फ्लक्स: Difference between revisions

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=== क्वांटम यांत्रिकी ===
=== क्वांटम यांत्रिकी ===
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[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, द्रव्यमान m के कणों की [[कितना राज्य]] ψ('r', t) में [[संभाव्यता आयाम]] के रूप में परिभाषित किया गया है
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<math display="block">\rho = \psi^* \psi = |\psi|^2. </math>
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तो एक अंतर आयतन तत्व d में एक कण को ​​​​खोजने की संभावना<sup>3</sup>आर है
तो अंतरीय आयतन तत्व d<sup>3</sup>'''r''' में एक कण को ​​​​खोजने की संभावना है
<math display="block"> dP = |\psi|^2 \, d^3\mathbf{r}. </math>
<math display="block"> dP = |\psi|^2 \, d^3\mathbf{r}. </math>
फिर एक [[क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति)]] के इकाई क्षेत्र के माध्यम से लंबवत रूप से गुजरने वाले कणों की संख्या | क्रॉस-सेक्शन प्रति यूनिट समय प्रायिकता प्रवाह है;
तब अनुप्रस्थ परिच्छेद के एकांक क्षेत्रफल से लम्बवत् पारित होने वाले कणों की संख्या प्रति इकाई समय प्रायिकता फ्लक्स है;
<math display="block">\mathbf{J} = \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \psi \right). </math>
<math display="block">\mathbf{J} = \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \psi \right). </math>
इसे कभी-कभी संभाव्यता वर्तमान या वर्तमान घनत्व के रूप में संदर्भित किया जाता है,<ref>{{cite book|title=क्वांटम यांत्रिकी डिमिस्टिफाइड|url=https://archive.org/details/isbn_9780071471411|url-access=registration| author=D. McMahon| series=Demystified|publisher=Mc Graw Hill|year=2006|isbn=0-07-145546-9}}</ref> या संभाव्यता प्रवाह घनत्व।<ref>{{cite book | author=Sakurai, J. J. | title=उन्नत क्वांटम यांत्रिकी| publisher=Addison Wesley | year=1967 | isbn=0-201-06710-2}}</ref>
इसे कभी-कभी संभाव्यता धारा या धारा घनत्व,<ref>{{cite book|title=क्वांटम यांत्रिकी डिमिस्टिफाइड|url=https://archive.org/details/isbn_9780071471411|url-access=registration| author=D. McMahon| series=Demystified|publisher=Mc Graw Hill|year=2006|isbn=0-07-145546-9}}</ref> या प्रायिकता फ्लक्स घनत्व के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{cite book | author=Sakurai, J. J. | title=उन्नत क्वांटम यांत्रिकी| publisher=Addison Wesley | year=1967 | isbn=0-201-06710-2}}</ref>


 
== पृष्ठ समाकल के रूप में फ्लक्स ==
== प्रवाह एक सतह अभिन्न == के रूप में
[[Image:Flux diagram.png|thumb|कल्पित फ्लक्स। वलय सतह की सीमाओं को दर्शाते हैं। लाल तीर आवेशों, द्रव कणों, उपपरमाण्विक कणों, फोटॉन आदि के प्रवाह के लिए अर्थ होते हैं। प्रत्येक वलय से पारित होने वाले तीरों की संख्या फ्लक्स होती है।]]
[[Image:Flux diagram.png|thumb|प्रवाह की कल्पना की। वलय सतह की सीमाओं को दर्शाते हैं। लाल तीर आवेशों, द्रव कणों, उपपरमाण्विक कणों, फोटॉन आदि के प्रवाह के लिए खड़े होते हैं। प्रत्येक वलय से गुजरने वाले तीरों की संख्या फ्लक्स होती है।]]


=== सामान्य गणितीय परिभाषा (सतह अभिन्न) ===
=== सामान्य गणितीय परिभाषा (सतह अभिन्न) ===
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:<math>\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}</math>
:<math>\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}</math>
:<math>\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A</math>
:<math>\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A</math>
जहाँ F एक सदिश क्षेत्र है, और dA, सतह 'A'' का सदिश क्षेत्र है, जिसे [[सामान्य (ज्यामिति)]] के रूप में निर्देशित किया जाता है। दूसरे के लिए, n सतह के लिए बाहरी नुकीली [[इकाई सामान्य वेक्टर]] है।
जहाँ F एक सदिश क्षेत्र है, और d'''A'''  सतह 'A'' का सदिश क्षेत्र है, जो सतह के [[सामान्य (ज्यामिति)|प्राकृत (ज्यामिति)]] रूप में निर्देशित किया जाता है। द्वितीय के लिए, n सतह के लिए बाह्य अंकित [[इकाई सामान्य वेक्टर|इकाई सामान्य सदिश]] है।''


सतह को उन्मुख होना चाहिए, यानी दो पक्षों को अलग किया जा सकता है: सतह स्वयं पर वापस नहीं आती है। इसके अलावा, सतह को वास्तव में उन्मुख होना चाहिए, यानी हम प्रवाह के रूप में एक सम्मेलन का उपयोग करते हैं, जिस तरह से सकारात्मक गिना जाता है; पीछे की ओर बहना तब ऋणात्मक गिना जाता है।
सतह को उन्मुख होना चाहिए अर्थात दो पक्षों को पृथक किया जा सकता है: सतह स्वयं पर वापस नहीं आती है। इसके अलावा, सतह को वास्तव में उन्मुख होना चाहिए, यानी हम प्रवाह के रूप में एक सम्मेलन का उपयोग करते हैं, जिस तरह से सकारात्मक गिना जाता है; पीछे की ओर बहना तब ऋणात्मक गिना जाता है।


सतह सामान्य आमतौर पर दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्देशित होती है।
सामान्यतः प्राकृत सतह दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्देशित होती है।


इसके विपरीत, फ्लक्स को अधिक मौलिक मात्रा माना जा सकता है और वेक्टर क्षेत्र को फ्लक्स घनत्व कहा जा सकता है।
इसके विपरीत फ्लक्स को अधिक मौलिक मात्रा माना जा सकता है और वेक्टर क्षेत्र को फ्लक्स घनत्व कहा जा सकता है।


अक्सर एक सदिश क्षेत्र प्रवाह के बाद [[वक्र]]ों (क्षेत्र रेखाओं) द्वारा खींचा जाता है; सदिश क्षेत्र का परिमाण तब रेखा घनत्व है, और सतह के माध्यम से प्रवाह रेखाओं की संख्या है। रेखाएँ सकारात्मक विचलन (स्रोतों) के क्षेत्रों से उत्पन्न होती हैं और नकारात्मक विचलन (सिंक) के क्षेत्रों पर समाप्त होती हैं।
प्रायः एक सदिश क्षेत्र "प्रवाह" के बाद वक्रों (क्षेत्र रेखाएं) द्वारा खींचा जाता है; सदिश क्षेत्र का परिमाण तब रेखा घनत्व है, और सतह के माध्यम से फ्लक्स रेखाओं की संख्या है। रेखाएँ सकारात्मक विचलन (स्रोतों) के क्षेत्रों से उत्पन्न होती हैं और नकारात्मक विचलन (डुबाना) के क्षेत्रों पर समाप्त होती हैं।


छवि को दाईं ओर भी देखें: एक इकाई क्षेत्र से गुजरने वाले लाल तीरों की संख्या फ्लक्स घनत्व है, लाल तीरों को घेरने वाला वक्र सतह की सीमा को दर्शाता है, और सतह के संबंध में तीरों का उन्मुखीकरण संकेत को दर्शाता है सतह के सामान्य के साथ वेक्टर क्षेत्र का आंतरिक उत्पाद।
दाईं ओर के छवि को भी देखें: एक इकाई क्षेत्र से पारित होने वाले लाल तीरों की संख्या फ्लक्स घनत्व है, लाल तीरों को घेरने वाला वक्र सतह की सीमा को दर्शाता है, और सतह के सन्दर्भ में तीरों का उन्मुखीकरण प्राकृत सतह के साथ सदिश क्षेत्र का आंतरिक उत्पाद के संकेत को दर्शाता है।


यदि सतह एक 3D क्षेत्र को घेरती है, तो आमतौर पर सतह इस तरह उन्मुख होती है कि प्रवाह को सकारात्मक गिना जाता है; विपरीत बहिर्वाह है।
यदि सतह एक 3D क्षेत्र को घेरती है, तो सामान्यतः सतह इस तरह उन्मुख होती है कि अंतर्वाह को सकारात्मक गिना जाता है तथा इसके विपरीत बहिर्वाह है।


[[विचलन प्रमेय]] बताता है कि एक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध बहिर्वाह, दूसरे शब्दों में एक 3डी क्षेत्र से शुद्ध बहिर्वाह, क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु से स्थानीय शुद्ध बहिर्वाह को जोड़कर पाया जाता है (जो विचलन द्वारा व्यक्त किया जाता है)।
[[विचलन प्रमेय]] बताता है कि एक संकुचित सतह के माध्यम से शुद्ध बहिर्वाह, अन्य शब्दों में 3D क्षेत्र से शुद्ध बहिर्वाह, क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु से क्षेत्रीय शुद्ध बहिर्वाह को जोड़कर पाया जाता है (जो विचलन द्वारा व्यक्त किया जाता है)।


यदि सतह बंद नहीं है, तो इसकी सीमा के रूप में एक उन्मुख वक्र है। स्टोक्स के प्रमेय में कहा गया है कि सदिश क्षेत्र के [[कर्ल (गणित)]] का प्रवाह इस सीमा पर सदिश क्षेत्र का अभिन्न अंग है। इस पथ अभिन्न को [[परिसंचरण (द्रव गतिकी)]] भी कहा जाता है, विशेष रूप से द्रव गतिकी में। इस प्रकार कर्ल संचलन घनत्व है।
यदि सतह संकुचित नहीं है, तो इसकी सीमा के रूप में एक उन्मुख वक्र होता है। स्टोक्स के प्रमेय में कहा गया है कि सदिश क्षेत्र के [[कर्ल (गणित)]] का फ्लक्स इस सीमा पर सदिश क्षेत्र का रेखा समाकाल है। इस पथ समाकाल को [[परिसंचरण (द्रव गतिकी)]] भी कहा जाता है, विशेष रूप से द्रव गतिकी में। इस प्रकार कर्ल संचलन घनत्व है।


हम फ्लक्स और इन प्रमेयों को कई विषयों में लागू कर सकते हैं जिनमें हम धाराओं, बलों आदि को क्षेत्रों के माध्यम से लागू होते हुए देखते हैं।
हम फ्लक्स और इन प्रमेयों को कई विषयों में लागू कर सकते हैं जिनमें हम धाराओं, बलों आदि को क्षेत्रों के माध्यम से लागू होते हुए देखते हैं।

Revision as of 20:16, 17 April 2023

सदिश क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ F इकाई वेक्टर सामान्य के साथ सतहों के माध्यम से n, से कोण n को F है θ. फ्लक्स इस बात का माप है कि किसी दिए गए सतह से कितना क्षेत्र गुजरता है। F लम्बवत (⊥) और समांतर घटकों में विघटित हो जाता है ( ‖ ) को n. केवल समानांतर घटक फ्लक्स में योगदान देता है क्योंकि यह एक बिंदु पर सतह से गुजरने वाले क्षेत्र की अधिकतम सीमा है, लंबवत घटक योगदान नहीं करता है।
शीर्ष: एक समतल सतह से होकर तीन क्षेत्र रेखाएँ, एक सतह से सामान्य, एक समानांतर, और एक मध्यवर्ती।
नीचे: एक घुमावदार सतह के माध्यम से फ़ील्ड लाइन, फ्लक्स की गणना करने के लिए इकाई सामान्य और सतह तत्व का सेटअप दिखाती है।
File:Surface integral - definition.svg
वेक्टर क्षेत्र के प्रवाह की गणना करने के लिए F (लाल तीर) एक सतह के माध्यम से S सतह को छोटे-छोटे टुकड़ों में बांटा गया है dS. प्रत्येक पैच के माध्यम से प्रवाह क्षेत्र के सामान्य (लंबवत) घटक के बराबर होता है, का डॉट उत्पाद F(x) इकाई सामान्य वेक्टर के साथ n(x) (नीला तीर) बिंदु पर x क्षेत्र से गुणा dS. कुल मिलाकर F • n, dS सतह पर प्रत्येक पैच के लिए सतह के माध्यम से प्रवाह है

फ्लक्स किसी भी प्रभाव का वर्णन करता है जो किसी सतह या पदार्थ के माध्यम से पारित होता है या संचारण करता है (चाहे वह वास्तव में चलता है या नहीं)। फ्लक्स अनुप्रयुक्त गणित और सदिश कलन की एक अवधारणा है जिसमें भौतिकी के अनेक अनुप्रयोग हैं। अभिगम परिघटना के लिए, फ्लक्स एक सदिश मात्रा है, जो किसी पदार्थ या गुण धर्म के प्रवाह की परिमाण और दिशा का वर्णन करता है। सदिश कलन में फ्लक्स एक अदिश (भौतिकी) राशि है, जिसे किसी सतह पर सदिश क्षेत्र के लम्बवत् घटक के पृष्ठीय समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है।[1]

शब्दावली

फ्लक्स शब्द लैटिन से आया है: फ्लक्सस का अर्थ प्रवाह है, और फ्लूरे "प्रवाहित होना" है।[2] फ्लक्सियन की विधि के रूप में, इस शब्द को आइजैक न्यूटन द्वारा अवकलन गणित (डिफरेंशियल कैलकुलस) में प्रस्तुत किया गया था।

ऊष्मा अंतरण परिघटना के विश्लेषण में ऊष्मा फ्लक्स की अवधारणा जोसेफ फूरियर का एक महत्वपूर्ण योगदान था।[3] उनका बीजभूत ग्रंथ द एनालिटिकल थ्योरी ऑफ़ हीट,[4]फ्लक्सियन को एक केंद्रीय मात्रा के रूप में और एक स्लैब में तापमान के अंतर के संदर्भ में फ्लक्स के वर्तमान प्रसिद्ध भावों को प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ता है, और सामान्यतः अन्य ज्यामितीयों में तापमान प्रवणता या तापमान के अंतर के संदर्भ में परिभाषित करता है। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के काम के आधार पर कोई तर्क दे सकता है,[5]कि विद्युत् चुंबकत्व में प्रयुक्त परिवहन परिभाषा फ्लक्स की परिभाषा से पूर्व में है। मैक्सवेल का विशिष्ट उद्धृत है:

फ्लक्स के स्थिति में, हमें सतह के प्रत्येक तत्व के माध्यम से फ्लक्स की सतह पर, समाकल लेना होगा। इस परिचालन के परिणाम को फ्लक्स का पृष्ठ समाकल कहा जाता है। यह उस मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है जो सतह से पारित होती है।

— जेम्स क्लर्क मैक्सवेल

परिवहन परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एकल सदिश हो सकता है, या यह सदिश क्षेत्र / स्थिति का कार्य हो सकता है। तत्पश्चात फ्लक्स सरलता से एक सतह पर एकीकृत किया जा सकता है। इसके विपरीत, विद्युत चुंबकत्व की परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एक सतह पर समाकल हैं; द्वितीय परिभाषा फ्लक्स को एकीकृत करना निरर्थक है क्योंकि यह एक सतह पर दो बार एकीकृत होगा। इस प्रकार, मैक्सवेल का उद्धरण केवल तभी उचित होगा जब परिवहन परिभाषा के अनुसार "फ्लक्स" का उपयोग किया जा रहा हो (और इसके अलावा एकल सदिश के बजाय सदिश क्षेत्र है)। यह विडंबना है क्योंकि  इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म की परिभाषा के अनुसार जिसे हम अब "विद्युत् फ्लक्स" और "चुंबकीय फ्लक्स" कहते हैं, मैक्सवेल के प्रमुख विकासक में से एक थे। उद्धरण (और परिवहन परिभाषा) के अनुसार उनके नाम "विद्युत फ्लक्स की सतह समाकल" और "चुंबकीय फ्लक्स की सतह समाकल" होंगे, जिस स्थिति में "विद्युत फ्लक्स" को "विद्युत क्षेत्र" और "चुंबकीय फ्लक्स" को " चुंबकीय क्षेत्र " के रूप में परिभाषित किया जाएगा। इसका अर्थ यह है कि मैक्सवेल ने अनुमान लगाया कि ये क्षेत्र किसी प्रकार का प्रवाह/फ्लक्स हैं।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म परिभाषा के अनुसार फ्लक्स को देखते हुए, संबंधित फ्लक्स घनत्व, यदि उस शब्द का उपयोग किया जाता है, तो समाकलित सतह के साथ इसके व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार , संबंधित फ्लक्स घनत्व परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स है। विद्युत प्रवाह जैसे विद्युत को देखते हुए - आवेश प्रति समय, विद्युत घनत्व भी परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स होगा -आवेश प्रति समय प्रति क्षेत्र। फ्लक्स की परस्पर विरोधी परिभाषाओं और ,फ्लक्स, प्रवाह और विद्युत की विनिमेयता के कारण गैर-तकनीकी अंग्रेजी में, इस अनुच्छेद में प्रयुक्त सभी शब्द कभी-कभी परस्पर विनिमय और अस्पष्ट रूप से उपयोग किए जाते हैं। इस लेख के शेष अंशों में निश्चित फ्लक्स का उपयोग साहित्य में उनकी व्यापक स्वीकृति के अनुसार किया जाएगा, फ्लक्स की परिभाषा के उपेक्षा जिससे शब्द तदनुरूपी हो।

प्रति इकाई क्षेत्र प्रवाह दर के रूप में फ्लक्स

परिवहन परिघटना( ऊष्मा अंतरण, द्रव्यमान अंतरण और तरलगतिकी) में , फ्लक्स को प्रति इकाई क्षेत्र में गुणधर्म के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका आयाम [मात्रा]·[समय]−1·[क्षेत्र]-1 होता है।.[6] क्षेत्र सतह का है जहां गुणधर्म "के माध्यम से" या "पार" प्रवाहित होती है। उदाहरण के लिए, पानी की वह मात्रा जो प्रति सेकंड किसी नदी के एक अनुप्रस्थ काट से होकर प्रवाहित होती है, को उस अनुप्रस्थ काट के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, या सूर्य के प्रकाश की ऊर्जा की वह मात्रा जो प्रति सेकंड स्थल खंड पर आती है, जिसे स्थल खंड के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, फ्लक्स के प्रकार हैं।

सामान्य गणितीय परिभाषा (परिवहन)

जटिलता के बढ़ते क्रम में यहां 3 परिभाषाएं दी गई हैं। प्रत्येक निम्नलिखित का एक विशेष मामला है। सभी स्थितियों में निरंतर प्रतीक j, (या J) प्रवाह के लिए उपयोग किया जाता है, भौतिक मात्रा के लिए q प्रवाहित होता है, समय के लिए टी, और क्षेत्र के लिए ए। ये परिज्ञापक मोटे अक्षरों में केवल तभी लिखे जाएंगे जब वे सदिश हों।

सर्वप्रथम, (एकल) अदिश के रूप में फ्लक्स:

जहां
इस स्थिति में जिस सतह पर फ्लक्स को मापा जा रहा है वह स्थिर है और उसका क्षेत्रफल A है। सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को सर्वत्र स्थिति और सतह के लंबवत के सन्दर्भ में स्थिर माना जाता है।

द्वितीय, एक सतह के साथ परिभाषित एक अदिश क्षेत्र के रूप में फ्लक्स, अर्थात सतह पर बिंदुओं का कलन:

पूर्ववत, सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को सर्वत्र लंबवत माना जाता है। यद्यपि प्रवाह को स्थिर नहीं होना चाहिए। q अब 'p' का एक कलन है, जो सतह पर एक बिंदु है, और A एक क्षेत्र है। सतह के माध्यम से कुल प्रवाह को मापने के स्थान पर, q सतह के साथ p पर केंद्रित क्षेत्र A के साथ डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है।

अंत में, सदिश क्षेत्र के रूप में फ्लक्स :