प्रचारक: Difference between revisions

[[क्वांटम यांत्रिकी]] और क्वान्टम क्षेत्र सिद्धांत में, '''प्रोपेगेटर''' या '''प्रचारक''' एक ऐसा कार्य है जो किसी कण के लिए एक निश्चित समय में एक स्थान से दूसरे स्थान पर यात्रा करने या निश्चित ऊर्जा और गति के साथ यात्रा करने के लिए [[संभाव्यता आयाम]] निर्दिष्ट करता है फेनमैन आरेखों में जो [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में विस्थापन दर की गणना करने के लिए कार्य करते हैं आभासी कण संबंधित आरेख द्वारा वर्णित होने वाली घटना की दर में उनके प्रचारक का योगदान करते हैं इन्हें कण के लिए उपयुक्त तरंग संक्रियक के व्युत्क्रम के रूप में भी देखा जा सकता है दीर्घवृत्तीय लाप्लासियन ग्रीन के फलन से अलग करने के कारण प्रायः इन्हे "ग्रीन फलन" कहा जाता है<ref>[http://www.mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf The mathematics of PDEs and the wave equation], p 32., Michael P. Lamoureux, University of Calgary, Seismic Imaging Summer School,  August 7–11, 2006, Calgary.</ref><ref>[http://www.roe.ac.uk/japwww/teaching/fourier/fourier_lectures_part4.pdf Ch.: 9 Green's functions], p 6., J Peacock, FOURIER ANALYSIS LECTURE COURSE: LECTURE 15.</ref>

गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक [[प्राथमिक कण]] के लिए स्थानिक बिंदु (x') से (t') समय में दूसरे स्थानिक बिंदु (x) पर (t) समय के बाद यात्रा करने के लिए संभावना आयाम प्रदान करता है।

[[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] {{mvar|H}} के साथ एक प्रणाली पर विचार करें जो श्रोडिंगर समीकरण के लिए ग्रीन फलन ([[मौलिक समाधान|मूल समाधान]]) का एक फलन है:

संतुष्टि करने वाला फलन

जहां {{math|''H_x''}} निर्देशांक के संदर्भ में लिखे गए हैमिल्टनियन {{math|''δ''(''x'')}} और डायराक डेल्टा-फलन {{math|Θ(''t'')}} को दर्शाता है जो [[हैवीसाइड स्टेप फंक्शन|हैवीसाइड चरण फलन]] {{math|''K''(''x'', ''t'' ;''x′'', ''t′'')}} का कर्नेल है बड़े कोष्ठकों में श्रोडिंगर डिफरेंशियल संक्रियक के ऊपर [[अभिन्न परिवर्तन]] है इस संदर्भ में 'प्रचारक' शब्द का प्रयोग कभी-कभी {{mvar|G}} और {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए किया जाता है यह आलेख इस शब्द का उपयोग {{mvar|K}} को संदर्भित करने के लिए करेगा इसके लिए ड्यूहमेल के सिद्धांत को देखें।

इस प्रचारक को संक्रमण आयाम के रूप में भी लिखा जा सकता है:

जहाँ {{math|''Û''(''t'', ''t′'')}} समय पर स्थिति को लेने वाली प्रणाली के लिए [[एकात्मक संचालक]] समय-विकास संचालक है {{mvar|t′}} समय पर राज्यों के लिए {{mvar|t}}. द्वारा प्रयुक्त प्रारंभिक स्थिति पर ध्यान दें <math>\lim_{t \to t'} K(x, t; x', t') = \delta(x - x')</math>.

 

[[पथ अभिन्न सूत्रीकरण|पथ समाकल सूत्रीकरण]] का उपयोग करके क्वांटम-यांत्रिकी प्रचारक भी पाया जा सकता है:

जहां पथ समाकल की सीमा स्थितियों मे {{math|''q''(''t'') {{=}} ''x'', ''q''(''t′'') {{=}} ''x′''}} सम्मिलित हैं यहाँ {{mvar|L}} प्रणाली के [[Lagrangian यांत्रिकी|लाग्रंगियन यांत्रिकी]] को दर्शाता है सम्‍मिलित किए गए पथ केवल समय में आगे बढ़ते हैं और अंतर के साथ एकीकृत होते हैं <math>D[q(t)]</math> समय में पथ का अनुसरण करते हुए गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में प्रचारक एक प्रारंभिक तरंग फलन और समय अंतराल दिए जाने पर निकाय के तरंग फलन को खोजने देता है इस प्रकार नया तरंग फलन समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

यदि {{math|''K''(''x'', ''t''; ''x''&prime;, ''t''&prime;)}} केवल अंतर {{math|''x'' − ''x′''}} पर निर्भर करता है तब यह प्रारंभिक तरंग फलन और प्रचारक का [[कनवल्शन|घूर्णन]] है।

=== मूल उदाहरण: मुक्त कण के प्रचारक और आवर्ती दोलक ===

समय-अनुवादिक रूप से अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए प्रचारक केवल {{math|''t'' − ''t''′}} समय के अंतर पर निर्भर करता है इसलिए इसे फिर से लिखा जा सकता है: <math display="block">K(x, t; x', t') = K(x, x'; t - t').</math>एक आयामी मुक्त कण को प्रचारक से प्राप्त किया जा सकता है उदाहरण के लिए पथ समाकल है:

इसी प्रकार आयामी क्वांटम आवर्ती दोलक का प्रचारक [[मेहलर कर्नेल]] है,<ref>E. U. Condon, [https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1076889/pdf/pnas01779-0028.pdf "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations"], ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA'' '''23''', (1937) 158–164.</ref><ref>[[Wolfgang Pauli]], ''Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics'' (Dover Books on Physics, 2000) {{ISBN|0486414620}}. Section 44.</ref>  

वैन कॉर्ट्रीक के SU(1,1) लाई समूह पहचान का उपयोग करने पर पिछले मुक्त-कण परिणाम से बाद वाले कण को प्राप्त किया जा सकता है:<ref>Kolsrud, M. (1956). Exact quantum dynamical solutions for oscillator-like systems, ''Physical Review'' '''104'''(4), 1186.</ref><math display="block">\begin{align}

संक्रियकों के लिए मान <math>\mathsf{x}</math> और <math>\mathsf{p}</math> हाइजेनबर्ग संबंध <math>[\mathsf{x},\mathsf{p}] = i\hbar</math> को संतुष्ट करने के लिए {{mvar|N}}-आयामी स्थिति प्रचारक को निम्न उत्पाद द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: <math display="block">K(\vec{x}, \vec{x}'; t) = \prod_{q=1}^N K(x_q, x_q'; t).</math>

{{see also|पथ समाकल सूत्रीकरण #  सरल आवर्त दोलक|ऊष्मा समीकरण#मूल समाधान}}

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में प्रचारक [[लोरेंट्ज़-इनवेरिएंट|लारेन्ट्स मात्रक]] हैं वे एक कण को ​​दो स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए आयाम प्रदान करते हैं।

=== अदिश प्रचारक ===

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक मुक्त या गैर-अंतःक्रियात्मक अदिश क्षेत्र का सिद्धांत एक उपयोगी और सरल उदाहरण है जो अधिक जटिल सिद्धांतों के लिए आवश्यक अवधारणाओं को स्पष्ट करने के लिए कार्य करता है यह [[स्पिन (भौतिकी)]] शून्य कणों का वर्णन करता है मुक्त अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए कई संभावित प्रचारक हैं अब हम सबसे सामान्य का वर्णन करते हैं।

=== स्थिति समष्टि ===

क्लेन-गॉर्डन समीकरण के लिए स्थिति समष्टि प्रचारक ग्रीन फलन हैं इसका अर्थ है कि वे फलन {{math|''G''(''x'', ''y'')}} को संतुष्ट करते हैं:<math display="block">\left(\square_x + m^2\right) G(x, y) = -\delta(x - y),</math>जहाँ

* <math>\square_x = \tfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2</math> निर्देशांक पर कार्य करने वाला d' अलंबर्टियन संक्रियक है।  

* {{math|''δ''(''x'' − ''y'')}} डिराक डेल्टा फलन है।

सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणनाओं में विशिष्ट के रूप में उन इकाइयों का उपयोग करते हैं जहां {{mvar|c}} [[प्रकाश की गति]] और प्लैंक स्थिरांक {{mvar|ħ}} इकाई है हम 4-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर ध्यान केंद्रित करेंगे। जिससे हम प्राप्त करने वाले प्रचारक के लिए समीकरण का [[फूरियर रूपांतरण]] कर सकते हैं:<math display="block">\left(-p^2 + m^2\right) G(p) = -1.</math>

इस समीकरण को [[वितरण (गणित)]] के अर्थ में व्युत्क्रमित किया जा सकता है यह देखते हुए कि समीकरण {{math|1=''xf''(''x'') = 1}} का समाधान है जिसके लिए सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय देखें: <math display="block">f(x) = \frac{1}{x \pm i\varepsilon} = \frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),</math>{{mvar|ε}} के साथ शून्य की सीमा प्रयुक्त करना नीचे कार्य सिद्धांत आवश्यकताओं से उत्पन्न होने वाले चिन्ह के सही विकल्प पर चर्चा करना हैं।

जिसका हल है:

जहाँ<math display="block">p(x - y) := p_0(x^0 - y^0) - \vec{p} \cdot (\vec{x} - \vec{y})</math>[[4-वेक्टर|4-सदिश]] आंतरिक उत्पाद है उपरोक्त अभिव्यक्ति में एकीकरण समुच्चय को कैसे विकृत किया जाए, इसके लिए अलग-अलग विकल्प प्रचारक के लिए विभिन्न रूपों को जन्म देते हैं समोच्च का चुनाव सामान्यतः <math>p_0</math>समाकल के संदर्भ में किया जाता है जिसमे तब समाकलित दो ध्रुव होते हैं: <math display="block">p_0 = \pm \sqrt{\vec{p}^2 + m^2},</math>

इसलिए इनसे बचने के लिए अलग-अलग विकल्प अलग-अलग प्रचारकों के पास होते हैं।

== कारणात्मक प्रचारक ==

===मंदित प्रचारक ===

दोनों ध्रुवों पर दक्षिणावर्त जाने वाला एक समोच्च कारण मंद प्रवर्तक देता है यह शून्य होता है यदि x-y समष्टि जैसा है या यदि {{math|''x'' ⁰< ''y'' ⁰}} अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} आगे के मान के लिए है तब समोच्च का यह चुनाव निम्न सीमा की गणना के बराबर है: <math display="block">G_\text{ret}(x,y) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^4p \, \frac{e^{-ip(x-y)}}{(p_0+i\varepsilon)^2 - \vec{p}^2 - m^2} = -\frac{\Theta(x-y)}{2\pi} \delta(\tau_{xy}^2) + \Theta(x-y)\Theta(\tau_{xy}^2)\frac{m J_1(m \tau_{xy})}{4 \pi \tau_{xy}}</math>यहाँ<math display="block">\Theta (x) := \begin{cases}

हीविसाइड चरण फलन है:

जहाँ {{mvar|x}},  {{mvar|y}} और <math>J_1</math> प्रथम प्रकार का बेसेल फलन है व्यंजक <math>y \prec x</math> का अर्थ है {{mvar|y}} यथोचित रूप से {{mvar|x}} से पहले आता है जो मिंकोस्की स्पेसटाइम के लिए है:

यह अभिव्यक्ति मुक्त अदिश क्षेत्र संक्रियक के [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] के वैक्यूम आपेक्षिक मान से संबंधित हो सकता है,

दिक्परिवर्तक है।

'''दोनों ध्रुवों के नीचे एंटी-क्लॉकवाइज जा'''ने वाला एक समोच्च कारण उन्नत प्रचारक देता है। यह शून्य है यदि {{mvar|x-y}} स्पेसलाइक है या यदि {{math|''x'' ⁰> ''y'' ⁰}} (अर्थात यदि {{mvar|y}}, {{mvar|x}} के अतीत में है।

पोजीशन स्पेस प्रचारक्स के फूरियर रूपांतरण को [[ गति स्थान |गति स्थान]] में प्रचारक्स के रूप में सोचा जा सकता है। ये स्थान स्थान प्रचारकों की तुलना में बहुत सरल रूप लेते हैं।

फेनमैन प्रचारक के पास कुछ गुण हैं जो पहली बार में चौंकाने वाले लगते हैं। विशेष रूप से, कम्यूटेटर के विपरीत, प्रचारक प्रकाश शंकु के बाहर शून्य नहीं है, हालांकि यह स्पेसिक अंतराल के लिए तेजी से गिरता है। कण गति के लिए एक आयाम के रूप में व्याख्या की गई, यह प्रकाश की तुलना में तेजी से यात्रा करने वाले आभासी कण का अनुवाद करता है। यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि इसे कार्य-कारण के साथ कैसे सामंजस्य स्थापित किया जा सकता है: क्या हम प्रकाश-से-प्रकाश संदेशों को भेजने के लिए तेज़-से-प्रकाश आभासी कणों का उपयोग कर सकते हैं?

द्रव्यमान रहित फोटॉन के लिए प्रचारक को निम्नलिखित रूप में लिखकर इसे और स्पष्ट किया जा सकता है:<math display="block">G^\varepsilon_F(x, y) = \frac{\varepsilon}{(x - y)^2 + i \varepsilon^2}.</math>

प्रचारक का सबसे सामान्य उपयोग फेनमैन आरेखों का उपयोग करके कण इंटरैक्शन के लिए संभाव्यता आयाम की गणना करने में है। ये गणना सामान्य तौर पर गति स्थान में की जाती हैं। सामान्य तौर पर, आयाम प्रत्येक आंतरिक रेखा के लिए प्रचारक का कारक प्राप्त करता है, यानी, प्रत्येक पंक्ति जो प्रारंभिक या अंतिम स्थिति में आने वाले या बाहर जाने वाले कण का प्रतिनिधित्व नहीं करती है। यह प्रत्येक आंतरिक शीर्ष जहां रेखाएं मिलती हैं, के लिए सिद्धांत के लैग्रैजियन में एक अंतःक्रिया शब्द के समानुपातिक और समान रूप में एक कारक भी प्राप्त करेगा। इन नुस्खों को फेनमेन रूल्स के नाम से जाना जाता है।

प्रचारक में कण द्वारा वहन की जाने वाली ऊर्जा ऋणात्मक भी हो सकती है। इसे केवल उस स्थिति के रूप में समझा जा सकता है, जिसमें एक कण एक दिशा में जाने के बजाय, इसका प्रतिकण दूसरी दिशा में जा रहा है, और इसलिए धनात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह को ले जा रहा है। प्रचारक दोनों संभावनाओं को सम्मिलित करता है। इसका मतलब यह है कि किसी को फ़र्मियन के मामले में माइनस साइन्स के बारे में सावधान रहना होगा, जिनके प्रचारक ऊर्जा और संवेग में भी कार्य नहीं करते हैं (नीचे देखें)।