जैक फ़ंक्शन: Difference between revisions
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{{Short description|Generalization of the Jack polynomial}} | {{Short description|Generalization of the Jack polynomial}} | ||
गणित में, जैक फलन जैक [[बहुपद]] का एक सामान्यीकरण है, जिसे [[हेनरी जैक]] ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक [[सजातीय बहुपद]], [[सममित बहुपद]] बहुपद है जो [[शूर बहुपद]] और [[आंचलिक बहुपद]] का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और [[मैकडोनाल्ड बहुपद]] द्वारा सामान्यीकृत होता है। | गणित में, जैक फलन जैक [[बहुपद]] का एक सामान्यीकरण है, जिसे [[हेनरी जैक]] ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक [[सजातीय बहुपद]], [[सममित बहुपद]] बहुपद है जो [[शूर बहुपद]] और [[आंचलिक बहुपद|क्षेत्रीय बहुपद]] का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और [[मैकडोनाल्ड बहुपद]] द्वारा सामान्यीकृत होता है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
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* <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i',j)</math> जब कभी भी <math>i'>i.</math> | ||
* <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | * <math>T(i,j) \neq T(i,j-1)</math> जब कभी भी <math>j>1</math> और <math>i'<i.</math> | ||
तालिका T के लिए कक्ष <math>s = (i,j) \in \lambda</math> महत्वपूर्ण है यदि <math>j > 1</math> और <math>T(i,j)=T(i,j-1)</math>। | |||
यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद|मैकडोनाल्ड बहुपदों]] के लिए अधिक सामान्य संयोजी सूत्र के एक विशेष | |||
यह परिणाम [[मैकडोनाल्ड बहुपद|मैकडोनाल्ड बहुपदों]] के लिए अधिक सामान्य संयोजी सूत्र के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है। | |||
== सी सामान्यीकरण == | == सी सामान्यीकरण == | ||
जैक | जैक फलन आंतरिक उत्पाद के साथ सममित बहुपदों के स्थान में एक लंबकोणीय आधार बनाते हैं: | ||
:<math>\langle f,g\rangle = \int_{[0,2\pi]^n} f \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right ) \overline{g \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right )} \prod_{1\le j<k\le n} \left |e^{i\theta_j}-e^{i\theta_k} \right |^{\frac{2}{\alpha}} d\theta_1\cdots d\theta_n</math> | :<math>\langle f,g\rangle = \int_{[0,2\pi]^n} f \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right ) \overline{g \left (e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n} \right )} \prod_{1\le j<k\le n} \left |e^{i\theta_j}-e^{i\theta_k} \right |^{\frac{2}{\alpha}} d\theta_1\cdots d\theta_n</math> | ||
यह | यह लंबकोणीयता गुण सामान्यीकरण से अप्रभावित है। ऊपर परिभाषित सामान्यीकरण को सामान्यतः '''J''' सामान्यीकरण कहा जाता है। '''C''' सामान्यीकरण को | ||
:<math>C_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha^{|\kappa|}(|\kappa|)!}{j_\kappa} J_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n),</math> | :<math>C_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\alpha^{|\kappa|}(|\kappa|)!}{j_\kappa} J_\kappa^{(\alpha)}(x_1,\ldots,x_n),</math> | ||
के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ | |||
:<math>j_\kappa=\prod_{(i,j)\in \kappa} \left (\kappa_j'-i+\alpha \left (\kappa_i-j+1 \right ) \right ) \left (\kappa_j'-i+1+\alpha \left (\kappa_i-j \right ) \right ).</math> | :<math>j_\kappa=\prod_{(i,j)\in \kappa} \left (\kappa_j'-i+\alpha \left (\kappa_i-j+1 \right ) \right ) \left (\kappa_j'-i+1+\alpha \left (\kappa_i-j \right ) \right ).</math> | ||
<math>\alpha=2, C_\kappa^{(2)}(x_1,\ldots,x_n)</math> के लिए प्रायः <math>C_\kappa(x_1,\ldots,x_n)</math> दर्शाया जाता है और इसे क्षेत्रीय बहुपद कहा जाता है। | |||
== | == P सामान्यीकरण == | ||
P सामान्यीकरण पहचान <math>J_\lambda = H'_\lambda P_\lambda</math> द्वारा दिया जाता है, जहाँ | |||
:<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | :<math>H'_\lambda = \prod_{s\in \lambda} (\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + 1)</math> | ||
जहां <math>a_\lambda</math> और <math>l_\lambda</math> | जहां <math>a_\lambda</math> और <math>l_\lambda</math> क्रमशः यंग तालिका को दर्शाता है। इसलिए, <math>\alpha=1, P_\lambda</math> के लिए सामान्य शूर फलन है। | ||
शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> | शूर बहुपदों के समान, <math>P_\lambda</math> को यंग तालिका के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यद्यपि , प्रत्येक तालिका में एक अतिरिक्त प्रभाव जोड़ने की आवश्यकता होती है जो पैरामीटर कि <math>\alpha</math> पर निर्भर करता है। | ||
इस प्रकार, एक सूत्र {{sfn|Macdonald|1995|pp=379}} जैक फलनके लिए <math>P_\lambda </math> द्वारा दिया गया है | इस प्रकार, एक सूत्र {{sfn|Macdonald|1995|pp=379}} जैक फलनके लिए <math>P_\lambda </math> द्वारा दिया गया है | ||
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जहां आकार की सभी तालिका पर योग लिया जाता है <math>\lambda</math>, और <math>T(s)</math> T के कक्ष s में प्रविष्टि को दर्शाता है। | जहां आकार की सभी तालिका पर योग लिया जाता है <math>\lambda</math>, और <math>T(s)</math> T के कक्ष s में प्रविष्टि को दर्शाता है। | ||
भार <math> \psi_T(\alpha) </math> निम्नलिखित फैशन में परिभाषित किया जा सकता है: आकार की प्रत्येक तालिका | भार <math> \psi_T(\alpha) </math> निम्नलिखित फैशन में परिभाषित किया जा सकता है: आकार की प्रत्येक तालिका T <math>\lambda</math> विभाजन के अनुक्रम के रूप में व्याख्या की जा सकती है | ||
:<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | :<math> \emptyset = \nu_1 \to \nu_2 \to \dots \to \nu_n = \lambda</math> | ||
जहां <math>\nu_{i+1}/\nu_i</math> | जहां <math>\nu_{i+1}/\nu_i</math> T में सामग्री i के साथ तिरछा आकार परिभाषित करता है। फिर | ||
:<math> \psi_T(\alpha) = \prod_i \psi_{\nu_{i+1}/\nu_i}(\alpha)</math> | :<math> \psi_T(\alpha) = \prod_i \psi_{\nu_{i+1}/\nu_i}(\alpha)</math> | ||
जहाँ | |||
:<math>\psi_{\lambda/\mu}(\alpha) = \prod_{s \in R_{\lambda/\mu}-C_{\lambda/\mu} } \frac{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) +1)}{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) + \alpha)} \frac{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + \alpha)}{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) +1)} | :<math>\psi_{\lambda/\mu}(\alpha) = \prod_{s \in R_{\lambda/\mu}-C_{\lambda/\mu} } \frac{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) +1)}{(\alpha a_\mu(s) + l_\mu(s) + \alpha)} \frac{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) + \alpha)}{(\alpha a_\lambda(s) + l_\lambda(s) +1)} | ||
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J^{(1)}_\kappa(x_1,x_2,\ldots,x_n) = H_\kappa s_\kappa(x_1,x_2,\ldots,x_n), | J^{(1)}_\kappa(x_1,x_2,\ldots,x_n) = H_\kappa s_\kappa(x_1,x_2,\ldots,x_n), | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ | |||
:<math> | :<math> | ||
H_\kappa=\prod_{(i,j)\in\kappa} h_\kappa(i,j)= | H_\kappa=\prod_{(i,j)\in\kappa} h_\kappa(i,j)= | ||
Revision as of 10:32, 16 March 2023
गणित में, जैक फलन जैक बहुपद का एक सामान्यीकरण है, जिसे हेनरी जैक ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक सजातीय बहुपद, सममित बहुपद बहुपद है जो शूर बहुपद और क्षेत्रीय बहुपद का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और मैकडोनाल्ड बहुपद द्वारा सामान्यीकृत होता है।
परिभाषा
एक पूर्णांक विभाजन का , पैरामीटर , और तर्क के जैक फलन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है
इस प्रकार है:
- एम = 1 के लिए
- एम> 1 के लिए
जहां योग सभी विभाजनों पर है जैसे कि तिरछा विभाजन एक क्षैतिज पट्टी है, अर्थात्
- ( शून्य होना चाहिए या अन्यथा ) और