दोलन: Difference between revisions

Revision as of 00:53, 1 April 2023

स्प्रिंग-मास सिस्टम एक ऑसिलेटरी सिस्टम है

दोलन एक केंद्रीय मूल्य (अक्सर यांत्रिक संतुलन का एक बिंदु) के बारे में या दो या दो से अधिक अलग-अलग राज्यों के बीच कुछ माप के दोहराव या आवधिक कार्य भिन्नता है। दोलन के परिचित उदाहरणों में एक झूलता हुआ पेंडुलम और प्रत्यावर्ती धारा शामिल हैं। दोलनों का उपयोग भौतिकी में जटिल अंतःक्रियाओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि परमाणुओं के बीच।

दोलन न केवल यांत्रिक प्रणालियों में बल्कि विज्ञान के लगभग हर क्षेत्र में गतिशील प्रणालियों में भी होते हैं: उदाहरण के लिए मानव हृदय की धड़कन (परिसंचरण के लिए), अर्थशास्त्र में व्यापार चक्र, पारिस्थितिकी में शिकारी-शिकार जनसंख्या चक्र, भूविज्ञान में भूतापीय गीजर, गिटार और अन्य स्ट्रिंग वाद्ययंत्रों में तारों का कंपन, मस्तिष्क में तंत्रिका कोशिकाओं की आवधिक फायरिंग, और खगोल विज्ञान में सेफिड चर सितारों की आवधिक सूजन। यांत्रिक दोलन का वर्णन करने के लिए कंपन शब्द का सटीक रूप से उपयोग किया जाता है।

सरल हार्मोनिक

सबसे सरल यांत्रिक दोलन प्रणाली एक रेखीय स्प्रिंग (उपकरण) से जुड़ा वजन है जो केवल वजन और तनाव (भौतिकी) के अधीन है। ऐसी प्रणाली को हवा की मेज या बर्फ की सतह पर अनुमानित किया जा सकता है। वसंत के स्थिर होने पर प्रणाली यांत्रिक संतुलन की स्थिति में होती है। यदि निकाय को संतुलन से विस्थापित कर दिया जाता है, तो द्रव्यमान पर एक शुद्ध पुनर्स्थापन बल होता है, जो इसे वापस संतुलन में लाने के लिए प्रवृत्त होता है। हालाँकि, द्रव्यमान को वापस संतुलन की स्थिति में ले जाने में, इसने गति प्राप्त कर ली है जो इसे उस स्थिति से आगे ले जाती है, विपरीत अर्थ में एक नया पुनर्स्थापना बल स्थापित करती है। यदि एक स्थिर बल जैसे गुरुत्वाकर्षण को सिस्टम में जोड़ा जाता है, तो संतुलन का बिंदु स्थानांतरित हो जाता है। एक दोलन होने में लगने वाले समय को अक्सर दोलन काल कहा जाता है।

वे प्रणालियाँ जहाँ किसी पिंड पर पुनर्स्थापना बल उसके विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है, जैसे कि स्प्रिंग-मास सिस्टम की गतिशीलता (यांत्रिकी), गणितीय रूप से हार्मोनिक ऑसिलेटर # सिंपल हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वारा वर्णित की जाती है और नियमित अवधि (भौतिकी) गति होती है सरल हार्मोनिक गति के रूप में जाना जाता है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली में, दोलन होते हैं, क्योंकि स्थैतिक संतुलन विस्थापन पर, द्रव्यमान में गतिज ऊर्जा होती है जो अपने पथ के चरम पर वसंत में संग्रहीत संभावित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। वसंत-द्रव्यमान प्रणाली दोलन की कुछ सामान्य विशेषताओं को दर्शाती है, अर्थात् एक संतुलन का अस्तित्व और एक पुनर्स्थापना बल की उपस्थिति जो कि प्रणाली के संतुलन से विचलित होने पर और मजबूत होती जाती है।

वसंत-द्रव्यमान प्रणाली के मामले में, हुक का नियम कहता है कि वसंत की पुनर्स्थापना बल है:

$F=-kx$

न्यूटन के द्वितीय नियम या न्यूटन के द्वितीय नियम का प्रयोग करके अवकल समीकरण व्युत्पन्न किया जा सकता है।

${\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x$ ,

जहाँ पे $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ इस अंतर समीकरण का समाधान एक साइनसॉइडल स्थिति फ़ंक्शन उत्पन्न करता है।

$x(t)=A\cos(\omega t-\delta )$

जहां दोलन की आवृत्ति है, ए आयाम है, और फ़ंक्शन का चरण बदलाव है। ये सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। क्योंकि कोसाइन 1 और -1 के बीच असीम रूप से दोलन करता है, हमारा स्प्रिंग-मास सिस्टम बिना घर्षण के हमेशा के लिए सकारात्मक और नकारात्मक आयाम के बीच दोलन करेगा।

द्वि-आयामी दोलक

दो या तीन आयामों में, हार्मोनिक ऑसिलेटर एक आयाम के समान व्यवहार करते हैं। इसका सबसे सरल उदाहरण एक आइसोट्रॉपी थरथरानवाला है, जहां पुनर्स्थापना बल सभी दिशाओं में समान पुनर्स्थापन स्थिरांक के साथ संतुलन से विस्थापन के समानुपाती होता है।

$F=-k{\vec {r}}$

यह एक समान समाधान उत्पन्न करता है, लेकिन अब हर दिशा के लिए एक अलग समीकरण है।

$x(t)=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x})$ ,

 $y(t)=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y})$ ,

[...]

अनिसोट्रोपिक ऑसिलेटर्स

अनिसोट्रॉपी ऑसिलेटर्स के साथ, अलग-अलग दिशाओं में बहाल करने वाले बलों के अलग-अलग स्थिरांक होते हैं। समाधान आइसोट्रोपिक ऑसिलेटर्स के समान है, लेकिन प्रत्येक दिशा में एक अलग आवृत्ति होती है। एक दूसरे के सापेक्ष आवृत्तियों को बदलने से दिलचस्प परिणाम मिल सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक दिशा में बारंबारता दूसरी दिशा की आवृत्ति से दोगुनी है, तो एक आकृति आठ पैटर्न निर्मित होता है। यदि आवृत्तियों का अनुपात अपरिमेय है, तो गति अर्ध-आवधिक फलन है। यह गति प्रत्येक अक्ष पर आवर्ती है, लेकिन r के संबंध में आवर्त नहीं है, और कभी भी दोहराई नहीं जाएगी।^[1]

नम दोलन

सभी वास्तविक-विश्व थरथरानवाला सिस्टम थर्मोडायनामिक उत्क्रमणीयता हैं। इसका मतलब है कि घर्षण या विद्युत प्रतिरोध जैसी अपव्यय प्रक्रियाएं होती हैं जो पर्यावरण में थरथरानवाला में संग्रहीत कुछ ऊर्जा को लगातार गर्मी में परिवर्तित करती हैं। इसे भिगोना कहा जाता है। इस प्रकार, समय के साथ दोलनों का क्षय होता है जब तक कि सिस्टम में ऊर्जा का कोई शुद्ध स्रोत न हो। इस क्षय प्रक्रिया का सबसे सरल वर्णन हार्मोनिक थरथरानवाला के दोलन क्षय द्वारा सचित्र किया जा सकता है।

जब एक प्रतिरोधी बल लगाया जाता है, जो स्थिति के पहले व्युत्पन्न पर निर्भर होता है, या इस मामले में वेग पर निर्भर होता है, तो डंप किए गए ऑसीलेटर बनाए जाते हैं। न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा निर्मित अवकल समीकरण इस प्रतिरोधक बल में एक मनमाना स्थिरांक b के साथ जुड़ता है। यह उदाहरण वेग पर एक रैखिक निर्भरता मानता है।

$m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0$ इस समीकरण को पहले की तरह फिर से लिखा जा सकता है।

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ ,

जहाँ पे $2\beta ={\frac {b}{m}}$ यह सामान्य समाधान उत्पन्न करता है:

$x(t)=e^{-\beta t}(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t})$ ,

जहाँ पे $\omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

कोष्ठक के बाहर घातांकीय पद घातीय क्षय है और β अवमंदन गुणांक है। नम दोलकों की 3 श्रेणियां हैं: अंडर-डंप, जहां β <₀; अधिक नमी, जहां β >₀; और गंभीर रूप से भीग गया, जहां β =₀.

प्रेरित दोलन

इसके अलावा, एक दोलन प्रणाली कुछ बाहरी बल के अधीन हो सकती है, जैसे कि जब एक एसी इलेक्ट्रॉनिक सर्किट बाहरी शक्ति स्रोत से जुड़ा होता है। इस मामले में दोलन को संचालित दोलन कहा जाता है।

इसका सबसे सरल उदाहरण साइन वेव ड्राइविंग बल के साथ स्प्रिंग-मास सिस्टम है।

$\ddot{x} + 2 β \dot{x} + ω_{0}^{}$

[1]

@@ Line 19: / Line 19: @@
 <math>\ddot{x} = -\frac km x = -\omega^2x</math>,
-कहाँ पे <math>\omega = \sqrt \frac km</math>
+जहाँ पे <math>\omega = \sqrt \frac km</math>
 इस अंतर समीकरण का समाधान एक साइनसॉइडल स्थिति फ़ंक्शन उत्पन्न करता है।
@@ Line 54: / Line 54: @@
 <math>\ddot{x} + 2 \beta \dot{x} + \omega_0^2x = 0</math>,
-कहाँ पे <math>2 \beta = \frac b m</math>
+जहाँ पे <math>2 \beta = \frac b m</math>
 यह सामान्य समाधान उत्पन्न करता है:
 <math>x(t) = e^{- \beta t} (C_1e^{\omega _1 t} + C_2 e^{- \omega_1t})</math>,
-कहाँ पे <math>\omega_1 = \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}</math>
+जहाँ पे <math>\omega_1 = \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2}</math>
 कोष्ठक के बाहर घातांकीय पद घातीय क्षय है और β अवमंदन गुणांक है। नम दोलकों की 3 श्रेणियां हैं: अंडर-डंप, जहां β <<sub>0</sub>; अधिक नमी, जहां β ><sub>0</sub>; और गंभीर रूप से भीग गया, जहां β =<sub>0</sub>.
@@ Line 67: / Line 68: @@
 इसका सबसे सरल उदाहरण साइन वेव ड्राइविंग बल के साथ स्प्रिंग-मास सिस्टम है।
-<math>\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2x = f(t)</math>, कहाँ पे <math>f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)</math>
+<math>\ddot{x} + 2 \beta\dot{x} + \omega_0^2x = f(t)</math>, जहाँ पे <math>f(t) = f_0 \cos(\omega t + \delta)</math>
 यह समाधान देता है:
 <math>x(t) = A \cos(\omega t - \delta) + A_{tr} \cos(\omega_1 t - \delta_{tr})</math>,
-कहाँ पे <math>A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2) + 2 \beta \omega}}</math> तथा  <math>\delta = \tan^{-1}(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2})</math>
+जहाँ पे <math>A = \sqrt{\frac {f_0^2} {(\omega_0^2 - \omega ^2) + 2 \beta \omega}}</math> तथा  <math>\delta = \tan^{-1}(\frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2})</math>
 x(t) का दूसरा पद अवकल समीकरण का क्षणिक हल है। सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके क्षणिक समाधान पाया जा सकता है।
@@ Line 95: / Line 96: @@
 <math>F = M\ddot{x} = kx</math>,
-कहाँ पे <math>M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>,     <math>x = \begin{bmatrix} x_1  \\ x_2  \end{bmatrix}</math>,   तथा  <math>k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}</math>
+जहाँ पे <math>M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>,     <math>x = \begin{bmatrix} x_1  \\ x_2  \end{bmatrix}</math>,   तथा  <math>k = \begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2+k_3 \end{bmatrix}</math>
 k और m के मानों को आव्यूहों में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

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