दोलन: Difference between revisions
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सबसे सरल यांत्रिक दोलन प्रणाली रेखीय स्प्रिंग (उपकरण) से जुड़ा वजन है जो केवल वजन और तनाव (भौतिकी) के अधीन है। ऐसी प्रणाली को हवा की मेज या बर्फ की सतह पर अनुमानित किया जा सकता है। वसंत के स्थिर होने पर प्रणाली यांत्रिक संतुलन की स्थिति में होती है। यदि निकाय को संतुलन से विस्थापित कर दिया जाता है, तो द्रव्यमान पर शुद्ध पुनर्स्थापन बल होता है, जो इसे वापस संतुलन में लाने के लिए प्रवृत्त होता है। चूँकि , द्रव्यमान को वापस संतुलन की स्थिति में ले जाने में, इसने गति प्राप्त कर ली है जो इसे उस स्थिति से आगे ले जाती है, विपरीत अर्थ में नया पुनर्स्थापना बल स्थापित करती है। यदि स्थिर बल जैसे गुरुत्वाकर्षण को प्रणाली में जोड़ा जाता है, तो संतुलन का बिंदु स्थानांतरित हो जाता है। दोलन होने में लगने वाले समय को अधिकांशतः दोलन काल कहा जाता है। | सबसे सरल यांत्रिक दोलन प्रणाली रेखीय स्प्रिंग (उपकरण) से जुड़ा वजन है जो केवल वजन और तनाव (भौतिकी) के अधीन है। ऐसी प्रणाली को हवा की मेज या बर्फ की सतह पर अनुमानित किया जा सकता है। वसंत के स्थिर होने पर प्रणाली यांत्रिक संतुलन की स्थिति में होती है। यदि निकाय को संतुलन से विस्थापित कर दिया जाता है, तो द्रव्यमान पर शुद्ध पुनर्स्थापन बल होता है, जो इसे वापस संतुलन में लाने के लिए प्रवृत्त होता है। चूँकि , द्रव्यमान को वापस संतुलन की स्थिति में ले जाने में, इसने गति प्राप्त कर ली है जो इसे उस स्थिति से आगे ले जाती है, विपरीत अर्थ में नया पुनर्स्थापना बल स्थापित करती है। यदि स्थिर बल जैसे गुरुत्वाकर्षण को प्रणाली में जोड़ा जाता है, तो संतुलन का बिंदु स्थानांतरित हो जाता है। दोलन होने में लगने वाले समय को अधिकांशतः दोलन काल कहा जाता है। | ||
वे प्रणालियाँ जहाँ किसी पिंड पर पुनर्स्थापना बल उसके विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है, जैसे कि स्प्रिंग-मास प्रणाली की गतिशीलता (यांत्रिकी), गणितीय रूप से हार्मोनिक ऑसिलेटर | वे प्रणालियाँ जहाँ किसी पिंड पर पुनर्स्थापना बल उसके विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है, जैसे कि स्प्रिंग-मास प्रणाली की गतिशीलता (यांत्रिकी), गणितीय रूप से हार्मोनिक ऑसिलेटर सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वारा वर्णित की जाती है और नियमित अवधि (भौतिकी) गति होती है सरल हार्मोनिक गति के रूप में जाना जाता है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली में, दोलन होते हैं, क्योंकि स्थैतिक संतुलन विस्थापन पर, द्रव्यमान में गतिज ऊर्जा होती है जो अपने पथ के चरम पर वसंत में संग्रहीत संभावित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली दोलन की कुछ सामान्य विशेषताओं को दर्शाती है, अर्थात् संतुलन का अस्तित्व और पुनर्स्थापना बल की उपस्थिति जो कि प्रणाली के संतुलन से विचलित होने पर और शक्तिशाली होती जाती है। | ||
वसंत-द्रव्यमान प्रणाली के स्थितियों में, हुक का नियम कहता है कि वसंत की पुनर्स्थापना बल है: | वसंत-द्रव्यमान प्रणाली के स्थितियों में, हुक का नियम कहता है कि वसंत की पुनर्स्थापना बल है: | ||
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जहाँ पे <math>\omega = \sqrt \frac km</math> | जहाँ पे <math>\omega = \sqrt \frac km</math> | ||
इस अंतर समीकरण का समाधान साइनसॉइडल स्थिति फ़ंक्शन उत्पन्न करता है। | इस अंतर समीकरण का समाधान साइनसॉइडल स्थिति फ़ंक्शन उत्पन्न करता है। | ||
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<math>m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0</math> | <math>m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0</math> | ||
इस समीकरण को पहले की तरह फिर से लिखा जा सकता है। | इस समीकरण को पहले की तरह फिर से लिखा जा सकता है। | ||
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जहाँ पे <math>2 \beta = \frac b m</math> | जहाँ पे <math>2 \beta = \frac b m</math> | ||
यह सामान्य समाधान उत्पन्न करता है: | यह सामान्य समाधान उत्पन्न करता है: | ||
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जहाँ पे <math>A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2) + 2 \beta \omega}}</math> तथा <math>\delta = \tan^{-1}(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2})</math> | जहाँ पे <math>A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2) + 2 \beta \omega}}</math> तथा <math>\delta = \tan^{-1}(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2})</math> | ||
x(t) का दूसरा पद अवकल समीकरण का क्षणिक हल है। प्रणाली की प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके क्षणिक समाधान पाया जा सकता है। | x(t) का दूसरा पद अवकल समीकरण का क्षणिक हल है। प्रणाली की प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके क्षणिक समाधान पाया जा सकता है। | ||
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=== अनुनाद === | === अनुनाद === | ||
एक नम चालित दोलक में अनुनाद तब होता है जब =<sub>0</sub>, अर्थात , जब ड्राइविंग आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है। जब ऐसा होता है, तो आयाम का हर छोटा हो जाता है, जो दोलनों के आयाम को अधिकतम करता है। | एक नम चालित दोलक में अनुनाद तब होता है जब ω = ω<sub>0</sub>, अर्थात , जब ड्राइविंग आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है। जब ऐसा होता है, तो आयाम का हर छोटा हो जाता है, जो दोलनों के आयाम को अधिकतम करता है। | ||
==युग्मित दोलन == | ==युग्मित दोलन == | ||
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हार्मोनिक थरथरानवाला और इसके मॉडल की प्रणालियों में स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की ही डिग्री होती है। अधिक जटिल प्रणालियों में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होती है, उदाहरण के लिए, दो द्रव्यमान और तीन स्प्रिंग्स (प्रत्येक द्रव्यमान निश्चित बिंदुओं और दूसरे से जुड़ा होता है)। ऐसे स्थितियों में, प्रत्येक चर का व्यवहार दूसरों के व्यवहार को प्रभावित करता है। यह स्वतंत्रता की व्यक्तिगत डिग्री के दोलनों के युग्मन की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, सामान्य दीवार पर लगे दो पेंडुलम घड़ियां (समान आवृत्ति की) सिंक्रनाइज़ हो जाएंगी। यह इंजेक्शन लॉकिंग पहली बार 1665 में क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा देखा गया था।<ref>{{cite book|author1=Strogatz, Steven|year=2003|title=Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order|publisher=Hyperion Press|pages=106–109|isbn=0-786-86844-9}}</ref> यौगिक दोलनों की स्पष्ट गति सामान्यतः बहुत जटिल प्रतीत होती है किन्तु गति को सामान्य मोड में हल करके अधिक आर्थिक, कम्प्यूटेशनल रूप से सरल और अवधारणात्मक रूप से गहरा विवरण दिया जाता है। | हार्मोनिक थरथरानवाला और इसके मॉडल की प्रणालियों में स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) की ही डिग्री होती है। अधिक जटिल प्रणालियों में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होती है, उदाहरण के लिए, दो द्रव्यमान और तीन स्प्रिंग्स (प्रत्येक द्रव्यमान निश्चित बिंदुओं और दूसरे से जुड़ा होता है)। ऐसे स्थितियों में, प्रत्येक चर का व्यवहार दूसरों के व्यवहार को प्रभावित करता है। यह स्वतंत्रता की व्यक्तिगत डिग्री के दोलनों के युग्मन की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, सामान्य दीवार पर लगे दो पेंडुलम घड़ियां (समान आवृत्ति की) सिंक्रनाइज़ हो जाएंगी। यह इंजेक्शन लॉकिंग पहली बार 1665 में क्रिस्टियान ह्यूजेंस द्वारा देखा गया था।<ref>{{cite book|author1=Strogatz, Steven|year=2003|title=Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order|publisher=Hyperion Press|pages=106–109|isbn=0-786-86844-9}}</ref> यौगिक दोलनों की स्पष्ट गति सामान्यतः बहुत जटिल प्रतीत होती है किन्तु गति को सामान्य मोड में हल करके अधिक आर्थिक, कम्प्यूटेशनल रूप से सरल और अवधारणात्मक रूप से गहरा विवरण दिया जाता है। | ||
युग्मित थरथरानवाला का सबसे सरल रूप 3 वसंत, 2 द्रव्यमान प्रणाली है, जहां द्रव्यमान और वसंत स्थिरांक समान होते हैं। यह समस्या दोनों द्रव्यमानों के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को प्राप्त करने से प्रारंभिक | युग्मित थरथरानवाला का सबसे सरल रूप 3 वसंत, 2 द्रव्यमान प्रणाली है, जहां द्रव्यमान और वसंत स्थिरांक समान होते हैं। यह समस्या दोनों द्रव्यमानों के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को प्राप्त करने से प्रारंभिक होता है। | ||
<math>m_1 \ddot{x}_1 = -(k_1 + k_2)x_1 + k_2x_2</math>, <math>m_2\ddot{x}_2 = k_2x_1 - (k_2+k_3)x_2</math>, | <math>m_1 \ddot{x}_1 = -(k_1 + k_2)x_1 + k_2x_2</math>, <math>m_2\ddot{x}_2 = k_2x_1 - (k_2+k_3)x_2</math>, | ||
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जहाँ पे <math>M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>, <math>x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}</math>, तथा <math>k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}</math> | जहाँ पे <math>M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>, <math>x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}</math>, तथा <math>k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}</math> | ||
k और m के मानों को आव्यूहों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। | k और m के मानों को आव्यूहों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। | ||
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<math>\begin{bmatrix} 2k-m \omega^2 & -k \\ -k & 2k - m \omega^2 \end{bmatrix} = 0</math> | <math>\begin{bmatrix} 2k-m \omega^2 & -k \\ -k & 2k - m \omega^2 \end{bmatrix} = 0</math> | ||
इस आव्युह का निर्धारक द्विघात समीकरण देता है। | इस आव्युह का निर्धारक द्विघात समीकरण देता है। | ||
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<math>\omega_1 = \sqrt{\frac km}</math>, <math>\omega_2 = \sqrt{\frac {3k} m}</math> | <math>\omega_1 = \sqrt{\frac km}</math>, <math>\omega_2 = \sqrt{\frac {3k} m}</math> | ||
द्रव्यमान के प्रारंभिक बिंदु के आधार पर, इस प्रणाली में 2 संभावित आवृत्तियां (या दोनों का संयोजन) होती हैं। यदि द्रव्यमान को ही दिशा में उनके विस्थापन के साथ प्रारंभिक | |||
द्रव्यमान के प्रारंभिक बिंदु के आधार पर, इस प्रणाली में 2 संभावित आवृत्तियां (या दोनों का संयोजन) होती हैं। यदि द्रव्यमान को ही दिशा में उनके विस्थापन के साथ प्रारंभिक किया जाता है, तो आवृत्ति एकल द्रव्यमान प्रणाली की होती है, क्योंकि मध्य वसंत कभी विस्तारित नहीं होता है। यदि दो द्रव्यमानों को विपरीत दिशाओं में प्रारंभिक किया जाता है, तो दूसरी, तेज आवृत्ति प्रणाली की आवृत्ति होती है।<ref name=":0" /> | |||
अधिक विशेष स्थितियों युग्मित थरथरानवाला हैं जहां ऊर्जा दो प्रकार के दोलनों के बीच वैकल्पिक होती है। प्रसिद्ध विल्बरफोर्स पेंडुलम है, जहां दोलन ऊर्ध्वाधर वसंत के बढ़ाव और उस वसंत के अंत में किसी वस्तु के घूमने के बीच वैकल्पिक होता है। | अधिक विशेष स्थितियों युग्मित थरथरानवाला हैं जहां ऊर्जा दो प्रकार के दोलनों के बीच वैकल्पिक होती है। प्रसिद्ध विल्बरफोर्स पेंडुलम है, जहां दोलन ऊर्ध्वाधर वसंत के बढ़ाव और उस वसंत के अंत में किसी वस्तु के घूमने के बीच वैकल्पिक होता है। | ||
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<math>\gamma_{eff} = \frac{114 U_0}{r^2}</math> | <math>\gamma_{eff} = \frac{114 U_0}{r^2}</math> | ||
प्रणाली संतुलन बिंदु के पास दोलनों से गुजरेगी। इन दोलनों को बनाने वाला बल ऊपर के प्रभावी संभावित स्थिरांक से प्राप्त होता है। | प्रणाली संतुलन बिंदु के पास दोलनों से गुजरेगी। इन दोलनों को बनाने वाला बल ऊपर के प्रभावी संभावित स्थिरांक से प्राप्त होता है। | ||
<math>F= - \gamma_{eff}(r-r_0) = m_{eff} \ddot r</math> | <math>F= - \gamma_{eff}(r-r_0) = m_{eff} \ddot r</math> | ||
इस अंतर समीकरण को साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। | इस अंतर समीकरण को साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। | ||
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<math>\omega_0 = \sqrt { \frac {\gamma_{eff}} {m_{eff}}} = \sqrt {\frac {114 U_0} {r^2m_{eff}}}</math> | <math>\omega_0 = \sqrt { \frac {\gamma_{eff}} {m_{eff}}} = \sqrt {\frac {114 U_0} {r^2m_{eff}}}</math> | ||
या, सामान्य रूप में<ref>{{Cite web |date=2020-07-01 |title=23.7: Small Oscillations |url=https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Classical_Mechanics/Classical_Mechanics_(Dourmashkin)/23%3A_Simple_Harmonic_Motion/23.07%3A_Small_Oscillations |access-date=2022-04-21 |website=Physics LibreTexts |language=en}}</ref> | या, सामान्य रूप में<ref>{{Cite web |date=2020-07-01 |title=23.7: Small Oscillations |url=https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Classical_Mechanics/Classical_Mechanics_(Dourmashkin)/23%3A_Simple_Harmonic_Motion/23.07%3A_Small_Oscillations |access-date=2022-04-21 |website=Physics LibreTexts |language=en}}</ref> | ||
Revision as of 20:42, 1 April 2023
दोलन केंद्रीय मूल्य ( अधिकांशतः यांत्रिक संतुलन का बिंदु) के बारे में या दो या दो से अधिक अलग-अलग राज्यों के बीच कुछ माप के दोहराव या आवधिक कार्य भिन्नता है। दोलन के परिचित उदाहरणों में झूलता हुआ पेंडुलम और प्रत्यावर्ती धारा सम्मिलित हैं। दोलनों का उपयोग भौतिकी में जटिल अंतःक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि परमाणुओं के बीच।
दोलन न केवल यांत्रिक प्रणालियों में किंतु विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र में गतिशील प्रणालियों में भी होते हैं: उदाहरण के लिए मानव हृदय की धड़कन (परिसंचरण के लिए), अर्थशास्त्र में व्यापार चक्र, पारिस्थितिकी में शिकारी-शिकार जनसंख्या चक्र, भूविज्ञान में भूतापीय गीजर, गिटार और अन्य स्ट्रिंग वाद्ययंत्रों में तारों का कंपन, मस्तिष्क में तंत्रिका कोशिकाओं की आवधिक फायरिंग, और खगोल विज्ञान में सेफिड चर सितारों की आवधिक सूजन। यांत्रिक दोलन का वर्णन करने के लिए कंपन शब्द का स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है।
सरल हार्मोनिक
सबसे सरल यांत्रिक दोलन प्रणाली रेखीय स्प्रिंग (उपकरण) से जुड़ा वजन है जो केवल वजन और तनाव (भौतिकी) के अधीन है। ऐसी प्रणाली को हवा की मेज या बर्फ की सतह पर अनुमानित किया जा सकता है। वसंत के स्थिर होने पर प्रणाली यांत्रिक संतुलन की स्थिति में होती है। यदि निकाय को संतुलन से विस्थापित कर दिया जाता है, तो द्रव्यमान पर शुद्ध पुनर्स्थापन बल होता है, जो इसे वापस संतुलन में लाने के लिए प्रवृत्त होता है। चूँकि , द्रव्यमान को वापस संतुलन की स्थिति में ले जाने में, इसने गति प्राप्त कर ली है जो इसे उस स्थिति से आगे ले जाती है, विपरीत अर्थ में नया पुनर्स्थापना बल स्थापित करती है। यदि स्थिर बल जैसे गुरुत्वाकर्षण को प्रणाली में जोड़ा जाता है, तो संतुलन का बिंदु स्थानांतरित हो जाता है। दोलन होने में लगने वाले समय को अधिकांशतः दोलन काल कहा जाता है।
वे प्रणालियाँ जहाँ किसी पिंड पर पुनर्स्थापना बल उसके विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है, जैसे कि स्प्रिंग-मास प्रणाली की गतिशीलता (यांत्रिकी), गणितीय रूप से हार्मोनिक ऑसिलेटर सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वारा वर्णित की जाती है और नियमित अवधि (भौतिकी) गति होती है सरल हार्मोनिक गति के रूप में जाना जाता है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली में, दोलन होते हैं, क्योंकि स्थैतिक संतुलन विस्थापन पर, द्रव्यमान में गतिज ऊर्जा होती है जो अपने पथ के चरम पर वसंत में संग्रहीत संभावित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली दोलन की कुछ सामान्य विशेषताओं को दर्शाती है, अर्थात् संतुलन का अस्तित्व और पुनर्स्थापना बल की उपस्थिति जो कि प्रणाली के संतुलन से विचलित होने पर और शक्तिशाली होती जाती है।
वसंत-द्रव्यमान प्रणाली के स्थितियों में, हुक का नियम कहता है कि वसंत की पुनर्स्थापना बल है:
न्यूटन के द्वितीय नियम या न्यूटन के द्वितीय नियम का प्रयोग करके अवकल समीकरण व्युत्पन्न किया जा सकता है।
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जहाँ पे
इस अंतर समीकरण का समाधान साइनसॉइडल स्थिति फ़ंक्शन उत्पन्न करता है।
जहां दोलन की आवृत्ति है, ए आयाम है, और फ़ंक्शन का चरण बदलाव है। ये प्रणाली की प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। क्योंकि कोसाइन 1 और -1 के बीच असीम रूप से दोलन करता है, हमारा स्प्रिंग-मास प्रणाली बिना घर्षण के सदैव के लिए सकारात्मक और नकारात्मक आयाम के बीच दोलन करेगा।
द्वि-आयामी दोलक
दो या तीन आयामों में, हार्मोनिक ऑसिलेटर आयाम के समान व्यवहार करते हैं। इसका सबसे सरल उदाहरण आइसोट्रॉपी थरथरानवाला है, जहां पुनर्स्थापना बल सभी दिशाओं में समान पुनर्स्थापन स्थिरांक के साथ संतुलन से विस्थापन के समानुपाती होता है।
यह समान समाधान उत्पन्न करता है, किन्तु अब हर दिशा के लिए अलग समीकरण है।
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[...]
अनिसोट्रोपिक ऑसिलेटर्स
अनिसोट्रॉपी ऑसिलेटर्स के साथ, अलग-अलग दिशाओं में बहाल करने वाले बलों के अलग-अलग स्थिरांक होते हैं। समाधान आइसोट्रोपिक ऑसिलेटर्स के समान है, किन्तु प्रत्येक दिशा में अलग आवृत्ति होती है। दूसरे के सापेक्ष आवृत्तियों को बदलने से रोचक परिणाम मिल सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि दिशा में बारंबारता दूसरी दिशा की आवृत्ति से दोगुनी है, तो आकृति आठ पैटर्न निर्मित होता है। यदि आवृत्तियों का अनुपात अपरिमेय है, तो गति अर्ध-आवधिक फलन है। यह गति प्रत्येक अक्ष पर आवर्ती है, किन्तु r के संबंध में आवर्त नहीं है, और कभी भी दोहराई नहीं जाएगी।[1]
नम दोलन
सभी वास्तविक-विश्व थरथरानवाला प्रणाली थर्मोडायनामिक उत्क्रमणीयता हैं। इसका कारण है कि घर्षण या विद्युत प्रतिरोध जैसी अपव्यय प्रक्रियाएं होती हैं जो पर्यावरण में थरथरानवाला में संग्रहीत कुछ ऊर्जा को लगातार गर्मी में परिवर्तित करती हैं। इसे भिगोना कहा जाता है। इस प्रकार, समय के साथ दोलनों का क्षय होता है जब तक कि प्रणाली में ऊर्जा का कोई शुद्ध स्रोत न हो। इस क्षय प्रक्रिया का सबसे सरल वर्णन हार्मोनिक थरथरानवाला के दोलन क्षय द्वारा सचित्र किया जा सकता है।
जब प्रतिरोधी बल लगाया जाता है, जो स्थिति के पहले व्युत्पन्न पर निर्भर होता है, या इस स्थितियों में वेग पर निर्भर होता है, तो डंप किए गए ऑसीलेटर बनाए जाते हैं। न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा निर्मित अवकल समीकरण इस प्रतिरोधक बल में इच्छानुसार स्थिरांक b के साथ जुड़ता है। यह उदाहरण वेग पर रैखिक निर्भरता मानता है।
इस समीकरण को पहले की तरह फिर से लिखा जा सकता है।