समूह वलय: Difference between revisions
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== कुछ बुनियादी गुण == | == कुछ बुनियादी गुण == | ||
वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए | वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए एक संख्या का उपयोग करना और समूह इकाई को एक जी द्वारा निरूपित करना वलय आर जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और इसके उल्टे तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है। जो एक संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए एक जी सदिश एफ द्वारा परिभाषित करते हैं। | ||
:<math>f(g)= 1\cdot 1_G + \sum_{g\not= 1_G}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{1_G\}}(g)=\begin{cases} | :<math>f(g)= 1\cdot 1_G + \sum_{g\not= 1_G}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{1_G\}}(g)=\begin{cases} | ||
1 & g = 1_G \\ | 1 & g = 1_G \\ | ||
0 & g \ne 1_G | 0 & g \ne 1_G | ||
\end{cases},</math> | \end{cases},</math> | ||
एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर | एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर ,जी आइसोमोर्फिक में आर का एक सबरिंग है। यदि हम जी के प्रत्येक तत्व को {एस} सूचक समारोह में सही करते हैं जो एफ द्वारा परिभाषित नहीं किया गया तो- | ||
:<math>f(g)= 1\cdot s + \sum_{g\not= s}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{s\}}(g)=\begin{cases} | :<math>f(g)= 1\cdot s + \sum_{g\not= s}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{s\}}(g)=\begin{cases} | ||
1 & g = s \\ | 1 & g = s \\ | ||
0 & g \ne s | 0 & g \ne s | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं। | परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है जो आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं। | ||
यदि आर और जी दोनों | यदि आर और जी दोनों अर्थात् आर क्रमविनिमेय है और जी एक पंक्ति समूह है तो | ||
एच जी का एक [[उपसमूह]] होगा और आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह होगा इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है। | |||
यदि जी | यदि जी एक से अधिक क्रम का परिमित समूह है तो आर [जी] हमेशा शून्य विभाजक होते हैं। उदाहरण के लिए क्रम जी के तत्व जी पर विचार करें - एम > फिर एक जी एक शून्य विभाजक है। | ||
:<math> | :<math> | ||
(1 - g)(1 + g+\cdots+g^{m-1}) = 1 - g^m = 1 - 1 =0. | (1 - g)(1 + g+\cdots+g^{m-1}) = 1 - g^m = 1 - 1 =0. | ||
</math> | </math> | ||
उदाहरण के लिए समूह जेड [''एस'' पर विचार करें ] और क्रम 3 का अवयव जी= | उदाहरण के लिए समूह जेड [''एस'' पर विचार करें ] और क्रम 3 का अवयव जी=123 | ||
:<math> | :<math> | ||
(1 - (123))(1 + (123)+ (132)) = 1 - (123)^3 = 1 - 1 =0. | (1 - (123))(1 + (123)+ (132)) = 1 - (123)^3 = 1 - 1 =0. | ||
</math> | </math> | ||
एक संबंधित परिणाम यदि समूह <math> K[G] </math> प्रधान वलय है तो जी की कोई | एक संबंधित परिणाम यदि समूह <math> K[G] </math> प्रधान वलय है तो जी की कोई पहचान परिमित सामान्य उपसमूह नहीं है विशेष रूप से जी अनंत होना चाहिए। | ||
एच एक गैर-पहचान परिमित सामान्य उपसमूह है जो इस प्रकार है-<math> a = \sum_{h \in H} h </math>. तब एच बराबर एच | |||
जैसा कि हम जानते हैं कि <math> h \in H </math> इसलिए <math> a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a </math> , <math> b = |H|\,1 - a </math>, <math> ab = 0 </math> तो <math> H </math> <math> a </math> के आधार पर हम यह लिख सकते हैं। | |||
:<math> aK[G]b=K[G]ab=0 </math>. | :<math> aK[G]b=K[G]ab=0 </math>. | ||
यदि<math> a,b </math> शून्य नहीं है तो | यदि<math> a,b </math> शून्य नहीं है तो जी प्रधान नहीं है। यह मूल कथन को दर्शाता है। | ||
एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। समूह बीजगणित | एक [[परिमित समूह]] प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। समूह बीजगणित में 'जी' क्षेत्र में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि के रूप में जो क्षेत्र 'के' के ऊपर जी पर मुक्त सदिश राशि है। | ||
:<math>x=\sum_{g\in G} a_g g.</math> | :<math>x=\sum_{g\in G} a_g g.</math> | ||
एक क्षेत्र संरचना पर बीजगणित के समूह में गुणन का उपयोग करके परिभाषित किया | एक क्षेत्र संरचना पर बीजगणित के समूह में गुणन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। | ||
:<math>g \cdot h = gh,</math> | :<math>g \cdot h = gh,</math> | ||
जहां बाईं ओर जी और एच समूह बीजगणित के तत्वों को इंगित करते हैं, जबकि दाईं ओर गुणन समूह संक्रिया है । | जहां बाईं ओर जी और एच समूह बीजगणित के तत्वों को इंगित करते हैं, जबकि दाईं ओर गुणन समूह संक्रिया है । | ||
इसलिए के | इसलिए के ,जी के आधार पर सदिशों को ई के रूप में भी लिखा जा सकता है जिस स्थिति में गुणन को इस प्रकार लिख सकते हैं- | ||
:<math>e_g \cdot e_h = e_{gh}.</math> | :<math>e_g \cdot e_h = e_{gh}.</math> | ||
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जी पर के-मूल्यवान कार्यों के रूप में मुक्त वेक्टर अंतरिक्ष के बारे में सोचते हुए बीजगणित गुणन कार्यों का दृढ़ संकल्प लेते हैं। | जी पर के-मूल्यवान कार्यों के रूप में मुक्त वेक्टर अंतरिक्ष के बारे में सोचते हुए बीजगणित गुणन कार्यों का दृढ़ संकल्प लेते हैं। | ||
जबकि एक परिमित समूह कार्यों के साथ पहचाना जा सकता है एक अनंत समूह के लिए ये भिन्न होते हैं। समूह बीजगणित जिसमें परिमित योग होते हैं जो समूह के कार्यों से मेल खाता है तथा [[निश्चित रूप से]] कई बिंदुओं को गायब कर देता है | जबकि एक परिमित समूह कार्यों के साथ पहचाना जा सकता है एक अनंत समूह के लिए ये भिन्न होते हैं। समूह बीजगणित जिसमें परिमित योग होते हैं जो समूह के कार्यों से मेल खाता है तथा [[निश्चित रूप से]] कई बिंदुओं को गायब कर देता है कुछ उपयोग के रूप से ([[असतत टोपोलॉजी]] का उपयोग करके) ये [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाले कार्यों के अनुरूप कार्य करता है। | ||
जबकि समूह बीजगणित के | जबकि समूह बीजगणित में के,जी के तत्वों के स्थान {{nowrap|1=''K''<sup>''G''</sup> := Hom(''G'', ''K'')}} दोहरे हैं समूह बीजगणित का एक तत्व दिया गया है जो इस प्रकार है- | ||
:<math>x = \sum_{g\in G} a_g g</math> | :<math>x = \sum_{g\in G} a_g g</math> | ||
जबकि समूह पर एक समारोह {{nowrap|''f'' : ''G'' → ''K''}} ये इसका एक तत्व देने के लिए इस प्रकार है- | |||
:<math>(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g),</math> | :<math>(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g),</math> | ||
जो एक परिभाषित योग है क्योंकि यह परिमित है। | जो एक परिभाषित योग है क्योंकि यह परिमित है। | ||
एक समूह बीजगणित | एक समूह बीजगणित के प्रतिनिधित्व के ,जी को एक अमूर्त बीजगणित लेते हुए एक आयाम डी के 'के'-वेक्टर अंतरिक्ष वी पर कार्य करने वाले बीजगणित के समूह प्रतिनिधित्व के लिए कह सकता है। ऐसा प्रतिनिधित्व यह है | ||
:<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math> | :<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)</math> | ||
समूह बीजगणित | समूह बीजगणित में [[एंडोमोर्फिज्म]] के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो <math>\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) </math> पर समतुल्य है, यह एक मॉड्यूल (गणित) है | बाएं के,जी मॉड्यूल एबेलियन समूह वी पर स्थित है | ||
तदनुसार | तदनुसार | ||
:<math>\rho:G\rightarrow \mbox{Aut}(V),</math> | :<math>\rho:G\rightarrow \mbox{Aut}(V),</math> | ||
जी से वी के रैखिक ऑटोमोर्फिज़्म के समूह के लिए एक समूह समरूपता | जी से वी के रैखिक ऑटोमोर्फिज़्म के समूह के लिए एक समूह की समरूपता जो कि उलटा मेट्रिसेस के [[सामान्य रैखिक समूह]] के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\mathrm{Aut}(V)\cong \mathrm{GL}_d(K) </math> ऐसा कोई भी प्रतिनिधित्व बीजगणित को प्रेरित नहीं करता है। | ||
:<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End}(V),</math> | :<math>\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End}(V),</math> | ||
जब <math>\tilde{\rho}(e_g) = \rho(g)</math> रैखिक रूप से फैल रहा हो तो इस प्रकार समूह के निरूपण बिल्कुल बीजगणित के निरूपण के अनुरूप होते हैं और दो सिद्धांत अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं। | |||
=== नियमित प्रतिनिधित्व === | === नियमित प्रतिनिधित्व === | ||
Revision as of 08:23, 18 February 2023
बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय दिया गया है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह का वलय जो प्रत्येक तत्व के दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।
यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक संरचना होती है जिसे एक समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।
समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।
परिभाषा
जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है। एफ जी,आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है (जी) तथा यह बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केेैलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केैलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है एक्स एल्फा, एफ -एक्स कार्यरत है एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है . योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
यहाँ एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।
जो इस प्रकार है जैसे f : G → R कभी-कभी जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।
या
[1] यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।
उदाहरण
1. माना जी एक क्रमांक 3 का चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है ।
जहां जटिल संख्यायें जेड0 साथ1 और जेड2 सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि जो जी वलय सी के लिए समरूपी है। []/
तत्व एस के रूप में उनका योग