समूह वलय: Difference between revisions

Revision as of 07:52, 18 February 2023

बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय दिया गया है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। एक वलय के रूप में इसका योग नियम मुक्त मॉडुलेटर का है और इसका गुणन दिए गए समूह कानून के आधार पर रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह का वलय जो प्रत्येक तत्व के दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को बीजगणित भी कहा जाता है यह वास्तव में दी गई वलय की संरचना के रूप में बीजगणित पर आधारित है बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक संरचना होती है जिसे एक समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।

समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।

परिभाषा

जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है। एफ जी,आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है (जी) तथा यह बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केेैलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केैलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है एक्स एल्फा, एफ -एक्स कार्यरत है एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है $x\mapsto f(x)+g(x)$ . योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।

x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).

यहाँ एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।

जो इस प्रकार है जैसे f : G → R कभी-कभी जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।

\sum _{g\in G}f(g)g,

या

\sum _{g\in G}f_{g}g,

^[1] यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

उदाहरण

1. माना जी एक क्रमांक 3 का चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है ।

r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,

जहां जटिल संख्यायें जेड₀ साथ₁ और जेड₂ सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि $a^{3}=a^{0}=1$ जो जी वलय सी के लिए समरूपी है। [ $a$ ]/ $(a^{3}-1)$

तत्व एस के रूप में उनका योग $s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}$

r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,

और उनका उत्पाद इस प्रकार है-

r s = (z_{0} w_{0} + z_{1} w_{2} + z_{2} w_{1}) 1_{G} + (z_{0} w_{1} + z_{1} w_{0} + z_{2} w_{2}) a +

[1]

@@ Line 17: / Line 17: @@
 == उदाहरण ==
-. माना जी एक सी क्यूब क्रमांक 3 का [[चक्रीय समूह]] है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को एक तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है
+. माना जी एक क्रमांक 3 का [[चक्रीय समूह]] है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व 1 सी, जी को तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है ।
 :<math>r = z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2\,</math>
-जहां जटिल संख्यायें जेड<sub>0</sub> साथ<sub>1</sub> और जेड<sub>2</sub> सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो सी ,''जी'' रिंग सी के लिए समरूपी है। [<math>a</math>]/<math>(a^3-1)</math>
+जहां जटिल संख्यायें जेड<sub>0</sub> साथ<sub>1</sub> और जेड<sub>2</sub> सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि <math>a^3=a^0=1</math> जो ''जी'' वलय सी के लिए समरूपी है। [<math>a</math>]/<math>(a^3-1)</math>
 तत्व एस के रूप में उनका योग<math>s=w_0 1_G +w_1 a +w_2 a^2</math>
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 :<math>rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G  +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.</math>
-तत्व 1जी के गुणांक रिंग (इसमें सी) सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य हैं।
+तत्व 1जी का  गुणांक वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 है जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। योज्य पहचान तत्व शून्य हैं।
-जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है, तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए।
+जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए।
-.उदाहरण एक वलय आर [[लॉरेंट बहुपद]] का है ये आर पर [[अनंत चक्रीय समूह]] जेड के समूह वलय से ज्यादा या कम नहीं है।
+.उदाहरण एक वलय आर [[लॉरेंट बहुपद]] का है ये आर पर [[अनंत चक्रीय समूह]] जेड के वलय से ज्यादा या कम नहीं है।
-.  क्यू तत्वों का चतुष्कोणीय समूह इस प्रकार है -<math>\{e, \bar{e}, i, \bar{i}, j, \bar{j}, k, \bar{k}\}</math> जहाँ  आर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। जो समूह वलय का तत्व है।
+.  क्यू तत्वों का चतुष्कोणीय समूह इस प्रकार है -<math>\{e, \bar{e}, i, \bar{i}, j, \bar{j}, k, \bar{k}\}</math> जहाँ  आर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो समूह वलय का तत्व है।
 :<math>x_1 \cdot e + x_2 \cdot \bar{e} + x_3 \cdot i + x_4 \cdot \bar{i} + x_5 \cdot j + x_6 \cdot \bar{j} + x_7 \cdot k + x_8 \cdot \bar{k}</math>
@@ Line 45: / Line 45: @@
 &= \frac{3}{2} \cdot \bar{j} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot k
 \end{align}.</math>
-माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय में अतिरिक्त संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह की रिंग आर क्यू में <math>-1\cdot i</math> के बराबर नहीं है <math>1\cdot \bar{i}</math>. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह  आर क्यू स्थान वास्तविक सदिश स्थान आयाम 8 के रूप में रखा जाता है जबकि चतुष्कोणों के तिरछा क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम 4 है।
+माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय के अतिरिक्त अन्य संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि <math>-1 \cdot i = -i</math> जबकि समूह का वलय आर क्यू में <math>-1\cdot i</math> के बराबर नहीं है <math>1\cdot \bar{i}</math>. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर को क्यू के स्थान को वास्तविक सदिश स्थान आयाम 8 के रूप में रखा जाता है जबकि चतुष्कोणों को तिरछे क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम 4के रूप में रखा जाता है।
-. गैर-अबेलियन समूह वलय का एक और उदाहरण जेड एस 3 जहाँ जेड3 अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास <math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> ट्रांसपोज़िशन-एक क्रम है जो केवल 1 और 2 को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित रिंग एक अभिन्न डोमेन होने पर भी समूह रिंग को एक अभिन्न डोमेन नहीं होना चाहिए।
+. गैर-अबेलियन समूह वलय का उदाहरण है जहाँ जेड तीन अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास <math>[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0</math> ये तत्व <math>(12)\in \mathbb{S}_3</math> टॉंर्सपोजीशियन के क्रम हैं जो केवल 1 और 2 को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित वलय एक अभिन्न डोमेन पर  नहीं होना चाहिए।
 == कुछ बुनियादी गुण ==

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