जैक फ़ंक्शन: Difference between revisions
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{{Short description|Generalization of the Jack polynomial}} | {{Short description|Generalization of the Jack polynomial}} | ||
गणित में, जैक फलन जैक [[बहुपद]] का एक सामान्यीकरण है, जिसे [[हेनरी जैक]] ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक [[सजातीय बहुपद]], [[सममित बहुपद]] बहुपद है जो [[शूर बहुपद]] और | गणित में, जैक फलन जैक [[बहुपद]] का एक सामान्यीकरण है, जिसे [[हेनरी जैक]] ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक [[सजातीय बहुपद]], [[सममित बहुपद]] बहुपद है जो [[शूर बहुपद]] और [[आंचलिक बहुपद|क्षेत्रीय बहुपद]] का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और [[मैकडोनाल्ड बहुपद]] द्वारा सामान्यीकृत होता है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एक [[पूर्णांक विभाजन]] का <math>\kappa</math>, पैरामीटर <math>\alpha</math>, और तर्क <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math> के | एक [[पूर्णांक विभाजन]] का <math>\kappa</math>, पैरामीटर <math>\alpha</math>, और तर्क <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math> के जैक फलन <math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)</math> को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है | ||
इस प्रकार है: | इस प्रकार है: | ||
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J_\mu^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_{m-1}) | J_\mu^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_{m-1}) | ||
x_m^{|\kappa /\mu|}\beta_{\kappa \mu}, </math> | x_m^{|\kappa /\mu|}\beta_{\kappa \mu}, </math> | ||
जहां योग सभी विभाजनों<math>\mu</math> | जहां योग सभी विभाजनों<math>\mu</math> पर है जैसे कि तिरछा विभाजन <math>\kappa/\mu</math> एक क्षैतिज पट्टी है, अर्थात् | ||
:<math> | :<math> | ||
\kappa_1\ge\mu_1\ge\kappa_2\ge\mu_2\ge\cdots\ge\kappa_{n-1}\ge\mu_{n-1}\ge\kappa_n | \kappa_1\ge\mu_1\ge\kappa_2\ge\mu_2\ge\cdots\ge\kappa_{n-1}\ge\mu_{n-1}\ge\kappa_n | ||
</math> (<math>\mu_n</math> शून्य | </math>(<math>\mu_n</math> शून्य होना चाहिए या अन्यथा <math>J_\mu(x_1,\ldots,x_{n-1})=0</math>) और | ||
:<math> | :<math> | ||
\beta_{\kappa\mu}=\frac{ | \beta_{\kappa\mu}=\frac{ | ||
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}, | }, | ||
</math> | </math> | ||
जहां <math>B_{\kappa\mu}^\nu(i,j)</math> बराबर <math>\kappa_j'-i+\alpha(\kappa_i-j+1)</math> है यदि | जहां <math>B_{\kappa\mu}^\nu(i,j)</math> बराबर <math>\kappa_j'-i+\alpha(\kappa_i-j+1)</math> है यदि <math>\kappa_j'=\mu_j'</math> और <math>\kappa_j'-i+1+\alpha(\kappa_i-j)</math> अन्यथा। अभिव्यक्ति <math>\kappa'</math> और <math>\mu'</math> क्रमशः <math>\kappa</math> और <math>\mu</math>, के संयुग्मित विभाजनों को संदर्भित करते हैं। अंकन <math>(i,j)\in\kappa</math> का अर्थ है कि उत्पाद को विभाजन <math>\kappa</math> के यंग आरेख में बक्सों के सभी निर्देशांकों <math>(i,j)</math> पर ले लिया गया है। | ||
=== संयोजन सूत्र === | === संयोजन सूत्र === | ||
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:<math>J_\mu^{(\alpha )} = \sum_{T} d_T(\alpha) \prod_{s \in T} x_{T(s)}</math> | :<math>J_\mu^{(\alpha )} = \sum_{T} d_T(\alpha) \prod_{s \in T} x_{T(s)}</math> | ||
:में जैक बहुपदों | :में जैक बहुपदों <math>J_\mu^{(\alpha )}</math> के लिए विशुद्ध रूप से संयोजन सूत्र दिया। | ||
आकार <math>\lambda,</math> और | आकार <math>\lambda,</math> और | ||
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:<math>d_\lambda(\alpha)(s) = \alpha(a_\lambda(s) +1) + (l_\lambda(s) + 1)</math> | :<math>d_\lambda(\alpha)(s) = \alpha(a_\lambda(s) +1) + (l_\lambda(s) + 1)</math> | ||
:के सभी स्वीकार्य तालिका पर योग लिया जाता है। | :के सभी स्वीकार्य तालिका पर योग लिया जाता है। | ||
आकार | आकार <math>\lambda</math> की एक स्वीकार्य संख्या 1,2,…,n के साथ यंग आरेख <math>\lambda</math> की पूर्ति है जैसे कि तालिका में किसी भी कक्ष(i,j) के लिए, | ||
* <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | ||
* <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | ||
तालिका T के लिए कक्ष <math>s = (i,j) \in \lambda</math> महत्वपूर्ण है यदि | तालिका T के लिए कक्ष <math>s = (i,j) \in \lambda</math> महत्वपूर्ण है यदि <math>j > 1</math> और <math>T(i,j)=T(i,j-1)</math>। | ||
यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद|मैकडोनाल्ड बहुपदों]] के लिए अधिक सामान्य संयोजी सूत्र के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है। | यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद|मैकडोनाल्ड बहुपदों]] के लिए अधिक सामान्य संयोजी सूत्र के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है। | ||
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== C सामान्यीकरण == | == C सामान्यीकरण == | ||
जैक फलन | जैक फलन आंतरिक उत्पाद के साथ सममित बहुपदों के स्थान में एक लंबकोणीय आधार बनाते हैं: | ||
:<math>\langle f,g\rangle = \int_{[0,2\pi]^n} f \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right ) \overline{g \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right )} \prod_{1\le j<k\le n} \left |e^{i\theta_j}-e^{i\theta_k} \right |^{\frac{2}{\alpha}} d\theta_1\cdots d\theta_n</math> | :<math>\langle f,g\rangle = \int_{[0,2\pi]^n} f \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right ) \overline{g \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right )} \prod_{1\le j<k\le n} \left |e^{i\theta_j}-e^{i\theta_k} \right |^{\frac{2}{\alpha}} d\theta_1\cdots d\theta_n</math> | ||
यह | यह लंबकोणीयता गुण सामान्यीकरण से अप्रभावित है। ऊपर परिभाषित सामान्यीकरण को सामान्यतः '''J''' सामान्यीकरण कहा जाता है। '''C''' सामान्यीकरण को | ||
:<math>C_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha^{|\kappa|}(|\kappa|)!}{j_\kappa} J_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n),</math> | :<math>C_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha^{|\kappa|}(|\kappa|)!}{j_\kappa} J_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n),</math> | ||
| Line 59: | Line 59: | ||
:<math>j_\kappa=\prod_{(i,j)\in \kappa} \left (\kappa_j'-i+\alpha \left (\kappa_i-j+1 \right ) \right ) \left (\kappa_j'-i+1+\alpha \left (\kappa_i-j \right ) \right ).</math> | :<math>j_\kappa=\prod_{(i,j)\in \kappa} \left (\kappa_j'-i+\alpha \left (\kappa_i-j+1 \right ) \right ) \left (\kappa_j'-i+1+\alpha \left (\kappa_i-j \right ) \right ).</math> | ||
<math>\alpha=2, C_\kappa^{(2)}(x_1,\ldots,x_n)</math> के लिए प्रायः | <math>\alpha=2, C_\kappa^{(2)}(x_1,\ldots,x_n)</math> के लिए प्रायः <math>C_\kappa(x_1,\ldots,x_n)</math> दर्शाया जाता है और इसे क्षेत्रीय बहुपद कहा जाता है। | ||
== P सामान्यीकरण == | == P सामान्यीकरण == | ||
P सामान्यीकरण पहचान <math>J_\lambda = H'_\lambda P_\lambda</math> | P सामान्यीकरण पहचान <math>J_\lambda = H'_\lambda P_\lambda</math> द्वारा दिया जाता है, जहाँ | ||
:<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | :<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | ||
जहां <math>a_\lambda</math> और <math>l_\lambda</math> क्रमशः | जहां <math>a_\lambda</math> और <math>l_\lambda</math> क्रमशः यंग तालिका को दर्शाता है। इसलिए, <math>\alpha=1, P_\lambda</math> के लिए सामान्य शूर फलन है। | ||
शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> को यंग तालिका के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यद्यपि , प्रत्येक तालिका में एक अतिरिक्त प्रभाव जोड़ने की आवश्यकता होती है जो पैरामीटर | शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> को यंग तालिका के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यद्यपि, प्रत्येक तालिका में एक अतिरिक्त प्रभाव जोड़ने की आवश्यकता होती है जो कि पैरामीटर <math>\alpha</math> पर निर्भर करता है। | ||
इस प्रकार, जैक फलन <math>P_\lambda </math> के लिए एक सूत्र{{sfn|Macdonald|1995|pp=379}} | इस प्रकार, जैक फलन <math>P_\lambda </math> के लिए एक सूत्र{{sfn|Macdonald|1995|pp=379}} | ||
:<math> P_\lambda = \sum_{T} \psi_T(\alpha) \prod_{s \in \lambda} x_{T(s)}</math> | :<math> P_\lambda = \sum_{T} \psi_T(\alpha) \prod_{s \in \lambda} x_{T(s)}</math> | ||
द्वारा दिया गया है जहां आकार | द्वारा दिया गया है जहां आकार <math>\lambda</math> के सभी तालिका पर योग लिया जाता है, और <math>T(s)</math> T के कक्ष s में प्रविष्टि को दर्शाता है। | ||
प्रभाव <math> \psi_T(\alpha) </math> को निम्नलिखित | प्रभाव <math> \psi_T(\alpha) </math> को निम्नलिखित कार्य प्रणाली में परिभाषित किया जा सकता है: आकार <math>\lambda</math> की प्रत्येक तालिका T को विभाजन | ||
:<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | :<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | ||
के अनुक्रम के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है जहाँ | के अनुक्रम के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है जहाँ <math>\nu_{i+1}/\nu_i</math> तिरछा आकार को T में सामग्री i के साथ परिभाषित करता है। तब | ||
:<math> \psi_T(\alpha) = \prod_i \psi_{\nu_{i+1}/\nu_i}(\alpha)</math> | :<math> \psi_T(\alpha) = \prod_i \psi_{\nu_{i+1}/\nu_i}(\alpha)</math> | ||
| Line 85: | Line 85: | ||
:<math>\psi_{\lambda/\mu}(\alpha) = \prod_{s \in R_{\lambda/\mu}-C_{\lambda/\mu} } \frac{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) +1)}{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) + \alpha)} \frac{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + \alpha)}{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) +1)} | :<math>\psi_{\lambda/\mu}(\alpha) = \prod_{s \in R_{\lambda/\mu}-C_{\lambda/\mu} } \frac{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) +1)}{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) + \alpha)} \frac{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + \alpha)}{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) +1)} | ||
</math> | </math> | ||
और उत्पाद मात्र | और उत्पाद मात्र <math>\lambda</math> सभी बक्सों में लिया जाता है जैसे कि s में एक ही पंक्ति में <math>\lambda/\mu</math> से एक कक्ष होता है, परन्तु एक ही स्तंभ में नहीं। | ||
== शूर बहुपद के साथ संबंध == | == शूर बहुपद के साथ संबंध == | ||
जब | जब <math>\alpha=1</math> जैक फलन शूर बहुपद | ||
:<math> | :<math> | ||
| Line 98: | Line 98: | ||
\prod_{(i,j)\in\kappa} (\kappa_i+\kappa_j'-i-j+1) | \prod_{(i,j)\in\kappa} (\kappa_i+\kappa_j'-i-j+1) | ||
</math> | </math> | ||
<math>\kappa</math>, की सभी हुक लंबाई का | <math>\kappa</math>, की सभी हुक लंबाई का गुणनफल होता है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
यदि विभाजन में चर की संख्या से अधिक भाग हैं, तो जैक | यदि विभाजन में चर की संख्या से अधिक भाग हैं, तो जैक फलन 0: | ||
:<math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)=0, \mbox{ if }\kappa_{m+1}>0 | :<math>J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m)=0, \mbox{ if }\kappa_{m+1}>0</math> | ||
:है। | |||
== आव्यूह तर्क == | |||
== | कुछ पाठों में, विशेष रूप से यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत में, लेखकों ने जैक फलन में आव्यूह तर्क का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक पाया है। संयोजन सरल है। यदि <math>X</math> आईगेनमानों <math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math> वाला एक आव्यूह है, तो, | ||
कुछ | |||
<math>x_1,x_2,\ldots,x_m</math>, | |||
:<math> | :<math> | ||
J_\kappa^{(\alpha )}(X)=J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m) | J_\kappa^{(\alpha )}(X)=J_\kappa^{(\alpha )}(x_1,x_2,\ldots,x_m) | ||
</math> | </math>। | ||
| Line 172: | Line 170: | ||
==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
* [http://www-math.mit.edu/~plamen/software Software for computing the Jack function] by Plamen Koev and Alan Edelman. | * [http://www-math.mit.edu/~plamen/software Software for computing the Jack function] by Plamen Koev and Alan Edelman. | ||
* [http://www.math.washington.edu/~dumitriu/mopspage.html MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100620202845/http://www.math.washington.edu/~dumitriu/mopspage.html |date=2010-06-20 }} | * [http://www.math.washington.edu/~dumitriu/mopspage.html MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials(symbolically)(Maple Package)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100620202845/http://www.math.washington.edu/~dumitriu/mopspage.html |date=2010-06-20 }} | ||
* [http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/sf/jack.html SAGE documentation for Jack Symmetric Functions][[Category: ऑर्थोगोनल बहुपद]] [[Category: विशेष कार्य]] [[Category: सममित कार्य]] | * [http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/sf/jack.html SAGE documentation for Jack Symmetric Functions][[Category: ऑर्थोगोनल बहुपद]] [[Category: विशेष कार्य]] [[Category: सममित कार्य]] | ||
Revision as of 11:03, 16 March 2023
गणित में, जैक फलन जैक बहुपद का एक सामान्यीकरण है, जिसे हेनरी जैक ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक सजातीय बहुपद, सममित बहुपद बहुपद है जो शूर बहुपद और क्षेत्रीय बहुपद का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और मैकडोनाल्ड बहुपद द्वारा सामान्यीकृत होता है।
परिभाषा
एक पूर्णांक विभाजन का , पैरामीटर , और तर्क के जैक फलन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है
इस प्रकार है:
- एम = 1 के लिए
- एम> 1 के लिए
जहां योग सभी विभाजनों पर है जैसे कि तिरछा विभाजन एक क्षैतिज पट्टी है, अर्थात्