समूह वलय: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 122: | Line 122: | ||
=== नियमित प्रतिनिधित्व === | === नियमित प्रतिनिधित्व === | ||
{{Main|Regular representation}} | {{Main|Regular representation}} | ||
समूह बीजगणित | समूह बीजगणित आर और आर,जी मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का [[नियमित प्रतिनिधित्व]] करता है। | ||
एक प्रतिनिधित्व के रूप में लिखा यह प्रतिनिधित्व जी है | एक प्रतिनिधित्व के रूप में ये लिखा गया कि यह प्रतिनिधित्व जी है जो इस प्रकार है <math>\rho(g)\cdot e_h = e_{gh}</math>, या | ||
:<math>\rho(g)\cdot r = \sum_{h\in G} k_h \rho(g)\cdot e_h = \sum_{h\in G} k_h e_{gh}. </math> | :<math>\rho(g)\cdot r = \sum_{h\in G} k_h \rho(g)\cdot e_h = \sum_{h\in G} k_h e_{gh}. </math> | ||
| Line 130: | Line 130: | ||
=== अर्ध-सरल अपघटन === | === अर्ध-सरल अपघटन === | ||
सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। क्षेत्र के को आमतौर पर जटिल संख्या सी या वास्तविक आर के रूप में | सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को आमतौर पर जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके। | ||
समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम | समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम मास्चके प्रमेय, हमें 'सी', जी को 'सी' में अनुरेखण के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यवेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो [[समूह समरूपता]] के अनुरूप है। <math>\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)</math> और बीजगणित समरूपता के लिए <math>\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)</math> इन मानचित्रणों को जोड़ने से बीजगणित समरूपता प्राप्त होती है | ||
:<math>\tilde\rho : \mathbb{C}[G] \to \bigoplus_{k=1}^m \mathrm{End}(V_k) | :<math>\tilde\rho : \mathbb{C}[G] \to \bigoplus_{k=1}^m \mathrm{End}(V_k) | ||
\cong \bigoplus_{k=1}^m M_{d_k}(\mathbb{C}), </math> | \cong \bigoplus_{k=1}^m M_{d_k}(\mathbb{C}), </math> | ||
जहां वी का आयाम के है सी (जी) का एल्जेब्रा ईएनडी वी के विचार | जहां वी का आयाम के है सी (जी) का एल्जेब्रा ईएनडी वी के विचार से वलय परिभाषित हैं | | ||
:<math>\epsilon_k = \frac{d_k}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_k(g^{-1})\,g, </math> | :<math>\epsilon_k = \frac{d_k}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_k(g^{-1})\,g, </math> | ||
जहाँ <math>\chi_k(g)=\mathrm{tr}\,\rho_k(g) </math> वी का [[चरित्र सिद्धांत]] है के ये ट्रोगोनल इडेम्पोटेंट्स की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं, जिससे <math>\epsilon_k^2 =\epsilon_k </math>, <math>\epsilon_j \epsilon_k = 0 </math> <math>1 = \epsilon_1+\cdots+\epsilon_m </math>. समरूपता <math>\tilde\rho</math> परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण से निकटता से संबंधित है। | जहाँ <math>\chi_k(g)=\mathrm{tr}\,\rho_k(g) </math> वी का [[चरित्र सिद्धांत]] है के ये ट्रोगोनल इडेम्पोटेंट्स की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं, जिससे <math>\epsilon_k^2 =\epsilon_k </math>, <math>\epsilon_j \epsilon_k = 0 </math> <math>1 = \epsilon_1+\cdots+\epsilon_m </math>. समरूपता <math>\tilde\rho</math> परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण से निकटता से संबंधित है। | ||
अधिक सामान्य क्षेत्र 'के' के लिए जब भी के की [[विशेषता (बीजगणित)]] समूह | अधिक सामान्य क्षेत्र 'के' के लिए जब भी 'के' की [[विशेषता (बीजगणित)]] समूह जी के क्रम को विभाजित नहीं करती है तब के, जी अर्धसरल होता है। जब जी एक परिमित एबेलियन समूह किसी वलय के (जी) क्रमविनिमेय रूप में होता है तो इसकी संरचना को [[एकता की जड़]] के रूप में व्यक्त करना आसान होता है। | ||
जब के विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है | जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य [[जैकबसन कट्टरपंथी]] होता है जो यह [[मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है। | ||
=== एक समूह बीजगणित का केंद्र === | === एक समूह बीजगणित का केंद्र === | ||
समूह बीजगणित | समूह बीजगणित [[एक समूह का केंद्र]] है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं। | ||
:<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math> | :<math>\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.</math> | ||
केंद्र वर्ग कार्यों के समुच्चय के बराबर है अर्थात उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं। | केंद्र वर्ग कार्यों के समुच्चय के बराबर है अर्थात उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं। | ||
:<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g : \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math> | :<math>\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g : \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.</math> | ||
यदि के बराबर सी जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड के जी का एक असामान्य आधार है। | |||
:<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math> | :<math>\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.</math> | ||
समूह एक अनंत समूह पर बनता है उस जगहों में बहुत कम जाना जाता है | समूह एक अनंत समूह पर बनता है जो उस जगहों में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है।<ref>{{cite journal|author=Passman, Donald S.|author-link=Donald S. Passman|title=What is a group ring?|journal=Amer. Math. Monthly|volume=83|year=1976|pages=173–185|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/what-is-a-group-ring|doi=10.2307/2977018}}</ref> तथा आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है जहाँ सबसे अच्छा अध्ययन किया गया है। इन जगहों में, [[इरविंग कपलान्स्की]] ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं {{nowrap|1=''ab'' = 1}}, तब {{nowrap|1=''ba'' = 1}} आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है। | ||
कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है। | कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-[[मुक्त समूह]] है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है। | ||
जबकि स्थिति यह है कि के एक क्षेत्र है जिसे किसी भी वलय में शिथिल किया जा सकता है जिसे एक [[अभिन्न डोमेन]] में | जबकि स्थिति यह है कि के एक क्षेत्र है जिसे किसी भी वलय में शिथिल किया जा सकता है जिसे एक [[अभिन्न डोमेन]] में करने के लिए किया जा सकता है । | ||
जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक | जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है। | ||
* | * अनोखा उत्पाद समूह (उदाहरण के लिए ऑर्डर करने योग्य समूह, विशेष रूप से निःशुल्क समूह) | ||
* प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]]) | * प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे [[वस्तुतः एबेलियन समूह]]) | ||
* विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की एक दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह हैं। | * विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की एक दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह हैं। | ||
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के लेख समूह बीजगणित में अधिक | स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के लेख समूह बीजगणित में अधिक विस्तार हैं। | ||
== श्रेणी सिद्धांत == | == श्रेणी सिद्धांत == | ||
=== | === संलग्नक === | ||
[[श्रेणी सिद्धांत]] समूह वलय निर्माण इकाइयों के समूह से जुड़ा हुआ है निम्नलिखित कारक एक सहायक कारक | [[श्रेणी सिद्धांत]] समूह वलय निर्माण इकाइयों के समूह से जुड़ा हुआ है निम्नलिखित कारक एक सहायक कारक है। | ||
:<math>R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}</math> | :<math>R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}</math> | ||
:<math>(-)^\times\colon R\mathbf{\text{-}Alg} \to \mathbf{Grp}</math> | :<math>(-)^\times\colon R\mathbf{\text{-}Alg} \to \mathbf{Grp}</math> | ||
जहाँ<math>R[-]</math> एक समूह | जहाँ<math>R[-]</math> एक समूह उसके समूह वलय में ले जाता है और <math>(-)^\times</math> इकाइयों के अपने समूह के लिए एक आर-बीजगणित में होता है। | ||
जहाँ {{nowrap|1=''R'' = '''Z'''}}यह [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाती है जिसमें | जहाँ {{nowrap|1=''R'' = '''Z'''}}यह [[समूहों की श्रेणी]] और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाती है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं {{nowrap|1=''G'' × {±1} = {±''g''}.}}जबकि समूह के छल्ले में भी सत्वरहित इकाइयां होती हैं। यदि जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि <math>a^n=1</math> और बी सामान्य नहीं है । | ||
:<math>x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )</math> | :<math>x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )</math> | ||
इसलिए <math>(1+x)(1-x)=1</math>. तत्व {{nowrap|1 + ''x''}} अनंत क्रम की एक इकाई है। | |||
=== सार्वभौमिक संपत्ति === | === सार्वभौमिक संपत्ति === | ||
Revision as of 08:59, 18 February 2023
बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय दिया गया है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह का वलय जो प्रत्येक तत्व के दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।
यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक संरचना होती है जिसे एक समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।
समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।
परिभाषा
जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है। एफ जी,आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है (जी) तथा यह बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केेैलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केैलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है एक्स एल्फा, एफ -एक्स कार्यरत है एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है . योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
यहाँ एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।
जो इस प्रकार है जैसे f : G → R कभी-कभी जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।
या
[1] यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।
उदाहरण
1. माना जी एक क्रमांक 3 का चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है ।
जहां जटिल संख्यायें जेड0 साथ1 और जेड2 सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि जो जी वलय सी के लिए समरूपी है। []/
तत्व एस के रूप में उनका योग