लम्बवत: Difference between revisions
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द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके [[ ढलानों ]] का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''y''<sub>2</sub> {{=}} ''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>}}, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> {{=}} −1}}. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)। | द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके [[ ढलानों ]] का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''y''<sub>2</sub> {{=}} ''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>}}, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> {{=}} −1}}. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)। | ||
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एक समकोण त्रिभुज के पैर एक दूसरे के लंबवत होते हैं। | एक समकोण त्रिभुज के पैर एक दूसरे के लंबवत होते हैं। | ||
एक त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) उनके संबंधित [[ आधार (ज्यामिति) ]] के लंबवत होती है। त्रिभुज की ज्यामिति में भुजाओं के लंब समद्विभाजक भी प्रमुख भूमिका निभाते हैं। | एक त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) उनके संबंधित[[ आधार (ज्यामिति) | आधार (ज्यामिति)]] के लंबवत होती है। त्रिभुज की ज्यामिति में भुजाओं के लंब समद्विभाजक भी प्रमुख भूमिका निभाते हैं। | ||
एक समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा त्रिभुज के आधार पर लंबवत होती है। | एक समद्विबाहु त्रिभुज की यूलर रेखा त्रिभुज के आधार पर लंबवत होती है। | ||
[[ Droz-Farny रेखा प्रमेय ]] एक त्रिभुज के [[ orthocenter ]] पर प्रतिच्छेद करने वाली दो लंबवत रेखाओं की संपत्ति से संबंधित है। | [[ Droz-Farny रेखा प्रमेय |ड्रोज़- फ़र्नी रेखा प्रमेय]] एक त्रिभुज के [[ orthocenter |ऑर्थोसेन्टर]] पर प्रतिच्छेद करने वाली दो लंबवत रेखाओं की संपत्ति से संबंधित है। | ||
हार्कोर्ट का प्रमेय एक शीर्ष (ज्यामिति) के माध्यम से रेखा खंडों के संबंध से संबंधित है और त्रिभुज के अंतःवृत्त के [[ स्पर्शरेखा ]] के किसी भी रेखा के लंबवत है। | हार्कोर्ट का प्रमेय एक शीर्ष (ज्यामिति) के माध्यम से रेखा खंडों के संबंध से संबंधित है और त्रिभुज के अंतःवृत्त के[[ स्पर्शरेखा ]] के किसी भी रेखा के लंबवत है। | ||
=== चतुर्भुज === | === चतुर्भुज === | ||
एक [[ वर्ग ]] या अन्य [[ आयत ]] में, आसन्न भुजाओं के सभी जोड़े लंबवत होते हैं। एक समलंब चतुर्भुज एक [[ समलम्ब ]] | एक[[ वर्ग | वर्ग]] या अन्य[[ आयत | आयत]] में, आसन्न भुजाओं के सभी जोड़े लंबवत होते हैं। एक समलंब चतुर्भुज एक [[ समलम्ब |समलम्बाकार]] होता है जिसमें आसन्न भुजाओं के दो जोड़े होते हैं जो लंबवत होते हैं। | ||
चतुर्भुज के चार कोणों में से प्रत्येक विपरीत दिशा के [[ मध्य ]] बिंदु के माध्यम से एक तरफ लंबवत है। | चतुर्भुज के चार कोणों में से प्रत्येक विपरीत दिशा के[[ मध्य ]]बिंदु के माध्यम से एक तरफ लंबवत है। | ||
एक ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसके [[ विकर्ण ]] लंबवत होते हैं। इनमें वर्ग, [[ विषमकोण ]] और [[ पतंग (ज्यामिति) ]] शामिल हैं। ब्रह्मगुप्त के प्रमेय के अनुसार, एक ऑर्थोडाइगोनल चतुर्भुज में, जो [[ चक्रीय चतुर्भुज ]] भी है, एक तरफ के मध्य बिंदु के माध्यम से और विकर्णों के चौराहे बिंदु के माध्यम से एक रेखा विपरीत दिशा में लंबवत है। | एक ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसके [[ विकर्ण ]] लंबवत होते हैं। इनमें वर्ग,[[ विषमकोण | विषमकोण]] और[[ पतंग (ज्यामिति) ]] शामिल हैं। ब्रह्मगुप्त के प्रमेय के अनुसार, एक ऑर्थोडाइगोनल चतुर्भुज में, जो[[ चक्रीय चतुर्भुज | चक्रीय चतुर्भुज]] भी है, एक तरफ के मध्य बिंदु के माध्यम से और विकर्णों के चौराहे बिंदु के माध्यम से एक रेखा विपरीत दिशा में लंबवत है। | ||
वैन औबेल के प्रमेय के अनुसार, यदि वर्गों को चतुर्भुज के किनारों पर बाहरी रूप से बनाया जाता है, तो विपरीत वर्गों के केंद्रों को जोड़ने वाले रेखा खंड लंबवत और लंबाई में बराबर होते हैं। | वैन औबेल के प्रमेय के अनुसार, यदि वर्गों को चतुर्भुज के किनारों पर बाहरी रूप से बनाया जाता है, तो विपरीत वर्गों के केंद्रों को जोड़ने वाले रेखा खंड लंबवत और लंबाई में बराबर होते हैं। | ||
Revision as of 17:47, 14 March 2023
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| ज्यामिति |
|---|
| File:Stereographic projection in 3D.svg |
| जियोमेटर्स |
प्राथमिक ज्यामिति में, दो ज्यामितीय वस्तुएं लंबवत होती हैं यदि वे एक समकोण (90 डिग्री या π/2 रेडियन) पर प्रतिच्छेद करती हैं। लंबवतता की स्थिति को ' लंबवत प्रतीक ,का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसे दो रेखाओं (या दो रेखाखंडों), एक रेखा और एक तल के बीच और दो तलों के बीच परिभाषित किया जा सकता है।
लंबवतताओर्थोगोनालिटी की अधिक सामान्य गणितीय अवधारणा का एक विशेष उदाहरण है; लंबवतता शास्त्रीय ज्यामितीय वस्तुओं की ऑर्थोगोनलिटी है। इस प्रकार, उन्नत गणित में, लंबवत शब्द का प्रयोग कभी-कभी बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय ऑर्थोगोनैलिटी स्थितियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि सतह और उसके सामान्य (ज्यामिति) के बीच।
परिभाषाएँ
एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत कहलाती है यदि दो रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।[2] स्पष्ट रूप से, एक पहली पंक्ति दूसरी रेखा के लंबवत होती है यदि (1) दो रेखाएँ मिलती हैं; और (2) चौराहे के बिंदु पर पहली पंक्ति के एक तरफ का [[ सीधा कोण ]] दूसरी रेखा द्वारा दो सर्वांगसम (ज्यामिति) कोणों में काटा जाता है। लंबवतता को सममित दिखाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि पहली पंक्ति दूसरी पंक्ति के लंबवत है, तो दूसरी पंक्ति भी पहली पंक्ति के लंबवत है। इस कारण से, हम आदेश निर्दिष्ट किए बिना दो पंक्तियों को लंबवत (एक दूसरे के लिए) कह सकते हैं।
लंबवतता आसानी से रेखा खण्डों और रे (ज्यामिति) तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड एक रेखा खंड के लंबवत है यदि, जब प्रत्येक को एक अनंत रेखा बनाने के लिए दोनों दिशाओं में बढ़ाया जाता है, तो ये दो परिणामी रेखाएँ ऊपर के अर्थ में लंबवत होती हैं। प्रतीकों में, अर्थात रेखाखंड ए बी, रेखाखंड सीडी पर लंबवत है।[3]
एक रेखा को एक समतल (ज्यामिति) के लिए लंबवत कहा जाता है यदि यह उस समतल की प्रत्येक रेखा के लंबवत हो जिस पर यह प्रतिच्छेद करता है। यह परिभाषा रेखाओं के बीच लंबवतता की परिभाषा पर निर्भर करती है।
अंतरिक्ष में दो विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि डायहेड्रल कोण जिस पर वे मिलते हैं वह एक समकोण है।
लम्ब का पाद
पैर शब्द का प्रयोग अक्सर लंबवत के संबंध में किया जाता है। इस प्रयोग का उदाहरण शीर्ष आरेख, ऊपर, और इसके शीर्षक में दिया गया है। आरेख किसी भी अभिविन्यास में हो सकता है। जरूरी नहीं कि पैर नीचे ही हो।
अधिक सटीक, बंद करें ए एक बिंदु हो और मैं एक पंक्ति। यदि बी चौक का बिंदु है मी और अनोखी रेखा के माध्यम से ए जो के चक्कर में है मी, फिर बी के माध्यम से इस लम्बे पैर को ए कहा जाता है।
लंब का निर्माण
कंपास-और-सीधा निर्माण का उपयोग करके पॉइंट पी के माध्यम से लाइन ए बी पर मार्कअप बनाने के लिए, संलग्न आगे बढ़ें (बाएं चित्र देखें):
- चरण 1 (लाल): रेखा ए बी पर बिंदु ए' और बी' बनाने के लिए पी पर केंद्र के साथ एक वृत्त की रचना करें, जो पी से दूरी पर हैं।
- चरण 2 (हरा): समान त्रिज्या वाले ए' और बी' पर केंद्रित वृत्त बनाएं। माना क्यू और पी ये दो वृतांत के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
- चरण 3 (नीला): सदस्यता पी क्यू बनाने के लिए क्यू और कनेक्ट करें।
यह सिद्ध करने के लिए कि पी क्यू ए बी पर लंबवत है, सर्वांगसमता (ज्यामिति) क्यूपीए' और क्यूपीबी' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण ओपीए 'और ओपीबी' बराबर हैं। फिर सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुजोंओपीए 'और ओपीबी' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण पीओए और पीओबी बराबर हैं।
थेल्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखा जी पर या बिंदु पी से होकर लंब बनाने के लिए, दाईं ओर एनीमेशन देखें।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग समकोण बनाने के तरीकों के आधार के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कड़ियों की गिनती करके, 3:4:5 के अनुपात में लंबाई के साथ श्रृंखला के तीन टुकड़े बनाए जा सकते हैं। इन्हें एक त्रिभुज बनाने के लिए बिछाया जा सकता है, जिसकी सबसे लंबी भुजा के विपरीत एक समकोण होगा। यह विधि बगीचों और खेतों को बिछाने के लिए उपयोगी है, जहां आयाम बड़े हैं, और बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है। जब भी आवश्यकता हो, जंजीरों का बार-बार उपयोग किया जा सकता है।
