जनक फलन: Difference between revisions

Line 60:

<math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math>

पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक ~~राशि~~ से संबंधित हैं

पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक योग से संबंधित हैं

Line 106:

<math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math>

बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''0}} 0 के बराबर हैं)। इसके ~~अलावा~~, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है।

बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''0}} 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है।

अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''2, ''a''3, ...}}देता है किसी भी स्थिरांक {{mvar|a}} के लिए :

Line 214:

<math display="block"> \sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} z^j F^{(j)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^k f_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math>

बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण व्युत्पादित रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को व्युत्पादित-आधारित जनक फलन रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनक फलन रूपांतरण द्वारा और अनुक्रम जनक फलन पर श्रृंखला परिवर्तन निष्पादित किया गया है। एक अनुक्रम ~~उत्पन्न करने वाले~~ फलन पर भिन्नात्मक कलन करने के संबंधित संचालन पर चर्चा की जाती है।

बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण व्युत्पादित रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को व्युत्पादित-आधारित जनक फलन रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनक फलन रूपांतरण द्वारा और अनुक्रम जनक फलन पर श्रृंखला परिवर्तन निष्पादित किया गया है। एक अनुक्रम जनक फलन पर भिन्नात्मक कलन करने के संबंधित संचालन पर चर्चा की जाती है।

==== अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना ====

Line 258:

==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ====

प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं <code>'''अनुमान'''</code> अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- स्वेच्छाचारी इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और <code>'''सिग्मा'''</code> संकुल जो कई ~~राशियों~~ के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है, {{mvar|P}}-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत [[हार्मोनिक संख्या|सुसंगत संख्या]]ओं को सम्मिलित करती है।<ref>{{cite journal|last1=Schneider|first1=C.|title=प्रतीकात्मक योग कॉम्बिनेटरिक्स की सहायता करता है|journal=Sem. Lothar. Combin.|date=2007|volume=56|pages=1–36 |url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s56schneider.html}}</ref> इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य संकुल विशेष रूप से होलोनोमिक जनक फलन के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं।

प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं <code>'''अनुमान'''</code> अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- स्वेच्छाचारी इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और <code>'''सिग्मा'''</code> संकुल जो कई योग के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है, {{mvar|P}}-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत [[हार्मोनिक संख्या|सुसंगत संख्या]]ओं को सम्मिलित करती है।<ref>{{cite journal|last1=Schneider|first1=C.|title=प्रतीकात्मक योग कॉम्बिनेटरिक्स की सहायता करता है|journal=Sem. Lothar. Combin.|date=2007|volume=56|pages=1–36 |url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s56schneider.html}}</ref> इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य संकुल विशेष रूप से होलोनोमिक जनक फलन के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं।

Line 329:

& = 1 + c_1 z + \left(\text{ab}_2+c_1^2\right) z^2 + \left(2 \text{ab}_2 c_1+c_1^3 + \text{ab}_2 c_2\right) z^3 + \cdots

\end{align}</math>

<math>z^n</math> के गुणांक, {{math|''jn'' ≔ [''zn''] ''J''[∞](''z'')}} द्वारा आशुलिपि में निरूपित, पिछले समीकरणों में समीकरणों के ~~मैट्रिक्स~~ समाधान के अनुरूप हैं

<math>z^n</math> के गुणांक, {{math|''jn'' ≔ [''zn''] ''J''[∞](''z'')}} द्वारा आशुलिपि में निरूपित, पिछले समीकरणों में समीकरणों के आव्यूह समाधान के अनुरूप हैं

<math display="block">\begin{bmatrix}k_{0,1} & k_{1,1} & 0 & 0 & \cdots \\ k_{0,2} & k_{1,2} & k_{2,2} & 0 & \cdots \\ k_{0,3} & k_{1,3} & k_{2,3} & k_{3,3} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =

Line 351:

Q_h(z) & = (1-c_h z) Q_{h-1}(z) - \text{ab}_h z^2 Q_{h-2}(z) + (1-c_1 z) \delta_{h,1} + \delta_{0,1}.

\end{align}</math>

इसके ~~अलावा~~, सभी {{math|''h'' ≥ 2}} के लिए अभिसारी फलन {{math|Conv''h''(''z'')}} की तार्किकता {{math|''jn''}} के अनुक्रम से संतुष्ट होने वाले अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों को दर्शाती है, और {{math|''Mh'' ≔ ab2 ⋯ ab''h'' + 1}} के लिए यदि {{math|''h'' ‖ ''M''''h''}} तो हमारे पास सर्वांगसमता है<math display="block">j_n \equiv [z^n] \operatorname{Conv}_h(z) \pmod h, </math>

इसके अतिरिक्त, सभी {{math|''h'' ≥ 2}} के लिए अभिसारी फलन {{math|Conv''h''(''z'')}} की तार्किकता {{math|''jn''}} के अनुक्रम से संतुष्ट होने वाले अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों को दर्शाती है, और {{math|''Mh'' ≔ ab2 ⋯ ab''h'' + 1}} के लिए यदि {{math|''h'' ‖ ''M''''h''}} तो हमारे पास सर्वांगसमता है<math display="block">j_n \equiv [z^n] \operatorname{Conv}_h(z) \pmod h, </math>

Line 431:

द्विभाजित स्तिथि में, गैर-बहुपद ~~डबल~~ योग फॉर्म के तथाकथित युग्म या उत्कृष्ट जनक फलन के उदाहरण हैं

द्विभाजित स्तिथि में, गैर-बहुपद युग्म योग फॉर्म के तथाकथित युग्म या उत्कृष्ट जनक फलन के उदाहरण हैं

Line 447:

== अनुप्रयोग ==

===विभिन्न तकनीकें: ~~राशियों~~ का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना ===

===विभिन्न तकनीकें: योग का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना ===

==== उदाहरण 1: सुसंगत संख्याओं के योग के लिए एक सूत्र ====

Line 480:

सभी {{math|''n'' ≥ 0}} के लिए, और पहले के संदर्भ में दूसरे योग को व्यक्त करना चाहते हैं। हम कार्यों को उत्पन्न करके एक दृष्टिकोण का सुझाव देते हैं।

सबसे पहले, हम पहली ~~राशि~~ के लिए जनक फलन लिखने के लिए [[द्विपद परिवर्तन]] का उपयोग करते हैं

सबसे पहले, हम पहली योग के लिए जनक फलन लिखने के लिए [[द्विपद परिवर्तन]] का उपयोग करते हैं

<math display="block">S(z) = \frac{1}{1-3z} F\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math>

{{math|⟨ (''n'' + 1)(''n'' + 2)(''n'' + 3) ''fn'' ⟩}} अनुक्रम के लिए जनक फलन के बाद से निम्न द्वारा दिया गया है

हम ऊपर परिभाषित दूसरी ~~राशि~~ के लिए जनक फलन को निम्न स्वरुप में लिख सकते हैं

हम ऊपर परिभाषित दूसरी योग के लिए जनक फलन को निम्न स्वरुप में लिख सकते हैं

<math display="block">\tilde{S}(z) = \frac{6}{(1-3z)} F\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{18z}{(1-3z)^2} F'\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{9z^2}{(1-3z)^3} F''\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{z^3}{(1-3z)^4} F'''\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math>

विशेष रूप से, हम इस संशोधित योग ~~उत्पन्न करने वाले~~ फलन को निम्न रूप में लिख सकते हैं

विशेष रूप से, हम इस संशोधित योग जनक फलन को निम्न रूप में लिख सकते हैं

{{math|''a''(''z'') {{=}} 6(1 − 3''z'')3}} के लिए , {{math|''b''(''z'') {{=}} 18(1 − 3''z'')3}}, {{math|''c''(''z'') {{=}} 9(1 − 3''z'')3}}, और {{math|''d''(''z'') {{=}} (1 − 3''z'')3}}, जहाँ {{math|(1 − 3''z'')3 {{=}} 1 − 9''z'' + 27''z''2 − 27''z''3}}.

Line 499:

==== उदाहरण 3: परस्पर पुनरावर्ती अनुक्रमों के लिए कार्य उत्पन्न करना ====

इस उदाहरण में, हम गणित ~~की धारा~~ 7.3 में दिए गए एक जनक फलन उदाहरण को सुधारते हैं (फलन श्रृंखला उत्पन्न करने के सुंदर चित्रों के लिए समान संदर्भ का अनुभाग 7.1 भी देखें)। विशेष रूप से, मान लीजिए कि हम 3-दर-एन आयत को अचिह्नित 2-दर-1 दूरगामी टुकड़ों के साथ टाइल करने के तरीकों की कुल संख्या (अन चिह्नित) की खोज करते हैं। सहायक अनुक्रम, अन, को पूर्ण आयत के 3-दर-एन आयत-ऋण-कोने वाले खंड को आच्छादित करने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।। हम इन परिभाषाओं का उपयोग {{math|''Un''}} के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति सूत्र के लिए करना चाहते हैं लंबवत बनाम क्षैतिज डोमिनोज़ की स्तिथि को संभालने के लिए इस परिभाषा को और अधिक तोड़े बिना। ध्यान दें कि हमारे दो अनुक्रमों के लिए सामान्य जनक फलन श्रृंखला के अनुरूप हैं

इस उदाहरण में, हम गणित के अनुच्छेद 7.3 में दिए गए एक जनक फलन उदाहरण को सुधारते हैं (फलन श्रृंखला उत्पन्न करने के सुंदर चित्रों के लिए समान संदर्भ का अनुभाग 7.1 भी देखें)। विशेष रूप से, मान लीजिए कि हम 3-दर-एन आयत को अचिह्नित 2-दर-1 दूरगामी टुकड़ों के साथ टाइल करने के तरीकों की कुल संख्या (अन चिह्नित) की खोज करते हैं। सहायक अनुक्रम, अन, को पूर्ण आयत के 3-दर-एन आयत-ऋण-कोने वाले खंड को आच्छादित करने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।। हम इन परिभाषाओं का उपयोग {{math|''Un''}} के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति सूत्र के लिए करना चाहते हैं लंबवत बनाम क्षैतिज डोमिनोज़ की स्तिथि को संभालने के लिए इस परिभाषा को और अधिक तोड़े बिना। ध्यान दें कि हमारे दो अनुक्रमों के लिए सामान्य जनक फलन श्रृंखला के अनुरूप हैं

<math display="block">\begin{align}

Line 526:

===संक्रमण (कॉची उत्पाद)===

~~'''~~दो औपचारिक घात श्रृंखलाओं में शर्तों का एक असतत संवलन~~'''~~ जनक फलन के उत्पाद को मूल अनुक्रम शब्दों के एक निश्चित योग की गणना करने वाले जनक फलन में बदल देता है (कॉची उत्पाद देखें)।

दो औपचारिक घात श्रृंखलाओं में शर्तों का एक असतत संवलन जनक फलन के उत्पाद को मूल अनुक्रम शब्दों के एक निश्चित योग की गणना करने वाले जनक फलन में बदल देता है (कॉची उत्पाद देखें)।

#~~विचार करना~~ {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} साधारण जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}</math>

#मान लीजिये {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} साधारण जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}</math>

#~~विचार करना~~ {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} घातीय जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow \left[\frac{z^n}{n!}\right]C(z) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k b_{n-k}</math>

#मान लीजिये {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} घातीय जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow \left[\frac{z^n}{n!}\right]C(z) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k b_{n-k}</math>

# तीन साधारण जनक फलन के उत्पाद के परिणामस्वरूप होने वाले त्रिगुणात्मक अनुक्रम पर विचार करें <math display="block">C(z) = F(z) G(z) H(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{j+k+ l=n} f_j g_k h_ l</math>

#~~इसपर विचार करें {{mvar|~~m~~}}-किसी अनुक्रम का~~ स्वयं के साथ ~~किसी धनात्मक पूर्णांक~~ के ~~लिए~~ गुना संवलन ~~{{math|''m'' ≥ 1}}~~ (आवेदन के लिए नीचे उदाहरण देखें) <math display="block">C(z) = G(z)^m \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}</math>

#किसी धनात्मक पूर्णांक m ≥ 1 के लिए स्वयं के साथ अनुक्रम के m-गुना संवलन पर विचार करें (आवेदन के लिए नीचे उदाहरण देखें) <math display="block">C(z) = G(z)^m \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}</math>

जनक फलनों का गुणन, या उनके अंतर्निहित अनुक्रमों का संवलन, कुछ गिनती और संभाव्यता परिदृश्यों में स्वतंत्र घटनाओं की धारणा के अनुरूप हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सांकेतिक परिपाटी अपनाते हैं कि प्रायिकता उत्पन्न करने वाला फलन, या pgf, एक यादृच्छिक चर का {{mvar|Z}} ~~द्वारा दर्शाया जाता है~~ {{math|''GZ''(''z'')}}, तो हम दिखा सकते हैं कि किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=§8.3}}</ref>

जनक फलनों का गुणन, या उनके अंतर्निहित अनुक्रमों का संवलन, कुछ गिनती और संभाव्यता परिदृश्यों में स्वतंत्र घटनाओं की धारणा के अनुरूप हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सांकेतिक परिपाटी अपनाते हैं कि प्रायिकता उत्पन्न करने वाला फलन, या pgf, एक यादृच्छिक चर {{mvar|Z}} को {{math|''GZ''(''z'')}} द्वारा दर्शाया जाता है , तो हम दिखा सकते हैं कि किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए निम्न है <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=§8.3}}</ref>

अगर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} स्वतंत्र हैं। इसी तरह, भुगतान करने के तरीकों की संख्या {{math|''n'' ≥ 0}} ~~सेट~~ {1, 5, 10, 25, 50} (यानी, पेनी, निकल, डाइम्स, क्वार्टर, और आधा डॉलर में क्रमशः) के मूल्यों के सिक्के मूल्यवर्ग में उत्पाद द्वारा उत्पन्न होता है

अगर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} स्वतंत्र हैं। इसी तरह, भुगतान करने के तरीकों की संख्या {{math|''n'' ≥ 0}} सम्मुच्चय {1, 5, 10, 25, 50} (यानी, पेनी, निकल, डाइम्स, क्वार्टर, और आधा डॉलर में क्रमशः) के मूल्यों के सिक्के मूल्यवर्ग में उत्पाद द्वारा उत्पन्न होता है

और इसके ~~अलावा~~, ~~अगर~~ हम ~~अनुमति देते हैं {{mvar|~~n}} किसी भी सकारात्मक पूर्णांक संप्रदाय के सिक्कों में भुगतान ~~किए जाने वाले सेंट~~, हम विभाजन फलन ~~(गणित)~~ द्वारा उत्पन्न किए जा रहे परिवर्तन के ऐसे संयोजनों की संख्या के लिए ~~उत्पन्निंग~~ पर पहुंचते हैं, जो अनंत q-पोचहैमर प्रतीक द्वारा विस्तारित फलन उत्पन्न करते हैं|{{mvar|q}}-पोछाम्मेर सिंबल प्रोडक्ट ऑफ़

और इसके अतिरिक्त, यदि हम n सेंट को किसी भी सकारात्मक पूर्णांक संप्रदाय के सिक्कों में भुगतान करने की अनुमति देते हैं, तो हम अनंत q-पोचहैमर प्रतीक उत्पाद द्वारा विस्तारित विभाजन फलन उत्पादक फलन द्वारा उत्पन्न किए जा रहे परिवर्तन के ऐसे संयोजनों की संख्या के लिए उत्पादक पर पहुंचते हैं।

<math display="block">\prod_{n = 1}^\infty \left(1 - z^n\right)^{-1}\,.</math>

Line 542:

==== उदाहरण: [[कैटलन नंबर|कैटलन संख्या]]ों के लिए जनक फलन ====

एक उदाहरण जहां जनक फलन के संवलन उपयोगी होते हैं, हमें कैटलन ~~संख्याों~~ के लिए सामान्य जनक फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक विशिष्ट संवृत रूप फलन के लिए हल करने की अनुमति देता ~~है, {{math|''Cn''}}.~~ विशेष रूप से, इस अनुक्रम में उत्पाद में कोष्ठक सम्मिलित करने के तरीकों की संख्या के रूप में मिश्रित व्याख्या है {{math|''x''0 · ''x''1 ·⋯· ''xn''}} ताकि गुणा का क्रम पूरी तरह निर्दिष्ट हो। उदाहरण के लिए, {{math|''C''2 {{=}} 2}} जो दो भावों ~~से मेल खाता है~~ {{math|''x''0 · (''x''1 · ''x''2)}} और {{math|(''x''0 · ''x''1) · ''x''2}}. यह इस प्रकार है कि अनुक्रम द्वारा दिए गए पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है

एक उदाहरण जहां जनक फलन के संवलन उपयोगी होते हैं, हमें कैटलन संख्या {{math|''Cn''}} के लिए सामान्य जनक फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक विशिष्ट संवृत रूप फलन के लिए हल करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, इस अनुक्रम {{math|''x''0 · ''x''1 ·⋯· ''xn''}} में उत्पाद में कोष्ठक सम्मिलित करने के तरीकों की संख्या के रूप में मिश्रित व्याख्या है, ताकि गुणा का क्रम पूरी तरह निर्दिष्ट हो। उदाहरण के लिए, {{math|''C''2 {{=}} 2}} जो दो भावों {{math|''x''0 · (''x''1 · ''x''2)}} और {{math|(''x''0 · ''x''1) · ''x''2}} से मेल खाता है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम द्वारा दिए गए पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है

<math display="block">C_n = \sum_{k=0}^{n-1} C_k C_{n-1-k} + \delta_{n,0} = C_0 C_{n-1} + C_1 C_{n-2} + \cdots + C_{n-1} C_0 + \delta_{n,0}\,,\quad n \geq 0\,, </math>

और इसी तरह एक संबंधित संकेंद्रित जनक फलन ~~है,~~ {{math|''C''(''z'')}}, ~~संतुष्टि देने वाला~~

और इसी तरह एक संबंधित संकेंद्रित जनक फलन {{math|''C''(''z'')}} है, निम्न को संतुष्ट करता है

तब से {{math|''C''(0) {{=}} 1 ≠ ∞}}, फिर हम दिए गए इस जनक फलन के लिए एक सूत्र पर पहुंचते हैं

<math display="block">C(z) = \frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} z^n\,.</math>

ध्यान दें कि पहला समीकरण स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है ~~{{math|~~''C''(''z'')}ऊपर } का तात्पर्य है

ध्यान दें कि पहला समीकरण स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है ''C''(''z'') ऊपर } का तात्पर्य है

जो तब इस जनक फलन के एक और सरल (रूप का) निरंतर अंश विस्तार की ओर ले जाता है।

==== उदाहरण: ~~पंखे~~ के ~~पेड़ फैलाना~~ और ~~संवलन के~~ संवलन ====

==== उदाहरण: अनुरागी संवलन के विस्तरित तरु और संवलन ====

~~आदेश का प्रशंसक~~ {{mvar|n}} को ~~शिखर पर एक ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है~~ {{math|{0, 1,…, ''n''}<nowiki/>}} ~~साथ~~ {{math|2''n'' − 1}} ~~किनारों को निम्नलिखित नियमों के अनुसार जोड़ा गया है~~: ~~वर्टेक्स~~ 0 एक किनारे से दूसरे ~~में से जुड़ा हुआ है~~ {{mvar|n}} ~~शिखर~~, और शीर्ष <math>k</math> ~~एक किनारे से अगले शीर्ष से जुड़ा हुआ है~~ {{math|''k'' ~~+ 1~~}} ~~सभी~~ के लिए {{math|~~1 ≤~~ ''k'' ~~< ''n''~~}}.<ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=Example 6 in §7.3}} for another method and the complete setup of this problem using generating functions. This more "convoluted" approach is given in Section 7.5 of the same reference.</ref> क्रम एक का एक ~~प्रशंसक~~, क्रम दो के तीन ~~प्रशंसक~~, क्रम तीन के आठ ~~प्रशंसक~~, और इसी तरह। ~~एक फैला हुआ पेड़ एक ग्राफ~~ का एक ~~सबग्राफ~~ होता है जिसमें सभी मूल कोने होते हैं और जिसमें इस ~~सबग्राफ~~ को जोड़ने के लिए पर्याप्त किनारे होते हैं, लेकिन इतने सारे किनारे नहीं होते हैं कि ~~सबग्राफ~~ में एक चक्र हो। हम पूछते हैं कि कितने ~~फैले हुए पेड़ हैं~~ {{math|''fn''}} ~~आदेश~~ के एक ~~प्रशंसक~~ की {{mvar|n}} प्रत्येक ~~के लिए संभव हैं~~ {{math|''n'' ≥ 1}}.

{{mvar|n}} क्रम के पंखे को {{math|{0, 1,…, ''n''}<nowiki/>}} कोने पर एक आलेख के रूप में परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित नियमों के अनुसार {{math|2''n'' − 1}} किनारे जुड़े हुए हैं: कोणबिंदु 0 एक किनारे से दूसरे {{mvar|n}} कोने में से जुड़ा हुआ है, और शीर्ष <math>k</math> सभी {{math|1 ≤ ''k'' < ''n''}} के लिए एक किनारे से अगले शीर्ष {{math|''k'' + 1}} से जुड़ा हुआ है। <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=Example 6 in §7.3}} for another method and the complete setup of this problem using generating functions. This more "convoluted" approach is given in Section 7.5 of the same reference.</ref> क्रम एक का एक अनुरागी, क्रम दो के तीन अनुरागी, क्रम तीन के आठ अनुरागी, और इसी तरह। तरु अनुरागी आलेख का एक उपआलेख होता है जिसमें सभी मूल कोने होते हैं और जिसमें इस उपआलेख को जोड़ने के लिए पर्याप्त किनारे होते हैं, लेकिन इतने सारे किनारे नहीं होते हैं कि उपआलेख में एक चक्र हो। हम पूछते हैं कि कितने तरु अनुरागी {{math|''fn''}} क्रम के एक अनुरागी की {{mvar|n}} प्रत्येक {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए संभव हैं।

एक अवलोकन के रूप में, हम शीर्षों के निकटवर्ती ~~सेटों~~ को जोड़ने के तरीकों की संख्या की गणना करके प्रश्न तक पहुँच सकते हैं। उदाहरण के लिए, कब {{math|''n'' {{=}} 4}}, हमारे पास वह है {{math|''f''4 {{=}} 4 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 · 1 {{=}} 21}}, जो ~~कि एक योग है {{mvar|m}}-~~अनुक्रम ~~के गुना दृढ़ संकल्प~~ {{math|''gn'' {{=}} ''n'' {{=}} [''zn''] {{sfrac|''z''|(1 − ''z'')2}}}} के ~~लिए~~ {{math|''m'' ≔ 1, 2, 3, 4}}. अधिक सामान्यतः, हम इस क्रम के लिए एक सूत्र लिख सकते हैं

एक अवलोकन के रूप में, हम शीर्षों के निकटवर्ती सम्मुच्चय को जोड़ने के तरीकों की संख्या की गणना करके प्रश्न तक पहुँच सकते हैं। उदाहरण के लिए, कब {{math|''n'' {{=}} 4}}, हमारे पास निम्न है {{math|''f''4 {{=}} 4 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 · 1 {{=}} 21}}, जो अनुक्रम {{math|''gn'' {{=}} ''n'' {{=}} [''zn''] {{sfrac|''z''|(1 − ''z'')2}}}} के {{math|''m'' ≔ 1, 2, 3, 4}} गुना संवलन का योग है। अधिक सामान्यतः, हम इस क्रम के लिए एक सूत्र लिख सकते हैं

<math display="block">f_n = \sum_{m > 0} \sum_{\scriptstyle k_1+k_2+\cdots+k_m=n\atop\scriptstyle k_1, k_2, \ldots,k_m > 0} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}\,, </math>

जिससे हम देखते हैं कि इस अनुक्रम के लिए सामान्य जनक फलन को संवलन के अगले योग के रूप में दिया गया है

Line 562:

जिससे हम अंतिम जनक फलन के [[आंशिक अंश विस्तार]] को लेकर अनुक्रम के लिए एक सटीक सूत्र निकालने में सक्षम हैं।

=== अंतर्निहित जनक फलन और लैग्रेंज ~~इनवर्जन फॉर्मूला~~ ===

=== अंतर्निहित जनक फलन और लैग्रेंज प्रतिलोमन सूत्र ===

{{expand section|This section needs to be added to the list of techniques with generating functions|date=April 2017}}

=== ~~प्रस्तुत है~~ एक ~~फ्री~~ मापदण्ड ~~(स्नेक ऑयल मेथड)~~ ===

=== एक मुक्त मापदण्ड का परिचय ===

कभी-कभी ~~राशि~~ {{math|''sn''}} जटिल है, और इसका मूल्यांकन करना हमेशा आसान नहीं होता है। इन ~~राशियों~~ का मूल्यांकन करने के लिए ~~फ्री~~ मापदण्ड विधि एक अन्य विधि है (जिसे एच। विल्फ द्वारा स्नेक ऑयल कहा जाता है)।

कभी-कभी योग {{math|''sn''}} जटिल है, और इसका मूल्यांकन करना हमेशा आसान नहीं होता है। इन योग का मूल्यांकन करने के लिए मुक्त मापदण्ड विधि एक अन्य विधि है (जिसे एच। विल्फ द्वारा स्नेक ऑयल कहा जाता है)।

अब तक चर्चा की गई दोनों विधियों में है {{mvar|n}} योग में सीमा के रूप ~~में।~~ जब n योग में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है, तो हम ~~विचार कर सकते हैं~~ {{mvar|n}} एक "मुक्त" मापदण्ड के रूप में और ~~व्यवहार करें~~ {{math|''sn''}} ~~के गुणांक के रूप में~~ {{math|''F''(''z'') {{=}} ∑ ''sn'' ''zn''}}, ~~योगों~~ के क्रम ~~को बदलें~~ {{mvar|n}} और {{mvar|k}}, और आंतरिक योग की गणना करने का प्रयास करें।

अब तक चर्चा की गई दोनों विधियों में {{mvar|n}} योग में सीमा के रूप में है। जब n योग में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है, तो हम {{mvar|n}} एक "मुक्त" मापदण्ड के रूप में विचार कर सकते हैं और {{math|''sn''}} को {{math|''F''(''z'') {{=}} ∑ ''sn'' ''zn''}} के गुणांक के रूप में मान लेते हैं, योग के क्रम {{mvar|n}} और {{mvar|k}} को बदलें, और आंतरिक योग की गणना करने का प्रयास करें।

उदाहरण के लिए, यदि हम गणना करना चाहते हैं

<math display="block">s_n = \sum_{k = 0}^\infty{\binom{n+k}{m+2k}\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1}}\,, \quad m,n \in \mathbb{N}_0\,,</math>

हम ~~इलाज कर सकते हैं~~ {{mvar|n}} एक ~~नि: शुल्क~~ मापदण्ड के रूप में, और ~~सेट करें~~

हम {{mvar|n}} को एक मुक्त मापदण्ड के रूप में मान सकते हैं, और निम्न को निर्धारित कर सकते हैं

<math display="block">F(z) = \sum_{n = 0}^\infty{\left( \sum_{k = 0}^\infty{\binom{n+k}{m+2k}\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1}}\right) }z^n\,.</math>

~~इंटरचेंजिंग~~ योग ("स्नेक ऑयल") देता है

अंतर्विनिमय योग ("स्नेक ऑयल") देता है

<math display="block">F(z) = \sum_{k = 0}^\infty{\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1} z^{-k}}\sum_{n = 0}^\infty{\binom{n+k}{m+2k} z^{n+k}}\,.</math>

अब आंतरिक योग है {{math|{{sfrac|''z''''m'' + 2''k''|(1 − ''z'')''m'' + 2''k'' + 1}}}}. इस प्रकार

अब आंतरिक योग {{math|{{sfrac|''z''''m'' + 2''k''|(1 − ''z'')''m'' + 2''k'' + 1}}}} है। इस प्रकार

<math display="block">\begin{align} F(z)

&= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\sum_{k = 0}^\infty{\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}\left(\frac{-z}{(1-z)^2}\right)^k} \\[4px]

&= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\sum_{k = 0}^\infty{C_k\left(\frac{-z}{(1-z)^2}\right)^k} &\text{~~where~~ } C_k = k\text{th ~~Catalan number~~} \\[4px]

&= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\sum_{k = 0}^\infty{C_k\left(\frac{-z}{(1-z)^2}\right)^k} &\text{जहाँ } C_k = k\text{th कैटलन संख्या है} \\[4px]

&= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\frac{1-\sqrt{1+\frac{4z}{(1-z)^2}}}{\frac{-2z}{(1-z)^2}} \\[4px]

&= \frac{-z^{m-1}}{2(1-z)^{m-1}}\left(1-\frac{1+z}{1-z}\right) \\[4px]

&= \frac{z^m}{(1-z)^m} = z\frac{z^{m-1}}{(1-z)^m}\,.

\end{align}</math>

तब हम प्राप्त करते हैं

तब हम निम्न प्राप्त करते हैं

<math display="block">s_n = \begin{cases}

\displaystyle\binom{n-1}{m-1} & \text{for } m \geq 1 \,, \\ {}

[n = 0] & \text{for } m = 0\,.

\end{cases}</math>

योग के लिए फिर से उसी विधि का उपयोग करना शिक्षाप्रद है, लेकिन इस बार ~~समय लगेगा {{mvar|m}} इसके~~ स्थान पर मुक्त ~~मापदण्ड~~ के रूप में ~~{{mvar|n}}.~~ हम इस प्रकार ~~सेट~~ करते हैं

योग के लिए फिर से उसी विधि का उपयोग करना शिक्षाप्रद है, लेकिन इस बार n के स्थान पर m को मुक्त मापदंड के रूप में लें। हम इस प्रकार निम्न सम्मुच्चय करते हैं

<math display="block">G(z) = \sum_{m = 0}^\infty\left( \sum_{k = 0}^\infty \binom{n+k}{m+2k}\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1} \right) z^m\,.</math>

~~इंटरचेंजिंग~~ योग (~~साँप का तेल~~) देता है

अंतर्विनिमय योग ("स्नेक ऑयल") देता है

<math display="block">G(z) = \sum_{k = 0}^\infty \binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1} z^{-2k} \sum_{m = 0}^\infty \binom{n+k}{m+2k} z^{m+2k}\,.</math>

अब आंतरिक योग है {{math|(1 + ''z'')''n'' + ''k''}}. इस प्रकार

अब आंतरिक योग {{math|(1 + ''z'')''n'' + ''k''}} है। इस प्रकार

<math display="block">\begin{align} G(z)

&= (1+z)^n \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}\left(\frac{-(1+z)}{z^2}\right)^k \\[4px]

&= (1+z)^n \sum_{k = 0}^\infty C_k \,\left(\frac{-(1+z)}{z^2}\right)^k &\text{~~where~~ } C_k = k\text{th ~~Catalan number~~} \\[4px]

&= (1+z)^n \sum_{k = 0}^\infty C_k \,\left(\frac{-(1+z)}{z^2}\right)^k &\text{जहाँ } C_k = k\text{th कैटलन संख्या है} \\[4px]

&= (1+z)^n \,\frac{1-\sqrt{1+\frac{4(1+z)}{z^2}}}{\frac{-2(1+z)}{z^2}} \\[4px]

&= (1+z)^n \,\frac{z^2-z\sqrt{z^2+4+4z}}{-2(1+z)} \\[4px]

Line 602:

&= (1+z)^n \,\frac{-2z}{-2(1+z)} = z(1+z)^{n-1}\,.

\end{align}</math>

Anonymous

Search

जनक फलन: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

@@ Line 60: / Line 60: @@
 <math display="block">b_n := [x^n] \operatorname{LG}(a_n;x)</math>
-पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक राशि से संबंधित हैं
+पूर्णांकों के लिए {{math|''n'' ≥ 1}} भाजक योग से संबंधित हैं
 <math display="block">b_n = \sum_{d|n} a_d.</math>
@@ Line 106: / Line 106: @@
 <math display="block">\sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}.</math>
-बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके अलावा, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम  {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है।
+बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, {{math|1 − ''x''}} बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर घात श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर {{math|''x''<sup>0</sup>}} 0 के बराबर हैं)। इसके अतिरिक्त, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य घात श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम  {{math|1 − ''x''}} घात श्रृंखला के वलय में निर्दिष्ट करता है।
 अन्य अनुक्रमों के साधारण जनक फलन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन {{math|''x'' → ''ax''}} ज्यामितीय प्रगति के लिए जनक फलन {{math|1, ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>3</sup>, ...}}देता है  किसी भी स्थिरांक {{mvar|a}} के लिए :
@@ Line 214: / Line 214: @@
 <math display="block"> \sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} z^j F^{(j)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^k f_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math>
-बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण व्युत्पादित रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को व्युत्पादित-आधारित जनक फलन रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनक फलन रूपांतरण द्वारा और अनुक्रम जनक फलन पर श्रृंखला परिवर्तन निष्पादित किया गया है। एक अनुक्रम उत्पन्न करने वाले फलन पर भिन्नात्मक कलन करने के संबंधित संचालन पर चर्चा की जाती है।
+बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम घात सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण व्युत्पादित रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को व्युत्पादित-आधारित जनक फलन रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनक फलन रूपांतरण द्वारा और अनुक्रम जनक फलन पर श्रृंखला परिवर्तन निष्पादित किया गया है। एक अनुक्रम जनक फलन पर भिन्नात्मक कलन करने के संबंधित संचालन पर चर्चा की जाती है।
 ==== अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना ====
@@ Line 258: / Line 258: @@
 ==== साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयर {{mvar|P}}-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनक फलन ====
-प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं <code>'''अनुमान'''</code> अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- स्वेच्छाचारी इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और <code>'''सिग्मा'''</code> संकुल जो कई राशियों के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है, {{mvar|P}}-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत [[हार्मोनिक संख्या|सुसंगत संख्या]]ओं को सम्मिलित करती है।<ref>{{cite journal|last1=Schneider|first1=C.|title=प्रतीकात्मक योग कॉम्बिनेटरिक्स की सहायता करता है|journal=Sem. Lothar. Combin.|date=2007|volume=56|pages=1–36 |url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s56schneider.html}}</ref> इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य संकुल विशेष रूप से होलोनोमिक जनक फलन के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं।
+प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण {{mvar|P}}- [[Mathematica|गणितीय]] में पुनरावर्ती अनुक्रम में [https://www.risc.jku.at/research/combinat/software/ RISC साहचर्य समूह कलन विधि संयोजन सॉफ्टवेयर] साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर संकुल सम्मिलित हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से घातशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं <code>'''अनुमान'''</code> अनुमान लगाने के लिए संकुल {{mvar|P}}- स्वेच्छाचारी इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और <code>'''सिग्मा'''</code> संकुल जो कई योग के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है, {{mvar|P}}-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत [[हार्मोनिक संख्या|सुसंगत संख्या]]ओं को सम्मिलित करती है।<ref>{{cite journal|last1=Schneider|first1=C.|title=प्रतीकात्मक योग कॉम्बिनेटरिक्स की सहायता करता है|journal=Sem. Lothar. Combin.|date=2007|volume=56|pages=1–36 |url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s56schneider.html}}</ref> इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य संकुल विशेष रूप से होलोनोमिक जनक फलन के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं।
 <!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.-->
@@ Line 329: / Line 329: @@
   & = 1 + c_1 z + \left(\text{ab}_2+c_1^2\right) z^2 + \left(2 \text{ab}_2 c_1+c_1^3 + \text{ab}_2 c_2\right) z^3 + \cdots
 \end{align}</math>
-<math>z^n</math> के गुणांक, {{math|''j<sub>n</sub>'' ≔ [''z<sup>n</sup>''] ''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}} द्वारा आशुलिपि में निरूपित, पिछले समीकरणों में समीकरणों के मैट्रिक्स समाधान के अनुरूप हैं
+<math>z^n</math> के गुणांक, {{math|''j<sub>n</sub>'' ≔ [''z<sup>n</sup>''] ''J''<sup>[∞]</sup>(''z'')}} द्वारा आशुलिपि में निरूपित, पिछले समीकरणों में समीकरणों के आव्यूह समाधान के अनुरूप हैं
 <math display="block">\begin{bmatrix}k_{0,1} & k_{1,1} & 0 & 0 & \cdots \\ k_{0,2} & k_{1,2} & k_{2,2} & 0 & \cdots \\ k_{0,3} & k_{1,3} & k_{2,3} & k_{3,3} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =
@@ Line 351: / Line 351: @@
 Q_h(z) & = (1-c_h z) Q_{h-1}(z) - \text{ab}_h z^2 Q_{h-2}(z) + (1-c_1 z) \delta_{h,1} + \delta_{0,1}.
 \end{align}</math>
-इसके अलावा, सभी {{math|''h'' ≥ 2}} के लिए अभिसारी फलन {{math|Conv<sub>''h''</sub>(''z'')}} की तार्किकता {{math|''j<sub>n</sub>''}} के अनुक्रम से संतुष्ट होने वाले अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों को दर्शाती है, और {{math|''M<sub>h</sub>'' ≔ ab<sub>2</sub> ⋯ ab<sub>''h'' + 1</sub>}} के लिए यदि {{math|''h'' ‖  ''M''<sub>''h''</sub>}} तो हमारे पास सर्वांगसमता है<math display="block">j_n \equiv [z^n] \operatorname{Conv}_h(z) \pmod h, </math>
+इसके अतिरिक्त, सभी {{math|''h'' ≥ 2}} के लिए अभिसारी फलन {{math|Conv<sub>''h''</sub>(''z'')}} की तार्किकता {{math|''j<sub>n</sub>''}} के अनुक्रम से संतुष्ट होने वाले अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों को दर्शाती है, और {{math|''M<sub>h</sub>'' ≔ ab<sub>2</sub> ⋯ ab<sub>''h'' + 1</sub>}} के लिए यदि {{math|''h'' ‖  ''M''<sub>''h''</sub>}} तो हमारे पास सर्वांगसमता है<math display="block">j_n \equiv [z^n] \operatorname{Conv}_h(z) \pmod h, </math>
@@ Line 431: / Line 431: @@
 <math display="block">\prod_{i=1}^{r}\prod_{j=1}^c\frac{1}{1-x_iy_j}.</math>
-द्विभाजित स्तिथि में, गैर-बहुपद डबल योग फॉर्म के तथाकथित युग्म या उत्कृष्ट जनक फलन के उदाहरण हैं
+द्विभाजित स्तिथि में, गैर-बहुपद युग्म योग फॉर्म के तथाकथित युग्म या उत्कृष्ट जनक फलन के उदाहरण हैं
 <math display="block">G(w, z) := \sum_{m,n \geq 0} g_{m,n} w^m z^n</math>
@@ Line 447: / Line 447: @@
 == अनुप्रयोग ==
-===विभिन्न तकनीकें: राशियों का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना ===
+===विभिन्न तकनीकें: योग का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना ===
 ==== उदाहरण 1: सुसंगत संख्याओं के योग के लिए एक सूत्र ====
@@ Line 480: / Line 480: @@
 सभी {{math|''n'' ≥ 0}} के लिए, और पहले के संदर्भ में दूसरे योग को व्यक्त करना चाहते हैं। हम कार्यों को उत्पन्न करके एक दृष्टिकोण का सुझाव देते हैं।
-सबसे पहले, हम पहली राशि के लिए जनक फलन लिखने के लिए [[द्विपद परिवर्तन]] का उपयोग करते हैं
+सबसे पहले, हम पहली योग के लिए जनक फलन लिखने के लिए [[द्विपद परिवर्तन]] का उपयोग करते हैं
 <math display="block">S(z) = \frac{1}{1-3z} F\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math>
 {{math|⟨ (''n'' + 1)(''n'' + 2)(''n'' + 3) ''f<sub>n</sub>'' ⟩}} अनुक्रम के लिए जनक फलन के बाद से निम्न द्वारा दिया गया है
 <math display="block">6 F(z) + 18z F'(z) + 9z^2 F''(z) + z^3 F'''(z)</math>
-हम ऊपर परिभाषित दूसरी राशि के लिए जनक फलन को निम्न स्वरुप में लिख सकते हैं
+हम ऊपर परिभाषित दूसरी योग के लिए जनक फलन को निम्न स्वरुप में लिख सकते हैं
 <math display="block">\tilde{S}(z) = \frac{6}{(1-3z)} F\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{18z}{(1-3z)^2} F'\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{9z^2}{(1-3z)^3} F''\left(\frac{z}{1-3z}\right)+\frac{z^3}{(1-3z)^4} F'''\left(\frac{z}{1-3z}\right). </math>
-विशेष रूप से, हम इस संशोधित योग उत्पन्न करने वाले फलन को निम्न रूप में लिख सकते हैं
+विशेष रूप से, हम इस संशोधित योग जनक फलन को निम्न रूप में लिख सकते हैं
 <math display="block">a(z) \cdot S(z) + b(z) \cdot z S'(z) + c(z) \cdot z^2 S''(z) + d(z) \cdot z^3 S'''(z), </math>
 {{math|''a''(''z'') {{=}} 6(1 − 3''z'')<sup>3</sup>}} के लिए , {{math|''b''(''z'') {{=}} 18(1 − 3''z'')<sup>3</sup>}}, {{math|''c''(''z'') {{=}} 9(1 − 3''z'')<sup>3</sup>}}, और {{math|''d''(''z'') {{=}} (1 − 3''z'')<sup>3</sup>}}, जहाँ {{math|(1 − 3''z'')<sup>3</sup> {{=}} 1 − 9''z'' + 27''z''<sup>2</sup> − 27''z''<sup>3</sup>}}.
@@ Line 499: / Line 499: @@
 ==== उदाहरण 3: परस्पर पुनरावर्ती अनुक्रमों के लिए कार्य उत्पन्न करना ====
-इस उदाहरण में, हम गणित की धारा 7.3 में दिए गए एक जनक फलन उदाहरण को सुधारते हैं (फलन श्रृंखला उत्पन्न करने के सुंदर चित्रों के लिए समान संदर्भ का अनुभाग 7.1 भी देखें)। विशेष रूप से, मान लीजिए कि हम 3-दर-एन आयत को अचिह्नित 2-दर-1 दूरगामी टुकड़ों के साथ टाइल करने के तरीकों की कुल संख्या (अन चिह्नित) की खोज करते हैं। सहायक अनुक्रम, अन, को पूर्ण आयत के 3-दर-एन आयत-ऋण-कोने वाले खंड को आच्छादित करने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।। हम इन परिभाषाओं का उपयोग {{math|''U<sub>n</sub>''}} के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति सूत्र के लिए करना चाहते हैं  लंबवत बनाम क्षैतिज डोमिनोज़ की स्तिथि को संभालने के लिए इस परिभाषा को और अधिक तोड़े बिना। ध्यान दें कि हमारे दो अनुक्रमों के लिए सामान्य जनक फलन श्रृंखला के अनुरूप हैं
+इस उदाहरण में, हम गणित के अनुच्छेद 7.3 में दिए गए एक जनक फलन उदाहरण को सुधारते हैं (फलन श्रृंखला उत्पन्न करने के सुंदर चित्रों के लिए समान संदर्भ का अनुभाग 7.1 भी देखें)। विशेष रूप से, मान लीजिए कि हम 3-दर-एन आयत को अचिह्नित 2-दर-1 दूरगामी टुकड़ों के साथ टाइल करने के तरीकों की कुल संख्या (अन चिह्नित) की खोज करते हैं। सहायक अनुक्रम, अन, को पूर्ण आयत के 3-दर-एन आयत-ऋण-कोने वाले खंड को आच्छादित करने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।। हम इन परिभाषाओं का उपयोग {{math|''U<sub>n</sub>''}} के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति सूत्र के लिए करना चाहते हैं  लंबवत बनाम क्षैतिज डोमिनोज़ की स्तिथि को संभालने के लिए इस परिभाषा को और अधिक तोड़े बिना। ध्यान दें कि हमारे दो अनुक्रमों के लिए सामान्य जनक फलन श्रृंखला के अनुरूप हैं
 <math display="block">\begin{align}
@@ Line 526: / Line 526: @@
 ===संक्रमण (कॉची उत्पाद)===
-'''दो औपचारिक घात श्रृंखलाओं में शर्तों का एक असतत संवलन''' जनक फलन के उत्पाद को मूल अनुक्रम शब्दों के एक निश्चित योग की गणना करने वाले जनक फलन में बदल देता है (कॉची उत्पाद देखें)।
+दो औपचारिक घात श्रृंखलाओं में शर्तों का एक असतत संवलन जनक फलन के उत्पाद को मूल अनुक्रम शब्दों के एक निश्चित योग की गणना करने वाले जनक फलन में बदल देता है (कॉची उत्पाद देखें)।
-#विचार करना {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} साधारण जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}</math>
+#मान लीजिये {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} साधारण जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k=0}^{n}{a_k b_{n-k}}</math>
-#विचार करना {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} घातीय जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow \left[\frac{z^n}{n!}\right]C(z) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k b_{n-k}</math>
+#मान लीजिये {{math|''A''(''z'')}} और {{math|''B''(''z'')}} घातीय जनक फलन हैं। <math display="block">C(z) = A(z)B(z) \Leftrightarrow \left[\frac{z^n}{n!}\right]C(z) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_k b_{n-k}</math>
 # तीन साधारण जनक फलन के उत्पाद के परिणामस्वरूप होने वाले त्रिगुणात्मक अनुक्रम पर विचार करें <math display="block">C(z) = F(z) G(z) H(z) \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{j+k+ l=n} f_j g_k h_ l</math>
-#इसपर विचार करें {{mvar|m}}-किसी अनुक्रम का स्वयं के साथ किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए गुना संवलन {{math|''m'' ≥ 1}} (आवेदन के लिए नीचे उदाहरण देखें) <math display="block">C(z) = G(z)^m \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}</math>
+#किसी धनात्मक पूर्णांक m ≥ 1 के लिए स्वयं के साथ अनुक्रम के m-गुना संवलन पर विचार करें (आवेदन के लिए नीचे उदाहरण देखें) <math display="block">C(z) = G(z)^m \Leftrightarrow [z^n]C(z) = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}</math>
-जनक फलनों का गुणन, या उनके अंतर्निहित अनुक्रमों का संवलन, कुछ गिनती और संभाव्यता परिदृश्यों में स्वतंत्र घटनाओं की धारणा के अनुरूप हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सांकेतिक परिपाटी अपनाते हैं कि प्रायिकता उत्पन्न करने वाला फलन, या pgf, एक यादृच्छिक चर का {{mvar|Z}} द्वारा दर्शाया जाता है {{math|''G<sub>Z</sub>''(''z'')}}, तो हम दिखा सकते हैं कि किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=§8.3}}</ref>
+जनक फलनों का गुणन, या उनके अंतर्निहित अनुक्रमों का संवलन, कुछ गिनती और संभाव्यता परिदृश्यों में स्वतंत्र घटनाओं की धारणा के अनुरूप हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सांकेतिक परिपाटी अपनाते हैं कि प्रायिकता उत्पन्न करने वाला फलन, या pgf, एक यादृच्छिक चर {{mvar|Z}} को {{math|''G<sub>Z</sub>''(''z'')}} द्वारा दर्शाया जाता है , तो हम दिखा सकते हैं कि किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए निम्न है <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=§8.3}}</ref>
 <math display="block">G_{X+Y}(z) = G_X(z) G_Y(z)\,, </math>
-अगर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} स्वतंत्र हैं। इसी तरह, भुगतान करने के तरीकों की संख्या {{math|''n'' ≥ 0}} सेट {1, 5, 10, 25, 50} (यानी, पेनी, निकल, डाइम्स, क्वार्टर, और आधा डॉलर में क्रमशः) के मूल्यों के सिक्के मूल्यवर्ग में उत्पाद द्वारा उत्पन्न होता है
+अगर {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} स्वतंत्र हैं। इसी तरह, भुगतान करने के तरीकों की संख्या {{math|''n'' ≥ 0}} सम्मुच्चय {1, 5, 10, 25, 50} (यानी, पेनी, निकल, डाइम्स, क्वार्टर, और आधा डॉलर में क्रमशः) के मूल्यों के सिक्के मूल्यवर्ग में उत्पाद द्वारा उत्पन्न होता है
 <math display="block">C(z) = \frac{1}{1-z} \frac{1}{1-z^5} \frac{1}{1-z^{10}} \frac{1}{1-z^{25}} \frac{1}{1-z^{50}}, </math>
-और इसके अलावा, अगर हम अनुमति देते हैं {{mvar|n}} किसी भी सकारात्मक पूर्णांक संप्रदाय के सिक्कों में भुगतान किए जाने वाले सेंट, हम विभाजन फलन (गणित) द्वारा उत्पन्न किए जा रहे परिवर्तन के ऐसे संयोजनों की संख्या के लिए उत्पन्निंग पर पहुंचते हैं, जो अनंत q-पोचहैमर प्रतीक द्वारा विस्तारित फलन उत्पन्न करते हैं|{{mvar|q}}-पोछाम्मेर सिंबल प्रोडक्ट ऑफ़
+और इसके अतिरिक्त, यदि हम n सेंट को किसी भी सकारात्मक पूर्णांक संप्रदाय के सिक्कों में भुगतान करने की अनुमति देते हैं, तो हम अनंत q-पोचहैमर प्रतीक उत्पाद द्वारा विस्तारित विभाजन फलन उत्पादक फलन द्वारा उत्पन्न किए जा रहे परिवर्तन के ऐसे संयोजनों की संख्या के लिए उत्पादक पर पहुंचते हैं।
 <math display="block">\prod_{n = 1}^\infty \left(1 - z^n\right)^{-1}\,.</math>
@@ Line 542: / Line 542: @@
 ==== उदाहरण: [[कैटलन नंबर|कैटलन संख्या]]ों के लिए जनक फलन ====
-एक उदाहरण जहां जनक फलन के संवलन उपयोगी होते हैं, हमें कैटलन संख्याों के लिए सामान्य जनक फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक विशिष्ट संवृत रूप फलन के लिए हल करने की अनुमति देता है, {{math|''C<sub>n</sub>''}}. विशेष रूप से, इस अनुक्रम में उत्पाद में कोष्ठक सम्मिलित करने के तरीकों की संख्या के रूप में मिश्रित व्याख्या है {{math|''x''<sub>0</sub> · ''x''<sub>1</sub> ·⋯· ''x<sub>n</sub>''}} ताकि गुणा का क्रम पूरी तरह निर्दिष्ट हो। उदाहरण के लिए, {{math|''C''<sub>2</sub> {{=}} 2}} जो दो भावों से मेल खाता है {{math|''x''<sub>0</sub> · (''x''<sub>1</sub> · ''x''<sub>2</sub>)}} और {{math|(''x''<sub>0</sub> · ''x''<sub>1</sub>) · ''x''<sub>2</sub>}}. यह इस प्रकार है कि अनुक्रम द्वारा दिए गए पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है
+एक उदाहरण जहां जनक फलन के संवलन उपयोगी होते हैं, हमें कैटलन संख्या {{math|''C<sub>n</sub>''}} के लिए सामान्य जनक फलन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक विशिष्ट संवृत रूप फलन के लिए हल करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, इस अनुक्रम {{math|''x''<sub>0</sub> · ''x''<sub>1</sub> ·⋯· ''x<sub>n</sub>''}} में उत्पाद में कोष्ठक सम्मिलित करने के तरीकों की संख्या के रूप में मिश्रित व्याख्या है, ताकि गुणा का क्रम पूरी तरह निर्दिष्ट हो। उदाहरण के लिए, {{math|''C''<sub>2</sub> {{=}} 2}} जो दो भावों  {{math|''x''<sub>0</sub> · (''x''<sub>1</sub> · ''x''<sub>2</sub>)}} और {{math|(''x''<sub>0</sub> · ''x''<sub>1</sub>) · ''x''<sub>2</sub>}} से मेल खाता है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम द्वारा दिए गए पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है
 <math display="block">C_n = \sum_{k=0}^{n-1} C_k C_{n-1-k} + \delta_{n,0} = C_0 C_{n-1} + C_1 C_{n-2} + \cdots + C_{n-1} C_0 + \delta_{n,0}\,,\quad n \geq 0\,, </math>
-और इसी तरह एक संबंधित संकेंद्रित जनक फलन है, {{math|''C''(''z'')}}, संतुष्टि देने वाला
+और इसी तरह एक संबंधित संकेंद्रित जनक फलन {{math|''C''(''z'')}} है, निम्न को संतुष्ट करता है
 <math display="block">C(z) = z \cdot C(z)^2 + 1\,.</math>
 तब से {{math|''C''(0) {{=}} 1 ≠ ∞}}, फिर हम दिए गए इस जनक फलन के लिए एक सूत्र पर पहुंचते हैं
 <math display="block">C(z) = \frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z} = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} z^n\,.</math>
-ध्यान दें कि पहला समीकरण स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है {{math|''C''(''z'')}ऊपर } का तात्पर्य है
+ध्यान दें कि पहला समीकरण स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है ''C''(''z'') ऊपर } का तात्पर्य है
 <math display="block">C(z) = \frac{1}{1-z \cdot C(z)} \,, </math>
 जो तब इस जनक फलन के एक और सरल (रूप का) निरंतर अंश विस्तार की ओर ले जाता है।
-==== उदाहरण: पंखे के पेड़ फैलाना और संवलन के संवलन ====
+==== उदाहरण: अनुरागी संवलन के विस्तरित तरु और संवलन ====
-आदेश का प्रशंसक {{mvar|n}} को शिखर पर एक ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|{0, 1,…, ''n''}<nowiki/>}} साथ {{math|2''n'' − 1}} किनारों को निम्नलिखित नियमों के अनुसार जोड़ा गया है: वर्टेक्स 0 एक किनारे से दूसरे में से जुड़ा हुआ है {{mvar|n}} शिखर, और शीर्ष <math>k</math> एक किनारे से अगले शीर्ष से जुड़ा हुआ है {{math|''k'' + 1}} सभी के लिए {{math|1 ≤ ''k'' < ''n''}}.<ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=Example 6 in §7.3}} for another method and the complete setup of this problem using generating functions. This more "convoluted" approach is given in Section 7.5 of the same reference.</ref> क्रम एक का एक प्रशंसक, क्रम दो के तीन प्रशंसक, क्रम तीन के आठ प्रशंसक, और इसी तरह। एक फैला हुआ पेड़ एक ग्राफ का एक सबग्राफ होता है जिसमें सभी मूल कोने होते हैं और जिसमें इस सबग्राफ को जोड़ने के लिए पर्याप्त किनारे होते हैं, लेकिन इतने सारे किनारे नहीं होते हैं कि सबग्राफ में एक चक्र हो। हम पूछते हैं कि कितने फैले हुए पेड़ हैं {{math|''f<sub>n</sub>''}} आदेश के एक प्रशंसक की {{mvar|n}} प्रत्येक के लिए संभव हैं {{math|''n'' ≥ 1}}.
+{{mvar|n}} क्रम के पंखे को {{math|{0, 1,…, ''n''}<nowiki/>}} कोने पर एक आलेख के रूप में परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित नियमों के अनुसार {{math|2''n'' − 1}} किनारे जुड़े हुए हैं: कोणबिंदु 0 एक किनारे से दूसरे {{mvar|n}} कोने में से जुड़ा हुआ है, और शीर्ष <math>k</math> सभी {{math|1 ≤ ''k'' < ''n''}} के लिए एक किनारे से अगले शीर्ष {{math|''k'' + 1}} से जुड़ा हुआ है। <ref>{{harvnb|Graham|Knuth|Patashnik|1994|loc=Example 6 in §7.3}} for another method and the complete setup of this problem using generating functions. This more "convoluted" approach is given in Section 7.5 of the same reference.</ref> क्रम एक का एक अनुरागी, क्रम दो के तीन अनुरागी, क्रम तीन के आठ अनुरागी, और इसी तरह। तरु अनुरागी आलेख का एक उपआलेख होता है जिसमें सभी मूल कोने होते हैं और जिसमें इस उपआलेख को जोड़ने के लिए पर्याप्त किनारे होते हैं, लेकिन इतने सारे किनारे नहीं होते हैं कि उपआलेख में एक चक्र हो। हम पूछते हैं कि कितने तरु अनुरागी {{math|''f<sub>n</sub>''}} क्रम के एक अनुरागी की {{mvar|n}} प्रत्येक {{math|''n'' ≥ 1}} के लिए संभव हैं।
-एक अवलोकन के रूप में, हम शीर्षों के निकटवर्ती सेटों को जोड़ने के तरीकों की संख्या की गणना करके प्रश्न तक पहुँच सकते हैं। उदाहरण के लिए, कब {{math|''n'' {{=}} 4}}, हमारे पास वह है {{math|''f''<sub>4</sub> {{=}} 4 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 · 1 {{=}} 21}}, जो कि एक योग है {{mvar|m}}-अनुक्रम के गुना दृढ़ संकल्प {{math|''g<sub>n</sub>'' {{=}} ''n'' {{=}} [''z<sup>n</sup>''] {{sfrac|''z''|(1 − ''z'')<sup>2</sup>}}}} के लिए {{math|''m'' ≔ 1, 2, 3, 4}}. अधिक सामान्यतः, हम इस क्रम के लिए एक सूत्र लिख सकते हैं
+एक अवलोकन के रूप में, हम शीर्षों के निकटवर्ती सम्मुच्चय को जोड़ने के तरीकों की संख्या की गणना करके प्रश्न तक पहुँच सकते हैं। उदाहरण के लिए, कब {{math|''n'' {{=}} 4}}, हमारे पास निम्न है {{math|''f''<sub>4</sub> {{=}} 4 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 · 1 {{=}} 21}}, जो अनुक्रम {{math|''g<sub>n</sub>'' {{=}} ''n'' {{=}} [''z<sup>n</sup>''] {{sfrac|''z''|(1 − ''z'')<sup>2</sup>}}}} के {{math|''m'' ≔ 1, 2, 3, 4}} गुना संवलन का योग है। अधिक सामान्यतः, हम इस क्रम के लिए एक सूत्र लिख सकते हैं
 <math display="block">f_n = \sum_{m > 0} \sum_{\scriptstyle k_1+k_2+\cdots+k_m=n\atop\scriptstyle k_1, k_2, \ldots,k_m > 0} g_{k_1} g_{k_2} \cdots g_{k_m}\,, </math>
 जिससे हम देखते हैं कि इस अनुक्रम के लिए सामान्य जनक फलन को संवलन के अगले योग के रूप में दिया गया है
@@ Line 562: / Line 562: @@
 जिससे हम अंतिम जनक फलन के [[आंशिक अंश विस्तार]] को लेकर अनुक्रम के लिए एक सटीक सूत्र निकालने में सक्षम हैं।
-=== अंतर्निहित जनक फलन और लैग्रेंज इनवर्जन फॉर्मूला ===
+=== अंतर्निहित जनक फलन और लैग्रेंज प्रतिलोमन सूत्र ===
 {{expand section|This section needs to be added to the list of techniques with generating functions|date=April 2017}}
-=== प्रस्तुत है एक फ्री मापदण्ड (स्नेक ऑयल मेथड) ===
+=== एक मुक्त मापदण्ड का परिचय ===
-कभी-कभी राशि {{math|''s<sub>n</sub>''}} जटिल है, और इसका मूल्यांकन करना हमेशा आसान नहीं होता है। इन राशियों का मूल्यांकन करने के लिए फ्री मापदण्ड विधि एक अन्य विधि है (जिसे एच। विल्फ द्वारा स्नेक ऑयल कहा जाता है)।
+कभी-कभी योग {{math|''s<sub>n</sub>''}} जटिल है, और इसका मूल्यांकन करना हमेशा आसान नहीं होता है। इन योग का मूल्यांकन करने के लिए मुक्त मापदण्ड विधि एक अन्य विधि है (जिसे एच। विल्फ द्वारा स्नेक ऑयल कहा जाता है)।
-अब तक चर्चा की गई दोनों विधियों में है {{mvar|n}} योग में सीमा के रूप में। जब n योग में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है, तो हम विचार कर सकते हैं {{mvar|n}} एक "मुक्त" मापदण्ड के रूप में और व्यवहार करें {{math|''s<sub>n</sub>''}} के गुणांक के रूप में {{math|''F''(''z'') {{=}} ∑ ''s<sub>n</sub>'' ''z<sup>n</sup>''}}, योगों के क्रम को बदलें {{mvar|n}} और {{mvar|k}}, और आंतरिक योग की गणना करने का प्रयास करें।
+अब तक चर्चा की गई दोनों विधियों में {{mvar|n}} योग में सीमा के रूप में है। जब n योग में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है, तो हम  {{mvar|n}} एक "मुक्त" मापदण्ड के रूप में विचार कर सकते हैं और {{math|''s<sub>n</sub>''}} को {{math|''F''(''z'') {{=}} ∑ ''s<sub>n</sub>'' ''z<sup>n</sup>''}} के गुणांक के रूप में मान लेते हैं, योग के क्रम {{mvar|n}} और {{mvar|k}} को बदलें, और आंतरिक योग की गणना करने का प्रयास करें।
 उदाहरण के लिए, यदि हम गणना करना चाहते हैं
 <math display="block">s_n = \sum_{k = 0}^\infty{\binom{n+k}{m+2k}\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1}}\,, \quad m,n \in \mathbb{N}_0\,,</math>
-हम इलाज कर सकते हैं {{mvar|n}} एक नि: शुल्क मापदण्ड के रूप में, और सेट करें
+हम {{mvar|n}} को एक मुक्त मापदण्ड के रूप में मान सकते हैं, और निम्न को निर्धारित कर सकते हैं
 <math display="block">F(z) = \sum_{n = 0}^\infty{\left( \sum_{k = 0}^\infty{\binom{n+k}{m+2k}\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1}}\right) }z^n\,.</math>
-इंटरचेंजिंग योग ("स्नेक ऑयल") देता है
+अंतर्विनिमय योग ("स्नेक ऑयल") देता है
 <math display="block">F(z) = \sum_{k = 0}^\infty{\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1} z^{-k}}\sum_{n = 0}^\infty{\binom{n+k}{m+2k} z^{n+k}}\,.</math>
-अब आंतरिक योग है {{math|{{sfrac|''z''<sup>''m'' + 2''k''</sup>|(1 − ''z'')<sup>''m'' + 2''k'' + 1</sup>}}}}. इस प्रकार
+अब आंतरिक योग {{math|{{sfrac|''z''<sup>''m'' + 2''k''</sup>|(1 − ''z'')<sup>''m'' + 2''k'' + 1</sup>}}}} है। इस प्रकार
 <math display="block">\begin{align} F(z)
 &= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\sum_{k = 0}^\infty{\frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}\left(\frac{-z}{(1-z)^2}\right)^k} \\[4px]
-&= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\sum_{k = 0}^\infty{C_k\left(\frac{-z}{(1-z)^2}\right)^k} &\text{where } C_k = k\text{th Catalan number} \\[4px]
+&= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\sum_{k = 0}^\infty{C_k\left(\frac{-z}{(1-z)^2}\right)^k} &\text{जहाँ } C_k = k\text{th कैटलन संख्या है} \\[4px]
 &= \frac{z^m}{(1-z)^{m+1}}\frac{1-\sqrt{1+\frac{4z}{(1-z)^2}}}{\frac{-2z}{(1-z)^2}} \\[4px]
 &= \frac{-z^{m-1}}{2(1-z)^{m-1}}\left(1-\frac{1+z}{1-z}\right) \\[4px]
 &= \frac{z^m}{(1-z)^m} = z\frac{z^{m-1}}{(1-z)^m}\,.
 \end{align}</math>
-तब हम प्राप्त करते हैं
+तब हम निम्न प्राप्त करते हैं
 <math display="block">s_n = \begin{cases}
 \displaystyle\binom{n-1}{m-1} & \text{for } m \geq 1 \,, \\ {}
 [n = 0] & \text{for } m = 0\,.
 \end{cases}</math>
-योग के लिए फिर से उसी विधि का उपयोग करना शिक्षाप्रद है, लेकिन इस बार समय लगेगा {{mvar|m}} इसके स्थान पर मुक्त मापदण्ड के रूप में {{mvar|n}}. हम इस प्रकार सेट करते हैं
+योग के लिए फिर से उसी विधि का उपयोग करना शिक्षाप्रद है, लेकिन इस बार n के स्थान पर m को मुक्त मापदंड के रूप में लें। हम इस प्रकार निम्न सम्मुच्चय करते हैं
 <math display="block">G(z) = \sum_{m = 0}^\infty\left( \sum_{k = 0}^\infty \binom{n+k}{m+2k}\binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1} \right) z^m\,.</math>
-इंटरचेंजिंग योग (साँप का तेल) देता है
+अंतर्विनिमय योग ("स्नेक ऑयल") देता है
 <math display="block">G(z) = \sum_{k = 0}^\infty \binom{2k}{k}\frac{(-1)^k}{k+1} z^{-2k} \sum_{m = 0}^\infty \binom{n+k}{m+2k} z^{m+2k}\,.</math>
-अब आंतरिक योग है {{math|(1 + ''z'')<sup>''n'' + ''k''</sup>}}. इस प्रकार
+अब आंतरिक योग {{math|(1 + ''z'')<sup>''n'' + ''k''</sup>}} है। इस प्रकार
 <math display="block">\begin{align} G(z)
 &= (1+z)^n \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}\left(\frac{-(1+z)}{z^2}\right)^k \\[4px]
-&= (1+z)^n \sum_{k = 0}^\infty C_k \,\left(\frac{-(1+z)}{z^2}\right)^k &\text{where } C_k = k\text{th Catalan number} \\[4px]
+&= (1+z)^n \sum_{k = 0}^\infty C_k \,\left(\frac{-(1+z)}{z^2}\right)^k &\text{जहाँ } C_k = k\text{th कैटलन संख्या है} \\[4px]
 &= (1+z)^n \,\frac{1-\sqrt{1+\frac{4(1+z)}{z^2}}}{\frac{-2(1+z)}{z^2}} \\[4px]
 &= (1+z)^n \,\frac{z^2-z\sqrt{z^2+4+4z}}{-2(1+z)} \\[4px]
@@ Line 602: / Line 602: @@
 &= (1+z)^n \,\frac{-2z}{-2(1+z)} = z(1+z)^{n-1}\,.
 \end{align}</math>