समूह वलय

बीजगणित में वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। यह नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि पर वलय होता है और इसके आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट होता है। जो वलय योग के नियम का मॉडुलेटर है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। औपचारिक रूप का वह समूह जो वलय के प्रत्येक तत्व में दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यहां वलय क्रमविनिमेय है जिसे वलय का बीजगणित भी कहा जाता है समूह वलय की संरचना बीजगणित पर आधारित होती है बीजगणित हॉफ बीजगणित की एक संरचना होती है जिसे समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।

समूह के छल्ले का प्रयोग समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में किया जाता है।

परिभाषा

जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जा जाता है। तथा आर समूह व जी वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है। एफ जी तथा आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है जहाँ (जी) बहुत से तत्वों को शून्य लिखा जाता है तथा‌ आर स्केेैलर व एल्फा मैपिंग के रूप में परिभाषित किया जाता है एक्स एल्फा तथा एफ -एक्स कार्यरत है एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार हैं-$x\mapsto f(x)+g(x)$. योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

$x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).$

यहाँ एफ और जी परिमित हैं और वलय को आसानी से सत्यापित करता सकता है।

जो इस प्रकार है जैसे एफ:जी -आर तथा जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिख सकते हैं।

यदि वलय आर एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

उदाहरण

1. माना जी एक क्रमांक तथा चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व सी, तथा जी तत्व को आर के रूप में लिखा जा सकता है ।

$r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,$

जहां कठिन संख्यायें जेड₀ साथ₁ और जेड₂ सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि $a^{3}=a^{0}=1$ जो जी वलय सी के लिए समरूपी है।

तत्व एस के रूप में उनका योग$s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}$

$r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,$

और उनका उत्पाद इस प्रकार है-

$rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.$

तत्व 1जी का गुणांक वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 हैं जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। जिसका योज्य पहचान तत्व शून्य है।

जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए।

2.उदाहरण एक वलय आर लॉरेंट बहुपद का है ये आर पर अनंत चक्रीय समूह जेड के वलय से ज्यादा या कम नहीं है।

3. क्यू तत्वों का चतुष्कोणीय समूह इस प्रकार है -$\{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}$ जहाँ आर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो समूह वलय का तत्व है।

$x_1\cdot <!--\; \cdot \; -->e+x_2\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{e}+x_3\cdot <!--\; \cdot \; -->i+x_4\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{i}+x_5\cdot <!--\; \cdot \; -->j+x_6\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{j}+$