प्रचारक: Difference between revisions

[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वान्टम क्षेत्र सिद्धांत में '''प्रचारक''' एक ऐसा फलन है जो किसी कण के लिए एक निश्चित समय में एक समष्टि से दूसरे समष्टि पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन के फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>

गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक [[प्राथमिक कण]] के लिए समष्टििक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे समष्टििक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक मुक्त या गैर-अंतःक्रियात्मक अदिश क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है यह [[स्पिन (भौतिकी)|प्रचक्रण (भौतिकी)]] शून्य कणों का वर्णन करता है मुक्त अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं अब हम सबसे सामान्य का वर्णन करते हैं।

जहाँ {{mvar|x}}, {{mvar|y}} और <math>J_1</math> प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है व्यंजक <math>y \prec x</math> का अर्थ है {{mvar|y}} यथोचित रूप से {{mvar|x}} से पहले आता है जो मिंकोस्की स्पेसटाइम के लिए है:  

दोनों ध्रुवों के नीचे वामावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रचारक देता है यह शून्य है यदि {{mvar|x-y}} समष्टि या {{math|''x'' ⁰> ''y'' ⁰}} है अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} के अतीत में है तब समोच्च का यह चुनाव सीमा की गणना के बराबर है:<ref>{{cite book |last1=Scharf |first1=Günter |title=परिमित क्वांटम विद्युतगतिकी, कारणात्मक दृष्टिकोण|date=13 November 2012 |publisher=Springer |isbn=978-3-642-63345-4 |pages=89}}</ref><math display="block">

</math>यह अभिव्यक्ति मुक्त अदिश क्षेत्र के [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] के वैक्यूम आपेक्षित मान के संदर्भ में भी व्यक्त की जा सकती है:<math display="block">G_\text{adv}(x,y) = -i \langle 0|\left[ \Phi(x), \Phi(y) \right]|0\rangle \Theta(y^0 - x^0)~.</math>

1948 में [[रिचर्ड फेनमैन]] द्वारा प्रस्तुत किए गए फेनमैन प्रचारक, बाएं ध्रुव के नीचे और दाएं ध्रुव के ऊपर जाने वाला एक समोच्च देता है।<ref>{{Citation |last=Feynman |first=R. P. |title=Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics |url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789812567635_0002 |work=Feynman's Thesis — A New Approach to Quantum Theory |year=2005 |pages=71–109 |publisher=WORLD SCIENTIFIC |language=en |doi=10.1142/9789812567635_0002 |bibcode=2005ftna.book...71F |isbn=978-981-256-366-8 |access-date=2022-08-17}}</ref> जो समोच्च के चुनाव सीमा की गणना के बराबर है:<ref>{{cite book |last=Huang |first=Kerson |title=Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals |publisher=John Wiley & Sons |year=1998 |isbn=0-471-14120-8 |location=New York |page=30 |author-link=Kerson Huang}}</ref><math display="block">G_F(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2 -  m^2 + i\varepsilon} = \begin{cases}

\end{cases} </math>यहाँ

जहां x और y मिंकोवस्की स्पेसटाइम में दो बिंदु हैं और घातांक में बिन्दु चार-सदिश आंतरिक उत्पाद {{math|''H''₁⁽¹⁾}} एक हैंकेल फलन है और K1 एक संशोधित बेसेल फलन है।

यह अभिव्यक्ति प्रत्यक्ष क्षेत्र सिद्धांत से मुक्त अदिश क्षेत्र के समय-आदेशित उत्पाद के निर्वात अपेक्षित मान के रूप में प्राप्त की जा सकती है अर्थात, उत्पाद सदियाव ऐसा लिया जाता है जिसके कारण स्पेसटाइम बिंदुओं का समय क्रम समान होता है:<math display="block">

यह अभिव्यक्ति [[लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय]] है जब तक कि क्षेत्र संक्रियक एक दूसरे के साथ तब तक चलते हैं जब बिंदु x और y को स्पेसलाइक अंतराल द्वारा अलग किया जाता है और सामान्य व्युत्पत्ति लोरेंत्ज़ सहसंयोजक सामान्यीकरण के साथ क्षेत्रों के बीच एकल-कण संवेग स्थिति का एक समुच्चय सम्मिलित करना है और फिर यह दिखाने के लिए कि Θ फलन समय आदेश प्रदान करने के लिए ऊर्जा अक्ष के साथ एक समोच्च समाकल द्वारा प्राप्त किया जा सकता है यदि ध्रुव को वास्तविक रेखा से दूर ले जाने के लिए समाकलन ऊपर जैसा है तो अत्यल्प काल्पनिक भाग प्रचारक को क्वांटम सिद्धांत के पथ समाकल सूत्रीकरण का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

स्थिति समष्टि प्रचारक के फूरियर रूपांतरण को [[ गति स्थान |गति समष्टि]] में प्रचारक के रूप में सोचा जा सकता है। ये समष्टि प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप मे होते हैं और वे प्रायः एक {{mvar|ε}} स्पष्ट शब्द के साथ लिखे जाते हैं हालांकि इसको संक्षिप्त रूप में समझा जाता है जिसके विषय में समाकल समोच्च उपयुक्त है (ऊपर देखें)। यह {{mvar|ε}} शब्द सीमा शर्तों और करणीयता (नीचे देखें) को सम्मिलित करने के लिए सम्मिलित किया गया है।

[[4-गति]] के लिए {{mvar|p}} संवेग समष्टि में कारण फेनमैन प्रचारक हैं:

फेनमैन आरेख गणनाओं के प्रयोजनों के लिए सामान्य रूप से इन्हें एक अतिरिक्त समग्र फलन {{mvar|−i}} के साथ लिखना सुविधाजनक होता है।

===प्रकाश की तुलना में तीव्र===

फेनमैन प्रचारक के पास कुछ विशेष गुण हैं जो पहली बार में प्रभावी लगते हैं विशेष रूप से, दिकपरिवर्तक के विपरीत प्रचारक प्रकाश शंकु के बाहर शून्य नहीं है हालांकि यह मुख्य अंतराल के लिए तीव्रता से कम होता है कण की गति के लिए एक आयाम के रूप में व्याख्या की गई है कि यह प्रकाश की तुलना में तीव्रता से यात्रा करने वाले आभासी कण का अनुवाद करता है यह शीघ्र स्पष्ट नहीं होता है कि इसे फलन के साथ कैसे सामंजस्य स्थापित किया जा सकता है क्या हम प्रकाश-से-प्रकाश संदेशों को भेजने के लिए तीव्रता से प्रकाश आभासी कणों का उपयोग कर सकते हैं? उत्तर नहीं है: जबकि [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] में अंतराल जिसके साथ कण और कारणात्मक प्रभाव यात्रा कर सकते हैं यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अब सत्य नहीं है जहां यह दिकपरिवर्तक हैं जो निर्धारित करते हैं कि कौन से संक्रियक एक दूसरे को प्रभावित कर सकते है तब प्रचारक का स्पेसलाइक भाग क्या दर्शाता है? क्यूएफटी में निर्वात एक सक्रिय भागीदार है [[कण संख्या]] और क्षेत्र मान एक अनिश्चितता सिद्धांत से संबंधित हैं कण संख्या शून्य के लिए भी क्षेत्र मान अनिश्चित हैं यदि कोई इसे समष्टि रूप से मापता है या, अधिक शुद्ध होने के लिए यदि कोई एक छोटे क्षेत्र में क्षेत्र के औसत से प्राप्त संक्रियक को मापता है तो क्षेत्र के निर्वात मान में एक महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव का पता लगाने के लिए एक गैर-शून्य संभाव्यता आयाम है। इसके अतिरिक्त क्षेत्रों की गतिशीलता अपेक्षाकृत समष्टि रूप से सहसंबद्ध उतार-चढ़ाव का पक्ष लेती है स्पेसलाइक-पृथक क्षेत्रों के लिए गैर-शून्य समय-आदेशित उत्पाद तब इन वैक्यूम उतार-चढ़ाव में एक गैर-समष्टि सहसंबंध के लिए आयाम को मापता है जो [[ईपीआर विरोधाभास]] सहसंबंध के अनुरूप होता है अर्थात प्रचारक को प्रायः मुक्त क्षेत्र के लिए दो-बिंदु सहसंबंध फलन कहा जाता है।

चूंकि, क्वांटम क्षेत्र सिद्धान्त की अभिधारणाओं के अनुसार सभी प्रेक्षण योग्य संक्रियक स्पेसलाइक पृथक्करण पर एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं संदेश इन सहसंबंधों के माध्यम से किसी भी अन्य ईपीआर सहसंबंधों के माध्यम से नहीं भेजे जा सकते हैं प्रायः सहसंबंध यादृच्छिक चर में होते हैं।

आभासी कणों के संबंध में स्पेसलाइक पृथक्करण पर प्रचारक को आभासी कण-प्रतिपक्षी संबंध बनाने के लिए आयाम की गणना के साधन के रूप में माना जा सकता है जो अंततः वैक्यूम में लुप्त हो जाता है या वैक्यूम से उभरने वाली आभासी संबंध का पता लगाने के लिए फेनमैन की भाषा में, इस प्रकार के निर्माण और विनाश की प्रक्रिया एक आभासी कण के बराबर होती है जो आवर्तकाल के माध्यम से पीछे और आगे घूमते हैं और इसे प्रकाश शंकु के बाहर ले जा सकते हैं हालांकि समय में वापस संकेतन की स्वीकृति नहीं होती है।

==== सीमा का उपयोग करते हुए स्पष्टीकरण ====

द्रव्यमान रहित फोटॉन के लिए प्रचारक को निम्नलिखित रूप में लिखकर इसे और स्पष्ट किया जा सकता है:<math display="block">G^\varepsilon_F(x, y) = \frac{\varepsilon}{(x - y)^2 + i \varepsilon^2}.</math>

यह सामान्य परिभाषा है लेकिन के एक कारक द्वारा सामान्यीकृत है <math>\varepsilon</math> का नियम यह है कि एक गणना के अंत में केवल <math>\varepsilon \to 0</math> की सीमा निर्धारित होती है:<math display="block">G^\varepsilon_F(x, y) = \frac{1}{\varepsilon} \quad\text{if}~~~ (x - y)^2 = 0,</math>और<math display="block">\lim_{\varepsilon \to 0} G^\varepsilon_F(x, y) = 0 \quad\text{if}~~~ (x - y)^2 \neq 0.</math>

इसका तात्पर्य यह है कि एक फोटॉन सदैव प्रकाश शंकु पर रहेगा। यह भी दिखाया गया है कि किसी भी समय एक फोटान के लिए कुल संभाव्यता को निम्न कारक के व्युत्क्रम द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है:<math display="block">

</math>हम देखते हैं कि प्रकाश शंकु के बाहर के भाग सामान्यतः सीमा में शून्य होते हैं और केवल फेनमैन आरेखों में महत्वपूर्ण होते हैं।

प्रचारक का सबसे सामान्य उपयोग फेनमैन आरेखों का उपयोग करके कण के पारस्परिक प्रभाव के लिए संभाव्यता आयाम की गणना करने में है ये गणना सामान्य रूप से गति समष्टि में की जाती हैं सामान्यतः आयाम प्रत्येक आंतरिक रेखा के लिए प्रचारक का कारक प्राप्त करता है अर्थात प्रत्येक पंक्ति जो प्रारंभिक या अंतिम स्थिति में आने वाले या बाहर जाने वाले कण का प्रतिनिधित्व नहीं करती है या प्रत्येक आंतरिक शीर्ष जहां रेखाएं मिलती हैं लैग्रैजियन सिद्धांत में एक अंतःक्रिया शब्द के समानुपातिक और समान रूप में एक कारक भी प्राप्त करेगा। इन कारणों को फेनमेन नियम के नाम से जाना जाता है।

आंतरिक रेखाएँ आभासी कणों के अनुरूप होती हैं चूंकि गति के चिरसम्मत समीकरणों द्वारा अस्वीकृत ऊर्जा और संवेग के संयोजन के लिए प्रचारक लुप्त नहीं होता है हम कहते हैं कि आभासी कणों को बाहर होने की स्वीकृति है वास्तव में चूंकि प्रचारक तरंग समीकरण को पुनः प्राप्त किया जाता है सामान्यतः इसमें दाब पर विलक्षणता होती है

प्रचारक में कण द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा ऋणात्मक भी हो सकती है इसे केवल उस स्थिति के रूप में समझा जा सकता है जिसमें एक कण एक दिशा में जाने के अतिरिक्त इसका प्रतिकण दूसरी दिशा में जा रहा है और इसलिए धनात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह को ले जा रहा है प्रचारक दोनों संभावनाओं को सम्मिलित करता है इसका अर्थ यह है कि किसी को फ़र्मियन कि स्थिति में ऋण चिह्न के विषय में सावधान रहना होगा, जिनके प्रचारक ऊर्जा और संवेग में भी कार्य नहीं करते हैं।

आभासी कण ऊर्जा और संवेग का संरक्षण करते हैं हालाँकि चूँकि वे शृखला से बाहर हो सकते हैं जहाँ भी आरेख में एक संवृत लूप होता है लूप में भाग लेने वाले आभासी कणों की ऊर्जा और संवेग आंशिक रूप से अप्रतिबंधित होते है क्योंकि लूप में एक कण के लिए मात्रा में परिवर्तन द्वारा संतुलित किया जा सकता है दूसरे में एक समान और विपरीत परिवर्तन होता है इसलिए, फेनमैन आरेख में प्रत्येक लूप को संभावित ऊर्जा और गति की निरंतरता पर एक अभिन्न अंग की आवश्यकता होती है सामान्यतः प्रचारकों के उत्पादों के ये अभिन्न अंग विचलन कर सकते हैं एक ऐसी स्थिति जिसे पुन: सामान्यीकरण की प्रक्रिया द्वारा नियंत्रित किया जाता है।

==== प्रचक्रण {{frac|1|2}} ====

यदि कण के पास प्रचक्रण है तो इसका प्रचारक सामान्य रूप से कुछ अधिक जटिल होता है क्योंकि इसमें कण के प्रचक्रण या ध्रुवीकरण सूचकांक सम्मिलित होते है प्रचक्रण {{frac|1|2}} कण के लिए प्रचारक द्वारा संतुष्ट अंतर समीकरण द्वारा दिया गया है:<ref>{{harvnb|Greiner|Reinhardt|2008|loc=Ch.2}}</ref>

जहां {{math|''I''₄}} चार आयामों में इकाई आव्यूह है जो [[फेनमैन स्लैश नोटेशन|फेनमैन संकेत पद्धति]] को नियोजित करता है यह स्पेसटाइम में डेल्टा फलन स्रोत के लिए डिराक समीकरण मे गति प्रतिनिधित्व का उपयोग करना है:<math display="block">S_F(x', x) = \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\exp{\left[-ip \cdot(x'-x)\right]}\tilde S_F(p),</math>जिससे :निम्न समीकरण बन जाता है:

जहां दाईं ओर चार-आयामी डेल्टा फलन का एक समाकल प्रतिनिधित्व का प्रयोग इस प्रकार किया जाता है:

बायें से गुणा करके<math display="block">(\not p + m)</math>इकाई आव्यूह और [[गामा मैट्रिक्स|गामा आव्यूह]] के गुणों का उपयोग करना,<math display="block">\begin{align}