नोथेर की प्रमेय: Difference between revisions
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नोएदर की प्रमेय या नोएदर की पहली प्रमेय में कहा गया है कि कंज़र्वेटिव बल के साथ भौतिक प्रणाली की [[क्रिया (भौतिकी)]] की भौतिकी में प्रत्येक भिन्न कार्य समरूपता के अनुरूप [[संरक्षण कानून]] है।<ref>This is sometimes referred to as Noether's {{em|first}} theorem, see [[Noether's second theorem]].</ref> प्रमेय गणितज्ञ एमी नोथेर द्वारा 1915 में सिद्ध किया गया था और 1918 में प्रकाशित हुआ था।<ref>{{cite journal | last= Noether |first=E. | year = 1918 | title = अपरिवर्तनीय विविधता समस्या| journal = Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen |series=Mathematisch-Physikalische Klasse | volume = 1918 | pages = 235–257 |url= https://eudml.org/doc/59024}}</ref> भौतिक प्रणाली की क्रिया लैग्रैजियन यांत्रिकी समारोह का [[समय अभिन्न]] अंग है, जिससे सिस्टम का व्यवहार कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यह प्रमेय केवल [[भौतिक स्थान]] पर निरंतर और चिकनी समरूपता पर लागू होता है। | नोएदर की प्रमेय या नोएदर की पहली प्रमेय में कहा गया है कि कंज़र्वेटिव बल के साथ भौतिक प्रणाली की [[क्रिया (भौतिकी)]] की भौतिकी में प्रत्येक भिन्न कार्य समरूपता के अनुरूप [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] है।<ref>This is sometimes referred to as Noether's {{em|first}} theorem, see [[Noether's second theorem]].</ref> प्रमेय गणितज्ञ एमी नोथेर द्वारा 1915 में सिद्ध किया गया था और 1918 में प्रकाशित हुआ था।<ref>{{cite journal | last= Noether |first=E. | year = 1918 | title = अपरिवर्तनीय विविधता समस्या| journal = Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen |series=Mathematisch-Physikalische Klasse | volume = 1918 | pages = 235–257 |url= https://eudml.org/doc/59024}}</ref> भौतिक प्रणाली की क्रिया लैग्रैजियन यांत्रिकी समारोह का [[समय अभिन्न]] अंग है, जिससे सिस्टम का व्यवहार कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। यह प्रमेय केवल [[भौतिक स्थान]] पर निरंतर और चिकनी समरूपता पर लागू होता है। | ||
नोएदर के प्रमेय का उपयोग [[सैद्धांतिक भौतिकी]] और विविधताओं की कलन में किया जाता है। यह भौतिक प्रणाली की समरूपता और संरक्षण कानूनों के बीच मूलभूत संबंध को प्रकट करता है। इसने आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकविदों को भौतिक प्रणालियों की समरूपता पर अधिक ध्यान केंद्रित किया। Lagrangian और हैमिल्टन यांत्रिकी (क्रमशः 1788 और 1833 में विकसित) में [[गति के स्थिरांक]] पर योगों का सामान्यीकरण, यह उन प्रणालियों पर लागू नहीं होता है जिन्हें केवल Lagrangian के साथ मॉडलिंग नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, [[रेले अपव्यय समारोह]] के साथ सिस्टम)। विशेष रूप से, [[निरंतर समरूपता]] वाले अपव्यय प्रणालियों के लिए संबंधित संरक्षण | नोएदर के प्रमेय का उपयोग [[सैद्धांतिक भौतिकी]] और विविधताओं की कलन में किया जाता है। यह भौतिक प्रणाली की समरूपता और संरक्षण कानूनों के बीच मूलभूत संबंध को प्रकट करता है। इसने आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकविदों को भौतिक प्रणालियों की समरूपता पर अधिक ध्यान केंद्रित किया। Lagrangian और हैमिल्टन यांत्रिकी (क्रमशः 1788 और 1833 में विकसित) में [[गति के स्थिरांक]] पर योगों का सामान्यीकरण, यह उन प्रणालियों पर लागू नहीं होता है जिन्हें केवल Lagrangian के साथ मॉडलिंग नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, [[रेले अपव्यय समारोह]] के साथ सिस्टम)। विशेष रूप से, [[निरंतर समरूपता]] वाले अपव्यय प्रणालियों के लिए संबंधित संरक्षण नियम की आवश्यकता नहीं होती है। | ||
== मूल चित्र और पृष्ठभूमि == | == मूल चित्र और पृष्ठभूमि == | ||
एक दृष्टांत के रूप में, यदि कोई भौतिक तंत्र इस बात की परवाह किए बिना समान व्यवहार करता है कि यह अंतरिक्ष में कैसे उन्मुख है (अर्थात, यह [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है), तो इसका लैग्रैन्जियन यांत्रिकी निरंतर रोटेशन के | एक दृष्टांत के रूप में, यदि कोई भौतिक तंत्र इस बात की परवाह किए बिना समान व्यवहार करता है कि यह अंतरिक्ष में कैसे उन्मुख है (अर्थात, यह [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है), तो इसका लैग्रैन्जियन यांत्रिकी निरंतर रोटेशन के अनुसार सममित है: इस समरूपता से, नोएदर का प्रमेय यह निर्धारित करता है कि कोणीय गति इसकी गति के नियमों के परिणामस्वरूप प्रणाली का संरक्षण किया जाना चाहिए।<ref name=":0">{{Cite book |last=José |first=Jorge V. |url=https://www.worldcat.org/oclc/857769535 |title=Classical Dynamics: A Contemporary Approach |last2=Saletan |first2=Eugene J. |date=1998 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-139-64890-5 |location=Cambridge [England] |oclc=857769535}}</ref>{{Rp|page=126}} भौतिक प्रणाली को स्वयं सममित होने की आवश्यकता नहीं है; अंतरिक्ष में लुढ़का दांतेदार क्षुद्रग्रह अपनी विषमता के अतिरिक्त कोणीय [[गति]] को संरक्षित करता है। इसकी गति के नियम सममित हैं। | ||
एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कोई भौतिक प्रक्रिया स्थान या समय की परवाह किए बिना समान परिणाम प्रदर्शित करती है, तो इसका लैग्रेंजियन क्रमशः अंतरिक्ष और समय में निरंतर अनुवाद के | एक अन्य उदाहरण के रूप में, यदि कोई भौतिक प्रक्रिया स्थान या समय की परवाह किए बिना समान परिणाम प्रदर्शित करती है, तो इसका लैग्रेंजियन क्रमशः अंतरिक्ष और समय में निरंतर अनुवाद के अनुसार सममित है: नोएदर के प्रमेय द्वारा, ये समरूपता इस प्रणाली के भीतर संवेग और [[ऊर्जा]] के संरक्षण कानूनों के लिए जिम्मेदार हैं। , क्रमश।<ref>{{Cite book |last=Hand |first=Louis N. |url=https://www.worldcat.org/oclc/37903527 |title=विश्लेषणात्मक यांत्रिकी|last2=Finch |first2=Janet D. |date=1998 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-57327-0 |location=Cambridge |oclc=37903527}}</ref>{{Rp|page=23}}<ref>{{Cite book |last=Thornton |first=Stephen T. |title=कणों और प्रणालियों की शास्त्रीय गतिशीलता।|last2=Marion |first2=Jerry B. |date=2004 |publisher=Brooks/Cole, Cengage Learning |isbn=978-0-534-40896-1 |edition=5th |location=Boston, MA |oclc=759172774}}</ref>{{Rp|page=261}} | ||
नोएदर का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह अंतर्दृष्टि संरक्षण कानूनों में देता है, और व्यावहारिक गणना उपकरण के रूप में भी। यह जांचकर्ताओं को भौतिक प्रणाली की देखी गई समरूपता से संरक्षित मात्रा (इनवेरिएंट) निर्धारित करने की अनुमति देता है। इसके विपरीत, यह शोधकर्ताओं को भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए, दिए गए आक्रमणकारियों के साथ काल्पनिक Lagrangians के पूरे वर्गों पर विचार करने की अनुमति देता है।<ref name=":0" />{{Rp|page=127}} उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि भौतिक सिद्धांत प्रस्तावित है जो मात्रा X का संरक्षण करता है। शोधकर्ता निरंतर समरूपता के माध्यम से X का संरक्षण करने वाले Lagrangians के प्रकारों की गणना कर सकता है। नोएदर के प्रमेय के कारण, इन Lagrangians के गुण निहितार्थ को समझने और नए सिद्धांत की उपयुक्तता का न्याय करने के लिए और मानदंड प्रदान करते हैं। नोएदर का प्रमेय QFT में इतनी अच्छी तरह से | नोएदर का प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह अंतर्दृष्टि संरक्षण कानूनों में देता है, और व्यावहारिक गणना उपकरण के रूप में भी। यह जांचकर्ताओं को भौतिक प्रणाली की देखी गई समरूपता से संरक्षित मात्रा (इनवेरिएंट) निर्धारित करने की अनुमति देता है। इसके विपरीत, यह शोधकर्ताओं को भौतिक प्रणाली का वर्णन करने के लिए, दिए गए आक्रमणकारियों के साथ काल्पनिक Lagrangians के पूरे वर्गों पर विचार करने की अनुमति देता है।<ref name=":0" />{{Rp|page=127}} उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि भौतिक सिद्धांत प्रस्तावित है जो मात्रा X का संरक्षण करता है। शोधकर्ता निरंतर समरूपता के माध्यम से X का संरक्षण करने वाले Lagrangians के प्रकारों की गणना कर सकता है। नोएदर के प्रमेय के कारण, इन Lagrangians के गुण निहितार्थ को समझने और नए सिद्धांत की उपयुक्तता का न्याय करने के लिए और मानदंड प्रदान करते हैं। नोएदर का प्रमेय QFT में इतनी अच्छी तरह से सम्मिलित किया गया है कि:<ref>{{Cite journal |last=Danos |first=Michael |date=1997-02-12 |title=क्वांटम फील्ड थ्योरी में वार्ड-ताकाहाशी पहचान और नोएदर की प्रमेय|url=https://arxiv.org/pdf/hep-th/9702096.pdf |journal=[[Foundations of Physics]] |location=Enrico Fermi Institute, University of Chicago, Illinois |publisher=[[Springer Science and Business Media]] |volume=27 |issue=7 |page=1 |arxiv=hep-th/9702096 |doi=10.1007/bf02551149 |quote="नतीजतन, उस प्रमेय को तोड़ने वाले किसी भी परिणाम को तुरंत गणनात्मक त्रुटि छिपाने के रूप में घोषित किया जा सकता है।"|via=ArXiv}}</ref>भौतिकी में बहुत समकालीन शोध के लिए इसे गणितीय मॉडल के रूप में कार्य करने की अनुमति देता है। | ||
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{{quote|To every differentiable [[Symmetry in physics|symmetry]] generated by local actions there corresponds a [[conserved current]].}} | {{quote|To every differentiable [[Symmetry in physics|symmetry]] generated by local actions there corresponds a [[conserved current]].}} | ||
उपर्युक्त कथन में समरूपता शब्द उस रूप के [[सामान्य सहप्रसरण]] को अधिक सटीक रूप से संदर्भित करता है जो भौतिक | उपर्युक्त कथन में समरूपता शब्द उस रूप के [[सामान्य सहप्रसरण]] को अधिक सटीक रूप से संदर्भित करता है जो भौतिक नियम कुछ तकनीकी मानदंडों को पूरा करने वाले परिवर्तनों के आयामी [[झूठ समूह]] के संबंध में लेता है। [[भौतिक मात्रा]] के संरक्षण नियम को सामान्यतः निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है। | ||
प्रमेय का औपचारिक प्रमाण संरक्षित भौतिक मात्रा से जुड़े वर्तमान के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए अपरिवर्तनीयता की स्थिति का उपयोग करता है। आधुनिक में (सी। 1980 के बाद से<ref>The term "Noether charge" occurs in Seligman, ''Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City'', American Institute of Physics, 1981. It entered wider use during the 1980s, e.g. by G. Takeda in: Errol Gotsman, Gerald Tauber (eds.) ''From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne'eman'', 1985, p. 196.</ref>) शब्दावली में, संरक्षित मात्रा को नोएदर आवेश कहा जाता है, जबकि उस आवेश को वहन करने वाले प्रवाह को नोएदर धारा कहा जाता है। नोएदर करंट को [[solenoidal]] (डाइवर्जेंसलेस) वेक्टर फील्ड [[तक]] परिभाषित किया गया है। | प्रमेय का औपचारिक प्रमाण संरक्षित भौतिक मात्रा से जुड़े वर्तमान के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए अपरिवर्तनीयता की स्थिति का उपयोग करता है। आधुनिक में (सी। 1980 के बाद से<ref>The term "Noether charge" occurs in Seligman, ''Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City'', American Institute of Physics, 1981. It entered wider use during the 1980s, e.g. by G. Takeda in: Errol Gotsman, Gerald Tauber (eds.) ''From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne'eman'', 1985, p. 196.</ref>) शब्दावली में, संरक्षित मात्रा को नोएदर आवेश कहा जाता है, जबकि उस आवेश को वहन करने वाले प्रवाह को नोएदर धारा कहा जाता है। नोएदर करंट को [[solenoidal]] (डाइवर्जेंसलेस) वेक्टर फील्ड [[तक]] परिभाषित किया गया है। | ||
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== संक्षिप्त चित्रण और अवधारणा का अवलोकन == | == संक्षिप्त चित्रण और अवधारणा का अवलोकन == | ||
[[File:Noether theorem scheme.png|thumb|upright=2|समन्वय-वार समरूपता के लिए नोएदर के प्रमेय को दर्शाने वाला प्लॉट।]]नोएदर के प्रमेय के पीछे मुख्य विचार समन्वय वाली प्रणाली द्वारा सबसे आसानी से चित्रित किया गया है <math>q</math> और सतत समरूपता <math> \varphi: q \mapsto q + \delta q </math> (आरेख पर ग्रे तीर)। किसी भी प्रक्षेपवक्र पर विचार करें <math>q(t)</math> (आरेख पर बोल्ड) जो सिस्टम के [[यूलर-लैग्रेंज समीकरण]] को संतुष्ट करता है। | [[File:Noether theorem scheme.png|thumb|upright=2|समन्वय-वार समरूपता के लिए नोएदर के प्रमेय को दर्शाने वाला प्लॉट।]]नोएदर के प्रमेय के पीछे मुख्य विचार समन्वय वाली प्रणाली द्वारा सबसे आसानी से चित्रित किया गया है <math>q</math> और सतत समरूपता <math> \varphi: q \mapsto q + \delta q </math> (आरेख पर ग्रे तीर)। किसी भी प्रक्षेपवक्र पर विचार करें <math>q(t)</math> (आरेख पर बोल्ड) जो सिस्टम के [[यूलर-लैग्रेंज समीकरण]] को संतुष्ट करता है। अर्थात क्रिया (भौतिकी) <math>S</math> इस प्रणाली को नियंत्रित करना इस प्रक्षेपवक्र पर [[स्थिर बिंदु]] है, अर्थात प्रक्षेपवक्र की भिन्नताओं के किसी भी स्थानीय कलन के अनुसार नहीं बदलता है। विशेष रूप से यह समरूपता प्रवाह लागू करने वाली भिन्नता के अनुसार नहीं बदलेगा <math>\varphi</math> समय खंड पर {{closed-closed|''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>}} और उस खंड के बाहर गतिहीन है। प्रक्षेपवक्र को निरंतर बनाए रखने के लिए, हम छोटे समय की बफरिंग अवधियों का उपयोग करते हैं <math>\tau</math> खंडों के बीच धीरे-धीरे संक्रमण करने के लिए। | ||
कार्रवाई में कुल परिवर्तन <math>S</math> अब खेल में हर अंतराल द्वारा लाए गए परिवर्तन | कार्रवाई में कुल परिवर्तन <math>S</math> अब खेल में हर अंतराल द्वारा लाए गए परिवर्तन सम्मिलित हैं। भाग, जहाँ भिन्नता स्वयं लुप्त हो जाती है, नहीं लाते <math>\Delta S</math>. मध्य भाग भी क्रिया को नहीं बदलता, क्योंकि उसका परिवर्तन होता है <math>\varphi</math> समरूपता है और इस प्रकार Lagrangian को संरक्षित करता है <math>L</math> और कार्रवाई <math display="inline"> S = \int L </math>. केवल शेष भाग बफ़रिंग टुकड़े हैं। मोटे तौर पर बोलते हुए, वे अधिकतर अपने झुकाव के माध्यम से योगदान देते हैं <math>\dot{q}\rightarrow \dot{q}\pm \delta q / \tau</math>. | ||
यह Lagrangian को बदल देता है <math>\Delta L \approx \bigl(\partial L/\partial \dot{q}\bigr)\Delta \dot{q} </math>, जो एकीकृत करता है | यह Lagrangian को बदल देता है <math>\Delta L \approx \bigl(\partial L/\partial \dot{q}\bigr)\Delta \dot{q} </math>, जो एकीकृत करता है | ||
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{{main|Constant of motion|conservation law|conserved current}} | {{main|Constant of motion|conservation law|conserved current}} | ||
एक संरक्षण | एक संरक्षण नियम कहता है कि किसी प्रणाली के विकास के गणितीय विवरण में कुछ मात्रा X इसकी गति के समय स्थिर रहती है - यह [[अपरिवर्तनीय (भौतिकी)]] है। गणितीय रूप से, X के परिवर्तन की दर ([[समय]] के संबंध में इसका व्युत्पन्न) शून्य है, | ||
:<math>\frac{dX}{dt} = \dot{X} = 0 ~.</math> | :<math>\frac{dX}{dt} = \dot{X} = 0 ~.</math> | ||
ऐसी मात्राओं को संरक्षित कहा जाता है; उन्हें | ऐसी मात्राओं को संरक्षित कहा जाता है; उन्हें अधिकांशतः गति का स्थिरांक कहा जाता है (चूंकि गति को स्वयं में सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है, केवल समय में विकास)। उदाहरण के लिए, यदि प्रणाली की ऊर्जा संरक्षित है, तो इसकी ऊर्जा हर समय अपरिवर्तनीय होती है, जो प्रणाली की गति पर बाधा डालती है और इसके समाधान में मदद कर सकती है। अंतर्दृष्टि के अतिरिक्त गति के ऐसे स्थिरांक प्रणाली की प्रकृति में देते हैं, वे उपयोगी गणनात्मक उपकरण हैं; उदाहरण के लिए, उपयुक्त संरक्षण कानूनों को संतुष्ट करने वाले निकटतम राज्य को ढूंढकर अनुमानित समाधान को सही किया जा सकता है। | ||
खोजे गए गति के | खोजे गए गति के प्रारंभिक स्थिरांक संवेग और [[गतिज ऊर्जा]] थे, जो 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस और [[गॉटफ्रीड लीबनिज]] द्वारा [[टक्कर]] प्रयोगों के आधार पर प्रस्तावित किए गए थे, और बाद के शोधकर्ताओं द्वारा परिष्कृत किए गए थे। [[आइजैक न्यूटन]] अपने आधुनिक रूप में संवेग के संरक्षण को प्रतिपादित करने वाले पहले व्यक्ति थे, और उन्होंने दिखाया कि यह न्यूटन के गति के नियमों का परिणाम था|न्यूटन का तीसरा नियम। [[सामान्य सापेक्षता]] के अनुसार, रैखिक संवेग, ऊर्जा और कोणीय संवेग के संरक्षण नियम विश्व स्तर पर केवल तभी सही होते हैं जब तनाव-ऊर्जा टेंसर (गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा) और तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेंसर के योग के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। #Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर|Landau-Lifshitz तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर (गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा)। मुक्त-गिरने वाले संदर्भ फ्रेम में गैर-गुरुत्वाकर्षण रैखिक गति और ऊर्जा का स्थानीय संरक्षण तनाव-ऊर्जा टेंसर के सहसंयोजक [[विचलन]] के लुप्त होने से व्यक्त होता है। खगोलीय पिंडों के [[आकाशीय यांत्रिकी]] के अध्ययन में खोजी गई अन्य महत्वपूर्ण संरक्षित मात्रा, लाप्लास-रेंज-लेनज़ वेक्टर है। | ||
18वीं सदी के अंत और 19वीं सदी की शुरुआत में, भौतिकविदों ने आक्रमणकारियों की खोज के लिए अधिक व्यवस्थित तरीके विकसित किए। 1788 में Lagrangian Mechanics के विकास के साथ बड़ी प्रगति हुई, जो कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से संबंधित है। इस दृष्टिकोण में, सिस्टम की स्थिति को किसी भी प्रकार के सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' द्वारा वर्णित किया जा सकता है; गति के नियमों को [[कार्तीय समन्वय प्रणाली]] में व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि न्यूटोनियन यांत्रिकी में प्रथागत था। क्रिया (भौतिकी) को फ़ंक्शन के समय अभिन्न I के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे Lagrangian Mechanics L के रूप में जाना जाता है | 18वीं सदी के अंत और 19वीं सदी की शुरुआत में, भौतिकविदों ने आक्रमणकारियों की खोज के लिए अधिक व्यवस्थित तरीके विकसित किए। 1788 में Lagrangian Mechanics के विकास के साथ बड़ी प्रगति हुई, जो कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत से संबंधित है। इस दृष्टिकोण में, सिस्टम की स्थिति को किसी भी प्रकार के सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' द्वारा वर्णित किया जा सकता है; गति के नियमों को [[कार्तीय समन्वय प्रणाली]] में व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि न्यूटोनियन यांत्रिकी में प्रथागत था। क्रिया (भौतिकी) को फ़ंक्शन के समय अभिन्न I के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे Lagrangian Mechanics L के रूप में जाना जाता है | ||
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:<math> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </math> | :<math> p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} </math> | ||
गति के | गति के समय (भौतिक पथ पर) संरक्षित है। | ||
इस प्रकार, अज्ञानी समन्वय ''क्यू की अनुपस्थिति<sub>k</sub>Lagrangian से तात्पर्य है कि Lagrangian q के परिवर्तनों या परिवर्तनों से अप्रभावित है<sub>k</sub>; Lagrangian अपरिवर्तनीय है, और इस तरह के परिवर्तनों के | इस प्रकार, अज्ञानी समन्वय ''क्यू की अनुपस्थिति<sub>k</sub>Lagrangian से तात्पर्य है कि Lagrangian q के परिवर्तनों या परिवर्तनों से अप्रभावित है<sub>k</sub>; Lagrangian अपरिवर्तनीय है, और इस तरह के परिवर्तनों के अनुसार भौतिकी में समरूपता प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है। यह नोएदर के प्रमेय में सामान्यीकृत बीज विचार है।'' | ||
उन्नीसवीं शताब्दी में संरक्षित मात्राओं को खोजने के लिए कई वैकल्पिक तरीकों का विकास किया गया, विशेष रूप से [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] द्वारा। उदाहरण के लिए, उन्होंने [[विहित परिवर्तन]]ों का सिद्धांत विकसित किया, जिसने निर्देशांक बदलने की अनुमति दी, | उन्नीसवीं शताब्दी में संरक्षित मात्राओं को खोजने के लिए कई वैकल्पिक तरीकों का विकास किया गया, विशेष रूप से [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] द्वारा। उदाहरण के लिए, उन्होंने [[विहित परिवर्तन]]ों का सिद्धांत विकसित किया, जिसने निर्देशांक बदलने की अनुमति दी, जिससे कि ऊपर के रूप में लैग्रैंगियन से कुछ निर्देशांक गायब हो जाएं, जिसके परिणामस्वरूप कैनोनिकल संवेग संरक्षित हो। अन्य दृष्टिकोण, और संभवतः संरक्षित मात्रा खोजने के लिए सबसे कुशल, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण है। | ||
== गणितीय अभिव्यक्ति == | == गणितीय अभिव्यक्ति == | ||
| Line 109: | Line 109: | ||
नोएदर के प्रमेय का सार अज्ञानतापूर्ण निर्देशांकों की धारणा का सामान्यीकरण करना है। | नोएदर के प्रमेय का सार अज्ञानतापूर्ण निर्देशांकों की धारणा का सामान्यीकरण करना है। | ||
कोई यह मान सकता है कि ऊपर परिभाषित Lagrangian L समय चर t और सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' के छोटे क्षोभ (ताना-बाना) के | कोई यह मान सकता है कि ऊपर परिभाषित Lagrangian L समय चर t और सामान्यीकृत निर्देशांक 'q' के छोटे क्षोभ (ताना-बाना) के अनुसार अपरिवर्तनीय है। कोई लिख सकता है | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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\mathbf{q} &\rightarrow \mathbf{q}^{\prime} = \mathbf{q} + \delta \mathbf{q} ~, | \mathbf{q} &\rightarrow \mathbf{q}^{\prime} = \mathbf{q} + \delta \mathbf{q} ~, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहां क्षोभ δt और δ'q' दोनों छोटे हैं, | जहां क्षोभ δt और δ'q' दोनों छोटे हैं, किन्तु परिवर्तनशील हैं। व्यापकता के लिए, मान लें कि (कहते हैं) क्रिया के ऐसे [[समरूपता परिवर्तन]] हैं, अर्थात क्रिया को अपरिवर्तित छोड़ते हुए परिवर्तन; इंडेक्स r = 1, 2, 3, ..., N द्वारा लेबल किया गया। | ||
तब परिणामी क्षोभ को अलग-अलग प्रकार के क्षोभों के रैखिक योग के रूप में लिखा जा सकता है, | तब परिणामी क्षोभ को अलग-अलग प्रकार के क्षोभों के रैखिक योग के रूप में लिखा जा सकता है, | ||
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I. समय invariance | I. समय invariance | ||
उदाहरण के लिए, Lagrangian पर विचार करें जो समय पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, निर्देशांक q में किसी भी परिवर्तन के बिना परिवर्तन 't'' → ''t'' + δ''t'' के | उदाहरण के लिए, Lagrangian पर विचार करें जो समय पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, निर्देशांक q में किसी भी परिवर्तन के बिना परिवर्तन 't'' → ''t'' + δ''t'' के अनुसार अपरिवर्तनीय (सममित) है। इस मामले में, ''N'' = 1, ''T'' = 1 और Q = 0; संबंधित संरक्षित मात्रा कुल ऊर्जा ''H'' है<ref name="energy" >{{harvnb|Lanczos|1970|pp=401–403}}</ref> | ||
:<math>H = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L. </math> | :<math>H = \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L. </math> | ||
द्वितीय। अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम | द्वितीय। अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम | ||
एक Lagrangian पर विचार करें जो (उपरोक्त के रूप में अनदेखा) पर निर्भर नहीं करता है, 'q' समन्वय करता है<sub>''k''</sub>; इसलिए यह परिवर्तन q के | एक Lagrangian पर विचार करें जो (उपरोक्त के रूप में अनदेखा) पर निर्भर नहीं करता है, 'q' समन्वय करता है<sub>''k''</sub>; इसलिए यह परिवर्तन q के अनुसार अपरिवर्तनीय (सममित) है<sub>''k''</sub> → क्यू<sub>''k''</sub> + क्यू<sub>''k''</sub>. उस मामले में, एन = 1, टी = 0, और क्यू<sub>''k''</sub>= 1; संरक्षित मात्रा संगत रैखिक संवेग p है<sub>''k''</sub><ref name="momentum" >{{harvnb|Lanczos|1970|pp=403–404}}</ref> | ||
:<math>p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}.</math> | :<math>p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}.</math> | ||
[[विशेष सापेक्षता]] और सामान्य सापेक्षता में, इन दो संरक्षण कानूनों को विश्व स्तर पर (जैसा कि ऊपर किया गया है), या स्थानीय रूप से निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वैश्विक संस्करणों को वैश्विक संरक्षण | [[विशेष सापेक्षता]] और सामान्य सापेक्षता में, इन दो संरक्षण कानूनों को विश्व स्तर पर (जैसा कि ऊपर किया गया है), या स्थानीय रूप से निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। वैश्विक संस्करणों को वैश्विक संरक्षण नियम में एकजुट किया जा सकता है: ऊर्जा-संवेग 4-वेक्टर का संरक्षण। ऊर्जा और संवेग संरक्षण के स्थानीय संस्करण (अंतरिक्ष-समय में किसी भी बिंदु पर) को भी जोड़ा जा सकता है, अंतरिक्ष-समय बिंदु पर स्थानीय रूप से परिभाषित मात्रा के संरक्षण में: तनाव-ऊर्जा टेंसर <रेफ नाम = तनाव-ऊर्जा_टेंसर>{{harvnb|Goldstein|1980|pp=592–593}}</ref> (यह अगले भाग में प्राप्त किया जाएगा)। | ||
तृतीय। घूर्णी व्युत्क्रमण | तृतीय। घूर्णी व्युत्क्रमण | ||
कोणीय संवेग L = r × p का संरक्षण इसके रैखिक संवेग समकक्ष के अनुरूप है।<ref name="angular_momentum" >{{harvnb|Lanczos|1970|pp=404–405}}</ref> यह माना जाता है कि Lagrangian की समरूपता घूर्णी है, | कोणीय संवेग L = r × p का संरक्षण इसके रैखिक संवेग समकक्ष के अनुरूप है।<ref name="angular_momentum" >{{harvnb|Lanczos|1970|pp=404–405}}</ref> यह माना जाता है कि Lagrangian की समरूपता घूर्णी है, अर्थात, Lagrangian अंतरिक्ष में भौतिक प्रणाली के पूर्ण अभिविन्यास पर निर्भर नहीं करता है। संक्षिप्तता के लिए, मान लें कि अक्ष 'n' के बारे में δθ कोण के छोटे घुमावों के अनुसार Lagrangian नहीं बदलता है; ऐसा घुमाव समीकरण द्वारा कार्तीय समन्वय प्रणाली को बदल देता है | ||
:<math>\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta\theta \, \mathbf{n} \times \mathbf{r}.</math> | :<math>\mathbf{r} \rightarrow \mathbf{r} + \delta\theta \, \mathbf{n} \times \mathbf{r}.</math> | ||
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=== क्षेत्र सिद्धांत संस्करण === | === क्षेत्र सिद्धांत संस्करण === | ||
चूंकि यह अपने आप में उपयोगी है, नोएदर के प्रमेय का अभी दिया गया संस्करण 1915 में प्राप्त सामान्य संस्करण का विशेष मामला है। सामान्य प्रमेय का स्वाद देने के लिए, चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में निरंतर क्षेत्रों के लिए नोएदर के प्रमेय का संस्करण अब दिया गया है। चूंकि [[यांत्रिकी]] समस्याओं की तुलना में क्षेत्र सिद्धांत की समस्याएं आधुनिक भौतिकी में अधिक आम हैं, यह क्षेत्र सिद्धांत संस्करण नोएदर के प्रमेय का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला (या अधिकांशतः लागू किया गया) संस्करण है। | |||
अलग-अलग [[क्षेत्र (भौतिकी)]] का सेट होने दें <math>\varphi</math> सभी स्थान और समय पर परिभाषित; उदाहरण के लिए, तापमान <math>T(\mathbf{x}, t)</math> प्रत्येक स्थान और समय पर परिभाषित संख्या होने के नाते, ऐसे क्षेत्र का प्रतिनिधि होगा। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत ऐसे क्षेत्रों पर लागू किया जा सकता है, | अलग-अलग [[क्षेत्र (भौतिकी)]] का सेट होने दें <math>\varphi</math> सभी स्थान और समय पर परिभाषित; उदाहरण के लिए, तापमान <math>T(\mathbf{x}, t)</math> प्रत्येक स्थान और समय पर परिभाषित संख्या होने के नाते, ऐसे क्षेत्र का प्रतिनिधि होगा। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत ऐसे क्षेत्रों पर लागू किया जा सकता है, किन्तु कार्रवाई अब अंतरिक्ष और समय पर अभिन्न अंग है | ||
:<math>\mathcal{S} = \int \mathcal{L} \left(\varphi, \partial_\mu \varphi, x^\mu \right) \, d^4 x</math> | :<math>\mathcal{S} = \int \mathcal{L} \left(\varphi, \partial_\mu \varphi, x^\mu \right) \, d^4 x</math> | ||
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:<math>\varphi \mapsto \varphi + \varepsilon \Psi,</math> | :<math>\varphi \mapsto \varphi + \varepsilon \Psi,</math> | ||
कहाँ <math>\Psi</math> सामान्य रूप से ऐसा कार्य है जो दोनों पर निर्भर हो सकता है <math>x^\mu</math> और <math>\varphi</math>. के लिए शर्त <math>\Psi</math> भौतिक समरूपता उत्पन्न करने के लिए वह क्रिया है <math>\mathcal{S}</math> अपरिवर्तनीय छोड़ दिया गया है। यह निश्चित रूप से सही होगा | कहाँ <math>\Psi</math> सामान्य रूप से ऐसा कार्य है जो दोनों पर निर्भर हो सकता है <math>x^\mu</math> और <math>\varphi</math>. के लिए शर्त <math>\Psi</math> भौतिक समरूपता उत्पन्न करने के लिए वह क्रिया है <math>\mathcal{S}</math> अपरिवर्तनीय छोड़ दिया गया है। यह निश्चित रूप से सही होगा यदि Lagrangian घनत्व <math>\mathcal{L}</math> अपरिवर्तित छोड़ दिया गया है, किन्तु यह भी सच होगा यदि लैग्रैन्जियन विचलन से बदलता है, | ||
:<math>\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} + \varepsilon \partial_\mu \Lambda^\mu,</math> | :<math>\mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} + \varepsilon \partial_\mu \Lambda^\mu,</math> | ||
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जो इस विचार को व्यक्त करता है कि गोले के भीतर संरक्षित मात्रा की मात्रा तब तक नहीं बदल सकती जब तक कि इसका कुछ हिस्सा गोले से बाहर न निकल जाए। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेश संरक्षित होता है; गोले के भीतर आवेश की मात्रा तब तक नहीं बदल सकती जब तक कि कुछ आवेश गोले को छोड़ न दे। | जो इस विचार को व्यक्त करता है कि गोले के भीतर संरक्षित मात्रा की मात्रा तब तक नहीं बदल सकती जब तक कि इसका कुछ हिस्सा गोले से बाहर न निकल जाए। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेश संरक्षित होता है; गोले के भीतर आवेश की मात्रा तब तक नहीं बदल सकती जब तक कि कुछ आवेश गोले को छोड़ न दे। | ||
उदाहरण के लिए, फ़ील्ड की भौतिक प्रणाली पर विचार करें जो समय और स्थान में अनुवाद के | उदाहरण के लिए, फ़ील्ड की भौतिक प्रणाली पर विचार करें जो समय और स्थान में अनुवाद के अनुसार समान व्यवहार करती है, जैसा कि ऊपर माना गया है; दूसरे शब्दों में, <math>L \left(\boldsymbol\varphi, \partial_\mu{\boldsymbol\varphi}, x^\mu \right)</math> अपने तीसरे तर्क में स्थिर है। उस स्थिति में, N = 4, स्थान और समय के प्रत्येक आयाम के लिए एक। अंतरिक्ष में अपरिमेय अनुवाद, <math>x^\mu \mapsto x^\mu + \varepsilon_r \delta^\mu_r</math> (साथ <math>\delta</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] को निरूपित करते हुए), खेतों को प्रभावित करता है <math>\varphi(x^\mu) \mapsto \varphi\left(x^\mu - \varepsilon_r \delta^\mu_r\right)</math>: अर्थात, निर्देशांक को फिर से लेबल करना, फ़ील्ड का अनुवाद करते समय निर्देशांक को जगह पर छोड़ने के बराबर है, जो बदले में प्रत्येक बिंदु पर इसके मान को बदलकर फ़ील्ड को बदलने के बराबर है <math>x^\mu</math> बिंदु पर मूल्य के साथ <math>x^\mu - \varepsilon X^\mu</math> इसके पीछे जिस पर मैप किया जाएगा <math>x^\mu</math> विचाराधीन अत्यल्प विस्थापन द्वारा। चूँकि यह अतिसूक्ष्म है, हम इस परिवर्तन को इस रूप में लिख सकते हैं | ||
:<math>\Psi_r = -\delta^\mu_r \partial_\mu \varphi.</math> | :<math>\Psi_r = -\delta^\mu_r \partial_\mu \varphi.</math> | ||
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