मार्कोव संख्या: Difference between revisions

Revision as of 05:26, 11 March 2023

मार्कोव संख्या ट्री का पहला स्तर

मार्कोव संख्या या मार्कऑफ़ संख्या एक धनात्मक पूर्णांक x, y या z है जो एंड्री मार्कोव (1879, 1880) द्वारा अध्ययन किए गए मार्कोव डायोफैंटाइन समीकरण $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz\,$ के समाधान का भाग है

पहले कुछ मार्कोव संख्या दी गई हैं

1 (संख्या), 2 (संख्या), 5 (संख्या), 13 (संख्या), 29 (संख्या), 34 (संख्या), 89 (संख्या), 169 (संख्या), 194 (संख्या), 233 (संख्या) , 433, 610, 985, 1325, ... (sequence A002559 in the OEIS)

मार्कोव त्रिक के निर्देशांक के रूप में दिखाई दे रहे हैं

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), ( 1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325),...

अनंत रूप से कई मार्कोव संख्याएँ और मार्कोव त्रिक हैं।

मार्कोव ट्री

पुराने मार्कोव ट्रिपल (x, y, z) से नया मार्कोव ट्रिपल प्राप्त करने के दो सरल तरीके हैं। सबसे पहले, कोई 3 संख्याओं x,y,z को क्रमचयित कर सकता है, इसलिए विशेष रूप से कोई त्रिगुणों को सामान्य कर सकता है ताकि x ≤ y ≤ z। दूसरा, अगर (x, y, z) एक मार्कोव ट्रिपल है तो कूदने की जगह द्वारा ऐसा होता है (x, y, 3xy − z)। इस ऑपरेशन को दो बार लागू करने से वही ट्रिपल एक के साथ शुरू होता है। प्रत्येक सामान्यीकृत मार्कोव ट्रिपल को 1, 2, या 3 सामान्यीकृत ट्रिपल में शामिल करने से कोई भी इससे प्राप्त कर सकता है, जो चित्र में (1,1,1) से शुरू होने वाला ग्राफ देता है। यह ग्राफ कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) है; दूसरे शब्दों में प्रत्येक मार्कोव ट्रिपल से जोड़ा जा सकता है (1,1,1) इन परिचालनों के अनुक्रम द्वारा।^[1] अगर हम उदाहरण के तौर पर शुरू करते हैं (1, 5, 13) हमें इसके तीन पड़ोस मिलते हैं (ग्राफ़ सिद्धांत) (5, 13, 194), (1, 13, 34) और (1, 2, 5) मार्कोव ट्री में यदि z क्रमशः 1, 5 और 13 पर सेट है। उदाहरण के लिए, से शुरू करना (1, 1, 2) और ट्रांस्फ़ॉर्म के प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले y और z का व्यापार फाइबोनैचि संख्याओं के साथ मार्कोव ट्रिपल को सूचीबद्ध करता है। उसी ट्रिपलेट से शुरू करना और प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले x और z का व्यापार करना पेल संख्याों के साथ ट्रिपल देता है।

2 के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ समता (गणित) -अनुक्रमित पेल संख्याएँ हैं (या संख्याएँ n जैसे कि 2n² − 1 वर्ग संख्या है, OEIS: A001653), और 1 के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ विषम-अनुक्रमित फाइबोनैचि संख्याएँ हैं (OEIS: A001519). इस प्रकार, रूप के अनंत रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं

(1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,

जहां एफ_k kth फाइबोनैचि संख्या है। इसी तरह, रूप के अनंत रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं

(2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,

जहां पी_k kth पेल संख्या है।^[2]

== सबूत है कि यह सभी संभव ट्रिपल == उत्पन्न करता है

किसी हल (x, y, z) से प्रारंभ करें, और मान लें कि तीनों भिन्न हैं। अब द्विघात फलन पर विचार करें

f(t)=t^{2}-t(3xy)+(x^{2}+y^{2})

ध्यान दें कि z किसी बहुपद का एक मूल है। वीटा के कूदने से, दूसरा मूल z' z + z' = 3xy और zz' = x को संतुष्ट करता है² + वाई^{&हेयरस्प;2</सुप>. इस प्रकार चूँकि z धनात्मक है, z' भी धनात्मक है, हम देखते हैं कि z' = 3xy - z एक अन्य हल देता है।}

अब, WLOG, x > y मान लें, फिर लें

f(x)=2x^{2}+y^{2}-3x^{2}y=x^{2}(2-3y)+y^{2}

चूँकि y > 0, 2 − 3y ≤ −1, इसलिए f(x) < 0. चूँकि f(t) ऊपर की ओर उन्मुख परवलय है, इसका अर्थ है min(z, z′ ) < x < max(z, z' )।

इसका मतलब है कि हम तीन नए समाधान बना सकते हैं: (x, y, 3xy − z), (x, 3xz − y, z), और (3yz − x, y, z) और ये अलग हैं। उपरोक्त हमारी गणना से, तीन नए समाधानों में से एक में (x, y, z) (और अन्य दो बड़े) की तुलना में एक छोटा अधिकतम तत्व होगा।

इस प्रकार हम इस तरह से आगे बढ़ते हैं, हर बार अधिकतम तत्व को कम करते हैं (जो वीटा जंपिंग का सार है)। चूँकि हम केवल सकारात्मक पूर्णांकों के साथ काम कर रहे हैं, हमें अंततः रुकना चाहिए, जिसका अर्थ है कि हम ऐसे समाधान तक पहुँचते हैं जिसमें सभी तत्व अलग-अलग नहीं हैं।

इस तरह के समाधान पर विचार करना हमारे लिए बाकी है। WLOG मान लें x = y, फिर 2x² + के साथ² = 3x^{2</सुप>ज़. इस प्रकार एक्स² | साथ² और x | z, इसलिए z = ax लिखिए। तो हम प्राप्त करते हैं}

2x^{2}+a^{2}x^{2}=3ax^{3}\implies 2+a^{2}=3ax\implies 2=a(3x-a)

तो हम देखते हैं a|2 इसलिए a = 1 या 2. अगर a = 1 तो हमें (1, 1, 1) मिलता है और अगर a = 2 तो हमें (1, 1, 2) मिलता है। और (1, 1, 2) से हम (x, y, 3xy - z) लेकर (1, 1, 1) प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार हम देखते हैं कि स्वैच्छिक समाधान से शुरू करके हम अंततः (1, 1, 1) पर आते हैं, और इसलिए ये सभी समाधान हैं।

अन्य गुण

दो सबसे छोटे एकवचन त्रिक (1, 1, 1) और (1, 1, 2) के अलावा, प्रत्येक मार्कोव त्रिक में तीन भिन्न पूर्णांक होते हैं।^[3] एकता अनुमान बताता है कि किसी दिए गए मार्कोव संख्या सी के लिए, सी के सबसे बड़े तत्व के रूप में सामान्यीकृत समाधान है: इस अनुमान के गणितीय प्रमाण का दावा किया गया है लेकिन कोई भी सही नहीं लगता है।^[4] विषम मार्कोव संख्याएँ 4 के गुणकों से 1 अधिक हैं, जबकि समता (गणित) मार्कोव संख्याएँ 32 के गुणकों से 2 अधिक हैं।^[5] अपने 1982 के पेपर में, डॉन ज़गियर ने अनुमान लगाया कि nवें मार्कोव संख्या विषम रूप से दी गई है

m_{n} = \frac{1}{3} e^{C \sqrt{n} + o (1)} with C =

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{distinguish|मार्कोव स्थिरांक|मार्कोव प्रमेय}}[[Image:MarkoffNumberTree.png|thumb|450px|मार्कोव नंबर ट्री का पहला स्तर]]मार्कोव संख्या या मार्कऑफ़ संख्या एक धनात्मक [[पूर्णांक]] ''x'', ''y'' या ''z'' है जो मार्कोव [[डायोफैंटाइन समीकरण]] के समाधान का हिस्सा है
+{{distinguish|मार्कोव स्थिरांक|मार्कोव प्रमेय}}[[Image:MarkoffNumberTree.png|thumb|450px|मार्कोव संख्या ट्री का पहला स्तर]]मार्कोव संख्या या मार्कऑफ़ संख्या एक धनात्मक [[पूर्णांक]] ''x'', ''y'' या ''z'' है जो {{harvs|txt|authorlink=एंड्री मार्कोव|first=एंड्री|last=मार्कोव|year1=1879|year2=1880}} द्वारा अध्ययन किए गए मार्कोव [[डायोफैंटाइन समीकरण]]  <math>x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz\,</math> के समाधान का भाग है
-:<math>x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz,\,</math>
+पहले कुछ मार्कोव संख्या दी गई हैं
-द्वारा अध्ययन किया गया {{harvs|txt|authorlink=एंड्री मार्कोव|first=एंड्री|last=मार्कोव|year1=1879|year2=1880}}.
-पहले कुछ मार्कोव नंबर हैं
 :[[1 (संख्या)]], [[2 (संख्या)]], [[5 (संख्या)]], [[13 (संख्या)]], [[29 (संख्या)]], [[34 (संख्या)]], [[89 (संख्या)]], [[169 (संख्या)]], [[194 (संख्या)]], [[233 (संख्या)]] , 433, 610, 985, 1325, ... {{OEIS|id=A002559}}
-मार्कोव ट्रिपल्स के निर्देशांक के रूप में दिखाई दे रहे हैं
+मार्कोव त्रिक के निर्देशांक के रूप में दिखाई दे रहे हैं
-:(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), ( 1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325), ...
+:(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), ( 1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169, 985), (13, 34, 1325),...
-असीम रूप से कई मार्कोव संख्याएँ और मार्कोव त्रिक हैं।
+अनंत रूप से कई मार्कोव संख्याएँ और मार्कोव त्रिक हैं।
 == मार्कोव ट्री ==
-पुराने मार्कोव ट्रिपल (x, y, z) से नया मार्कोव ट्रिपल प्राप्त करने के दो सरल तरीके हैं। सबसे पहले, कोई 3 संख्याओं x,y,z को क्रमचयित कर सकता है, इसलिए विशेष रूप से कोई त्रिगुणों को सामान्य कर सकता है ताकि x ≤ y ≤ z। दूसरा, अगर (x, y, z) एक मार्कोव ट्रिपल है तो [[कूदने की जगह]] द्वारा ऐसा होता है (x, y, 3xy − z)। इस ऑपरेशन को दो बार लागू करने से वही ट्रिपल एक के साथ शुरू होता है। प्रत्येक सामान्यीकृत मार्कोव ट्रिपल को 1, 2, या 3 सामान्यीकृत ट्रिपल में शामिल करने से कोई भी इससे प्राप्त कर सकता है, जो चित्र में (1,1,1) से शुरू होने वाला ग्राफ देता है। यह ग्राफ [[ कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) |कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत)]] है; दूसरे शब्दों में प्रत्येक मार्कोव ट्रिपल से जोड़ा जा सकता है {{nowrap|(1,1,1)}} इन परिचालनों के अनुक्रम द्वारा।<ref>Cassels (1957) p.28</ref> अगर हम उदाहरण के तौर पर शुरू करते हैं {{nowrap|(1, 5, 13)}} हमें इसके तीन पड़ोस मिलते हैं (ग्राफ़ सिद्धांत) {{nowrap|(5, 13, 194)}}, {{nowrap|(1, 13, 34)}} और {{nowrap|(1, 2, 5)}} मार्कोव ट्री में यदि z क्रमशः 1, 5 और 13 पर सेट है। उदाहरण के लिए, से शुरू करना {{nowrap|(1, 1, 2)}} और ट्रांस्फ़ॉर्म के प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले y और z का व्यापार [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं के साथ मार्कोव ट्रिपल को सूचीबद्ध करता है। उसी ट्रिपलेट से शुरू करना और प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले x और z का व्यापार करना [[पेल नंबर]]ों के साथ ट्रिपल देता है।
+पुराने मार्कोव ट्रिपल (x, y, z) से नया मार्कोव ट्रिपल प्राप्त करने के दो सरल तरीके हैं। सबसे पहले, कोई 3 संख्याओं x,y,z को क्रमचयित कर सकता है, इसलिए विशेष रूप से कोई त्रिगुणों को सामान्य कर सकता है ताकि x ≤ y ≤ z। दूसरा, अगर (x, y, z) एक मार्कोव ट्रिपल है तो [[कूदने की जगह]] द्वारा ऐसा होता है (x, y, 3xy − z)। इस ऑपरेशन को दो बार लागू करने से वही ट्रिपल एक के साथ शुरू होता है। प्रत्येक सामान्यीकृत मार्कोव ट्रिपल को 1, 2, या 3 सामान्यीकृत ट्रिपल में शामिल करने से कोई भी इससे प्राप्त कर सकता है, जो चित्र में (1,1,1) से शुरू होने वाला ग्राफ देता है। यह ग्राफ [[ कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) |कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत)]] है; दूसरे शब्दों में प्रत्येक मार्कोव ट्रिपल से जोड़ा जा सकता है {{nowrap|(1,1,1)}} इन परिचालनों के अनुक्रम द्वारा।<ref>Cassels (1957) p.28</ref> अगर हम उदाहरण के तौर पर शुरू करते हैं {{nowrap|(1, 5, 13)}} हमें इसके तीन पड़ोस मिलते हैं (ग्राफ़ सिद्धांत) {{nowrap|(5, 13, 194)}}, {{nowrap|(1, 13, 34)}} और {{nowrap|(1, 2, 5)}} मार्कोव ट्री में यदि z क्रमशः 1, 5 और 13 पर सेट है। उदाहरण के लिए, से शुरू करना {{nowrap|(1, 1, 2)}} और ट्रांस्फ़ॉर्म के प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले y और z का व्यापार [[फाइबोनैचि संख्या]]ओं के साथ मार्कोव ट्रिपल को सूचीबद्ध करता है। उसी ट्रिपलेट से शुरू करना और प्रत्येक पुनरावृत्ति से पहले x और z का व्यापार करना [[पेल नंबर|पेल संख्या]]ों के साथ ट्रिपल देता है।
-के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ [[समता (गणित)]] -अनुक्रमित पेल संख्याएँ हैं (या संख्याएँ n जैसे कि 2n<sup>2</sup> − 1 [[वर्ग संख्या]] है, {{OEIS2C|id=A001653}}), और 1 के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ विषम-अनुक्रमित फाइबोनैचि संख्याएँ हैं ({{OEIS2C|id=A001519}}). इस प्रकार, रूप के असीम रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं
+के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ [[समता (गणित)]] -अनुक्रमित पेल संख्याएँ हैं (या संख्याएँ n जैसे कि 2n<sup>2</sup> − 1 [[वर्ग संख्या]] है, {{OEIS2C|id=A001653}}), और 1 के क्षेत्र से सटे क्षेत्रों पर सभी मार्कोव संख्याएँ विषम-अनुक्रमित फाइबोनैचि संख्याएँ हैं ({{OEIS2C|id=A001519}}). इस प्रकार, रूप के अनंत रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं
 :<math>(1, F_{2n-1}, F_{2n+1}),\,</math>
-जहां एफ<sub>''k''</sub> kth फाइबोनैचि संख्या है। इसी तरह, रूप के असीम रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं
+जहां एफ<sub>''k''</sub> kth फाइबोनैचि संख्या है। इसी तरह, रूप के अनंत रूप से कई मार्कोव त्रिक हैं
 :<math>(2, P_{2n-1}, P_{2n+1}),\,</math>
-जहां पी<sub>''k''</sub> kth पेल नंबर है।<ref>{{OEIS2C|id=A030452}} lists Markov numbers that appear in solutions where one of the other two terms is&nbsp;5.</ref>
+जहां पी<sub>''k''</sub> kth पेल संख्या है।<ref>{{OEIS2C|id=A030452}} lists Markov numbers that appear in solutions where one of the other two terms is&nbsp;5.</ref>
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 == अन्य गुण ==
 दो सबसे छोटे एकवचन त्रिक (1, 1, 1) और (1, 1, 2) के अलावा, प्रत्येक मार्कोव त्रिक में तीन भिन्न पूर्णांक होते हैं।<ref>Cassels (1957) p.27</ref>
-एकता [[अनुमान]] बताता है कि किसी दिए गए मार्कोव नंबर सी के लिए, सी के सबसे बड़े तत्व के रूप में सामान्यीकृत समाधान है: इस अनुमान के [[गणितीय प्रमाण]] का दावा किया गया है लेकिन कोई भी सही नहीं लगता है।<ref>Guy (2004) p.263</ref>
+एकता [[अनुमान]] बताता है कि किसी दिए गए मार्कोव संख्या सी के लिए, सी के सबसे बड़े तत्व के रूप में सामान्यीकृत समाधान है: इस अनुमान के [[गणितीय प्रमाण]] का दावा किया गया है लेकिन कोई भी सही नहीं लगता है।<ref>Guy (2004) p.263</ref>
 विषम मार्कोव संख्याएँ 4 के गुणकों से 1 अधिक हैं, जबकि समता (गणित) मार्कोव संख्याएँ 32 के गुणकों से 2 अधिक हैं।<ref>{{cite journal
   | last = Zhang

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