लम्बवत: Difference between revisions
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== समानांतर रेखाओं के संबंध में == | == समानांतर रेखाओं के संबंध में == | ||
[[File:perpendicular transversal v3.svg|thumb|236px<!--(as above)-->|तीर के निशान इंगित करते हैं कि [[ अनुप्रस्थ रेखा ]] c द्वारा काटी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं।]]यदि दो रेखाएँ (ए और बी) दोनों एक तीसरी रेखा (सी) के लंबवत हैं, तो तीसरी रेखा के साथ बने सभी कोण समकोण हैं। इसलिए, [[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] में, कोई भी दो रेखाएँ जो दोनों एक तीसरी रेखा के लंबवत हैं, एक दूसरे के [[ समानांतर (ज्यामिति) ]] हैं, क्योंकि [[ समानांतर अभिधारणा ]] है। इसके विपरीत, यदि एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत है, तो यह उस दूसरी रेखा के समानांतर किसी भी रेखा के लंबवत भी है। | [[File:perpendicular transversal v3.svg|thumb|236px<!--(as above)-->|तीर के निशान इंगित करते हैं कि [[ अनुप्रस्थ रेखा ]] c द्वारा काटी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं।]]यदि दो रेखाएँ (ए और बी) दोनों एक तीसरी रेखा (सी) के लंबवत हैं, तो तीसरी रेखा के साथ बने सभी कोण समकोण हैं। इसलिए,[[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] में, कोई भी दो रेखाएँ जो दोनों एक तीसरी रेखा के लंबवत हैं, एक दूसरे के[[ समानांतर (ज्यामिति) | समानांतर (ज्यामिति)]] हैं, क्योंकि[[ समानांतर अभिधारणा ]]है। इसके विपरीत, यदि एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत है, तो यह उस दूसरी रेखा के समानांतर किसी भी रेखा के लंबवत भी है। | ||
दाईं ओर की आकृति में, सभी नारंगी-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं और सभी हरे-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं, क्योंकि लंबवत (कोण) समांतर हैं और समानांतर काटने वाले तिर्यक द्वारा गठित वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं रेखाएँ सर्वांगसम हैं। इसलिए, यदि रेखाएँ | दाईं ओर की आकृति में, सभी नारंगी-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं और सभी हरे-छायांकित कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं, क्योंकि लंबवत (कोण) समांतर हैं और समानांतर काटने वाले तिर्यक द्वारा गठित वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं रेखाएँ सर्वांगसम हैं। इसलिए, यदि रेखाएँ ए और बी समानांतर हैं, तो निम्नलिखित में से कोई भी निष्कर्ष अन्य सभी की ओर ले जाता है: | ||
* आरेख में कोणों में से एक समकोण है। | * आरेख में कोणों में से एक समकोण है। | ||
* नारंगी-छायांकित कोणों में से एक हरे-छायांकित कोणों में से एक के सर्वांगसम है। | * नारंगी-छायांकित कोणों में से एक हरे-छायांकित कोणों में से एक के सर्वांगसम है। | ||
* रेखा | * रेखा सी, रेखा एक के लंबवत है। | ||
* रेखा | * रेखा सी, रेखा बी के लंबवत है। | ||
== कंप्यूटिंग दूरी में | == कंप्यूटिंग दूरी में== | ||
{{excerpt|Perpendicular distance}} | {{excerpt|Perpendicular distance}} | ||
कार्यों का ग्राफ | |||
द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके [[ ढलानों ]] का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''y''<sub>2</sub> {{=}} ''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>}}, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> {{=}} −1}}. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)। | द्वि-आयामी तल में, दो प्रतिच्छेदित रेखाओं द्वारा समकोण बनाया जा सकता है यदि उनके [[ ढलानों ]] का गुणनफल (गणित) −1 के बराबर हो। इस प्रकार दो रैखिक कार्यों को परिभाषित करना: {{math|''y''<sub>1</sub> {{=}} ''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>}} तथा {{math|''y''<sub>2</sub> {{=}} ''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>}}, फ़ंक्शन के ग्राफ़ लंबवत होंगे और चार समकोण बनाएंगे जहां रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> {{=}} −1}}. हालाँकि, इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है यदि ढलान शून्य या अपरिभाषित है (रेखा अक्ष के समानांतर है)। | ||
एक अन्य विधि के लिए, दो रैखिक कार्य होने दें: {{math|''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>''y'' + ''c''<sub>1</sub> {{=}} 0}} तथा {{math|''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>''y'' + ''c''<sub>2</sub> {{=}} 0}}. रेखाएँ लंबवत होंगी यदि और केवल यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> {{=}} 0}}. इस विधि को [[ यूक्लिडियन वेक्टर ]] के [[ डॉट उत्पाद ]] (या, अधिक सामान्यतः, आंतरिक उत्पाद) से सरल बनाया गया है। विशेष रूप से, दो वैक्टर को ऑर्थोगोनल माना जाता है यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है। | एक अन्य विधि के लिए, दो रैखिक कार्य होने दें: {{math|''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>''y'' + ''c''<sub>1</sub> {{=}} 0}} तथा {{math|''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>''y'' + ''c''<sub>2</sub> {{=}} 0}}. रेखाएँ लंबवत होंगी यदि और केवल यदि {{math|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>2</sub> + ''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> {{=}} 0}}. इस विधि को[[ यूक्लिडियन वेक्टर | यूक्लिडियन वेक्टर]] के[[ डॉट उत्पाद ]] (या, अधिक सामान्यतः, आंतरिक उत्पाद) से सरल बनाया गया है। विशेष रूप से, दो वैक्टर को ऑर्थोगोनल माना जाता है यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है। | ||
== मंडलियों और अन्य शंकुओं में == | == मंडलियों और अन्य शंकुओं में == | ||
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यदि किन्हीं दो लंब जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर है।<ref>Posamentier and Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 2nd edition, 1996: pp. 104–105, #4–23.</ref> | यदि किन्हीं दो लंब जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो {{nowrap|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup>}} व्यास के वर्ग के बराबर है।<ref>Posamentier and Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 2nd edition, 1996: pp. 104–105, #4–23.</ref> | ||
किसी दिए गए बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग उसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं के समान होता है, और 8r द्वारा दिया जाता है<sup>2</sup> - 4p<sup>2</sup> (जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और p केंद्र बिंदु से चौराहे के बिंदु तक की दूरी है)।<ref>''[[College Mathematics Journal]]'' 29(4), September 1998, p. 331, problem 635.</ref> | किसी दिए गए बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग उसी बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली किसी भी दो लंब जीवाओं के समान होता है, और 8r द्वारा दिया जाता है<sup>2</sup> - 4p<sup>2</sup> (जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और p केंद्र बिंदु से चौराहे के बिंदु तक की दूरी है)।<ref>''[[College Mathematics Journal]]'' 29(4), September 1998, p. 331, problem 635.</ref> | ||
थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि एक वृत्त पर एक ही बिंदु के माध्यम से लेकिन एक व्यास के विपरीत छोरों से होकर जाने वाली दो रेखाएँ लंबवत होती हैं। यह कहने के बराबर है कि वृत्त का कोई भी व्यास वृत्त के किसी भी बिंदु पर समकोण बनाता है, व्यास के दो अंत बिंदुओं को छोड़कर। | थेल्स के प्रमेय में कहा गया है कि एक वृत्त पर एक ही बिंदु के माध्यम से लेकिन एक व्यास के विपरीत छोरों से होकर जाने वाली दो रेखाएँ लंबवत होती हैं। यह कहने के बराबर है कि वृत्त का कोई भी व्यास वृत्त के किसी भी बिंदु पर समकोण बनाता है, व्यास के दो अंत बिंदुओं को छोड़कर। | ||
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एक दीर्घवृत्त की समरूपता के प्रमुख और लघु अक्ष एक दूसरे के लंबवत होते हैं और दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा रेखाओं के उन बिंदुओं पर जहाँ कुल्हाड़ियाँ दीर्घवृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं। | एक दीर्घवृत्त की समरूपता के प्रमुख और लघु अक्ष एक दूसरे के लंबवत होते हैं और दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा रेखाओं के उन बिंदुओं पर जहाँ कुल्हाड़ियाँ दीर्घवृत्त को प्रतिच्छेद करती हैं। | ||
एक दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड) और प्रत्येक [[ दाईं ओर ]] के लंबवत होती है। | एक दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी डायरेक्ट्रिक्स (शंकु खंड) और प्रत्येक[[ दाईं ओर | दाईं ओर]] के लंबवत होती है। | ||
=== [[ परवलय ]] === | === [[ परवलय ]] === | ||
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एक पैराबोला में, समरूपता का अक्ष प्रत्येक लेटस रेक्टम, डायरेक्ट्रिक्स और टेंगेंट लाइन के उस बिंदु पर लंबवत होता है जहां धुरी पैराबोला को काटती है। | एक पैराबोला में, समरूपता का अक्ष प्रत्येक लेटस रेक्टम, डायरेक्ट्रिक्स और टेंगेंट लाइन के उस बिंदु पर लंबवत होता है जहां धुरी पैराबोला को काटती है। | ||
स्पर्श रेखा पर एक बिंदु से परवलय के शीर्ष तक, | स्पर्श रेखा पर एक बिंदु से परवलय के शीर्ष तक, परवलय के [[ फोकस (ज्यामिति) |फोकस (ज्यामिति)]] के माध्यम से एक स्पर्शरेखा और फोकस से लंबवत का चौराहे उस बिंदु से रेखा के लिए लंबवत है। | ||
पैराबोला | पैराबोला पैराबोला की ऑर्थोप्टिक संपत्ति यह है कि यदि पैराबोला के दो स्पर्शक एक-दूसरे के लिए लंबवत हैं, तो वे डायरेक्ट्रिक्स पर छेड़छाड़ करते हैं। इसके विपरीत, दो स्पर्श रेखाएँ जो नियता पर प्रतिच्छेद करती हैं, लंबवत होती हैं। इसका तात्पर्य यह है कि, इसकी नियता पर किसी भी बिंदु से देखने पर, कोई भी परवलय एक समकोण बनाता है। | ||
=== हाइपरबोलस === | === हाइपरबोलस === | ||
[[ अतिशयोक्ति ]] | [[ अतिशयोक्ति ]] नामकरण और एक हाइपरबोला की विशेषताएं संयुग्मित अक्ष और प्रत्येक डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत हैं। | ||
हाइपरबोला पर एक बिंदु पी से लंबवत दूरी का उत्पाद या इसके संयुग्मित हाइपरबोला से [[ अनंतस्पर्शी ]] तक पी के स्थान से निरंतर स्वतंत्र है। | हाइपरबोला पर एक बिंदु पी से लंबवत दूरी का उत्पाद या इसके संयुग्मित हाइपरबोला से[[ अनंतस्पर्शी ]] तक पी के स्थान से निरंतर स्वतंत्र है। | ||
एक अतिपरवलय | एक अतिपरवलय आयताकार अतिपरवलय में स्पर्शोन्मुख होते हैं जो एक दूसरे के लंबवत होते हैं। इसमें[[ विलक्षणता (गणित) ]] के बराबर है <math>\sqrt{2}.</math> | ||
Revision as of 17:41, 14 March 2023
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File:Perpendicular-coloured.svg
खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।[1]
| ज्यामिति |
|---|
| File:Stereographic projection in 3D.svg |
| जियोमेटर्स |
प्राथमिक ज्यामिति में, दो ज्यामितीय वस्तुएं लंबवत होती हैं यदि वे एक समकोण (90 डिग्री या π/2 रेडियन) पर प्रतिच्छेद करती हैं। लंबवतता की स्थिति को ' लंबवत प्रतीक ,का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसे दो रेखाओं (या दो रेखाखंडों), एक रेखा और एक तल के बीच और दो तलों के बीच परिभाषित किया जा सकता है।
लंबवतताओर्थोगोनालिटी की अधिक सामान्य गणितीय अवधारणा का एक विशेष उदाहरण है; लंबवतता शास्त्रीय ज्यामितीय वस्तुओं की ऑर्थोगोनलिटी है। इस प्रकार, उन्नत गणित में, लंबवत शब्द का प्रयोग कभी-कभी बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय ऑर्थोगोनैलिटी स्थितियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि सतह और उसके सामान्य (ज्यामिति) के बीच।
परिभाषाएँ
एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत कहलाती है यदि दो रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।[2] स्पष्ट रूप से, एक पहली पंक्ति दूसरी रेखा के लंबवत होती है यदि (1) दो रेखाएँ मिलती हैं; और (2) चौराहे के बिंदु पर पहली पंक्ति के एक तरफ का [[ सीधा कोण ]] दूसरी रेखा द्वारा दो सर्वांगसम (ज्यामिति) कोणों में काटा जाता है। लंबवतता को सममित दिखाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि पहली पंक्ति दूसरी पंक्ति के लंबवत है, तो दूसरी पंक्ति भी पहली पंक्ति के लंबवत है। इस कारण से, हम आदेश निर्दिष्ट किए बिना दो पंक्तियों को लंबवत (एक दूसरे के लिए) कह सकते हैं।
लंबवतता आसानी से रेखा खण्डों और रे (ज्यामिति) तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड