एफ वितरण: Difference between revisions

Fisher–Snedecor
	Probability density functionFile:F-distribution pdf.svg
	Cumulative distribution functionFile:F dist cdf.svg
Parameters	d1, d2 > 0 deg. of freedom
Support	if , otherwise
PDF
CDF
Mean	; for d2 > 2
Mode	; for d1 > 2
Variance	; for d2 > 4
Skewness	; for d2 > 6
Ex. kurtosis	see text
Entropy

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 }}
-संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''एफ''-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के ''एफ'' वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण ([[रोनाल्ड फिशर]] और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो लगातार शून्य वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। एक परीक्षण सांख्यिकी, विशेष रूप से प्रसरण (एनोवा) और अन्य एफ-परीक्षणों के विश्लेषण में है।<ref name=johnson>{{cite book  | last = Johnson
+प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ''एफ''-वितरण या एफ-अनुपात, जिसे स्नेडेकोर के ''एफ'' वितरण या फिशर-स्नेडेकोर वितरण ([[रोनाल्ड फिशर]] और जॉर्ज डब्ल्यू. स्नेडेकोर के बाद) के रूप में भी जाना जाता है, एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो लगातार शून्य वितरण के रूप में उत्पन्न होता है। एक परीक्षण सांख्यिकी, विशेष रूप से प्रसरण (एनोवा) और अन्य एफ-परीक्षणों के विश्लेषण में है।<ref name=johnson>{{cite book  | last = Johnson
    | first = Norman Lloyd
    |author2=Samuel Kotz |author3=N. Balakrishnan
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 \end{align}
 </math>
-[[वास्तविक संख्या]] x > 0 के लिए यहाँ <math>\mathrm{B}</math> बीटा फलन है। कई अनुप्रयोगों में, प्राचल (पैरामीटर) ''d''<sub>1</sub> और ''d''<sub>2</sub> [[सकारात्मक पूर्णांक]] हैं, लेकिन वितरण इन प्राचल के सकारात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।
+[[वास्तविक संख्या]] x > 0 के लिए यहाँ <math>\mathrm{B}</math> बीटा फलन है। कई अनुप्रयोगों में, पैरामीटर ''d''<sub>1</sub> और ''d''<sub>2</sub> [[सकारात्मक पूर्णांक|धनात्मक पूर्णांक]] हैं, लेकिन वितरण इन पैरामीटर के धनात्मक वास्तविक मूल्यों के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।
 संचयी वितरण फलन है
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 :<math>\varphi^F_{d_1, d_2}(s) = \frac{\Gamma\left(\frac{d_1+d_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{d_2}{2}\right)} U \! \left(\frac{d_1}{2},1-\frac{d_2}{2},-\frac{d_2}{d_1} \imath s \right)</math>
-जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|संगमी हाइपरज्यामितीय फलन]] है।
+जहां U(a, b, z) दूसरी तरह का [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|कोन्फ़्लुएंट हाइपरज्यामितीय फलन]] है।
 == अभिलक्षण ==
-प्राचल <math>d_1</math> और <math>d_2</math> के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] दो उचित रूप से स्केल किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>
+पैरामीटर <math>d_1</math> और <math>d_2</math> के साथ एफ-वितरण का एक [[यादृच्छिक चर]] दो उचित रूप से मापक किए गए ची-वर्ग वितरण के अनुपात के रूप में उत्पन्न होता है:<ref>M.H. DeGroot (1986), ''Probability and Statistics'' (2nd Ed), Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-11366-X}}, p. 500</ref>
 :<math>X = \frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}</math>
 जहाँ
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 जहाँ <math>s_1^2 = \frac{S_1^2}{d_1}</math> और <math>s_2^2 = \frac{S_2^2}{d_2}</math>, <math>S_1^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_1^2)</math> से <math>d_1</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है और <math>S_2^2</math> सामान्य वितरण <math>N(0,\sigma_2^2)</math> से <math>d_2</math> यादृच्छिक चर के वर्गों का योग है।
-[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक स्केल किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2  \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी स्केलिंग के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।
+[[फ़्रीक्वेंटिस्ट]] संदर्भ में, एक मापक किया हुआ एफ-वितरण इसलिए प्रायिकता <math>p(s_1^2/s_2^2  \mid \sigma_1^2, \sigma_2^2)</math> देता है, स्वयं एफ-वितरण के साथ, बिना किसी मापक के, जहां <math>\sigma_1^2</math> को <math>\sigma_2^2</math> के समान लिया जा रहा है। यह वह संदर्भ है जिसमें एफ-वितरण सबसे सामान्यतः पर एफ-परीक्षणों में प्रकट होता है: जहां शून्य परिकल्पना यह है कि दो स्वतंत्र सामान्य प्रसरण समान हैं, और कुछ उचित रूप से चयनित वर्गों के देखे गए योगों की जांच की जाती है कि क्या उनका अनुपात शून्य परिकल्पना के साथ महत्वपूर्ण रूप से असंगत है।
-यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक स्केल किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid  s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।
+यदि <math>\sigma_1^2</math> और <math>\sigma_2^2</math> की पूर्वप्रायिकताएं के लिए एक असूचनात्मक पुनर्विक्रय-अपरिवर्तक जेफरीस पूर्व लिया जाता है, तो मात्रा <math>X</math> बायेसियन सांख्यिकी में समान वितरण होता है।<ref>G. E. P. Box and G. C. Tiao (1973), ''Bayesian Inference in Statistical Analysis'', Addison-Wesley. p. 110</ref> इस संदर्भ में, एक मापक किया गया एफ-वितरण इस प्रकार पश्च प्रायिकता <math>p(\sigma^2_2 /\sigma_1^2 \mid  s^2_1, s^2_2)</math> देता है, जहां देखे गए योग <math>s^2_1</math> और <math>s^2_2</math> को ज्ञात के रूप में लिया जाता है।
 == गुण और संबंधित वितरण ==
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 *अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math>, तो <math>\frac{d_1}{d_2}X</math> एक बीटा मुख्य वितरण है: <math>\frac{d_1}{d_2}X \sim \operatorname{\beta^\prime}\left(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2}\right)</math>
 *अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>Y = \lim_{d_2 \to \infty} d_1 X</math> ची-वर्ग वितरण <math>\chi^2_{d_1}</math> है।
-*<math>F(d_1, d_2)</math> स्केल किए गए हॉटेलिंग के टी-वर्ग वितरण <math>\frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1) </math> के समतुल्य है।
+*<math>F(d_1, d_2)</math> मापक किए गए हॉटेलिंग के टी-वर्ग वितरण <math>\frac{d_2}{d_1(d_1+d_2-1)} \operatorname{T}^2 (d_1, d_1 +d_2-1) </math> के समतुल्य है।
 *अगर <math>X \sim F(d_1, d_2)</math> तो <math>X^{-1} \sim F(d_2, d_1)</math>
 *अगर <math>X\sim t_{(n)}</math> — छात्र का टी-वितरण — तब: <math display="block">\begin{align}
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 *अगर <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र हैं, तो <math>X,Y\sim</math> [[Laplace(μ, b)]] के साथ <math display="block"> \frac{|X-\mu|}{|Y-\mu|} \sim \operatorname{F}(2,2) </math>
 *अगर <math>X\sim F(n,m)</math> तो <math>\tfrac{\log{X}}{2} \sim \operatorname{FisherZ}(n,m)</math> (फिशर का जेड-वितरण)
-*अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math>\lambda=0</math>
+*गैर केंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math>\lambda=0</math>
-*दोगुना अकेंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>
+*दोगुना गैर केंद्रीय एफ-वितरण, एफ-वितरण को सरल बनाता है यदि <math> \lambda_1 = \lambda_2 = 0 </math>
 *अगर <math>\operatorname{Q}_X(p)</math> <math>X\sim F(d_1,d_2)</math> के लिए विभाजक ''p'' है और <math>\operatorname{Q}_Y(1-p)</math> <math>Y\sim F(d_2,d_1)</math> के लिए विभाजक <math>1-p</math> है, तो <math display="block">\operatorname{Q}_X(p)=\frac{1}{\operatorname{Q}_Y(1-p)}</math>
 * एफ-वितरण [[अनुपात वितरण]] का एक उदाहरण है

Probability density function File:F-distribution pdf.svg
Cumulative distribution function File:F dist cdf.svg
Parameters	d₁, d₂ > 0 deg. of freedom
Support	$x\in (0,+\infty )\;$ if $d_{1}=1$ , otherwise $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
CDF	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)$
Mean	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ for d₂ > 2
Mode	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ for d₁ > 2
Variance	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ for d₂ > 4
Skewness	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ for d₂ > 6
Ex. kurtosis	see text
Entropy	$\ln Γ (\frac{d_{1}}{2}) + \ln Γ (\frac{d_{2}}{2}$

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