सुपरस्पेस

सुपरस्पेस अतिसममिति प्रदर्शित करने वाले सिद्धांत का समन्वय स्थान है। इस तरह के सूत्रीकरण में, सामान्य दिक् आयाम x, y, z, ... के साथ-साथ एंटीकम्यूटिंग आयाम भी होते हैं जिनके निर्देशांक वास्तविक संख्याओं के स्थान पर ग्रासमैन संख्या में वर्गीकृत किए जाते हैं। सामान्य दिक् आयाम स्वतंत्रता की बोसोनिक घात के अनुरूप होते हैं, एंटीकम्यूटिंग आयाम स्वतंत्रता की तापायनिक कोटि के अनुरूप होते हैं।

सुपरस्पेस शब्द का प्रयोग पहली बार जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर द्वारा सामान्य सापेक्षता के विन्यास स्थान (भौतिकी) का वर्णन करने के लिए एक असंबंधित अर्थ में किया गया था; उदाहरण के लिए, यह प्रयोग उनकी 1973 की पाठ्यपुस्तक गुरुत्वाकर्षण (पुस्तक) में देखा जा सकता है।

अनौपचारिक चर्चा

कई सुपरस्पेस की परिभाषाएं जिनका उपयोग किया गया है, समान हैं, लेकिन समकक्ष नहीं हैं, और उनका गणितीय और भौतिकी साहित्य में उपयोग किया जाना जारी है। ऐसा ही एक प्रयोग अति मिन्कोव्स्की दिक् के पर्याय के रूप में है। इस स्तिथि में, कोई सामान्य मिन्कोव्स्की स्थान लेता है, और इसे लोरेंत्ज़ समूह से जुड़े क्लिफर्ड बीजगणित से प्रति-न्यूनीकरण वेइल स्पाइनर के रूप में लिया जाता है, जो स्वतंत्रता के प्रति-न्यूनीकरण तापायनिक घात के साथ विस्तारित होता है। समतुल्य रूप से, अति मिन्कोव्स्की दिक् को लोरेंत्ज़ समूह के बीजगणित अति पोंकारे बीजगणित सापेक्ष के भागफल के रूप में समझा जा सकता है। ऐसी जगह पर निर्देशांक के लिए एक विशिष्ट संकेतन $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ है चित्र शीर्षक से यह पता चलता है कि अति मिंकॉस्की दिक् इच्छित स्थान है।

सुपरस्पेस को सामान्यतः अति सदिश स्थल के पर्याय के रूप में भी प्रयोग किया जाता है। इसे ग्रासमैन बीजगणित से लिए गए अतिरिक्त निर्देशांकों के साथ एक सामान्य सदिश स्थान के रूप में लिया जाता है, अर्थात ग्रासमान संख्या वाले निर्देशांक दिशाएँ। उपयोग में आने वाले अति सदिश दिक् के निर्माण के लिए कई परंपराएँ हैं; इनमें से दो का वर्णन रोजर्स ने किया है।

सुपरस्पेस शब्द का तीसरा उपयोग अतिबहुविध के पर्याय के रूप में है: बहुविध का अतिसममितीय सामान्यीकरण है। ध्यान दें कि अति मिंकोव्स्की दिक् और अति सदिश दिक् दोनों को अतिबहुविध की विशेष स्तिथियों के रूप में लिया जा सकता है।

चौथा और पूरी तरह से असंबंधित अर्थ ने सामान्य सापेक्षता में एक संक्षिप्त उपयोग देखा; इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

उदाहरण

नीचे कई उदाहरण दिए गए हैं। पहले कुछ अतिसदिश दिक् के रूप में सुपरस्पेस की परिभाषा मानते हैं। इसे R^m|n के रूप में निरूपित किया जाता है, Z₂-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि जिसमें R^m सम उपसमष्टि है और Rⁿ विषम उपसमष्टि है। यही परिभाषा C^m|n पर लागू होती है।

चार-आयामी उदाहरण सुपरस्पेस को अति मिंकोवस्की दिक् के रूप में लेते हैं। हालांकि सदिश स्थान के समान, इसमें कई महत्वपूर्ण अंतर हैं: सबसे पहले, यह एक सजातीय स्थान है, जिसमें मूल को दर्शाने वाला कोई विशेष बिंदु नहीं है। इसके बाद, ग्रासमैन संख्या होने के स्थान पर, क्लिफर्ड बीजगणित से तापायनिक निर्देशांक को क्रमविनिमेय वेइल स्पाइनर के रूप में लिया जाता है। यहाँ अंतर यह है कि क्लिफर्ड बीजगणित में ग्रासमैन संख्या की तुलना में काफी समृद्ध और अधिक सूक्ष्म संरचना है। तो, ग्रास्मान संख्या बाहरी बीजगणित के तत्व हैं, और क्लिफोर्ड बीजगणित में बाहरी बीजगणित के लिए एक समरूपता है, लेकिन आयतीय समूह और स्पाइन समूह से इसका संबंध, स्पाइन प्रस्तुतियों का निर्माण करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसे एक पश्च ज्यामितीय महत्व देता है। (उदाहरण के लिए, स्पाइन समूह रिमेंनियन ज्यामिति के भौतिकी की सामान्य सीमाओं और सरोकारों से बिल्कुल बाहर अध्ययन का एक सामान्य हिस्सा है।)

तुच्छ उदाहरण

सबसे छोटा सुपरस्पेस एक ऐसा बिंदु है जिसमें न तो बोसोनिक और न ही तापायनिक दिशाएँ होती हैं। अन्य तुच्छ उदाहरणों में n-आयामी वास्तविक तल 'R'ⁿ सम्मिलित हैं, जो एक सदिश स्थान है जो n वास्तविक, बोसोनिक दिशाओं में विस्तारित है और कोई तापायनिक दिशा नहीं है। सदिश स्थान R^0|n, जो कि n-विमीय यथार्थ ग्रासमैन बीजगणित है। दिक् R^1|1 एक सम और एक विषम दिशा को दोहरी संख्याओं के स्थान के रूप में जाना जाता है, जिसे 1873 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

अतिसममितीय परिमाण यांत्रिकी का सुपरस्पेस

Nअत्यधिक प्रभावकारी के साथ अतिसममितीय परिमाण यांत्रिकी प्रायः सुपरस्पेस R^1|2N में प्रस्तुत की जाती है। जिसमें एक वास्तविक दिशा t सम्मिलित है जिसे समय के साथ पहचाना जाता है और N संकुल ग्रासमैन संख्या जो Θ द्वारा फैली हुई है_i और Θ जहाँ i 1 से N तक चलता है।

विशेष स्थिति N = 1 पर विचार करें। सुपरस्पेस 'R'^1|2 एक 3-आयामी सदिश स्थान है। इसलिए दिए गए निर्देशांक को त्रिक (t, Θ, Θ) के रूप में लिखा जा सकता है। निर्देशांक एक लाइ सुपरएलजेब्रा बनाते हैं, जिसमें t की वर्गीकरण घात भी है और Θ और Θ की विषम है। इसका अर्थ यह है कि इस सदिश दिक् के किसी भी दो तत्वों के बीच एक कोष्ठक को परिभाषित किया जा सकता है, और यह कोष्ठक दिक्परिवर्तक को दो सम निर्देशांकों पर और एक सम और एक विषम समन्वय पर कम करता है, जबकि यह दो विषम निर्देशांकों पर एक प्रतिदिक्परिवर्तक है। यह सुपरस्पेस एक एबेलियन लाइ सुपरलेजेब्रा है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त सभी कोष्ठक विलुप्त हो जाते हैं

$\left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0$

जहाँ $[a,b]$ a और b का दिक्परिवर्तक है और $\{a,b\}$ a और b के प्रतिदिक्परिवर्तक है।

कोई इस सदिश स्थान से कार्यों को परिभाषित कर सकता है, जिन्हें अधिक्षेत्र कहा जाता है। उपरोक्त बीजगणितीय संबंधों का अर्थ है कि, यदि हम Θ और Θ में शक्ति श्रृंखला के रूप में अपने अधिक्षेत्र का विस्तार करते हैं, तब हम केवल शून्य और प्रथम कोटि पर पद प्राप्त करेंगे, क्योंकि Θ^{2= Θ* 2 = 0 है। इसलिए, अधिक्षेत्र को t के स्वेच्छाचारी फलन के रूप में लिखा जा सकता है जिसे दो ग्रासमैन निर्देशांकों में शून्य और पहले क्रम के शब्दों से गुणा किया जाता है}

$\Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)$

अधिक्षेत्र, जो सुपरस्पेस के अतिसममिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, टेन्सर की धारणा को सामान्य करते हैं, जो एक बोसोनिक दिक् के क्रमावर्तन समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इसके बाद ग्रासमैन दिशाओं में व्युत्पादित को परिभाषित किया जा सकता है, जो अधिक्षेत्र के विस्तार में पहले अनुक्रम शब्द को ज़ीरोथ अनुक्रम अवधि तक ले जाता है और ज़ीरोथ अनुक्रम अवधि को मिटा देता है। कोई चिह्न परिपाटी चुन सकता है जैसे कि व्युत्पादित प्रतिविनिमय संबंधों को संतुष्ट करते हैं

$\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1$

इन व्युत्पादित को अतिप्रभार में इकट्ठा किया जा सकता है

$Q={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\partial }{\partial t}}$

जिनके प्रतिदिक्परिवर्तक उन्हें एक अतिसममिति बीजगणित के तापायनिक जनित्र के रूप में पहचानते हैं

$\left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}$

जहां i बार समय व्युत्पन्न परिमाण यांत्रिकी में हैमिल्टनियन (परिमाण यांत्रिकी) संचालक है। Q और इसके आसन्न दोनों स्वयं के साथ प्रतिअभिगम करते हैं। अधिक्षेत्र Φ के अतिसममिति मापदण्ड ε के साथ अतिसममिति विभिन्नता को परिभाषित किया गया है

${\displ$