दशमलव: Difference between revisions

Latest revision as of 17:06, 19 October 2023

दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें

दशमलव अंक प्रणाली (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और /ˈdiːnəri/^[1] या दशकीय भी कहा जाता है) पूर्णांक और गैर-पूर्णांक संख्याओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदी-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।^[2] दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।^[3]

दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक दशमलव विभाजक (सामान्यतः। या, $25.9703$ या $3,1415$ के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।^[4] दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि $3.14$ में $π$ का अनुमान है। दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, $a /10 n$ के रूप का भिन्न (गणित) हैं, जहाँ $a$ पूर्णांक है, और $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है।

दशमलव विभाजक (दशमलव प्रतिनिधित्व देखें) के बाद अंकों के अनुक्रम (गणित) का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, $5.123144144144144... = 5.123 144$ )।^[5] एक अनंत दशमलव एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल यदि यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

मूल

File:Two hand, ten fingers.jpg

ईमानदार = 1.2

प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना प्रारंभ किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले मिस्र के अंक हैं, फिर ब्राह्मी अंक, ग्रीक अंक, हिब्रू अंक, रोमन अंक और चीनी अंक इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना कठिन था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की प्रारंभ के साथ पूरी तरह से समाधान किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

दशमलव अंकन

संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक दशमलव चिह्न, और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक ऋणात्मक चिन्ह "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;^[6] दशमलव विभाजक डॉट " $.$ " है कई अन्य देशों में (अधिकांश अंग्रेजी बोलने वाले),^[7] और अल्पविराम " $,$ " का प्रयोग किया जाता है।^[4]

एक गैर-नकारात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक दशमलव अंक होता है

या तो अंकों का एक (परिमित) अनुक्रम (जैसे 2017), जहां पूरा अनुक्रम एक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है,
$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$
या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

।

यदि $m > 0$ , अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक $a m$ शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, $3.14 = 03.14 = 003.14$ । इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि $b n = 0$ इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; ^{[note 1]} उदाहरण के लिए, $15 = 15.0 = 15.00$ और $5.2 = 5.20 = 5.200$ ।

एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक ऋण चिह्न $a m$ से पहले रखा जाता है।

अंक $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ संख्या का प्रतिनिधित्व करता है

a_{m} 10^{m} + a_{m - 1} 10^{m - 1} + \dots + a_{0} 10^{0}

[1]

[2]

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[4]

[5]

[6]

[7]

[note 1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Number in base-10 numeral system}}
-{{Other uses}}
+[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]'''दशमलव''' [[अंक प्रणाली]] (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या दशकीय भी कहा जाता है) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदी-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>
-[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]दशमलव [[अंक प्रणाली]] (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या दशकीय भी कहा जाता है) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदी-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने की विधि को अधिकांश दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>
+दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (सामान्यतः। या, {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}} के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि {{math|3.14}} में {{pi}} का अनुमान है। दशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।
-एक दशमलव अंक (अधिकांश केवल दशमलव या, कम सही रूप से, दशमलव संख्या), सामान्यतः दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (सामान्यतः। या, {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}} के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि {{math|3.14}} में {{pi}} का अनुमान हैदशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।
 दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, {{math|''a''/10<sup>''n''</sup>}} के रूप का [[अंश (गणित)|भिन्न (गणित)]] हैं, जहाँ {{math|''a''}} पूर्णांक है, और {{math|''n''}} एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] है।
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 [[File:Two hand, ten fingers.jpg|thumb|right|दो हाथों पर दस अंक, दशमलव गिनती की संभावित उत्पत्ति | ईमानदार = 1.2]]प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना प्रारंभ किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले [[मिस्र के अंक]] हैं, फिर [[ब्राह्मी अंक]], [[ग्रीक अंक]], [[हिब्रू अंक]], रोमन अंक और [[चीनी अंक]] इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना कठिन था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की प्रारंभ के साथ पूरी तरह से समाधान किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।
-== [[दशमलव अंक|दशमलव अंकन]] ==
+== दशमलव अंकन ==
 संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक [[दशमलव चिह्न]], और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक [[ घटाव का चिन्ह |ऋणात्मक चिन्ह]] "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक [[0]], [[1]], 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;<ref>In some countries, such as [[Arab language|Arab speaking]] ones, other [[glyph]]s are used for the digits</ref> दशमलव विभाजक डॉट "{{math|.}}" है कई अन्य देशों में (अधिकांश अंग्रेजी बोलने वाले),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=दशमलव|url=https://mathworld.wolfram.com/दशमलव.html|access-date=2020-08-22|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और अल्पविराम "{{math|,}}" का प्रयोग किया जाता है।<ref name=":1" />
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 *या एक दशमलव चिह्न अंक के दो अनुक्रमों को अलग करना (जैसे कि 20.70828)
 ::<math>a_ma_{m-1}\ldots a_0.b_1b_2\ldots b_n</math>।
-यदि {{math|''m'' > 0}}, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक {{math|''a''<sub>''m''</sub>}} शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, {{math|1=3.14 = 03.14 = 003.14}}। इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि {{math|1=''b''<sub>''n''</sub> = 0}}- इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; {{NoteTag|text=Sometimes, the extra zeros are used for indicating the [[accuracy and precision|accuracy]] of a measurement. For example, "15.00&nbsp;m" may indicate that the measurement error is less than one centimetre (0.01&nbsp;m), while "15&nbsp;m" may mean that the length is roughly fifteen metres and that the error may exceed 10&nbsp;centimetres.}} उदाहरण के लिए, {{math|1=15 = 15.0 = 15.00}} और {{math|1=5.2 = 5.20 = 5.200}}।
+यदि {{math|''m'' > 0}}, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह सामान्यतः माना जाता है कि पहला अंक {{math|''a''<sub>''m''</sub>}} शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, {{math|1=3.14 = 03.14 = 003.14}}। इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - अर्थात्, तो, यदि {{math|1=''b''<sub>''n''</sub> = 0}} इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; {{NoteTag|text=Sometimes, the extra zeros are used for indicating the [[accuracy and precision|accuracy]] of a measurement. For example, "15.00&nbsp;m" may indicate that the measurement error is less than one centimetre (0.01&nbsp;m), while "15&nbsp;m" may mean that the length is roughly fifteen metres and that the error may exceed 10&nbsp;centimetres.}} उदाहरण के लिए, {{math|1=15 = 15.0 = 15.00}} और {{math|1=5.2 = 5.20 = 5.200}}।
 एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक ऋण चिह्न {{math|''a''<sub>''m''</sub>}} से पहले रखा जाता है।
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 दशमलव अंक का [[पूर्णांक भाग]] या अभिन्न अंग दशमलव विभाजक के बाईं ओर लिखा पूर्णांक है (यह भी देखें)। एक गैर-नकारात्मक दशमलव अंक के लिए, यह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दशमलव से अधिक नहीं है। दशमलव विभाजक से दाईं ओर का हिस्सा आंशिक भाग है, जो संख्या और उसके पूर्णांक भाग के बीच अंतर के बराबर है।
-जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, सामान्यतः [[ कम्प्यूटिंग |कम्प्यूटिंग]] में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {{math|.1234}}, के अतिरिक्त {{math|0.1234}})। सामान्य लेखन में, यह सामान्यतः बचा जाता है, क्योंकि दशमलव निशान और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण।
+जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, सामान्यतः [[ कम्प्यूटिंग |कम्प्यूटिंग]] में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {{math|.1234}}, के अतिरिक्त {{math|0.1234}})। सामान्य लेखन में, दशमलव चिन्ह और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण इसके प्रयोग से बचा जाता है ।
 संक्षेप में, एक संख्या के मूल्य में प्रत्येक अंक का योगदान अंक में इसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अर्थात्, दशमलव प्रणाली एक स्थितीय संख्या प्रणाली है।
 == दशमलव अंश ==
-{{Table Numeral Systems}}
 दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को सम्मिलित करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका [[भाजक]] दस का [[घातांक]] है।<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Decimal_fraction|title=Decimal Fraction|encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]]|access-date=2013-06-18}}</ref> उदाहरण के लिए, दशमलव <math>0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159</math> अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं और {{math|{{sfrac|4|5}}}}, {{math|{{sfrac|1489|100}}}}, {{math|{{sfrac|79|100000}}}}, {{Math|{{sfrac||809|500}}}} और {{Math|{{sfrac||314159|100000}}}}, इसलिए दशमलव संख्या हैं।
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 जिसे ''{{Mvar|x}} का अनंत दशमलव विस्तार कहा जाता है।''
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 === तर्कसंगत संख्या ===
 {{main|दोहराए जाने वाले दशमलव}}
-[[ लम्बा विभाजन | लम्बा विभाजन]] एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है। यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। चूंकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। अर्थात्, एक को दोहराया दशमलव है। उदाहरण के लिए,
+लम्बा विभाजन एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है। यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। चूंकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। अर्थात्, एक को दोहराया दशमलव है। उदाहरण के लिए,
 :{{sfrac|81}} = 0।012345679012 ... (समूह के साथ 012345679 अनिश्चित काल के लिए)।
@@ Line 154: / Line 153: @@
 === अन्य आधार ===
 {{main |स्थितीय संकेतन}}
-{{Fundamental info units}}
 कुछ संस्कृतियां संख्याओं के अन्य स्थानों का उपयोग करती हैं, या करती हैं।
 * पूर्व-कोलंबियन [[मेसोअमेरिका]] संस्कृतियों जैसे कि [[माया अंक|माया अंकों]] ने एक [[विजय]] का उपयोग किया। आधार -20 प्रणाली (संभवतः सभी बीस उंगलियों और पैर की उंगलियों का उपयोग करने के आधार पर)।
@@ Line 170: / Line 168: @@
   | s2cid=20412558
   }}</ref> [[मेक्सिको]] में ऑक्टल ([[ सूत्र | सूत्र]] -8) प्रणाली हैं क्योंकि वक्ताओं ने अपनी उंगलियों के अतिरिक्त स्वयं को उंगलियों के अतिरिक्त रिक्त स्थान का उपयोग करके गिना है।<ref>{{cite news|jstor=2686959|title=Ethnomathematics: A Multicultural View of Mathematical Ideas|author=Marcia Ascher|author-link= Marcia Ascher |publisher=The College Mathematics Journal}}</ref>
-* जर्मनिक भाषाओं के प्रारंभिक निशान में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावली की उपस्थिति से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या टेंटी-वार के लिए संज्ञानात्मक); इस प्रकार की आशा की जाएगी यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और यदि यह असामान्य है।<ref>{{citation
+* जर्मनिक भाषाओं के प्रारंभिक चिन्ह में एक गैर-दशमलव आधार का अस्तित्व शब्दों और शब्दावली की उपस्थिति से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि गिनती दशमलव में है (दस-गिनती या टेंटी-वार के लिए संज्ञानात्मक); इस प्रकार की आशा की जाएगी यदि सामान्य गिनती दशमलव नहीं है, और यदि यह असामान्य है।<ref>{{citation
   | last = McClean | first = R. J.
   | date = July 1958
@@ Line 307: / Line 305: @@
 {{Reflist}}
-{{Orders of magnitude}}
+[[Category:Articles containing Chinese-language text]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: प्राथमिक अंकगणित]] [[Category: गणित (गणित)]] [[Category: स्थिति संख्या प्रणाली]]
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