पूर्ण निरंतरता: Difference between revisions

Revision as of 13:52, 29 March 2023

कलन में, पूर्ण निरंतरता फलन (गणित) का एक सहज (गणित) गुण है जो निरंतरता और समान निरंतरता से अधिक मजबूत है। पूर्ण निरंतरता की धारणा किसी को कलन-व्युत्पन्न और अभिन्न के दो केंद्रीय फलन के बीच संबंधों के सामान्यीकरण को प्राप्त करने की अनुमति देती है। रीमैन पूर्णांक की रूपरेखा में (कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा) चित्रित किया जाता है, लेकिन पूर्ण निरंतरता के साथ इसे लेबेसेग पूर्णांक के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है। वास्तविक मूल्यांकित फलन के लिए वास्तविक रेखा पर, दो परस्पर संबंधित धारणाएँ फलन की पूर्ण निरंतरता और उपायों की पूर्ण निरंतरता दिखाई देती हैं। इन दो धारणाओं को अलग-अलग दिशाओं में सामान्यीकृत किया जाता है। फलन का सामान्य व्युत्पन्न एक माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न , या घनत्व से संबंधित है। हमारे पास वास्तविक रेखा के एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर फलन के लिए निम्नलिखित अनुक्रम हैं:

पूर्णतः निरंतर ⊆ समान रूप से निरंतर

=

निरंतर फलन

और, एक संक्षिप्त अंतर के लिए,

निरंतर अवकलनीय ⊆ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊆ पूर्णतः निरंतर ⊆ परिबद्ध भिन्नता ⊆ अवकलनीय फलन लगभग हर जगह है।

फलन की पूर्ण निरंतरता

एक निरंतर फलन पूरी तरह से निरंतर होने में विफल रहता है यदि यह समान रूप से निरंतर होने में विफल रहता है, जो तब हो सकता है जब फलन का डोमेन कॉम्पैक्ट न हो - उदाहरण हैं tan(x) over $[0, π /2)$ , x² संपूर्ण वास्तविक रेखा पर, और sin(1/x) over (0, 1] है। लेकिन एक निरंतर फलन f एक कॉम्पैक्ट अंतर पर भी पूरी तरह से निरंतर होने में विफल हो सकता है। यह लगभग हर जगह ( वीयरस्ट्रैस फलन की तरह, जो कहीं भी भिन्न नहीं है) भिन्न नहीं हो सकता है। या यह लगभग हर जगह अलग-अलग फलन हो सकता है और इसका व्युत्पन्न f ' लेबेस्ग पूर्णांक हो सकता है, लेकिन f ' का अभिन्न अंतर f की वृद्धि से भिन्न होता है (कितना f एक अंतर पर बदलता है ) यह उदाहरण के लिए कैंटर फलन के साथ होता है।

परिभाषा

मान ले कि $I$ वास्तविक रेखा में एक अंतर (गणित) $\mathbb {R}$ हो, एक फलन $f\colon I\to \mathbb {R}$ पूर्णतः निरंतर है $I$ अगर धनात्मक संख्या के लिए $\varepsilon$ , एक धनात्मक संख्या है $\delta$ ऐसा है कि जब भी एक परिमित अनुक्रम जोड़ीवार संयुक्त उप-अंतर $(x_{k},y_{k})$ का $I$ साथ $x_{k}<y_{k}\in I$ को अलग करता है।^[1]

\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta

तब

\sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .

पर सभी पूर्णतः निरंतर फलन का संग्रह $I$ को $\operatorname {AC} (I)$ से निरूपित किया जाता है।

समतुल्य परिभाषाएं

एक कॉम्पैक्ट अंतर [a,b] पर वास्तविक-मूल्यवान फलन f पर निम्न स्थितियां समान हैं:^[2]

f पूर्णतया सतत है;
f का व्युत्पन्न f ' लगभग हर जगह व्युत्पन्न लेब्सग पूर्णांक है, और $f$

[1]

[2]

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 === गुण ===
 * दो पूर्णतः सतत फलनों का योग और अंतर भी पूर्णतया सतत होता है। यदि दो फलन परिबद्ध संवृत्त अंतर पर परिभाषित हैं, तो उनका गुणनफल भी पूर्णतः संतत होता है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.14(a,b) on page 111}}.</ref>
-* यदि एक परिबद्ध बंद अंतर पर एक बिल्कुल निरंतर फलन परिभाषित किया गया है और कहीं भी शून्य नहीं है तो इसका व्युत्क्रम बिल्कुल निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.14(c) on page 111}}.</ref>
+* यदि एक परिबद्ध बंद अंतर पर एक पूर्णतः निरंतर फलन परिभाषित किया गया है और कहीं भी शून्य नहीं है तो इसका व्युत्क्रम पूर्णतः निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.14(c) on page 111}}.</ref>
-* हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतर पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक (विश्व स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) बिल्कुल निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.20(a) on page 112}}.</ref>
+* प्रत्येक पूर्णतया सतत फलन (संहत अंतराल पर) समान रूप से सतत होता है और इसलिए निरंतर होता है। प्रत्येक (वैश्विक स्तर पर) लिपशिट्ज-निरंतर फलन पूर्णतः निरंतर है।<ref>{{harvnb |Royden|1988|loc=Problem 5.20(a) on page 112}}.</ref>
-* यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Lemma 5.11 on page 108}}.</ref>
+* यदि  ''f'': [''a'',''b''] → ''''R'''<nowiki/>' पूर्णतः निरंतर है, तो यह [''a'',''b''] पर परिबद्ध भिन्नता का है।<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Lemma 5.11 on page 108}}.</ref>
-* यदि f: [ए, बी] → 'आर' बिल्कुल निरंतर है, तो इसे [ए, बी] पर दो मोनोटोनिक गैर-घटते बिल्कुल निरंतर फलन के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
+* यदि ''f'': [''a'',''b''] → ''''R'''<nowiki/>' पूर्णतः निरंतर है, तो इसे [''a'',''b''] पर दो मोनोटोनिक गैर-घटते पूर्णतः निरंतर फलन के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है।
-* यदि f: [a,b] → 'R' बिल्कुल निरंतर है, तो इसमें लूज़िन एन गुण है (अर्थात, किसी के लिए भी) <math>N \subseteq [a,b]</math> ऐसा है कि <math>\lambda(N) = 0</math>, यह मानता है <math>\lambda(f(N)) = 0</math>, कहाँ <math>\lambda</math> R पर Lebesgue माप के लिए खड़ा है)।
+* यदि ''f'': [''a'',''b''] → ''''R'''<nowiki/>' पूर्णतः निरंतर है, तो इसमें लूज़िन ''N'' गुण है (अर्थात, किसी के लिए भी) <math>N \subseteq [a,b]</math> ऐसा है कि <math>\lambda(N) = 0</math>, यह मानता है <math>\lambda(f(N)) = 0</math>, जहाँ <math>\lambda</math> R पर लेबेस्ग माप के लिए खड़ा है)।
-* ''एफ'': ''आई'' → आर बिल्कुल निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है, परिबद्ध विविधता का है और लुज़िन ''एन'' संपत्ति है। इस कथन को बनच-ज़ारेकी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{harvnb |Bruckner|Bruckner|Thomson|1997|loc=Theorem 7.11}}.</ref>
+* ''f'': ''I'' → '''R''' पूर्णतः निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है, परिबद्ध विविधता का है और लुज़िन ''N'' गुण है। इस कथन को बनच-ज़ारेकी प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{harvnb |Bruckner|Bruckner|Thomson|1997|loc=Theorem 7.11}}.</ref>
-* यदि f: I → 'R' बिल्कुल निरंतर है और g: 'R' → 'R' विश्व स्तर पर Lipschitz continuity|Lipschitz-continuity है, तो रचना g ∘ f बिल्कुल निरंतर है। इसके विपरीत, प्रत्येक फलन g के लिए जो विश्व स्तर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है, एक बिल्कुल निरंतर फलन f मौजूद है जैसे कि g∘ f बिल्कुल निरंतर नहीं है।<ref>{{harvnb |Fichtenholz|1923}}.</ref>
+* यदि ''f'': ''I''  → ''''R'''<nowiki/>' पूर्णतः निरंतर है और ''g'': '''R''' → '''R''' विश्व स्तर पर लिपशिट्ज-निरंतर है, तो रचना ''g ∘ f''  पूर्णतः निरंतर है। इसके विपरीत, प्रत्येक फलन ''g'' के लिए जो विश्व स्तर पर लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है, एक पूर्णतः निरंतर फलन ''f''  मौजूद है जैसे कि ''g ∘ f''  पूर्णतः निरंतर नहीं है।<ref>{{harvnb |Fichtenholz|1923}}.</ref>
 === उदाहरण ===
-निम्नलिखित फलन समान रूप से निरंतर हैं लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं हैं:
+निम्नलिखित फलन समान रूप से निरंतर हैं लेकिन पूर्णतः निरंतर नहीं हैं:
-* कैंटर फलन [0, 1] पर (यह परिबद्ध भिन्नता का है लेकिन बिल्कुल निरंतर नहीं है);
+* कैंटर फलन [0, 1] पर (यह परिबद्ध भिन्नता का है लेकिन पूर्णतः निरंतर नहीं है);
 * फलनक्रम <math display="block"> f(x) = \begin{cases}
 , & \text{if }x =0 \\
@@ Line 50: / Line 50: @@
 \end{cases} </math> मूल युक्त एक परिमित अंतर पर।
-निम्नलिखित फलन बिल्कुल निरंतर हैं लेकिन α-होल्डर निरंतर नहीं हैं:
+निम्नलिखित फलन पूर्णतः निरंतर हैं लेकिन α-होल्डर निरंतर नहीं हैं:
 * फलन f(x) = x<sup>β</sup> [0, c] पर, किसी के लिए भी {{nowrap|0 < ''β'' < ''α'' < 1}}
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 === सामान्यीकरण ===
-चलो (एक्स, डी) एक [[मीट्रिक स्थान]] हो और मैं वास्तविक रेखा 'आर' में एक अंतर (गणित) हो। एक फलन f: I → X, I पर 'बिल्कुल निरंतर' है यदि प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए <math>\epsilon</math>, एक धनात्मक संख्या है <math>\delta</math> ऐसा है कि जब भी जोड़ीदार उप-अंतरों का एक परिमित क्रम होता है [x<sub>''k''</sub>, और<sub>''k''</sub>] मैं संतुष्ट करता हूं
+चलो (एक्स, डी) एक [[मीट्रिक स्थान]] हो और मैं वास्तविक रेखा 'आर' में एक अंतर (गणित) हो। एक फलन f: I → X, I पर 'पूर्णतः निरंतर' है यदि प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए <math>\epsilon</math>, एक धनात्मक संख्या है <math>\delta</math> ऐसा है कि जब भी जोड़ीदार उप-अंतरों का एक परिमित क्रम होता है [x<sub>''k''</sub>, और<sub>''k''</sub>] मैं संतुष्ट करता हूं
 :<math>\sum_{k} \left| y_k - x_k \right| < \delta</math>
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 === इन सामान्यीकरणों के गुण ===
-* हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतर पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) बिल्कुल निरंतर है।
+* हर पूर्णतया सतत फलन (एक कॉम्पैक्ट अंतर पर) एकसमान निरंतरता है और इसलिए, सतत फलन। प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतरता | लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन (गणित) पूर्णतः निरंतर है।
-* यदि f: [a,b] → X बिल्कुल निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
+* यदि f: [a,b] → X पूर्णतः निरंतर है, तो यह [a,b] पर परिबद्ध भिन्नता का है।
 * एफ ∈ एसी के लिए<sup>p</sup>(I; X), f का [[मीट्रिक व्युत्पन्न]] λ-लगभग हर समय I में मौजूद है, और मीट्रिक डेरिवेटिव सबसे छोटा m ∈ L है<sup>p</sup>(I; 'R') ऐसा कि<ref>{{harvnb |Ambrosio|Gigli|Savaré|2005|loc=Theorem 1.1.2 on page 24}}</ref><math display="block">d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_s^t m(\tau) \,d\tau \text{ for all } [s, t] \subseteq I.</math>
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 === परिभाषा ===
-एक [[उपाय (गणित)]] <math>\mu</math> वास्तविक रेखा के [[बोरेल सेट]] पर Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है <math>\lambda</math> यदि प्रत्येक के लिए <math>\lambda</math>-मापने योग्य सेट <math>A,</math> <math>\lambda(A) = 0</math> तात्पर्य <math>\mu(A) = 0.</math> इसे इस प्रकार लिखा जाता है <math>\mu \ll \lambda.</math> हम कहते हैं <math>\mu</math> का बोलबाला है <math>\lambda.</math>
+एक [[उपाय (गणित)]] <math>\mu</math> वास्तविक रेखा के [[बोरेल सेट]] पर Lebesgue माप के संबंध में पूर्णतः निरंतर है <math>\lambda</math> यदि प्रत्येक के लिए <math>\lambda</math>-मापने योग्य सेट <math>A,</math> <math>\lambda(A) = 0</math> तात्पर्य <math>\mu(A) = 0.</math> इसे इस प्रकार लिखा जाता है <math>\mu \ll \lambda.</math> हम कहते हैं <math>\mu</math> का बोलबाला है <math>\lambda.</math>
-अधिकांश अनुप्रयोगों में, यदि वास्तविक रेखा पर एक माप को पूरी तरह से निरंतर कहा जाता है - यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस अन्य उपाय के संबंध में बिल्कुल निरंतर है - तो लेबेसेग माप के संबंध में पूर्ण निरंतरता का मतलब है।
+अधिकांश अनुप्रयोगों में, यदि वास्तविक रेखा पर एक माप को पूरी तरह से निरंतर कहा जाता है - यह निर्दिष्ट किए बिना कि यह किस अन्य उपाय के संबंध में पूर्णतः निरंतर है - तो लेबेसेग माप के संबंध में पूर्ण निरंतरता का मतलब है।
 के बोरेल सबसेट पर उपायों के लिए भी यही सिद्धांत लागू होता है <math>\mathbb{R}^n, n \geq 2.</math>
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 === समतुल्य परिभाषाएं ===
 परिमित माप पर निम्नलिखित शर्तें <math>\mu</math> वास्तविक रेखा के बोरेल उपसमुच्चय समतुल्य हैं:<ref>Equivalence between (1) and (2) is a special case of {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Proposition 15.5 on page 251}} (fails for σ-finite measures); equivalence between (1) and (3) is a special case of the [[Radon–Nikodym theorem]], see {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 15.4 on page 251}} or {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115}} (still holds for σ-finite measures).</ref>
-# <math>\mu</math> बिल्कुल निरंतर है;
+# <math>\mu</math> पूर्णतः निरंतर है;
 # हर धनात्मक संख्या के लिए <math>\varepsilon</math> एक धनात्मक संख्या है <math>\delta > 0</math> ऐसा है कि <math>\mu(A) < \varepsilon</math> सभी बोरेल सेट के लिए <math>A</math> Lebesgue माप से कम है <math>\delta;</math>
 # एक Lebesgue पूर्णांक फलन मौजूद है <math>g</math> वास्तविक रेखा पर ऐसा है <math display="block">\mu(A) = \int_A g \,d\lambda</math> सभी बोरेल सबसेट के लिए <math>A</math> वास्तविक रेखा का।
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 फलन के संदर्भ में समकक्ष परिभाषा के लिए पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच अनुभाग #Relation देखें।
-कोई अन्य फलन जो संतुष्ट करता है (3) के बराबर है <math>g</math> लगभग हर जगह। इस तरह के एक फलन को बिल्कुल निरंतर माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न या घनत्व कहा जाता है <math>\mu.</math>
+कोई अन्य फलन जो संतुष्ट करता है (3) के बराबर है <math>g</math> लगभग हर जगह। इस तरह के एक फलन को पूर्णतः निरंतर माप के रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न या घनत्व कहा जाता है <math>\mu.</math>
 (1), (2) और (3) के बीच समानता भी लागू होती है <math>\R^n</math> सभी के लिए <math>n = 1, 2, 3, \ldots.</math>
-इस प्रकार, बिल्कुल निरंतर उपाय <math>\R^n</math> ठीक वही हैं जिनमें घनत्व है; एक विशेष मामले के रूप में, पूरी तरह से निरंतर संभाव्यता उपाय ठीक वही होते हैं जिनमें प्रायिकता घनत्व फलन होते हैं।
+इस प्रकार, पूर्णतः निरंतर उपाय <math>\R^n</math> ठीक वही हैं जिनमें घनत्व है; एक विशेष मामले के रूप में, पूरी तरह से निरंतर संभाव्यता उपाय ठीक वही होते हैं जिनमें प्रायिकता घनत्व फलन होते हैं।
 === सामान्यीकरण ===
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 उपायों की पूर्ण निरंतरता रिफ्लेक्टिव संबंध और [[सकर्मक संबंध]] है, लेकिन [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] नहीं है, इसलिए यह [[आंशिक आदेश]] के बजाय एक [[पूर्व आदेश]] है। इसके बजाय, अगर <math>\mu \ll \nu</math> और <math>\nu \ll \mu,</math> उपाय <math>\mu</math> और <math>\nu</math> तुल्यता (माप सिद्धांत) कहा जाता है। इस प्रकार पूर्ण निरंतरता ऐसे [[तुल्यता वर्ग]]ों के आंशिक क्रम को प्रेरित करती है।
-अगर <math>\mu</math> एक हस्ताक्षरित माप या [[जटिल उपाय]] है, ऐसा कहा जाता है <math>\mu</math> के संबंध में बिल्कुल निरंतर है <math>\nu</math> अगर इसकी भिन्नता है <math>|\mu|</math> संतुष्ट <math>|\mu| \ll \nu;</math> समकक्ष, अगर हर सेट <math>A</math> जिसके लिए <math>\nu(A) = 0</math> है <math>\mu</math>-[[शून्य सेट]]।
+अगर <math>\mu</math> एक हस्ताक्षरित माप या [[जटिल उपाय]] है, ऐसा कहा जाता है <math>\mu</math> के संबंध में पूर्णतः निरंतर है <math>\nu</math> अगर इसकी भिन्नता है <math>|\mu|</math> संतुष्ट <math>|\mu| \ll \nu;</math> समकक्ष, अगर हर सेट <math>A</math> जिसके लिए <math>\nu(A) = 0</math> है <math>\mu</math>-[[शून्य सेट]]।
-रैडॉन-निकोडिम प्रमेय<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Theorem 11.23 on page 276}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 15.4 on page 251}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115}}.</ref> बताता है कि अगर <math>\mu</math> के संबंध में बिल्कुल निरंतर है <math>\nu,</math> और दोनों माप σ-परिमित हैं, तब <math>\mu</math> के संबंध में घनत्व, या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है <math>\nu,</math> जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है <math>\nu</math>-मापने योग्य फलन <math>f</math> मान लेना <math>[0, +\infty),</math> द्वारा चिह्नित <math>f = d\mu / d\nu,</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\nu</math>-मापने योग्य सेट <math>A</math> अपने पास
+रैडॉन-निकोडिम प्रमेय<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Theorem 11.23 on page 276}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 15.4 on page 251}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115}}.</ref> बताता है कि अगर <math>\mu</math> के संबंध में पूर्णतः निरंतर है <math>\nu,</math> और दोनों माप σ-परिमित हैं, तब <math>\mu</math> के संबंध में घनत्व, या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है <math>\nu,</math> जिसका अर्थ है कि एक मौजूद है <math>\nu</math>-मापने योग्य फलन <math>f</math> मान लेना <math>[0, +\infty),</math> द्वारा चिह्नित <math>f = d\mu / d\nu,</math> ऐसा कि किसी के लिए <math>\nu</math>-मापने योग्य सेट <math>A</math> अपने पास
 <math display=block>\mu(A) = \int_A f \,d\nu.</math>
 ===एकवचन उपाय===
-लेबेस्ग अपघटन प्रमेय के लिए,<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Proposition 11.24 on page 278}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 15.14 on page 262}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Item (i) of Theorem 4.1.1 on page 115}}.</ref> प्रत्येक σ-परिमित माप को एक पूर्णतया सतत माप और एक अन्य σ-सीमित माप के संबंध में एक विलक्षण माप के योग में विघटित किया जा सकता है। उन मापों के उदाहरणों के लिए एकवचन माप देखें जो बिल्कुल निरंतर नहीं हैं।
+लेबेस्ग अपघटन प्रमेय के लिए,<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Proposition 11.24 on page 278}}; {{harvnb|Nielsen|1997|loc=Theorem 15.14 on page 262}}; {{harvnb|Athreya|Lahiri|2006|loc=Item (i) of Theorem 4.1.1 on page 115}}.</ref> प्रत्येक σ-परिमित माप को एक पूर्णतया सतत माप और एक अन्य σ-सीमित माप के संबंध में एक विलक्षण माप के योग में विघटित किया जा सकता है। उन मापों के उदाहरणों के लिए एकवचन माप देखें जो पूर्णतः निरंतर नहीं हैं।
 == पूर्ण निरंतरता की दो धारणाओं के बीच संबंध ==
-वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर एक परिमित माप μ Lebesgue माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है यदि और केवल यदि बिंदु फलन करता है
+वास्तविक रेखा के बोरेल सेट पर एक परिमित माप μ Lebesgue माप के संबंध में पूर्णतः निरंतर है यदि और केवल यदि बिंदु फलन करता है
 :<math>F(x)=\mu((-\infty,x])</math>
-एक बिल्कुल निरंतर वास्तविक फलन है।
+एक पूर्णतः निरंतर वास्तविक फलन है।
-अधिक आम तौर पर, एक फलन स्थानीय रूप से होता है (अर्थात् हर बाध्य अंतर पर) बिल्कुल निरंतर अगर और केवल अगर इसका [[वितरण व्युत्पन्न]] एक उपाय है जो लेबेस्गु माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है।
+अधिक आम तौर पर, एक फलन स्थानीय रूप से होता है (अर्थात् हर बाध्य अंतर पर) पूर्णतः निरंतर अगर और केवल अगर इसका [[वितरण व्युत्पन्न]] एक उपाय है जो लेबेस्गु माप के संबंध में पूर्णतः निरंतर है।
 यदि पूर्ण निरंतरता बनी रहती है तो μ का रेडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न एफ के व्युत्पन्न के लगभग हर जगह बराबर होता है।<ref>{{harvnb|Royden|1988|loc=Problem 12.17(b) on page 303}}.</ref>

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