यूलर ईंट

गणित में, एक ऑयलर ईंट, जिसका नाम लियोनहार्ड ऑयलर के नाम पर रखा गया है, एक आयताकार घनाभ है जिसके किनारों और फलक विकर्णों की लंबाई पूर्णांक होती है। एक अभाज्य ऑयलर ईंट एक ऑयलर ईंट होती है जिसके किनारे की लंबाई सापेक्षतः अभाज्य होती है। एक पूर्ण ऑयलर ईंट वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।

किनारे वाली यूलर ईंट a, b, c और विकर्णों का सामना करें d, e, f

परिभाषा

ज्यामितीय पदों में ऑयलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:

${\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}$

जहाँ a, b, c किनारे हैं और d, e, f विकर्ण हैं।

गुण

• यदि (a, b, c) एक समाधान है, तो (ka, kb, kc) भी किसी भी (k)का एक समाधान है। नतीजतन, परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई वाली एक यूलर ईंट दी गई है (a, b, c), ट्रिपल (bc, ac, ab) एक यूलर ईंट भी बनाता है।

• एक आदिम यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।

• एक यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।

• एक यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।

• यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।

उदाहरण

1719 में पॉल हल्के द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट में किनारे हैं (a, b, c) = (44, 117, 240) और विकर्णों का सामना करें (d, e, f ) = (125, 244, 267). किनारों के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे आदिम समाधान (a, b, c) - विकर्णों का सामना करें (d, e, f), नीचे हैं:

File:Euler brick examples.svg

1000 से कम आयामों वाली सभी पांच आदिम यूलर ईंटें

:{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"

|(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||) |- |(||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||) |- |(||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||) |- |(||187,||1020,||1584||) — (||1037,||1595,||1884||) |- |(||195,|| 748,||6336||) — (|| 773,||6339,||6380||) |- |(||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||) |- |(||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||) |- |(||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||) |- |(||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||) |}

सूत्र बनाना

यूलर ने समस्या के कम से कम दो पैरामीट्रिक समाधान खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता। निकोलस सौंडरसन के साथ अनंत यूलर ईंटें उत्पन्न की जा सकती हैं पैरामीट्रिक सूत्र। होने देना (u, v, w) एक पायथागॉरियन ट्रिपल बनें (यानी, u² + v² = w²।) तब किनारे

$a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw$

चेहरा विकर्ण दें

$d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).$

कई यूलर ईंटें हैं जो ऊपर की तरह पैरामीट्रिज्ड नहीं हैं, उदाहरण के लिए किनारों वाली यूलर ईंट (a, b, c) = (240, 252, 275) और विकर्णों का सामना करें (d, e, f ) = (348, 365, 373).

पूर्ण घनाभ

Unsolved problem in mathematics:

Does a perfect cuboid exist?

(more unsolved problems in mathematics)

एक पूर्ण घनाभ (जिसे एक पूर्ण यूलर ईंट या संपूर्ण बॉक्स भी कहा जाता है) एक यूलर ईंट है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी पूर्णांक लंबाई का होता है। दूसरे शब्दों में, यूलर ईंट को परिभाषित करने वाले डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणाली में निम्नलिखित समीकरण जोड़ा गया है:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},$

कहाँ g अंतरिक्ष विकर्ण है। As of September 2020, एक पूर्ण घनाभ का कोई उदाहरण नहीं मिला था और किसी ने भी यह सिद्ध नहीं किया है कि कोई भी अस्तित्व में नहीं है।

File:Euler brick perfect.svg

किनारों के साथ यूलर ईंट a, b, c और विकर्णों का सामना करें d, e, f

संपूर्ण कंप्यूटर खोजों से पता चलता है कि, यदि एक पूर्ण घनाभ मौजूद है,

• विषम किनारा 2.5 × 10 से अधिक होना चाहिए¹³,
• सबसे छोटा किनारा इससे बड़ा होना चाहिए 5×10¹¹.* अंतरिक्ष का विकर्ण 9 × 10 से अधिक होना चाहिए¹⁵.

मॉड्यूलर अंकगणित के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक आदिम पूर्ण घनाभ से संतुष्ट होना चाहिए, यदि कोई मौजूद है:

• एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।
• दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 5 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 7 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 11 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे की लंबाई 19 से विभाज्य होनी चाहिए।
• एक किनारे या अंतरिक्ष का विकर्ण 13 से विभाज्य होना चाहिए।
• एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 17 से विभाज्य होना चाहिए।
• एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 29 से विभाज्य होना चाहिए।
• एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 37 से विभाज्य होना चाहिए।

इसके साथ ही:

• अंतरिक्ष का विकर्ण न तो प्रधान शक्ति है और न ही अर्धप्राइम।
• अंतरिक्ष विकर्ण में केवल अभाज्य विभाजक ≡ 1(mod 4) हो सकते हैं।

यदि एक पूर्ण घनाभ मौजूद है और $a,b,c$ उसके किनारे हैं, $d,e,f$ - संबंधित चेहरा विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण $g$, तब

• भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज $(d^{2},e^{2},f^{2})$ एक हेरोनियन त्रिभुज एक क्षेत्र है $abcg$ तर्कसंगत कोण द्विभाजक के साथ।
• पक्ष की लंबाई के साथ तीव्र त्रिभुज $(af,be,cd)$, भुजाओं की लंबाई के साथ अधिक त्रिभुज $(bf,ae,gd),(ad,cf,ge),(ce,bd,gf)$ हेरोनियन त्रिभुज हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर है ${\frac {abcg}{2}}$.

घनाभ अनुमान

तीन घनाभ अनुमान तीन गणित प्रस्ताव हैं जो कई पूर्णांक मापदंडों के आधार पर पूर्णांक गुणांक वाले तीन अविभाज्य बहुपदों के अलघुकरणीय बहुपद का दावा करते हैं। अनुमान #परफेक्ट क्यूबॉइड समस्या से संबंधित हैं। हालांकि वे पूर्ण घनाभ समस्या के समतुल्य नहीं हैं, यदि ये तीनों अनुमान मान्य हैं, तो कोई भी पूर्ण घनाभ मौजूद नहीं है। वे न तो सिद्ध होते हैं और न ही असिद्ध।

घनाभ अनुमान 1. किसी भी दो धनात्मक सहअभाज्य पूर्णांक संख्याओं के लिए $a\neq u$ आठवीं डिग्री बहुपद

$P_a$