह दोनों के होने पर भी परिमित-समय के विस्फोट के साथ होता है {{math|(''M'', ''g'')}} और {{math|(''N'', ''h'')}} को इसके मानक मीट्रिक के साथ द्वि-आयामी क्षेत्र के रूप में लिया जाता है। चूंकि अण्डाकार और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण विशेष रूप से सुचारू होते हैं जब डोमेन दो आयाम होता है, चांग-डिंग-ये परिणाम को प्रवाह के सामान्य चरित्र का संकेत माना जाता है।

सैक्स और उहलेनबेक के मौलिक कार्यों पर आधारित, [[माइकल स्ट्रूवे]] ने उस स्थिति पर विचार किया जहां पर कोई ज्यामितीय धारणा नहीं थी {{math|(''N'', ''h'')}} से बना। उस स्थिति में {{mvar|M}} द्वि-आयामी है, उन्होंने हार्मोनिक मैप उष्णता प्रवाह के [[कमजोर समाधान|अशक्त समाधान]] के लिए बिना नियम अस्तित्व और विशिष्टता की स्थापना की।{{sfnm|1a1=Struwe|1y=1985}} इसके अतिरिक्त , उन्होंने पाया कि उनके अशक्त समाधान बहुत से अंतरिक्ष-समय बिंदुओं से आसानी से दूर हो जाते हैं, जिस पर ऊर्जा घनत्व केंद्रित होता है। सूक्ष्म स्तरों पर, इन बिंदुओं के निकट प्रवाह को बुलबुले द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, अर्थात गोल 2-गोले से लक्ष्य में सहज हार्मोनिक नक्शा। वेइयु डिंग और [[ गिरोह टीआई प्रेस |गिरोह टीआई प्रेस]] एकवचन समय में ऊर्जा परिमाणीकरण को सिद्ध करने में सक्षम थे, जिसका अर्थ है कि स्ट्रूवे के अशक्त समाधान की डिरिचलेट ऊर्जा, विलक्षण समय पर, उस समय विलक्षणता के अनुरूप बुलबुले की कुल डिरिचलेट ऊर्जा के योग से कम हो जाती है। .{{sfnm|1a1=Ding|1a2=Tian|1y=1995}}

स्ट्रूवे बाद में अपने विधि को उच्च आयामों में अनुकूलित करने में सक्षम थे, इस स्थिति में कि डोमेन मैनिफोल्ड [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] है;{{sfnm|1a1=Struwe|1y=1988}} उन्होंने और युन मेई चेन ने भी उच्च-आयामी बंद मैनिफोल्ड्स पर विचार किया।{{sfnm|1a1=Chen|1a2=Struwe|1y=1989}} उनके परिणाम निम्न आयामों की तुलना में कम प्राप्त हुए, केवल अशक्त समाधानों के अस्तित्व को सिद्ध करने में सक्षम होने के कारण जो खुले घने उपसमुच्चय पर सहज हैं।

यह हार्मोनिक मानचित्रों के विश्लेषण में भी रूचि रखता है। कल्पना करना {{math|''f'' : ''M'' → ''N''}} हार्मोनिक है; किसी भी हार्मोनिक मानचित्र को निरंतर-इन-के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|t}} हार्मोनिक मैप उष्णता प्रवाह का समाधान, और इसलिए उपरोक्त सूत्र से प्राप्त होता है{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Lemma 10.11|2a1=Eells|2a2=Sampson|2y=1964|2loc=Section 3C|3a1=Jost|3y=1997|3loc=Formula 5.1.18|4a1=Jost|4y=2017|4loc=Formula 9.2.13|5a1=Lin|5a2=Wang|5y=2008|5loc=Theorem 1.5.1}}

यदि {{mvar|g}} रिक्की की वक्रता सकारात्मक है और {{mvar|h}} का [[अनुभागीय वक्रता]] सकारात्मक नहीं है, तो इसका तात्पर्य है कि {{math|∆''e''(''f'')}} अऋणात्मक है। यदि {{mvar|M}} बंद है, तो {{math|''e''(''f'')}} गुणा और भागों द्वारा एकल एकीकरण यह दर्शाता है कि {{math|''e''(''f'')}} स्थिर होना चाहिए, और इसलिए शून्य; इस तरह {{mvar|f}} स्वयं स्थिर होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Corollary 10.12|2a1=Eells|2a2=Sampson|2y=1964|2loc=Section 3C|3a1=Jost|3y=1997|3loc=Theorem 5.1.2|4a1=Jost|4y=2017|4loc=Corollary 9.2.3|5a1=Lin|5a2=Wang|5y=2008|5loc=Proposition 1.5.2}} रिचर्ड स्कोएन और [[शिंग-तुंग यौ]] ने नोट किया कि इस तर्क को नॉनकॉम्पैक्ट {{mvar|M}} तक बढ़ाया जा सकता है यौ के प्रमेय का उपयोग करके यह दावा करते हुए कि गैर-ऋणात्मक [[सबहार्मोनिक फ़ंक्शन|सबहार्मोनिक कार्य]] जो {{math|''L''²}}-बाध्य स्थिर होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Schoen|1a2=Yau|1y=1976|1loc=p.336-337}} संक्षेप में, इन परिणामों के अनुसार, किसी के पास है: