लम्बवत: Difference between revisions

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[[File:Perpendicular-coloured.svg|right|thumb|236px<!--(approx Sidebar/Infobox)-->|खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=114}}</ref> ]]
[[File:Perpendicular-coloured.svg|right|thumb|236px<!--(approx Sidebar/Infobox)-->|खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=114}}</ref> ]]
{{General geometry |concepts}}
{{General geometry |concepts}}
प्राथमिक [[ ज्यामिति ]] में, दो [[ ज्यामितीय वस्तु ]]एं लंबवत होती हैं यदि वे एक [[ समकोण ]] (90 डिग्री या π/2 रेडियन) पर प्रतिच्छेद करती हैं। लंबवतता की स्थिति को '[[ लंबवत प्रतीक ]]', का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसे दो रेखाओं (या दो रेखाखंडों), एक रेखा और एक तल के बीच और दो तलों के बीच परिभाषित किया जा सकता है।
प्राथमिक[[ ज्यामिति | ज्यामिति]] में, दो[[ ज्यामितीय वस्तु | ज्यामितीय वस्तुएं]] लंबवत होती हैं यदि वे एक [[ समकोण |समकोण]] (90 डिग्री या π/2 रेडियन) पर प्रतिच्छेद करती हैं। लंबवतता की स्थिति को '[[ लंबवत प्रतीक | लंबवत प्रतीक ,]]का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसे दो रेखाओं (या दो रेखाखंडों), एक रेखा और एक तल के बीच और दो तलों के बीच परिभाषित किया जा सकता है।


लंबवतता ''[[ ओर्थोगोनालिटी ]]'' की अधिक सामान्य गणितीय अवधारणा का एक विशेष उदाहरण है; लंबवतता शास्त्रीय ज्यामितीय वस्तुओं की ऑर्थोगोनलिटी है। इस प्रकार, उन्नत गणित में, लंबवत शब्द का प्रयोग कभी-कभी बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय ऑर्थोगोनैलिटी स्थितियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि सतह और उसके ''[[ सामान्य (ज्यामिति) ]]'' के बीच।
लंबवतता''[[ ओर्थोगोनालिटी ]]'' की अधिक सामान्य गणितीय अवधारणा का एक विशेष उदाहरण है; लंबवतता शास्त्रीय ज्यामितीय वस्तुओं की ऑर्थोगोनलिटी है। इस प्रकार, उन्नत गणित में, लंबवत शब्द का प्रयोग कभी-कभी बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय ऑर्थोगोनैलिटी स्थितियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि सतह और उसके ''[[ सामान्य (ज्यामिति) ]]'' के बीच।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत कहलाती है यदि दो रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=91}}</ref> स्पष्ट रूप से, एक पहली पंक्ति दूसरी रेखा के लंबवत होती है यदि (1) दो रेखाएँ मिलती हैं; और (2) चौराहे के बिंदु पर पहली पंक्ति के एक तरफ का [[ सीधा [[ कोण ]] ]] दूसरी रेखा द्वारा दो सर्वांगसम (ज्यामिति) कोणों में काटा जाता है। लंबवतता को [[ सममित ]] दिखाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि पहली पंक्ति दूसरी पंक्ति के लंबवत है, तो दूसरी पंक्ति भी पहली पंक्ति के लंबवत है। इस कारण से, हम आदेश निर्दिष्ट किए बिना दो पंक्तियों को लंबवत (एक दूसरे के लिए) कह सकते हैं।
एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत कहलाती है यदि दो रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=91}}</ref> स्पष्ट रूप से, एक पहली पंक्ति दूसरी रेखा के लंबवत होती है यदि (1) दो रेखाएँ मिलती हैं; और (2) चौराहे के बिंदु पर पहली पंक्ति के एक तरफ का [[ सीधा[[ कोण | कोण]] ]] दूसरी रेखा द्वारा दो सर्वांगसम (ज्यामिति) कोणों में काटा जाता है। लंबवतता को[[ सममित | सममित]] दिखाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि पहली पंक्ति दूसरी पंक्ति के लंबवत है, तो दूसरी पंक्ति भी पहली पंक्ति के लंबवत है। इस कारण से, हम आदेश निर्दिष्ट किए बिना दो पंक्तियों को लंबवत (एक दूसरे के लिए) कह सकते हैं।
 
लंबवतता आसानी से [[ रेखा खंड | रेखा खण्डों]] और[[ रे (ज्यामिति) | रे (ज्यामिति)]] तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड <math>\overline{AB}</math> एक रेखा खंड के लंबवत है <math>\overline{CD}</math> यदि, जब प्रत्येक को एक अनंत रेखा बनाने के लिए दोनों दिशाओं में बढ़ाया जाता है, तो ये दो परिणामी रेखाएँ ऊपर के अर्थ में लंबवत होती हैं। प्रतीकों में, <math>\overline{AB} \perp \overline{CD}</math> अर्थात रेखाखंड ए बी, रेखाखंड सीडी पर लंबवत है।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=91}}</ref>


लंबवतता आसानी से [[ रेखा खंड ]]ों और [[ रे (ज्यामिति) ]] तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड <math>\overline{AB}</math> एक रेखा खंड के लंबवत है <math>\overline{CD}</math> यदि, जब प्रत्येक को एक अनंत रेखा बनाने के लिए दोनों दिशाओं में बढ़ाया जाता है, तो ये दो परिणामी रेखाएँ ऊपर के अर्थ में लंबवत होती हैं। प्रतीकों में, <math>\overline{AB} \perp \overline{CD}</math> अर्थात रेखाखंड AB, रेखाखंड CD पर लंबवत है।<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=91}}</ref>
एक रेखा को एक समतल (ज्यामिति) के लिए लंबवत कहा जाता है यदि यह उस समतल की प्रत्येक रेखा के लंबवत हो जिस पर यह प्रतिच्छेद करता है। यह परिभाषा रेखाओं के बीच लंबवतता की परिभाषा पर निर्भर करती है।
एक रेखा को एक समतल (ज्यामिति) के लिए लंबवत कहा जाता है यदि यह उस समतल की प्रत्येक रेखा के लंबवत हो जिस पर यह प्रतिच्छेद करता है। यह परिभाषा रेखाओं के बीच लंबवतता की परिभाषा पर निर्भर करती है।


अंतरिक्ष में दो विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि डायहेड्रल कोण जिस पर वे मिलते हैं वह एक समकोण है।
अंतरिक्ष में दो विमानों को लंबवत कहा जाता है यदि डायहेड्रल कोण जिस पर वे मिलते हैं वह एक समकोण है।


== लम्ब का पाद{{anchor|Foot}}==
== लम्ब का पाद==
पैर शब्द का प्रयोग अक्सर लंबवत के संबंध में किया जाता है। इस प्रयोग का उदाहरण शीर्ष आरेख, ऊपर, और इसके शीर्षक में दिया गया है। आरेख किसी भी अभिविन्यास में हो सकता है। जरूरी नहीं कि पैर नीचे ही हो।
पैर शब्द का प्रयोग अक्सर लंबवत के संबंध में किया जाता है। इस प्रयोग का उदाहरण शीर्ष आरेख, ऊपर, और इसके शीर्षक में दिया गया है। आरेख किसी भी अभिविन्यास में हो सकता है। जरूरी नहीं कि पैर नीचे ही हो।


अधिक सटीक, चलो {{mvar|A}} एक बिंदु हो और {{mvar|m}} एक पंक्ति। यदि {{mvar|B}} चौराहे का बिंदु है {{mvar|m}} और अद्वितीय रेखा के माध्यम से {{mvar|A}} जो के लंबवत है {{mvar|m}}, फिर {{mvar|B}} के माध्यम से इस लंब का पैर कहा जाता है {{mvar|A}}.
अधिक सटीक, बंद करें
{{clear}}
ए एक बिंदु हो और मैं एक पंक्ति। यदि बी चौक का बिंदु है मी और अनोखी रेखा के माध्यम से ए जो के चक्कर में है मी, फिर बी के माध्यम से इस लम्बे पैर को ए कहा जाता है।
 
 
== लंब का निर्माण ==
== लंब का निर्माण ==
{{multiple image
{{multiple image
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| footer =  
| footer =  
}}
}}
[[ कंपास-और-सीधा निर्माण ]] का उपयोग करके बिंदु P के माध्यम से रेखा AB पर लंबवत बनाने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें (बाएं चित्र देखें):
[[ कंपास-और-सीधा निर्माण |कंपास-और-सीधा निर्माण]] का उपयोग करके पॉइंट पी के माध्यम से लाइन ए बी पर मार्कअप बनाने के लिए, संलग्न आगे बढ़ें (बाएं चित्र देखें):


* चरण 1 (लाल): रेखा AB पर बिंदु A' और B' बनाने के लिए P पर केंद्र के साथ एक वृत्त की रचना करें, जो P से [[ समान दूरी ]] पर हैं।
* चरण 1 (लाल): रेखा ए बी पर बिंदु ए' और बी' बनाने के लिए पी पर केंद्र के साथ एक वृत्त की रचना करें, जो पी से दूरी पर हैं।
* चरण 2 (हरा): समान त्रिज्या वाले A' और B' पर केंद्रित वृत्त बनाएं। माना Q और P इन दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
* चरण 2 (हरा): समान त्रिज्या वाले ए' और बी' पर केंद्रित वृत्त बनाएं। माना क्यू और पी ये दो वृतांत के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
* चरण 3 (नीला): वांछित लंबवत PQ बनाने के लिए Q और P को कनेक्ट करें।
* चरण 3 (नीला): सदस्यता पी क्यू बनाने के लिए क्यू और कनेक्ट करें।


यह सिद्ध करने के लिए कि PQ AB पर लंबवत है, सर्वांगसमता (ज्यामिति)#QPA' और QPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण OPA' और OPB' बराबर हैं। फिर सर्वांगसमता (ज्यामिति)#त्रिभुजों OPA' और OPB' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण POA और POB बराबर हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि पी क्यू ए बी पर लंबवत है, सर्वांगसमता (ज्यामिति) क्यूपीए' और क्यूपीबी' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण ओपीए 'और ओपीबी' बराबर हैं। फिर सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुजोंओपीए 'और ओपीबी' के लिए त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालें कि कोण पीओए और पीओबी बराबर हैं।


थेल्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखा g पर या बिंदु P से होकर लंब बनाने के लिए, दाईं ओर एनीमेशन देखें।
थेल्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखा जी पर या बिंदु पी से होकर लंब बनाने के लिए, दाईं ओर एनीमेशन देखें।


[[ पाइथागोरस प्रमेय ]] का उपयोग समकोण बनाने के तरीकों के आधार के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कड़ियों की गिनती करके, 3:4:5 के अनुपात में लंबाई के साथ श्रृंखला के तीन टुकड़े बनाए जा सकते हैं। इन्हें एक त्रिभुज बनाने के लिए बिछाया जा सकता है, जिसकी सबसे लंबी भुजा के विपरीत एक समकोण होगा। यह विधि बगीचों और खेतों को बिछाने के लिए उपयोगी है, जहां आयाम बड़े हैं, और बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है। जब भी आवश्यकता हो, जंजीरों का बार-बार उपयोग किया जा सकता है।
[[ पाइथागोरस प्रमेय ]] का उपयोग समकोण बनाने के तरीकों के आधार के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कड़ियों की गिनती करके, 3:4:5 के अनुपात में लंबाई के साथ श्रृंखला के तीन टुकड़े बनाए जा सकते हैं। इन्हें एक त्रिभुज बनाने के लिए बिछाया जा सकता है, जिसकी सबसे लंबी भुजा के विपरीत एक समकोण होगा। यह विधि बगीचों और खेतों को बिछाने के लिए उपयोगी है, जहां आयाम बड़े हैं, और बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है। जब भी आवश्यकता हो, जंजीरों का बार-बार उपयोग किया जा सकता है।

Revision as of 17:13, 14 March 2023

For other uses, see लम्बवत (disambiguation).
File:Perpendicular-coloured.svg
खंड AB खंड CD के लंबवत है क्योंकि इसके द्वारा बनाए गए दो कोण (नारंगी और नीले रंग में दर्शाए गए) प्रत्येक 90 डिग्री हैं। एक संज्ञा के रूप में लंबवत का उपयोग करके खंड एबी को ए से खंड सीडी तक लंबवत कहा जा सकता है। बिंदु B को A से खंड CD तक के लंब का पाद कहा जाता है, या बस, CD पर A का पाद कहा जाता है।[1]
ज्यामिति
File:Stereographic projection in 3D.svg
प्रोजेक्टिव ज्यामिति
शाखाएँ
  • Concepts
  • Features
आयाम* सीधे और कम्पास निर्माण
शून्य-आयामी
एक-आयामी
दो-आयामी
त्रिभुज
समानांतरोग्राम
चतुर्भुज
घेरा
तीन-आयामी
चार- / अन्य आयामी
जियोमेटर्स
नाम से
अवधि के अनुसार
bce
1-1400s
1400S -1700S
1700S -1900S
आज का दिन
  • अतीह
  • Yuumikhail लियोनिडोविच ग्रोमोव

प्राथमिक ज्यामिति में, दो ज्यामितीय वस्तुएं लंबवत होती हैं यदि वे एक समकोण (90 डिग्री या π/2 रेडियन) पर प्रतिच्छेद करती हैं। लंबवतता की स्थिति को ' लंबवत प्रतीक ,का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। इसे दो रेखाओं (या दो रेखाखंडों), एक रेखा और एक तल के बीच और दो तलों के बीच परिभाषित किया जा सकता है।

लंबवतताओर्थोगोनालिटी की अधिक सामान्य गणितीय अवधारणा का एक विशेष उदाहरण है; लंबवतता शास्त्रीय ज्यामितीय वस्तुओं की ऑर्थोगोनलिटी है। इस प्रकार, उन्नत गणित में, लंबवत शब्द का प्रयोग कभी-कभी बहुत अधिक जटिल ज्यामितीय ऑर्थोगोनैलिटी स्थितियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जैसे कि सतह और उसके सामान्य (ज्यामिति) के बीच।

परिभाषाएँ

एक रेखा दूसरी रेखा के लंबवत कहलाती है यदि दो रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।[2] स्पष्ट रूप से, एक पहली पंक्ति दूसरी रेखा के लंबवत होती है यदि (1) दो रेखाएँ मिलती हैं; और (2) चौराहे के बिंदु पर पहली पंक्ति के एक तरफ का [[ सीधा कोण ]] दूसरी रेखा द्वारा दो सर्वांगसम (ज्यामिति) कोणों में काटा जाता है। लंबवतता को सममित दिखाया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यदि पहली पंक्ति दूसरी पंक्ति के लंबवत है, तो दूसरी पंक्ति भी पहली पंक्ति के लंबवत है। इस कारण से, हम आदेश निर्दिष्ट किए बिना दो पंक्तियों को लंबवत (एक दूसरे के लिए) कह सकते हैं।

लंबवतता आसानी से रेखा खण्डों और रे (ज्यामिति) तक फैली हुई है। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड