विभेदक: Difference between revisions
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गणित में, [[बहुपद]] का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | गणित में, [[बहुपद]] का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। | ||
[[द्विघात बहुपद]] | [[द्विघात बहुपद]] <math>ax^2+bx+c</math> का विभेदक | ||
:<math>b^2-4ac,</math> | :<math>b^2-4ac,</math> | ||
है, वह मात्रा जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक | है, वह मात्रा जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है। | ||
अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक | अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है। | ||
कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]] , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक [[रूप (गणित)]] का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)। | कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]] , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक [[रूप (गणित)]] का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)। | ||
== उत्पत्ति == | ==उत्पत्ति== | ||
विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] द्वारा | विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] द्वारा निर्मित किया गया था।<ref>{{cite journal|first=J. J.|last=Sylvester|date=1851|title=विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर|journal=Philosophical Magazine|series=4th series|volume=2|pages=391–410}}<br>Sylvester coins the word "discriminant" on [https://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref> | ||
== परिभाषा == | ==परिभाषा== | ||
मान लीजिए | मान लीजिए | ||
:<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | :<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> | ||
घात {{math|''n''}} का एक बहुपद (इसका अर्थ है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। {{math|''A''}} और उसके | घात {{math|''n''}} का एक बहुपद (इसका अर्थ है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। {{math|''A''}} और उसके [[औपचारिक व्युत्पन्न|रूपात्मक व्युत्पन्न]], | ||
:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ | :<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ <math>a_n</math> और <math>na_n</math> हैं, और परिणामी इस प्रकार <math>a_n</math> का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को <math>a_n</math>: | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math> | ||
:द्वारा | :द्वारा {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक | ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में <math>a_n</math> को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है। | ||
=== मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति === | ===मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति=== | ||
जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में इसके {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।) | जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में इसके {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।) | ||
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= (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j)</math> | = (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j)</math> | ||
:के बराबर है। | :के बराबर है। | ||
इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा | इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा <math>a_n^{2n-2} </math> का वर्ग है। | ||
विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक | विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद|सममित बहुपदों]] के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति {{math|''A''}} के मूल में एक सममित बहुपद है। | ||
== निम्न घात == | ==निम्न घात== | ||
एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य | एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक संभवतः माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद|रिक्त उत्पाद]] के लिए सामान्य परिपाटी का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो कक्षों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|रिक्त आव्यूह]] है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है। | ||
छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु | छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह स्थूल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह|चतुर्थक फलन]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book | ||
|title=Elimination practice: software tools and applications | |title=Elimination practice: software tools and applications | ||
|first1=Dongming | |first1=Dongming | ||
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|url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|archive-url=https://archive.today/20130113052223/http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|url-status=dead|archive-date=2013-01-13}} | |url=http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|archive-url=https://archive.today/20130113052223/http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/28/1/96|url-status=dead|archive-date=2013-01-13}} | ||
</ref> और एक [[यौन समीकरण|सेक्सटिक | </ref> और एक [[यौन समीकरण|सेक्सटिक समीकरण]] के 246 पद हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications | |title=Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications | ||
|first1=Alicia | |first1=Alicia | ||
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|url=https://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 | |url=https://books.google.com/books?id=rSs-pQNrO_YC&pg=PA26 | ||
|at=ch. 1 p. 26}} | |at=ch. 1 p. 26}} | ||
</ref> यह [[OEIS|ओईआईएस]] अनुक्रम | </ref> यह [[OEIS|ओईआईएस]] अनुक्रम {{OEIS link|A007878}} है। | ||
=== घात 2 === | ===घात 2=== | ||
{{see also|द्विघात समीकरण#विभेदक}} | {{see also|द्विघात समीकरण#विभेदक}} | ||
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यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं। | यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं। | ||
=== घात 3 === | ===घात 3=== | ||
{{seealso|घन समीकरण#विभेदक}} | {{seealso|घन समीकरण#विभेदक}} | ||
[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विभेदक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> में | [[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विभेदक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> में विभेदक | ||
:<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math> | :<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,</math> | ||
:है। | :है। | ||
एक | एक अवनत घन बहुपद <math>x^3+px+q</math> के विशेष विषय में , विभेदक | ||
:<math> -4p^3-27q^2\,</math> | :<math> -4p^3-27q^2\,</math> | ||
:को सरल करता है। | :को सरल करता है। | ||
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक | विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book | ||
|title=Integers, polynomials, and rings | |title=Integers, polynomials, and rings | ||
|first1=Ronald S. | |first1=Ronald S. | ||
| Line 118: | Line 118: | ||
|at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | |at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref> | ||
विभेदक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल एक घन बहुपद के मूल के सूत्रों में प्रकट होता है। विशेष रूप से, यह मात्रा{{math|−3}} गुणा विभेदक, या परिमेय संख्या के वर्ग के साथ इसका गुणनफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, कार्डानो सूत्र के विषय में | विभेदक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल एक घन बहुपद के मूल के सूत्रों में प्रकट होता है। विशेष रूप से, यह मात्रा{{math|−3}} गुणा विभेदक, या परिमेय संख्या के वर्ग के साथ इसका गुणनफल हो सकती है; उदाहरण के लिए, कार्डानो सूत्र के विषय में {{math|1/18}} का वर्ग। | ||
यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है। | यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है। | ||
=== घात 4 === | ===घात 4=== | ||
[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विभेदक {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}। सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>में विभेदक | [[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विभेदक {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}। सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]] <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>में विभेदक | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
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:है। | :है। | ||
विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक | विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं। | ||
== गुण == | ==गुण== | ||
=== शून्य विभेदक === | ===शून्य विभेदक=== | ||
किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो। | किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो। | ||
| Line 144: | Line 144: | ||
गैर-शून्य विशेषता {{math|''p''}} में, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक <math>x^p</math> में एक बहुपद है)। | गैर-शून्य विशेषता {{math|''p''}} में, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक <math>x^p</math> में एक बहुपद है)। | ||
=== चर के परिवर्तन के अंतर्गत व्युत्क्रम === | === चर के परिवर्तन के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | ||
एक बहुपद का विभेदक, | एक बहुपद का विभेदक, सोपानी तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} घात {{math|''n''}} के एक बहुपद को दर्शाता है, <math>a_n</math> के साथ प्रमुख गुणांक के रूप में। | ||
* अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | *अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है | :यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है | ||
* समरूपता द्वारा व्युत्क्रम: | *समरूपता द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
: यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है। | :यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है। | ||
* व्युत्क्रमण द्वारा व्युत्क्रम: | *व्युत्क्रमण द्वारा व्युत्क्रम: | ||
::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math> | ||
:जब <math>P(0)\ne 0</math> । यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] | :जब <math>P(0)\ne 0</math> । यहाँ, <math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] {{math|''P''}} को दर्शाता है; अर्थात , यदि <math>P(x) = a_nx^n + \cdots + a_0,</math> और <math>a_0 \neq 0,</math> तब | ||
::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n</math>। | ::<math>P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x) = x^nP(1/x) = a_0x^n +\cdots +a_n</math>। | ||
=== | === वलय समरूपता के अंतर्गत व्युत्क्रम=== | ||
होने देना <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता हो। एक बहुपद दिया | होने देना <math>\varphi\colon R \to S</math> क्रमविनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता हो। एक बहुपद दिया | ||
:<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | :<math>A = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0</math> | ||
| Line 187: | Line 187: | ||
यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की मूलों के संदर्भ में परिणामी और विभेदक के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है। | यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की मूलों के संदर्भ में परिणामी और विभेदक के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है। | ||
=== एकरूपता === | ===एकरूपता=== | ||
विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]]|अर्ध-सजातीय। | विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]]|अर्ध-सजातीय। | ||
घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 2}} गुणांक में। इसे दो तरह से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके {{mvar|λ}} मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु | घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 2}} गुणांक में। इसे दो तरह से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके {{mvar|λ}} मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु अग्रणी शब्द को इससे गुणा करता है {{mvar|λ}}। एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में {{math|(2''n'' − 1) × (2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] (सिल्वेस्टर आव्यूह) द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}}, निर्धारक घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 1}} प्रविष्टियों में, और द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}} घात बनाता है {{math|2''n'' − 2}}। | ||
घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> मूलों के वर्ग अंतर। | घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> मूलों के वर्ग अंतर। | ||
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बहुपद पर विचार करें | बहुपद पर विचार करें | ||
:<math> P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0.</math> | :<math> P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0.</math> | ||
यह प्रत्येक [[एकपद]] | यह इस बात से अनुसरण करता है कि विभेदक में प्रकट होने वाले प्रत्येक [[एकपद|एकपदी]] <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> में घातांक दो समीकरणों को संतुष्ट करते हैं | ||
:<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math> | :<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math> | ||
और | और | ||
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उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>, जिस स्थिति में मोनोमियल <math>bc^4d</math> विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है। | उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>, जिस स्थिति में मोनोमियल <math>bc^4d</math> विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है। | ||
== असली मूल == | ==असली मूल== | ||
इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं। | इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं। | ||
में देखा गया है {{slink||Low degrees}} कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु | में देखा गया है {{slink||Low degrees}} कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु फिर भी उपयोगी है। अधिक सटीक, घात के बहुपद के लिए {{math|''n''}}, किसी के पास: | ||
* बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो। | *बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो। | ||
* यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k''}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k''}} असली मूल। | *यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k''}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k''}} असली मूल। | ||
* यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k'' + 1}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}} असली मूल। | *यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k'' + 1}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}} असली मूल। | ||
== सजातीय द्विभाजित बहुपद == | == सजातीय द्विभाजित बहुपद== | ||
होने देना | होने देना | ||
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घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में। | घात का एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} दो अनिश्चित में। | ||
मान लीजिए, फिलहाल, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों गैर-शून्य हैं, एक के पास है | मान लीजिए, फिलहाल, कि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> दोनों गैर-शून्य हैं, एक के पास है | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y)).</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x(A(x,1))=\operatorname{Disc}_y(A(1,y)).</math> | ||
द्वारा इस मात्रा को नकारना <math>\operatorname{Disc}^h (A),</math> | द्वारा इस मात्रा को नकारना <math>\operatorname{Disc}^h (A),</math> | ||
किसी के पास | किसी के पास | ||
:<math>\operatorname{Disc}_x (A) =y^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A),</math> | :<math>\operatorname{Disc}_x (A) =y^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A),</math> | ||
और | और | ||
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उदाहरण के लिए, चलो {{mvar|f}} में एक द्विभाजित बहुपद हो {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि{{math|1=''f''  = 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना {{mvar|f}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|Y}} गुणांक के आधार पर {{mvar|X}}, तो विभेदक एक बहुपद है {{mvar|X}} जिसकी मूल हैं {{mvar|X}}-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के {{mvar|Y}}-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर {{mvar|Y}}-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के। | उदाहरण के लिए, चलो {{mvar|f}} में एक द्विभाजित बहुपद हो {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि{{math|1=''f''  = 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना {{mvar|f}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|Y}} गुणांक के आधार पर {{mvar|X}}, तो विभेदक एक बहुपद है {{mvar|X}} जिसकी मूल हैं {{mvar|X}}-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के {{mvar|Y}}-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर {{mvar|Y}}-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के। | ||
== सामान्यीकरण == | ==सामान्यीकरण== | ||
विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र]]ों सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है। | विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र]]ों सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है। | ||
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घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं। | घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं। | ||
=== द्विघात रूप === | ===द्विघात रूप=== | ||
{{See also|Fundamental discriminant}} | {{See also|Fundamental discriminant}} | ||
एक द्विघात रूप एक सदिश स्थान पर एक कार्य है, जिसे घात 2 के एक सजातीय बहुपद द्वारा कुछ [[आधार ([[सदिश स्थल]])]] पर परिभाषित किया गया है: | एक द्विघात रूप एक सदिश स्थान पर एक कार्य है, जिसे घात 2 के एक सजातीय बहुपद द्वारा कुछ [[आधार ([[सदिश स्थल]])]] पर परिभाषित किया गया है: | ||
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का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है। | का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है। | ||
एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''S''}}, आव्यूह को बदलता है {{math|''A''}} में <math>S^\mathrm T A\,S,</math> और इस प्रकार विभेदक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है {{math|''S''}}। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप | |||