डी रम कोहोलॉजी: Difference between revisions

Revision as of 14:57, 3 April 2023

सदिश क्षेत्र पंक्चर किए गए विमान पर एक विभेदक रूप से संबंधित है जो बंद है किन्तु सटीक नहीं है, यह दर्शाता है कि इस स्थान का डे रम कोहोलॉजी गैर-तुच्छ है।

गणित विषय में डी कोहोलॉजी (जॉर्ज डी रम के नाम पर) बीजगणितीय टोपोलॉजी और विभेदक टोपोलॉजी दोनों से संबंधित ऐसा उपकरण है, जो विशेष रूप से संगणना करने और कोहोलॉजी वर्ग के लिए ठोस प्रतिनिधित्व के लिए अनुकूल रूप में मुख्यतः कई गुना होने के कारण इसमें पारंपरिक टोपोलॉजिकल जानकारी व्यक्त करने में सक्षम माना जाता हैं। इस प्रकार यह निर्धारित गुणों के साथ विभेदक रूपों के अस्तित्व पर आधारित कोहोलॉजी सिद्धांत को प्रकट करता है।

किसी भी चिकनी वस्तु के लिए कई गुना होने पर यह प्रत्येक बंद और सही अंतर के रूप के कारण बंद हो जाते हैं, किन्तु संयोजन होने के कारण इसका प्रभाव इस स्थिति मे विफल हो सकती है। इस प्रकार अधिकांशतः हम कहते हैं कि यह असफल होल इन अंकों की गणना के संभावित अस्तित्व से संबंधित चिकनी वस्तु के लिए कई गुना होने पर इसमें प्राप्त होने वाले छेद और डी रम कोहोलॉजी समूह में चिकनी मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट का समुच्चय सम्मिलित होता है जो इस संबंध को सटीक रूप से निर्धारित करता है।^[1]

रूपों की अवधारणा पर एकीकरण विभेदक टोपोलॉजी, ज्यामिति और भौतिकी में मूलभूत महत्व का है, और 'कोहोमोलॉजी' के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से है, जिसका नाम 'डी राम कोहोलॉजी' है, जो ठीक से इसकी माप करता है तथा किस सीमा तक कैलकुलस का मौलिक प्रमेय उच्च आयामों और सामान्य कई गुना में विफल रहता है।
— टेरेंस ताओ, विभेदक रूप और एकीकरण^[2]

परिभाषा

डी रम कॉम्प्लेक्स कुछ चिकने मैनिफोल्ड पर डिफरेंशियल फॉर्म्स का कोचेन कॉम्प्लेक्स $M$ , अंतर के रूप में बाहरी व्युत्पन्न के साथ प्रकट करता हैं जो इस प्रकार हैं:

0\to \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots ,

जहाँ $Ω 0 (M)$ चिकनाई का स्थान है तथा इसी के साथ $M$ , $Ω 1 (M)$ का स्थान है उदाहरण के लिए इसका पहला रूप उक्त उदाहरण हैं। ऐसे प्रपत्र जो बाहरी डेरिवेटिव के अंतर्गत अन्य रूपों की छवि प्रकट करती हैं, साथ ही $Ω 0 (M)$ स्थिरांक भी $0$ में कार्य करता है, यथार्थ और रूप कहलाते हैं जिनकी बाह्य व्युत्पत्ति होती है इसके लिए $0$ को बंद प्रारूप कहा जाता है। इस प्रकार बंद और सही अंतर को प्राप्त करने के लिए चित्र में देखें); इसके संबंध में $d 2 = 0$ मान के अनुसार इसका सही मान फॉर्म बंद पर निर्भर करता हैं।

इसके विपरीत, बंद रूप आवश्यक रूप से सटीक नहीं होते हैं। इस व्याख्यात्मक विश्लेषम की स्थिति कई गुना होने के रूप में वृत्त को प्रकट करती है, और $1$ मुख्यतः इसके केंद्र में एक संदर्भ बिंदु से कोण $dθ$ (बंद और सटीक अंतर रूपों में वर्णित) के व्युत्पन्न के अनुरूप, सामान्यतः लिखा जाता है। इस प्रकार $θ$ को कोई कार्य नहीं है किन्तु पूरे सर्कल पर इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है जिसमें $dθ$ को इसका व्युत्पन्न माना जाता हैं, इस प्रकार वृद्धि $2 π$ धनात्मक दिशा में सर्कल के चारों ओर जाने से एक बहुविकल्पीय कार्य जिसका तात्पर्य $θ$ से होता है, इस प्रकार यह मुख्य रूप से सर्कल के एक बिंदु को हटाने से यह कम हो जाता है, साथ ही कई गुना की टोपोलॉजी को परिवर्तित कर देता हैं।

यह प्रमुख उदाहरण है कि जब सभी बंद रूप सही माने जाते हैं, इस स्थिति में अंतर्निहित स्थान किसी बिंदु के लिए अनुबंधित रहता है, अर्थात यह केवल संयोजन के स्थान नो-होल की स्थिति को प्रकट करता है। इस स्थितियों में बाहरी व्युत्पन्न $d$ बंद रूपों तक सीमित स्थानीय व्युत्क्रम है जिसे बंद और सही अंतर के रूप में जाना जाता हैं।^[3]^[4] चूंकि यह भी शून्य है,^[3] इस प्रकार यह व्युत्क्रम तीरों के साथ दोहरी श्रृंखला क्षेत्र बनाता है,^[5] जो डी राम कॉम्प्लेक्स की तुलना में पोंकारे लेम्मा में वर्णित स्थिति के लिए उपयोग किया जाता है।

डी राम कोहोलॉजी के पीछे का विचार बंद रूपों के समतुल्य वर्गों को कई गुना परिभाषित करना है। किसी दो बंद रूपों को $α, β \in Ω k (M)$ में वर्गीकृत करता है कोहोमोलॉगस के रूप में यदि वे सही रूप से भिन्न होते हैं, अर्थात इस स्थिति में $α - β$ सही मान प्रकट करते है। इस प्रकार यह वर्गीकरण बंद रूपों के स्थान पर एक तुल्यता संबंध $Ω k (M)$ को प्रेरित करता है, इस प्रकार इसे $k$ -वाँ दे राम कोहोलॉजी समूह द्वारा परिभाषित किया जाता हैं इस प्रकार $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ तुल्यता वर्गों का समुच्चय होने के लिए, अर्थात् बंद इस प्रकार रूपों के समुच्चय $Ω k (M)$ के प्रारूपों को सही रूपों में प्रकट करता हैं।

ध्यान दें कि, किसी भी कई गुना के लिए $M$ की रचना $m$ डिस्कनेक्ट किए गए घटक, जिनमें से प्रत्येक जुड़ा हुआ स्थान है, हमारे पास उनमें से कुछ हैं जो इस प्रकार हैं।

H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbb {R} ^{m}.

यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि कोई भी सुचारू कार्य चालू है, इस प्रकार $M$ शून्य व्युत्पन्न के साथ हर क्षेत्र अलग-अलग जुड़े हुए घटकों जैसे $M$ में से प्रत्येक इस स्थिति में स्थिर रहते है।

डी राम कोहोलॉजी की गणना

शून्य कोहोलॉजी और मेयर-विएटोरिस अनुक्रम के बारे में उपरोक्त तथ्य का उपयोग करते हुए अधिकांशतः कई गुना सामान्य डी रम कॉहोमोलॉजी मिल सकती है। इस प्रकार अन्य उपयोगी तथ्य इस प्रकार है कि डी राम कोहोलॉजी होमोटॉपी इनवेरिएंट है। जबकि संगणना नहीं दी गई है, कुछ सामान्य सांस्थितिकीय वस्तुओं के लिए संगणित डी रम कोहोलॉजी निम्नलिखित हैं:

$n$ }-क्षेत्र

एन-क्षेत्र के लिए या $n$ -वृत्त, $S^{n}$ , और साथ ही खुले अंतराल के उत्पाद के साथ मिलकर, हमारे पास निम्नलिखित हैं। इस प्रकार $n > 0, m \geq 0$ , और $I$ खुले वास्तविक अंतराल को प्रकट करता हैं।

H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ or }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ and }}k\neq n.\end{cases}}

$n$ }-टोरस

$n$ वें टोरस कार्टेशियन उत्पाद $T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}$ है: इसी प्रकार $n\geq 1$ का मान होने पर हम यहाँ इस समीकरण से उक्त मान प्राप्त किए जा सकते हैं

H_{d R}^{k}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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 {{Short description|Cohomology with real coefficients computed using differential forms}}
-{{for|ग्रोथेंडिक की डे रम कोहोलॉजी ऑफ वेराइटी|बीजगणितीय डी राम कोहोलॉजी}}
 [[File:Irrotationalfield.svg|thumb|सदिश क्षेत्र पंक्चर किए गए विमान पर एक विभेदक रूप से संबंधित है जो बंद है किन्तु सटीक नहीं है, यह दर्शाता है कि इस स्थान का डे रम कोहोलॉजी गैर-तुच्छ है।]]गणित विषय में डी कोहोलॉजी (जॉर्ज डी रम के नाम पर) [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] और विभेदक टोपोलॉजी दोनों से संबंधित ऐसा उपकरण है, जो विशेष रूप से संगणना करने और [[कोहोलॉजी वर्ग]] के लिए ठोस प्रतिनिधित्व के लिए अनुकूल रूप में मुख्यतः कई गुना होने के कारण इसमें पारंपरिक टोपोलॉजिकल जानकारी व्यक्त करने में सक्षम माना जाता हैं। इस प्रकार यह निर्धारित गुणों के साथ [[विभेदक रूप|विभेदक रूपों]] के अस्तित्व पर आधारित [[कोहोलॉजी सिद्धांत]] को प्रकट करता है।
-किसी भी चिकनी वस्तु के लिए कई गुना होने पर यह प्रत्येक [[बंद और सटीक अंतर रूप|बंद और सही अंतर के रूप]] के कारण बंद हो जाते हैं, किन्तु संयोजन होने के कारण इसका प्रभाव इस स्थिति मे विफल हो सकती है। इस प्रकार अधिकांशतः हम कहते हैं कि यह असफल होल इन [[अंक शास्त्र|अंकों की गणना]]  के संभावित अस्तित्व से संबंधित [[चिकना कई गुना|चिकनी वस्तु के लिए कई गुना]] होने पर इसमें प्राप्त होने वाले छेद और डी रम कोहोलॉजी समूह में चिकनी मैनिफोल्ड के [[टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट]] का समुच्चय सम्मिलित होता है जो इस संबंध को सटीक रूप से निर्धारित करता है।{{sfn|Lee|2013|p=440}}
+किसी भी '''चिकनी''' वस्तु के लिए कई गुना होने पर यह प्रत्येक [[बंद और सटीक अंतर रूप|बंद और सही अंतर के रूप]] के कारण बंद हो जाते हैं, किन्तु संयोजन होने के कारण इसका प्रभाव इस स्थिति मे विफल हो सकती है। इस प्रकार अधिकांशतः हम कहते हैं कि यह असफल होल इन [[अंक शास्त्र|अंकों की गणना]]  के संभावित अस्तित्व से संबंधित [[चिकना कई गुना|चिकनी वस्तु के लिए कई गुना]] होने पर इसमें प्राप्त होने वाले '''छेद''' और डी रम कोहोलॉजी समूह में '''चिकनी''' मैनिफोल्ड के [[टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट]] का समुच्चय सम्मिलित होता है जो इस संबंध को सटीक रूप से निर्धारित करता है।{{sfn|Lee|2013|p=440}}
 {{Quote frame|text=रूपों की अवधारणा पर एकीकरण विभेदक टोपोलॉजी, ज्यामिति और भौतिकी में मूलभूत महत्व का है, और 'कोहोमोलॉजी' के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से है, जिसका नाम  'डी राम कोहोलॉजी' है, जो ठीक से इसकी माप करता है तथा किस सीमा तक [[कैलकुलस का मौलिक प्रमेय]] उच्च आयामों और सामान्य कई गुना में विफल रहता है।
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 == परिभाषा ==
-डी रम कॉम्प्लेक्स कुछ चिकने मैनिफोल्ड पर डिफरेंशियल फॉर्म्स का [[कोचेन कॉम्प्लेक्स]] {{mvar|M}}, अंतर के रूप में [[बाहरी व्युत्पन्न]] के साथ प्रकट करता हैं जो इस प्रकार हैं:
+डी रम कॉम्प्लेक्स कुछ '''चिकने''' मैनिफोल्ड पर '''डिफरेंशियल फॉर्म्स''' का [[कोचेन कॉम्प्लेक्स]] {{mvar|M}}, अंतर के रूप में [[बाहरी व्युत्पन्न]] के साथ प्रकट करता हैं जो इस प्रकार हैं:
 :<math>0 \to \Omega^0(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^1(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^2(M)\ \stackrel{d}{\to}\ \Omega^3(M) \to \cdots ,</math>
-जहाँ {{math|Ω<sup>0</sup>(''M'')}} [[चिकनाई]] का स्थान है तथा इसी के साथ {{mvar|M}}, {{math|Ω<sup>1</sup>(''M'')}} का स्थान है उदाहरण के लिए इसका पहला रूप उक्त उदाहरण हैं। ऐसे प्रपत्र जो बाहरी डेरिवेटिव के अंतर्गत अन्य रूपों की छवि प्रकट करती हैं, साथ ही {{math|Ω<sup>0</sup>(''M'')}} स्थिरांक भी {{math|0}} में कार्य करता है, यथार्थ और रूप कहलाते हैं जिनकी बाह्य व्युत्पत्ति होती है इसके लिए {{math|0}} को बंद प्रारूप कहा जाता है। इस प्रकार ''बंद और सही अंतर को प्राप्त करने के लिए चित्र में'' देखें); इसके संबंध में {{math|''d''{{i sup|2}} {{=}} 0}}  मान के अनुसार इसका सही मान फॉर्म बंद पर निर्भर करता हैं।
+जहाँ {{math|Ω<sup>0</sup>(''M'')}} [[चिकनाई|'''चिकनाई''']] का स्थान है तथा इसी के साथ {{mvar|M}}, {{math|Ω<sup>1</sup>(''M'')}} का स्थान है उदाहरण के लिए इसका पहला रूप उक्त उदाहरण हैं। ऐसे प्रपत्र जो बाहरी डेरिवेटिव के अंतर्गत अन्य रूपों की छवि प्रकट करती हैं, साथ ही {{math|Ω<sup>0</sup>(''M'')}} स्थिरांक भी {{math|0}} में कार्य करता है, यथार्थ और रूप कहलाते हैं जिनकी बाह्य व्युत्पत्ति होती है इसके लिए {{math|0}} को बंद प्रारूप कहा जाता है। इस प्रकार ''बंद और सही अंतर को प्राप्त करने के लिए चित्र में'' देखें); इसके संबंध में {{math|''d''{{i sup|2}} {{=}} 0}}  मान के अनुसार इसका सही मान फॉर्म बंद पर निर्भर करता हैं।
 इसके विपरीत, बंद रूप आवश्यक रूप से सटीक नहीं होते हैं। इस व्याख्यात्मक विश्लेषम की स्थिति कई गुना होने के रूप में वृत्त को प्रकट करती है, और {{math|1}} मुख्यतः इसके केंद्र में एक संदर्भ बिंदु से कोण {{math|''dθ''}} (बंद और सटीक अंतर रूपों में वर्णित) के व्युत्पन्न के अनुरूप, सामान्यतः लिखा जाता है। इस प्रकार {{math|''θ''}} को कोई कार्य नहीं है किन्तु पूरे सर्कल पर इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है जिसमें {{math|''dθ''}} को इसका व्युत्पन्न माना जाता हैं, इस प्रकार वृद्धि {{math|2''π''}}  धनात्मक दिशा में सर्कल के चारों ओर जाने से एक बहुविकल्पीय कार्य जिसका तात्पर्य {{math|''θ''}} से होता है, इस प्रकार यह मुख्य रूप से सर्कल के एक बिंदु को हटाने से यह कम हो जाता है, साथ ही कई गुना की टोपोलॉजी को परिवर्तित कर देता हैं।
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 डी राम कोहोलॉजी के पीछे का विचार बंद रूपों के समतुल्य वर्गों को कई गुना परिभाषित करना है। किसी दो बंद रूपों को {{math|''α'', ''β'' ∈ Ω<sup>''k''</sup>(''M'')}} में वर्गीकृत करता है  कोहोमोलॉगस के रूप में यदि वे सही रूप से भिन्न होते हैं, अर्थात इस स्थिति में {{math|''α'' − ''β''}} सही मान प्रकट करते है। इस प्रकार यह वर्गीकरण बंद रूपों के स्थान पर एक तुल्यता संबंध {{math|Ω<sup>''k''</sup>(''M'')}} को प्रेरित करता है, इस प्रकार इसे {{mvar|k}}-वाँ दे राम कोहोलॉजी समूह द्वारा परिभाषित किया जाता हैं  इस प्रकार <math>H^{k}_{\mathrm{dR}}(M)</math> तुल्यता वर्गों का समुच्चय होने के लिए, अर्थात् बंद इस प्रकार रूपों के समुच्चय {{math|Ω<sup>''k''</sup>(''M'')}} के प्रारूपों को सही रूपों में प्रकट करता हैं।
-ध्यान दें कि, किसी भी कई गुना के लिए {{mvar|M}} की रचना {{math|''m''}} डिस्कनेक्ट किए गए घटक, जिनमें से प्रत्येक [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] है, हमारे पास उनमें से कुछ हैं जो इस प्रकार हैं।
+ध्यान दें कि, किसी भी कई गुना के लिए {{mvar|M}} की रचना {{math|''m''}} डिस्कनेक्ट किए गए घटक, जिनमें से प्रत्येक [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] है, हमारे पास उनमें से कुछ हैं जो इस प्रकार हैं।
 :<math>H^{0}_{\mathrm{dR}}(M) \cong \R ^m .</math>
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 === हार्मोनिक रूप ===
 {{see also|हार्मोनिक अंतर}}
-यदि {{mvar|M}} [[ कॉम्पैक्ट जगह | कॉम्पैक्ट क्षेत्र]] [[ रीमैनियन कई गुना ]] है, फिर प्रत्येक समकक्ष वर्ग <math>H^k_{\mathrm{dR}}(M)</math> बिल्कुल [[हार्मोनिक रूप]] होता है। अर्ताथ हर सदस्य <math>\omega</math> किसी दिए गए तुल्यता वर्ग के बंद रूपों को इस रूप में लिखा जा सकता है
+यदि {{mvar|M}} [[ कॉम्पैक्ट जगह | कॉम्पैक्ट क्षेत्र]] [[ रीमैनियन कई गुना |रीमैनियन कई गुना]] है, फिर प्रत्येक समकक्ष वर्ग <math>H^k_{\mathrm{dR}}(M)</math> बिल्कुल [[हार्मोनिक रूप]] होता है। '''अर्ताथ''' हर सदस्य <math>\omega</math> किसी दिए गए तुल्यता वर्ग के बंद रूपों को इस रूप में लिखा जा सकता है
 :<math>\omega = \alpha + \gamma</math>

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