वलय सिद्धांत: Difference between revisions
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Revision as of 10:15, 7 March 2023
| Algebraic structures |
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| Algebraic structure → Ring theory Ring theory |
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Rings
Related structures
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Commutative rings
p-adic number theory and decimals
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बीजगणित में, वलय सिद्धांत वलयों (गणित) का अध्ययन है[1]—बीजगणितीय संरचनाएं जिनमें जोड़ और गुणन परिभाषित हैं और पूर्णांकों के लिए परिभाषित उन संक्रियाओं के समान गुण हैं। वलय सिद्धांत वलयों की संरचना का अध्ययन करता है, बीजगणित का उनका प्रतिनिधित्व, या, अलग-अलग भाषा में, अनुखंड (वलय सिद्धांत), वलयों की विशेष कक्षाएं (समूह के वलय, विभाजन के वलय, सार्वभौमिक आवरण बीजगणित), साथ ही गुणों की सरणी जो सिद्धांत के अन्दर और इसके अनुप्रयोगों के लिए, जैसे समरूप बीजगणित और बहुपद पहचान वलय, दोनों के लिए अनुकूल सिद्ध हुआ।
क्रमविनिमेय वलय गैर क्रमविनिमेय वाले की तुलना में बहुत उत्तम समझे जाते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, जो क्रमविनिमेय वलयों के कई प्राकृतिक उदाहरण प्रदान करते हैं, ने क्रमविनिमेय वलय सिद्धांत के विकास को बहुत प्रेरित किया है, जो अब क्रमविनिमेय बीजगणित के नाम से आधुनिक गणित का प्रमुख क्षेत्र है। क्योंकि ये तीन क्षेत्र (बीजगणितीय ज्यामिति, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और क्रमविनिमेय बीजगणित) इतने घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं कि सामान्यतः यह तय करना कठिन और अर्थहीन होता है कि कोई विशेष परिणाम किस क्षेत्र से संबंधित है। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसज़ प्रमेय है जो बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक है, और इसे क्रमविनिमेय बीजगणित के संदर्भ में कहा और सिद्ध किया गया है। इसी प्रकार, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को प्राथमिक अंकगणित के संदर्भ में कहा गया है, जो क्रमविनिमेय बीजगणित का भाग है, किन्तु इसके प्रमाण में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों के आन्तरिक परिणाम सम्मिलित हैं।
गैर-अनुवर्ती वलय अनुमान में अधिक भिन्न होते हैं, क्योंकि अधिक असामान्य व्यवहार उत्पन्न हो सकता है। चूँकि सिद्धांत अपने आप में विकसित हुआ है, नवीनतम प्रवृत्ति ने ज्यामितीय प्रचलन में गैर-अनुक्रमिक वलयों के कुछ वर्गों के सिद्धांत का निर्माण करके क्रमविनिमेय विकास को समानांतर करने का अनुरोध किया है जैसे कि वे (अस्तित्वहीन) 'गैर-अनुक्रमिक रिक्त स्थान पर फलन के वलय थे। यह प्रवृत्ति 1980 के दशक में गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के विकास और क्वांटम समूहों की खोज के साथ प्रारंभ हुई। इसने गैर-अनुविन्यस्त वलयों विशेषकर गैर-अनुविनिमेय