वृत्ताकार कक्षा

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इस आरेख के शीर्ष-बाएँ चतुर्भुज में वृत्ताकार कक्षा को दर्शाया गया है, जहाँ केंद्रीय द्रव्यमान का गुरुत्व संभावित ऊर्जा को दर्शाता है, और कक्षीय गति की गतिज ऊर्जा को लाल रंग में दिखाया गया है। निरंतर गति वृत्ताकार कक्षा में गतिज ऊर्जा की ऊंचाई स्थिर रहती है।

File:Counterintuitive orbital mechanics.svg

आरेख के शीर्ष पर, एक उपग्रह दक्षिणावर्त वृत्ताकार कक्षा (पीला स्थान) में नगण्य द्रव्यमान की वस्तुओं को प्रक्षेपित करता है:(1 - नीला) पृथ्वी की ओर, (2 - लाल) पृथ्वी से दूर, (3 - ग्रे) यात्रा की दिशा में, और (4 - काला) यात्रा की दिशा में पीछे की ओर। धराशायी दीर्घवृत्त पृथ्वी के सापेक्ष कक्षाएँ हैं। ठोस वक्र उपग्रह के सापेक्ष गड़बड़ी हैं: एक कक्षा में, (1) और (2) उपग्रह के दोनों ओर दक्षिणावर्त लूप बनाकर उपग्रह पर लौटते हैं। अनायास, (3) आगे और पीछे सर्पिल जबकि (4) आगे सर्पिल।

वृत्ताकार कक्षा ऐसी कक्षा है जो एक निश्चित दूरी के साथ केन्द्रक के चारों ओर होती है जो एक वृत्त के आकार में होती है।

मानक मान्यताओं के अनुसार खगोलगतिकी या आकाशीय यांत्रिकी में नीचे सूचीबद्ध एक गोलाकार कक्षा है। यहाँ केन्द्रापसारक बल गुरुत्वाकर्षण बल है, और ऊपर वर्णित अक्ष गति के तल के लंबवत केंद्रीय द्रव्यमान के केंद्र से होकर जाने वाली रेखा है।

इस स्थिति में, न केवल दूरी किन्तु गति, कोणीय गति, संभावित ऊर्जा और गतिज ऊर्जा भी स्थिर हैं। कोई पेरीपसिस या एपोप्सिस नहीं है। इस कक्षा का कोई रेडियल संस्करण नहीं है।

परिपत्र त्वरण

अनुप्रस्थ त्वरण (वेग के लंबवत) दिशा में परिवर्तन का कारण बनता है। यदि यह परिमाण में स्थिर है और वेग के साथ दिशा में बदल रहा है तो वृत्ताकार गति होती है। समय के संबंध में कण के निर्देशांक के दो डेरिवेटिव लेने से केन्द्रापसारक त्वरण मिलता है

$a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}$

जहाँ:

• $v\,$ परिक्रमा करने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा है,
• $r\,$ वृत्त की त्रिज्या है
• $\omega \$ कोणीय गति है, जिसे प्रति इकाई समय में रेडियंस में मापा जाता है।

सूत्र आयाम रहित मात्रा है, जो सूत्र में समान रूप से प्रायुक्त माप की सभी इकाइयों के लिए सही अनुपात का वर्णन करता है। यदि का संख्यात्मक मान $\mathbf {a}$ मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड में मापा जाता है, तो के लिए संख्यात्मक मान $v\,$ मीटर प्रति सेकंड, $r\,$ मीटर में, और $\omega \$ रेडियन प्रति सेकंड में होगा।

वेग

केंद्रीय वस्तु के सापेक्ष गति (या वेग का परिमाण) स्थिर है:

$v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}$

जहाँ:

• $G$, गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है
• $M$, दोनों परिक्रमा करने वाले पिंडों $(M_{1}+M_{2})$ का द्रव्यमान है, चूंकि सामान्य व्यवहार में, यदि अधिक द्रव्यमान महत्वपूर्ण रूप से बड़ा होता है, तो परिणाम में न्यूनतम परिवर्तन के साथ, कम द्रव्यमान की अधिकांश उपेक्षा की जाती है।
• $\mu =GM$, मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।

गति का समीकरण

ध्रुवीय निर्देशांकों में कक्षा समीकरण, जो सामान्यतः θ के संदर्भ में r देता है, कम हो जाता है:

$r={{h^{2}} \over {\mu }}$

जहाँ:

• $h=rv$ परिक्रमा करने वाले पिंड का विशिष्ट कोणीय संवेग है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि $\mu =rv^{2}$

कोणीय गति और कक्षीय अवधि

$\omega ^{2}r^{3}=\mu$

इसलिए कक्षीय अवधि ($T\,\!$) की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}$

दो समानुपाती मात्राओं की तुलना, मुक्त-पतन का समय (आराम से बिंदु द्रव्यमान तक गिरने का समय)

$T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}$ (वृत्ताकार कक्षा में कक्षीय अवधि का 17.7%)

और रेडियल परवलयिक कक्षा में बिंदु द्रव्यमान तक गिरने का समय

$T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}$ (वृत्ताकार कक्षा में कक्षीय अवधि का 7.5%)

तथ्य यह है कि सूत्र केवल स्थिर कारक से भिन्न होते हैं, यह आयामी विश्लेषण से प्राथमिक स्पष्ट है।

ऊर्जा

विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा ($\epsilon \,$) ऋणात्मक है, और

$\epsilon =-{v^{2} \over {2}}$

$\epsilon =-{\mu \over {2r}}$

इस प्रकार वायरल प्रमेय समय-औसत लिए बिना भी प्रायुक्त होता है:

• निकाय की गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा के निरपेक्ष मान के बराबर होती है
• सिस्टम की संभावित ऊर्जा कुल ऊर्जा के दोगुने के बराबर है

किसी भी दूरी से पलायन वेग है √2 उस दूरी पर गोलाकार कक्षा में गति का गुना: गतिज ऊर्जा दोगुनी होती है, इसलिए कुल ऊर्जा शून्य होती है।

डेल्टा-वी गोलाकार कक्षा तक पहुँचने के लिए

बड़ी गोलाकार कक्षा में कुशलता, उदाहरण के लिये भूस्थैतिक कक्षा के लिए पलायन कक्षा की तुलना में बड़े डेल्टा-वी की आवश्यकता होती है, चूंकि उत्तरार्द्ध का तात्पर्य स्वैच्छिक विधि से दूर होना और वृत्ताकार कक्षा की कक्षीय गति के लिए आवश्यकता से अधिक ऊर्जा होना है। यह कक्षा में प्रसाधन का स्थिति भी है। होहमन स्थानांतरण कक्षा भी देखें।

सामान्य सापेक्षता में कक्षीय वेग

श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक में, त्रिज्या के साथ गोलाकार कक्षा के लिए कक्षीय वेग $r$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

$v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}$

जहाँ $\scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ केंद्रीय निकाय की श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या है।

व्युत्पत्ति

सुविधा के लिए व्युत्पत्ति को उन इकाइयों में लिखा जाएगा जिनमें $\scriptstyle c=G=1$ है।

वृत्ताकार कक्षा में किसी पिंड का चार-वेग निम्न द्वारा दिया जाता है:

$u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})$

($\scriptstyle r$ गोलाकार कक्षा पर स्थिर है, और निर्देशांक चुना जा सकता है ताकि $\scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}$). चर के ऊपर का बिंदु उचित समय $\scriptstyle \tau$ के संबंध में व्युत्पत्ति को दर्शाता है।

भारी कण के लिए, चार-वेग के घटक निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

$\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1$

हम जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करते हैं:

${\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0$

$\scriptstyle \mu =r$ के लिए एकमात्र गैर-तुच्छ समीकरण है। यह देता है:

${\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0$

इससे हमें मिलता है:

${\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}$

विशाल कण के लिए समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर:

$\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1$

इस प्रकार:

${\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}$

मान लें कि हमारे पास त्रिज्या $\scriptstyle r$ पर पर्यवेक्षक है, जो केंद्रीय निकाय के संबंध में गति नहीं कर रहा है, अर्थात उनका चार-वेग सदिश $\scriptstyle \partial _{t}$ के समानुपाती है। सामान्यीकरण की स्थिति का तात्पर्य है कि यह इसके बराबर है:

$v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)$

प्रेक्षक और परिक्रमा करने वाले पिंड के चार-वेगों का डॉट उत्पाद प्रेक्षक के सापेक्ष परिक्रमा करने वाले पिंड के लिए गामा कारक के बराबर होता है, इसलिए:

$\gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}$

यह गतिज ऊर्जा देता है:

$v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}$

या, एसआई इकाइयों में:

$v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}$

यह भी देखें

• अण्डाकार कक्षा
• परिक्रमाओं की सूची
• दो शरीर की समस्या