लिउविल संख्या: Difference between revisions

Revision as of 11:17, 26 April 2023

संख्या सिद्धांत में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक वास्तविक संख्या $x$ है,जो की प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $q>1$ के साथ पूर्णांकों $(p,q)$ की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.

लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे पारलौकिक संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी बीजगणितीय संख्या अपरिमेय संख्या की तुलना में अधिक स्पष्टता से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, जोसेफ लिउविल ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर ट्रान्सेंडैंटल हैं,^[1] इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।^[2]

यह ज्ञात है कि $π$ और $e$ लिउविल संख्या नहीं हैं।^[3]

लिउविल संख्याओं का अस्तित्व (लिउविल का स्थिरांक)

लिउविल नंबरों को एक स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।

किसी भी पूर्णांक $b\geq 2$ और पूर्णांकों के किसी भी अनुक्रम के लिए $(a_{1},a_{2},\dots )$ जैसे कि $a_{k}\in \{0,1,2,\dots ,b-1\}$ सभी $k$ के लिए और $a_{k}\neq 0$ अनगिनत $k$ के लिए संख्या परिभाषित करें

x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}.

विशेष स्थिति में जब

b=10

, और

a_{k}=1

सभी के लिए

k

, परिणामी संख्या

x

लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:

L = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...

यह $x$ की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका आधार- $b$ प्रतिनिधित्व है

x=\left(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}\ldots \right)_{b}\;

जहां $n$ वाँ पद $(n!)$ वें स्थान पर है।

चूंकि यह आधार- $b$ प्रतिनिधित्व गैर-दोहराव है, यह इस प्रकार है कि $x$ एक परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए, किसी भी परिमेय संख्या $p/q$ के लिए, हमारे पास $|x-p/q|>0$ है।

अब, किसी पूर्णांक $n\geq 1$ के लिए, $q_{n}$ और $p_{n}$ को निम्नानुसार परिभाषित करें:

q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}}{b^{n!-k!}}\;.

तब

\begin{aligned} 0 < | x - \frac{p_{n}}{q_{n}} | \end{aligned}

[1]

[2]

[3]

@@ Line 397: / Line 397: @@
 यह स्थापित करना कि दी गई संख्या एक लिउविल संख्या है, दी गई संख्या को सिद्ध करने के लिए एक उपयोगी उपकरण प्रदान करता है जो अनुवांशिक है। चूँकि , प्रत्येक पारलौकिक संख्या एक लिउविल संख्या नहीं है। प्रत्येक लिउविल संख्या के [[निरंतर अंश]] विस्तार की नियम अबाधित हैं; एक गिनती तर्क का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि अगणनीय रूप से कई पारलौकिक संख्याएँ होनी चाहिए जो लिउविल नहीं हैं। ई (गणितीय स्थिरांक) के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ई एक पारलौकिक संख्या का एक उदाहरण है जो लिउविल नहीं है। [[कर्ट महलर]] ने 1953 में सिद्ध किया कि {{pi}} ऐसा ही एक और उदाहरण है।<ref>The irrationality measure of {{pi}} does not exceed 7.6304, according to {{MathWorld |title=Irrationality Measure |urlname=IrrationalityMeasure}}</ref>
-प्रमाण  पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है किंतु इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित [[लेम्मा (गणित)]] को सामान्यतः लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, वहाँ कई परिणाम लिउविल के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं।<!--intentional link to DAB page-->.
+प्रमाण  पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है किंतु इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित [[लेम्मा (गणित)]] को सामान्यतः लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, वहाँ कई परिणाम लिउविल के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं।.
 नीचे, हम दिखाएंगे कि कोई लिउविल संख्या बीजगणितीय नहीं हो सकती।
@@ Line 435: / Line 435: @@
 : <math>\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} </math>
 जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या उपथित है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।
-'''जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या उपथित है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।'''
 == यह भी देखें                                               ==

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