ऊर्जा नियम

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एक उदाहरण ऊर्जा नियम ग्राफ़ जो लोकप्रियता की रैंकिंग प्रदर्शित करता है। दाईं ओर लंबी छोर है, और बाईं ओर कुछ हावी हैं (जिसे पेरेटो सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है। 80-20 नियम)।

आँकड़ों में, ऊर्जा नियम दो मात्राओं के बीच एक फलन संबंध है, जहाँ एक मात्रा के सापेक्ष परिवर्तन के परिणामस्वरूप दूसरी मात्रा में आनुपातिक सापेक्ष परिवर्तन होता है, जो उन मात्राओं के प्रारंभिक आकार से स्वतंत्र होता है। एक मात्रा दूसरे के घातांक के रूप में भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, वर्ग के क्षेत्रफल को उसकी भुजा की लंबाई के रूप में देखते हुए, यदि लंबाई दोगुनी कर दी जाती है, तो क्षेत्रफल को चार के गुणज से गुणा कर दिया जाता है।

आनुभविक उदाहरण

भौतिक, जैविक, और मानव निर्मित परिघटनाओं की विस्तृत विविधता के वितरण परिमाण की विस्तृत श्रृंखला ऊर्जा नियम का पालन करती हैं: इनमें चंद्रमा पर गड्ढों के आकार और सौर ज्वालाएं,विभिन्न प्रजातियों के फोर्जिंग प्रतिरूप, तंत्रिका जनसंख्या के गतिविधि प्रतिरूप का आकार, अधिकांश भाषाओं में शब्दों की बारंबारता, पारिवारिक नामों की बारंबारता, जीवों के समूहों में प्रजातियों की समृद्धि, ऊर्जा कटौती का आकार, ज्वालामुखी विस्फोट, उत्तेजना तीव्रता के मानवीय निर्णय और कई अन्य मात्राएँ सम्मिलित हैं। कुछ आनुभविक वितरण अपने सभी मूल्यों के लिए ऊर्जा नियम का पालन करते हैं। ध्वनिक क्षीणन कई जटिल माध्यमों के व्यापक आवृत्ति पट्ट के भीतर आवृत्ति ऊर्जा-नियमों का पालन करते है। जैविक चर के बीच संबंधों के लिए सापेक्षमितिय प्रवर्द्धन, प्रकृति में सबसे प्रसिद्ध ऊर्जा नियम फलनों में से एक हैं।

गुण

मापदंड अपरिवर्तनीयता

ऊर्जा नियमों की एक विशेषता उनका मापदंड अपरिवर्तनीयता है। संबंध $f(x)=ax^{-k}$ दिया गया है जिसमे तर्क $x$ एक स्थिर गुणज द्वारा $c$ के फलन का आनुपातिक मापन करता है। वह

$f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!$

है।

जहाँ $\propto$ प्रत्यक्ष आनुपातिकता को दर्शाता है। अर्थात स्थिरांक $c$ से स्केलिंग केवल मूल ऊर्जा-नियम संबंध को स्थिरांक $c^{-k}$ से गुणा करता है इस प्रकार, यह विशेष प्रवर्द्धन घातांक वाले सभी ऊर्जा नियम निरंतर कारकों के समान होते हैं, क्योंकि प्रत्येक दूसरा, पहले का एक छोटा संस्करण है।जब दोनों $f(x)$ और $x$ के लघुगणक लिए जाते हैं तों यह रैखिक संबंध बनाता है। लॉग आरेख पर सीधी-रेखा को प्रायः ऊर्जा नियम का हस्ताक्षर कहा जाता है। वास्तविक आंकड़ों के साथ, ऊर्जा नियम संबंध के बाद डेटा के लिए इस तरह की सीधीता आवश्यक तों है परंतु पर्याप्त नहीं है। वास्तव में, डेटा की सीमित मात्रा उत्पन्न करने के कई तरीके हैं जो इस हस्ताक्षर संबंध की नकल करते हैं, लेकिन, उनकी स्पर्शोन्मुख सीमा में, सही ऊर्जा नियम नहीं हैं। उदाहरण के लिए, कुछ डेटा की उत्पादन प्रक्रिया लॉग-सामान्य वितरण का अनुसरण करती है। ऊर्जा नियम प्रारूप को मान्य करना सांख्यिकी के अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है।

अच्छी तरह से परिभाषित औसत मूल्य का अभाव

ऊर्जा नियम $x^{-k}$ अच्छी तरह से परिभाषित औसत तभी हों सकता है जब $x\in [1,\infty )$ मे $k>2$ हों , और परिमित विभेद तब होता है जब $k>3$ हों; प्रकृति में विख्यात ऊर्जा नियमों के प्रतिपादक ऐसे होते हैं कि माध्य अच्छी तरह से परिभाषित होता है लेकिन विभेदित नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि वे ब्लैक स्वान सिद्धांत संबंध का पालन करत हैं।इसे निम्नलिखित प्रयोग में देखा जा सकता है। अपने दोस्तों के साथ एक कमरे की कल्पना करें और कमरे में औसत मासिक आय का अनुमान लगाएं। अब कल्पना कीजिए कि संसार का सबसे अमीर व्यक्ति कमरे में प्रवेश कर रहा है, जिसकी मासिक आय लगभग 1 अरब अमेरिकी डॉलर है। कमरे में औसत आय क्या होगा? आय को पारेटो वितरण के रूप में ज्ञात एक ऊर्जा नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, अमेरिकियों का शुद्ध मूल्य 2 के प्रतिपादक के साथ ऊर्जा नियम के अनुसार वितरित किया जाता है।

एक ओर, यह उन पारंपरिक सांख्यिकी को लागू करना गलत बनाता है जो भिन्नता और मानक विचलन पर आधारित होते हैं। दूसरी ओर, यह लागत-कुशल हस्तक्षेपों की भी अनुमति देता है।उदाहरण के लिए, यह देखते हुए कि कार निर्वात ऊर्जा नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। बहुत कम कारें, संदूषण में योगदान करती हैं। कुल निकास को पर्याप्त रूप से कम करने के लिए उन कारों को सड़क से हटाना पर्याप्त होगा।

यद्यपि, माध्य उपलब्ध है, ऊर्जा नियम x^–k के लिए प्रतिपादक के साथ $k>1$, यह 2^{1/(k – 1)}x_min मान ग्रहण करता है जहां X_min वह न्यूनतम मूल्य है जिसके लिए ऊर्जा नियम सत्य है।

सार्वभौमिकता

एक विशेष स्केलिंग घातांक के साथ ऊर्जा नियमों की समानता गतिशील प्रक्रियाओं की गहरी उत्पत्ति हो सकती है जो ऊर्जा नियम संबंध उत्पन्न करती है। भौतिकी में, उदाहरण के लिए, ऊष्मप्रवैगिकी प्रणालियों में चरण संक्रमण कुछ मात्राओं के विद्युत नियम वितरण के उद्भव से जुड़े होते हैं, जिनके घातांक को प्रणाली के महत्वपूर्ण घातांक के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक ही महत्वपूर्ण घातांक के साथ विविध प्रणालियाँ जो समान स्केलिंग संबंध को प्रदर्शित करती हैं और ऊष्मागतिकी के महत्वपूर्ण बिंदु तक पहुँचती हैं तथा समान मौलिक गतिकी को साझा करने के लिए, पुनर्सामान्यीकरण समूह सिद्धांत का पालन करती है। उदाहरण के लिए, पानी और CO₂ का संबंध और उनके क्वथनांक, समान सार्वभौमिकता वर्ग में आते हैं क्योंकि उनके महत्वपूर्ण घातांक समान होते हैं। वास्तव में, लगभग सभी भौतिक चरण संक्रमणों को सार्वभौमिकता वर्गों के एक छोटे समूह द्वारा वर्णित किया गया है और इसी तरह के अवलोकन किए गए हैं, यद्यपि, विभिन्न स्व-संगठित महत्वपूर्ण प्रणालियों के लिए, जहां प्रणाली का महत्वपूर्ण बिंदु आकर्षित करने वाला है, उनकी आलोचना व्यापक रूप से नहीं की गई है। औपचारिक रूप से, गतिशीलता के इस साझाकरण को सार्वभौमिकता के रूप में संदर्भित किया जाता है, और ठीक उसी महत्वपूर्ण घातांक वाले प्रणाली को पुनर्सामान्यीकरण समूह और सार्वभौमिकता वर्गों से संबंधित कहा जाता है।

ऊर्जा नियम फलन

ऊर्जा नियम संबंधों में वैज्ञानिक रुचि, आंशिक रूप से सहजता से उत्पन्न होती है जिसके साथ तंत्र के कुछ सामान्य वर्ग उन्हें उत्पन्न करते हैं। कुछ आंकड़ों में ऊर्जा नियम फलन का प्रदर्शन विशिष्ट प्रकार के तंत्रों को इंगित कर सकता है जो प्रश्न में प्राकृतिक घटना को कम कर सकते हैं, और अन्य प्रतीत होने वाली असंबंधित प्रणालियों के साथ गहरे संबंध का संकेत दे सकते हैं; ऊपर सार्वभौमिकता भी देखें। भौतिकी में ऊर्जा नियम संबंधों की सर्वव्यापकता आंशिक रूप से आयामी विश्लेषण के कारण है, जबकि जटिल प्रणालियों में, ऊर्जा नियमों को प्रायः पदानुक्रम या विशिष्ट प्रसंभाव्य प्रक्रम के हस्ताक्षर के रूप मे माना जाता है। ऊर्जा नियमों के कुछ उल्लेखनीय उदाहरण हैं पारेटो का आय वितरण का नियम, भग्न की संरचनात्मक आत्म-समानता और एलोमेट्रिक नियम। ऊर्जा नियम संबंधों की उत्पत्ति पर अनुसंधान, और उन्हें वास्तविक संसार में देखने और मान्य करने का प्रयास, विज्ञान के कई क्षेत्रों में अनुसंधान का एक सक्रिय विषय है, जिसमें भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, भाषा विज्ञान, भूभौतिकी, तंत्रिका विज्ञान, व्यवस्थित विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र आदि क्षेत्र है।

यद्यपि, विद्युत नियमों में अत्यधिक रुचि संभाव्यता वितरण के अध्ययन से आती है: विभिन्न प्रकार की मात्राओं के वितरण कम से कम उनकी ऊपरी छोर में ऊर्जा नियम के रूप का पालन करते हैं। इन बड़ी घटनाओं का संबंध इन मात्राओं को चरम मूल्य सिद्धांत के अध्ययन से जोड़ता है, जो शेयर बाजार में गिरावट और बड़ी प्राकृतिक आपदाओं जैसी अत्यंत दुर्लभ घटनाओं की आवृत्ति पर विचार करता है। यह मुख्य रूप से सांख्यिकीय वितरण के अध्ययन में उपयोग किया जाता है।

अनुभवजन्य संदर्भों में, ऊर्जा नियम का एक अनुमान $o(x^{k})$ सामान्यतः एक विचलन शब्द $\varepsilon$ सम्मिलित होता है , जो देखे गए मूल्यों में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व कर सकता है या ऊर्जा नियम फलन से विचलन के लिए अवलोकनों का एक आसान तरीका प्रदान करता है:

$y=ax^{k}+\varepsilon .\!$

गणितीय रूप से, एक पूर्णतः ऊर्जा नियम संभाव्यता वितरण नहीं हो सकती है, यद्यपि वितरण जो एक छोटा ऊर्जा फलन है संभव है: जहाँ $p(x)=Cx^{-\alpha }$ के लिए $x>x_{\text{min}}$ घातांक $\alpha$, 1 से अधिक है। न्यूनतम मूल्य $x_{\text{min}}$ की आवश्यकता है अन्यथा वितरण में अनंत क्षेत्र हों जाएंगे क्योंकि x, 0 तक पहुंच सकता है, और यह सुनिश्चित करने के लिए C एक स्केलिंग कारक है जैसा कि संभाव्यता वितरण द्वारा आवश्यक है। कोई भी सामान्यतः किसी स्पर्शोन्मुख ऊर्जा नियम का ही उपयोग करता है।

उदाहरण

भौतिकी, जीव विज्ञान, और सामाजिक विज्ञान में सौ से अधिक ऊर्जा नियम वितरण की पहचान की गई है। उनमें से हैं:

खगोल विज्ञान

• केप्लर का तीसरा नियम
• तारों का प्रारंभिक सामूहिक फलन
• ब्रह्मांडीय किरण का अंतर ब्रह्मांडीय-किरण नाभिक
• एम-सिग्मा संबंध

भौतिकी

• एयरोसोल प्रकाशिकी में एंगस्ट्रॉम प्रतिपादक
• जटिल माध्यम में ध्वनिक क्षीणन की आवृत्ति-निर्भरता
• स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम
• फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर और निर्वात पम्प ट्यूब के निविष्ट-विभव -निर्गत-धारा वक्र ट्यूब ध्वनि में एक कारक का अनुमान लगाते हैं।
• वर्ग–घन नियम
• 3/2-ऊर्जा नियम ट्रायोड की धारा-विभव विशेषता में पाया जा सकता है।
• न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण और इलेक्ट्रोस्टाटिक्स के व्युत्क्रम-वर्ग नियम, जैसा कि क्रमशः गुरुत्वाकर्षण क्षमता और इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता से प्रमाणित है।
• एक आकर्षण के रूप में ऊष्मप्रवैगिकी की महत्वपूर्ण बिंदु के साथ स्व-संगठित आलोचनात्मकता
• वैन डेर वाल्स बल का प्रारूप
• सरल हार्मोनिक गति में बल और क्षमता
• विभव के साथ प्रकाश की तीव्रता से संबंधित गामा सुधार
• चरण संक्रमण के महत्वपूर्ण घातांक और सार्वभौमिकता वर्ग के महत्वपूर्ण घातांक वाले दूसरे क्रम के चरण संक्रमण के निकट संबंध
• ऊर्जा अर्द्धचालकों में अधिकतम समकालिक धारा और विभव से संबंधित सुरक्षित संचालन क्षेत्र।
• पदार्थ की अतिक्रांतिक स्थिति और अतिक्रांतिक तरल पदार्थ, जैसे ताप क्षमता और चिपचिपाहट के अतिक्रांतिक घातांक।
• क्यूरी-वॉन श्वेडलर नियम कदम डीसी विभव निविष्ट के प्रतिक्रियाओं में।
• एंटीसिस्मिक डैम्पर्स कैलकुलस में गति के संबंध में बल
• प्रोटीन संरचना खंडों में केंद्रित अमीनो अम्ल के मुड़े हुए विलायक-उजागर सतह क्षेत्र

मनोविज्ञान

• स्टीवंस का मनोभौतिकी के ऊर्जा नियम को प्रदर्शनों के साथ चुनौती दी गई है कि यह लॉगरिदमिक हो सकता है)
• भूलने का ऊर्जा नियम

जीव विज्ञान

• क्लेइबर का नियम जानवरों के चयापचय और सामान्य रूप से एलोमेट्रिक नियम को आकार से संबंधित करता है,
• दो तिहाई ऊर्जा नियम, मानव मोटर प्रणाली में वक्रता से संबंधित गति।
• पारिस्थितिकी में माध्य जनसंख्या आकार और जनसंख्या आकार में भिन्नता से संबंधित छोरर का नियम
• तंत्रिका हिमस्खलन* मीठे पानी की मछलियों के समूह में प्रजातियों की समृद्धि।
• हारलो कन्नप प्रभाव, जहां मानव शरीर में पाए जाने वाले काइनेज का एक उपसमूह अधिकांश वैज्ञानिक प्रकाशनों की रचना करता है
• विश्व स्तर पर वन आवरण का आकार एक ऊर्जा नियम का पालन करता है
• क्षेत्र के आकार के फलन के रूप में किसी क्षेत्र में पाई जाने वाली प्रजातियों की संख्या से संबंधित प्रजाति-क्षेत्र संबंध

मौसम विज्ञान

• वर्षा-स्नान कोशिकाओं का आकार, चक्रवातों में ऊर्जा अपव्यय, और पृथ्वी और मंगल पर धूल के व्यास

सामान्य विज्ञान

• घातीय वृद्धि और यादृच्छिक अवलोकन
• घातांकीय वृद्धि और नवाचारों के घातीय प्रसार के माध्यम से प्रगति
• अत्यधिक अनुकूलित सहिष्णुता
• अनुभव वक्र प्रभाव का प्रस्तावित रूप
• गुलाबी कोलाहल
• धारा संख्या का नियम, और धारा की लंबाई का नियम तथा रॉबर्ट ई. हॉर्टन के नदी प्रणालियों का वर्णन करने वाले नियम
• शहरों की आबादी, जिब्रात का नियम
• ग्रंथ सूची, और एक पाठ में शब्दों की आवृत्तियाँ तथा ज़िपफ का नियम)

विकियों पर 90–9–1 सिद्धांत जिसे 1% नियम भी कहा जाता है

• हिंसक संघर्षों की गंभीरता के लिए रिचर्डसन का नियम
• सीपीयू के कैश आकार और कैश मिस की संख्या के बीच संबंध कैश मिस के ऊर्जा नियम का पालन करता है।
• गहरा तंत्रिका नेटवर्क के वेट मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय घनत्व

गणित

• भग्न
• पारेतो वितरण और पारेतो सिद्धांत को 80-20 नियम भी कहा जाता है
• कॉर्पस विश्लेषण और दूसरों के बीच जनसंख्या वितरण में जिपफ का नियम, जहां किसी वस्तु या घटना की आवृत्ति इसकी आवृत्ति रैंक के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
• जीटा वितरण
• यूल–साइमन वितरण
• विद्यार्थी का टी-वितरण , जिसमें से कौची वितरण एक विशेष संदर्भ है
• लोटका का नियम
• स्केल-फ्री नेटवर्क प्रारूप

अर्थशास्त्र

• किसी क्षेत्र या शहरी नेटवर्क के सबसे बड़े शहरों की सूची, जिपफ का नियम।
• कलाकारों का उनकी कलाकृतियों के औसत मूल्य के अनुसार वितरण।
• एक बाजार अर्थव्यवस्था में आय वितरण।
• बैंकिंग नेटवर्क में श्रेणियों का वितरण।

वित्त

• लॉगरिदमिक मध्य-कीमतों का औसत पूर्ण परिवर्तन
• टिक की संख्या समय के साथ गिना जाता है
• अधिकतम मूल्य चाल का आकार
• एक दिशात्मक-परिवर्तन आंतरिक समय का औसत प्रतीक्षा समय
• ओवरशूट संकेत का औसत प्रतीक्षा समय

प्रकार

विखंडित ऊर्जा नियम

File:Plot of various initial mass functions.svg

प्रारंभिक द्रव्यमान फलन के कुछ प्रारूप टूटे हुए ऊर्जा नियम का उपयोग करते हैं; यहाँ क्रुपा (2001) लाल रंग में।

विखंडित ऊर्जा नियम एक खंडशः फलन है, जिसमें दो या दो से अधिक ऊर्जा नियम होते हैं, जो एक सीमा के साथ संयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, दो ऊर्जा नियम:

$f(x)\propto x^{\alpha _{1}}$ के लिए $x<x_{\text{th}},$

$f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}$.

घातांकी कटऑफ वाला ऊर्जा नियम

घातीय कटऑफ वाला ऊर्जा नियम एक ऊर्जा नियम है जिसे घातीय फलन से गुणा किया जाता है:

$f(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\beta x}.$

वक्रीय ऊर्जा का नियम

$f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}$

ऊर्जा नियम का संभाव्यता वितरण

शिथिल अर्थ में, ऊर्जा-नियम संभाव्यता वितरण एक ऐसा वितरण है जिसका घनत्व फलन या असतत संदर्भ में द्रव्यमान फलन, के बड़े मूल्यों के लिए $x$ का रूप है,

$P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}$

जहाँ $\alpha >1$, और $L(x)$ मंदतः परिवर्ती फलन है, जो $\lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1$ किसी भी सकारात्मक कारक $r$ के लिए संतुष्ट करता है। $L(x)$ का यह गुण सीधे $p(x)$ का अनुसरण करता है। इस प्रकार $L(x)$ का रूप केवल निचली छोर के आकार और परिमित सीमा को नियंत्रित करता है। उदाहरण के लिए, अगर $L(x)$ स्थिर फलन है, तो हमारे पास एक ऊर्जा नियम है जो $x$ के सभी मूल्यों के लिए सत्य है . कई संदर्भों में, निचली सीमा का मान $x_{\mathrm {min} }$लेना सुविधाजनक होता है। इन दोनों संदर्भों को मिलाकर, और जहाँ $x$ एक सतत चर है, ऊर्जा नियम में परेटो वितरण का रूप है

$p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },$

जहां पूर्व कारक ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ सामान्यीकरण स्थिरांक है। अब हम इस वितरण के कई गुणों पर विचार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, इसके मोमेंट

$\langle x^{m}\rangle =\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}$

द्वारा दिए गए हैं

जो केवल $m<\alpha -1$ के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है अर्थात $m\geq \alpha -1$ जहाँ $\alpha \leq 2$ सदैव विचलन को संदर्भित करता है। जब $2<\alpha <3$, का माध्य उपलब्ध है तों सभी उच्च-क्रम के क्षण अनंत हों जाते हैं। इस तरह के वितरण से लिए गए परिमित-आकार के प्रारूपों के लिए, इस संबंध का अर्थ है कि केंद्रीय क्षण अनुमानक जैसे माध्य और विचरण अपसारी क्षणों का अभिसरण नहीं करेंगे। जैसे-जैसे अधिक डेटा संचित होता है, वे बढ़ते रहते हैं। इन ऊर्जा नियम प्रायिकता वितरण को पारेटो वितरण भी कहा जाता है। पारेतो-प्रकार के वितरण, पारेटो छोर वितरण, या नियमित रूप से अलग-अलग छोर वाले वितरण आदि।

एक संशोधन, जो उपरोक्त सामान्य रूप का पालन नहीं करता है, एक घातीय कटऑफ

$p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.$

के साथ, है

इस वितरण में, चरघातांकी क्षय पद $\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ के बहुत बड़े मूल्यों पर अंततः $x$ ऊर्जा नियम संबंध को अभिभूत कर देता है और इस प्रकार ऊर्जा नियम असम्बद्ध रूप से स्थित नहीं है; यद्यपि, यह कटऑफ से पहले एक परिमित क्षेत्र में मापित करता है। उपरोक्त शुद्ध रूप इस परिवार का उपसमुच्चय है, साथ में $\lambda =0$. यह वितरण स्पर्शोन्मुख ऊर्जा नियम वितरण का एक सामान्य विकल्प है क्योंकि यह स्वाभाविक रूप से परिमित-आकार का पालन करता है।

ट्वीडी वितरण सांख्यिकी प्रारूप का परिवार है, जो एडिटिव और रिप्रोडक्टिव कनवल्शन के साथ-साथ स्केल ट्रांसफॉर्मेशन के अंतर क्लोजर की विशेषता है। परिणामस्वरूप, ये सभी प्रारूप विचरण और माध्य के बीच ऊर्जा नियम संबंध व्यक्त करते हैं। इन प्रारूपों की गणितीय सीमा के केंद्रबिन्दु के रूप में मौलिक भूमिका निभाती है, जो सामान्य वितरण की केंद्रीय सीमा प्रमेय में केंद्र के रूप में होती है। यह अभिसरण प्रभाव बताता है कि विचरण-से तात्पर्य ऊर्जा नियम प्राकृतिक प्रक्रियाओं में इतने व्यापक रूप से क्यों प्रकट होता है, जैसा कि पारिस्थितिकी में छोरर के नियम और उतार-चढ़ाव स्केलिंग के साथ होता है। भौतिकी मे यह भी दिखाया जा सकता है कि ट्वीडी वितरण द्वारा प्रदर्शित किए जाने पर यह विचरण-टू-मीन ऊर्जा नियम, इस ट्वीडी वितरण के परिणामस्वरूप 1/f शोर उत्पन्न हो सकता है।

पहचान के लिए चित्रमय विधियां

यद्यपि अधिक परिष्कृत और मजबूत तरीके प्रस्तावित किए गए हैं, लेकिन यादृच्छिक प्रारूपों का उपयोग करके ऊर्जा नियम संभाव्यता वितरण की पहचान करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली चित्रमय विधियां पारेटो क्वांटाइल-आरेख हैं। औसत अवशिष्ट जीवन आरेख और लॉग-आरेख इस खंड को दर्शाता है। एक और, अधिक मजबूत चित्रमय विधि अवशिष्ट मात्रात्मक फलनों के बंडलों का उपयोग करती है। यहां यह माना जाता है कि प्रायिकता वितरण से यादृच्छिक प्रारूप प्राप्त किया जाता है, और यह कि हम जानना चाहते हैं कि वितरण की छोर ऊर्जा नियम का पालन करती है या नहीं। दूसरे शब्दों में, हम जानना चाहते हैं कि क्या वितरण में पारेटो छोर है। यहाँ, यादृच्छिक प्रारूप को डेटा कहा जाता है।

पैरेटो क्यू-क्यू आरेख, लॉग-रूपांतरित डेटा की मात्राओं की तुलना माध्य 1 के साथ घातीय वितरण के संगत मात्राओं से करते हैं। यदि परिणामी स्कैटरआरेख से ज्ञात होता है कि आरेखित किए गए बिंदु असम्बद्ध रूप से एक सीधी रेखा में अभिसरण करते हैं, तो ऊर्जा नियम वितरण पर संदेह होना चाहिए। पेरेटो क्यू-क्यू आरेख की एक सीमा यह है कि छोर इंडेक्स $\alpha$ के शून्य होने पर वे सही परिणाम नहीं देत है, क्योंकि पेरेटो क्यू-क्यू आरेख को धीरे-धीरे अलग-अलग छोर वाले वितरण की पहचान करने के लिए प्ररूपित नहीं किया गया है।

दूसरी ओर, ऊर्जा नियम संभाव्यता वितरण की पहचान के लिए इसके संस्करण में, औसत अवशिष्ट जीवन आरेख में पहले लॉग-रूपांतरित डेटा निविष होता है, और फिर उन लॉग-रूपांतरित डेटा का औसत आरेख बनाना होता है जो i-वें क्रम से अधिक होते हैं। आँकड़ा i-वें क्रम का आँकड़ा के सापेक्ष, i = 1, ..., n के लिए, जहाँ n यादृच्छिक प्रारूप का आकार है। यदि परिणामी स्कैटरआरेख से पता चलता है कि आरेख किए गए बिंदु एक क्षैतिज सीधी रेखा में स्थिर होते हैं, तो एक ऊर्जा नियम वितरण पर संदेह होना चाहिए। चूंकि औसत अवशिष्ट जीवन आरेख परिव्यय के प्रति बहुत संवेदनशील है, यह सामान्यतः ऐसे आरेख उत्पन्न करता है जिनकी व्याख्या करना मुश्किल होता है; इसी वजह से ऐसे आरेख को सामान्यतः हिल हॉरर आरेख कहा जाता है

File:Log-log plot example.svg

लॉग-लॉग आरेख पर एक सीधी रेखा आवश्यक है लेकिन ऊर्जा-नियमों के लिए अपर्याप्त साक्ष्य, सीधी रेखा का ढलान पावर लॉ घातांक से मेल खाता है।

लॉग-लॉग आरेख एक यादृच्छिक नमूने का उपयोग करके वितरण की छोर की रेखाचित्रीय रूप से जांच करने की वैकल्पिक विधि है। यद्यपि सावधानी बरती जानी चाहिए क्योंकि एक लॉग-लॉग आरेख आवश्यक तों है परंतु ऊर्जा नियम संबंध के लिए अपर्याप्त साक्ष्य है, क्योंकि कई गैर-ऊर्जा नियम वितरण लॉग-लॉग आरेख पर सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देंगे। इस पद्धति में संभाव्यता के अनुमानक के लघुगणक की प्रायिकता इस प्रकार होती हैं कि वितरण की एक विशेष संख्या उस लघुगणक के विरुद्ध होती है। सामान्यतः, यह अनुमानक उस समय का अनुपात होता है जब संख्या डेटा समुच्चय में होती है। यदि आरेख के बिंदु एक्स अक्ष में बड़ी संख्या के एक सीधी रेखा में अभिसरण करते हैं, तो शोधकर्ताओ का निष्कर्ष है कि वितरण में एक ऊर्जा नियम छोर है। इस प्रकार के आरेख के आवेदन के उदाहरण प्रकाशित किए गए हैं। इन आरेख का एक नुकसान यह है कि उन्हें विश्वसनीय परिणाम प्रदान करने के लिए बड़ी मात्रा में डेटा की आवश्यकता होती है। इसके अतिरिक्त, वे केवल असतत या समूहीकृत डेटा के लिए उपयुक्त हैं।

यादृच्छिक प्रतिरूपों का उपयोग करते हुए ऊर्जा नियम संभाव्यता वितरण की पहचान के लिए एक अन्य रेखाचित्रीय विधि प्रस्तावित की गई है।इस फलनप्रणाली में लॉग-रूपांतरित नमूने के लिए एक बंडल आरेख बनाना सम्मिलित है। मूल रूप से यादृच्छिक प्रतिरूपों का उपयोग करके क्षणों के अस्तित्व और क्षण पीढ़ी के फलन का पता लगाने के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तावित, बंडल फलनप्रणाली अवशिष्ट मात्रात्मक फलनों पर आधारित है, जिसे अवशिष्ट प्रतिशतक फलन भी कहा जाता है, जो कई जाने-माने प्रायिकता वितरणों के छोर संबंध का पूर्ण लक्षित वर्णन प्रदान करते हैं, जिसमें ऊर्जा नियम वितरण, अन्य प्रकार के भारी छोर वाले वितरण, और यहां तक ​​कि गैर-भारी-छोर वाले वितरण भी सम्मिलित हैं। बंडल आरेख में पारेतो क्यू-क्यू आरेख का नुकसान नहीं है, मतलब अवशिष्ट जीवन आरेख और ऊपर वर्णित लॉग-लॉग आरेख $\alpha$, और अधिक डेटा के संग्रह की मांग नहीं करते हैं। इसके अतिरिक्त, बंडल आरेख का उपयोग करके अन्य प्रकार के छोर संबंध की पहचान की जा सकती है।

ऊर्जा-नियम वितरण को आरेखित करना

प्रायः, ऊर्जा नियम वितरण को लॉग-लॉग आरेख पर आरेखित किया जाता है, जो ऊपरी छोर पर बल देता है। ऐसा करने का सबसे सुविधाजनक विधि पूरक संचयी वितरण फलन है, जो कि उत्तरजीविता फलन है, $P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)$,

$P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X)\,\mathrm {d} X={\frac {\alpha -1}{x_{\min }^{-\alpha +1}}}\int _{x}^{\infty }X^{-\alpha }\,\mathrm {d} X=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{1-\alpha }.$

सीडीएफ भी एक ऊर्जा नियम फलन है, लेकिन छोटे स्केलिंग घातांक के साथ डेटा के लिए, सीडीएफ का समतुल्य रूप रैंक-आवृत्ति दृष्टिकोण है, जिसमें हम पहले $n$ मूल्यों को आरोही क्रम में श्रेणीबद्ध करते हैं, और उन्हें $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$.वेक्टर के साथ आरेखित करते है।

यद्यपि डेटा को लॉग-बिन करना सुविधाजनक हो सकता है, अन्यथा संभाव्यता घनत्व फलन को सीधे सुचारू कर सकता है, ये विधियाँ डेटा के प्रतिनिधित्व में एक निहित अभिनति का परिचय देती हैं। दूसरी ओर, उत्तरजीविता फलन, इस तरह के अभिनतिों के लिए अधिक शक्तिशाली है और दोहरे लघुगणकीय अक्षों पर रैखिक हस्ताक्षर को संरक्षित करता है। यद्यपि रेखीय क्रम कम से कम वर्ग विधि के साथ डेटा के लिए एक ऊर्जा नियम को प्रयोग करते समय एक उत्तरजीविता फलन प्रतिनिधित्व पीडीएफ के साथ रहता है, यह गणितीय अशुद्धि से रहित नहीं है। इस प्रकार, एक ऊर्जा नियम वितरण के प्रतिपादकों का आकलन करते समय, अधिकतम संभावना अनुमानक की संस्तुति की जाती है।

अनुभवजन्य डेटा से घातांक का अनुमान

ऊर्जा नियम छोर के लिए स्केलिंग घातांक के मूल्य का आकलन करने के कई तरीके हैं, यद्यपि उनमें से सभी अभिनति के लिए सुधार के बाद अधिकतम संभावना अनुमान द्वितीयक श्रेणी दक्षता प्रदान नहीं करते हैं। कुछ सबसे विश्वसनीय तकनीकें प्रायः अधिकतम संभावना अनुमान की पद्धति पर आधारित होती हैं। वैकल्पिक तरीके प्रायः लॉग-लॉग प्रायिकता, लॉग-लॉग संचयी वितरण फलन या लॉग-बिन्ड डेटा पर एक रेखीय प्रतिगमन बनाने पर आधारित होते हैं, लेकिन इन उपागमों से बचा जाना चाहिए क्योंकि वे अत्यधिक पक्षपाती अनुमानों को जन्म दे सकते हैं।

अधिकतम संभाव्यता

वास्तविक-मूल्यों के लिए, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित डेटा के लिए, हम ऊर्जा नियम वितरण के

$p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }$ के रूप का पालन करते हैं।

डेटा के लिए $x\geq x_{\min }$, जहां गुणांक ${\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}$ यह सुनिश्चित करने के लिए सम्मिलित किया गया है कि वितरण सामान्यीकरण स्थिर है। $x_{\min }$ के लिए लॉग संभाव्यता फलन बन जाता है:

${\mathcal {L}}(\alpha )=\log \prod _{i=1}^{n}{\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }$ $\alpha$ के मापदंडों के संबंध में अंतर करके इस संभाव्यता का उन्नत निरूपण किया जा सकता है और परिणाम को शून्य पर स्थित किया जा सकता है। पुनर्व्यवस्था पर, यह अनुमानक समीकरण उत्पन्न करता है:

${\hat {\alpha }}=1+n\left[\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right]^{-1}$

जहाँ $\{x_{i}\}$, $n$ डेटा अंक है और $x_{i}\geq x_{\min }$ है .यह अनुमानक आदेश के एक छोटे परिमित प्रतिरूप-आकार $O(n^{-1})$ के अभिनति को प्रदर्शित करता है , जो छोटा है जब n > 100। इसके अतिरिक्त, अनुमान की मानक त्रुटि है $\sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})$. यह अनुमानक लोकप्रिय है और मात्रात्मक वित्त और चरम मूल्य सिद्धांत से हिल अनुमानक के समान है।

एन पूर्णांक-मूल्य$\{x_{i}\}$ डेटा बिंदुओं के समुच्चय के लिए , जहां प्रत्येक $x_{i}\geq x_{\min }$है , अधिकतम संभावना प्रतिपादक अनुभवातीत समीकरण का हल है

${\frac {\zeta '({\hat {\alpha }},x_{\min })}{\zeta ({\hat {\alpha }},x_{\min })}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}$

जहाँ $\zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })$ रिमेंन जीटा फलन का सामान्यीकरण है। इस अनुमान में अनिश्चितता निरंतर समीकरण के समान सूत्र का अनुसरण करती है। यद्यपि, ${\hat {\alpha }}$ के लिए दो समीकरण समतुल्य नहीं हैं, और निरंतर संस्करण को असतत डेटा पर लागू नहीं किया जाना चाहिए, और न ही इसके विपरीत लागू किया जाना चाहिए।

इसके अतिरिक्त, इन दोनों अनुमानकों को $x_{\min }$ की आवश्यकता होती है, गैर-तुच्छ फलनों के लिए $L(x)$ फलन को $x_{\min }$ चुनना ${\hat {\alpha }}$ में एक महत्वपूर्ण अभिनति उत्पन्न करता है , जबकि इसे बहुत बड़ा चुनने से अनिश्चितता बढ़ जाती है, और ${\hat {\alpha }}$ हमारे प्रारूप की सांख्यिकीय ऊर्जा को कम करता है। प्रायः, का सबसे अच्छा विकल्प $x_{\min }$ के विशेष रूप पर दृढ़ता से निर्भर करता है, जिसका प्रतिनिधित्व $L(x)$ के द्वारा किया जाता है।

इन तरीकों के बारे में और जिन शर्तों के तहत उनका उपयोग किया जा सकता है, उनके बारे में अधिक जानकारी इकट्ठा की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, यह व्यापक समीक्षा लेख ऊर्जा नियम वितरण के लिए अनुमान और परीक्षण दिनचर्या मे प्रयोग करने योग्य कोड मैटलैब , पायथन , आर और सी++ प्रदान करता है।

कोलमोगोरोव-स्मिर्नोव अनुमान

ऊर्जा नियम घातांक के आकलन के लिए एक अन्य विधि, जो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित डेटा नहीं मानती है, कोलमोगोरोव-स्मिर्नोव स्टेटिस्टिक के न्यूनीकरण का उपयोग करती है, $D$, डेटा और विद्युत नियम के संचयी वितरण फलनों के बीच:

${\hat {\alpha }}={\underset {\alpha }{\operatorname {arg\,min} }}\,D_{\alpha }$

साथ

$D_{\alpha }=\max _{x}|P_{\mathrm {emp} }(x)-P_{\alpha }(x)|$

जहाँ $P_{\mathrm {emp} }(x)$ और $P_{\alpha }(x)$ प्रतिपादक के साथ डेटा और ऊर्जा नियम के $\alpha$ सीडीएफ को निरूपित करें। चूंकि यह विधि आईआईडी डेटा नहीं मानती है, यह डेटा समुच्चय के लिए ऊर्जा नियम घातांक निर्धारित करने का एक वैकल्पिक तरीका प्रदान करती है जिसमें अस्थायी सहसंबंध को अनदेखा नहीं किया जा सकता है।

दो-बिंदु समंजन विधि

इस कसौटी को स्केल स्वतंत्र वितरण के संदर्भ में ऊर्जा नियम घातांक के अनुमान के लिए लागू किया जा सकता है और अधिकतम संभाव्य विधि की तुलना में अधिक अभिसरण अनुमान प्रदान करता है। फ्रैक्चर एपर्चर के संभाव्यता वितरण का अध्ययन करने के लिए इसे लागू किया गया है। कुछ संदर्भों में संभाव्यता वितरण संचयी वितरण फलन द्वारा नहीं बल्कि संपत्ति X के संचयी आवृत्ति विश्लेषण द्वाराका वर्णन किया गया है और प्रति मीटर या क्षेत्र इकाई, सेकंड आदि तत्वों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए X > x लागू होता है, जहाँ x वास्तविक चर संख्या है। उदहारण के लिए, एन तत्वों के प्रतिरूपों के लिए फ्रैक्चर एपर्चर, एक्स का संचयी वितरण 'एक्स से अधिक एपर्चर वाले प्रति मीटर फ्रैक्चर की संख्या' के रूप में परिभाषित किया गया है। संचयी बारंबारता के उपयोग के कुछ लाभ हैं, उदाहरण के लिए यह अलग-अलग मानदंडों पर अलग-अलग लंबाई की प्रारूप रेखाओ से एकत्र किए गए एक ही आरेख डेटा पर रखने की अनुमति देता है।

विद्युत नियमों को मान्य करना

यद्यपि ऊर्जा नियम संबंध कई सैद्धांतिक कारणों से आकर्षक हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि डेटा वास्तव में एक ऊर्जा नियम संबंध का पालन करता है, केवल डेटा के लिए एक विशेष प्रारूप को स्थित करने की आवश्यकता नहीं है।वितरण को जन्म देने वाले तंत्र को समझना महत्वपूर्ण है की सतही रूप से समान वितरण अलग-अलग कारणों से उत्पन्न हो सकते हैं, और अलग-अलग प्रारूप अलग-अलग अनुमान देते हैं।

उदाहरण के लिए, लॉग-सामान्य वितरण प्रायः ऊर्जा नियम वितरण के लिए गलत होते हैं: लॉग-सामान्य वितरण से तैयार किया गया डेटा समुच्चय बड़े मूल्यों के लिए लगभग रैखिक होगा , लेकिन छोटे मूल्यों के लिए लॉगनॉर्मल महत्वपूर्ण रूप से झुक जाएगा।

उदाहरण के लिए, आनुपातिक विकास प्रक्रियाओं के बारे में जिब्राट का नियम उन वितरणों का उत्पादन करता है जो असामान्य हैं, यद्यपि उनके लॉग-लॉग आरेख एक सीमित सीमा पर रैखिक दिखते हैं। इसकी एक व्याख्या यह है कि यद्यपि लॉग-सामान्य संभाव्यता घनत्व फलन का लघुगणक द्विघात log(x) है , तों लॉग-लॉग आरेख में झुके हुए आकार की उत्पत्ति होगी , यदि द्विघात शब्द रैखिक शब्द के सापेक्ष छोटा है, तो परिणाम लगभग रैखिक दिखाई दे सकता है, और लॉग-सामान्य संबंध केवल तब दिखाई देता है जब द्विघात शब्द अधिक महत्वपूर्ण होता है, जिसके लिए अत्यधिक डेटा की आवश्यकता हो सकती हैl इसलिए, एक लॉग-लॉग आरेख जो थोड़ा नीचे झुका हुआ है, एक लॉग-सामान्य वितरण को प्रतिबिंबित कर सकता है परंतु ऊर्जा नियम को नहीं।

प्रायः, कई वैकल्पिक फलनात्मक रूप कुछ सीमा तक ऊर्जा नियम रूप का पालन करने के लिए प्रकट हो सकते हैं। लॉग-लॉग क्षेत्र में अनुभवजन्य संचयी वितरण फलन को प्रदर्शित करने का प्रस्ताव दिया और दावा किया कि उम्मीदवार ऊर्जा नियम में परिमाण के कम से कम दो श्रेणियाँ सम्मिलित होने चाहिए। साथ ही, शोधकर्ताओं को सामान्यतः यह तय करने की समस्या का सामना करना पड़ता है कि वास्तविक संसार संभाव्यता वितरण एक ऊर्जा नियम का पालन करता है या नहीं। इस समस्या के समाधान के रूप में, डियाज़यादृच्छिक प्रतिरूपों के आधार पर एक रेखाचित्रीय पद्धति प्रस्तावित की गई है जो विभिन्न प्रकार के छोर संबंध के बीच दृष्टि से समझदार होने की अनुमति देती है। यह फलनप्रणाली अवशिष्ट मात्रात्मक फलनों के बंडलों का उपयोग करती है, जिसे प्रतिशतक अवशिष्ट जीवन फलन भी कहा जाता है, जो भारी और गैर-भारी छोर सहित कई अलग-अलग प्रकार के वितरण छोरों की विशेषता है। यद्यपि डेटा उत्पत्ति की प्रक्रिया को चलाने वाले अंतर्निहित तंत्र में ऊर्जा नियम का समर्थन करने के लिए सांख्यिकीय और सैद्धांतिक पृष्ठभूमि दोनों की आवश्यकता का दावा किया। ऊर्जा नियम रिलेशन को मान्य करने का विधि डेटा के साथ विशेष उत्पत्ति प्रक्रिया के कई आयतीय अनुमानों का परीक्षण करता है। केवल विशेष प्रकार के डेटा के संबंध में ऊर्जा नियम को स्थित करना तर्कसंगत दृष्टिकोण नहीं माना जाता है। जैसे, आधुनिक विज्ञान के कई क्षेत्रों में ऊर्जा नियम के दावों का सत्यापन अनुसंधान का बहुत सक्रिय क्षेत्र बना हुआ है।

यह भी देखें

• वसा-पूंछ वितरण
• भारी पूंछ वितरण
• अतिशयोक्तिपूर्ण विकास
• लेवी उड़ान
• लंबी पूंछ
• परेटो वितरण
• पावर-लॉ तरल पदार्थ
• साइमन मॉडल
• स्थिर वितरण
• स्टीवंस का शक्ति नियम

संदर्भ

Notes

Bibliography

• Albert, J. S.; Reis, R. E., eds. (2011). Historical Biogeography of Neotropical Freshwater Fishes. Berkeley: University of California Press.
• Bak, Per (1997). How nature works. Oxford University Press. ISBN 0-19-850164-1.
• Buchanan, Mark (2000). Ubiquity. Weidenfeld & Nicolson. ISBN 0-297-64376-2.
• Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). "Power-Law Distributions in Empirical Data". SIAM Review. 51 (4): 661–703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111. S2CID 9155618.
• Laherrère, J.; Sornette, D. (1998). "Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales". European Physical Journal B. 2 (4): 525–539. arXiv:cond-mat/9801293. Bibcode:1998EPJB....2..525L. doi:10.1007/s100510050276. S2CID 119467988.
• Mitzenmacher, M. (2004). "A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions" (PDF). Internet Mathematics. 1 (2): 226–251. doi:10.1080/15427951.2004.10129088. S2CID 1671059.
• Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009). Theory of Zipf's law and beyond. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Vol. 632. Springer. ISBN 978-3-642-02945-5.
• Simon, H. A. (1955). "On a Class of Skew Distribution Functions". Biometrika. 42 (3/4): 425–440. doi:10.2307/2333389. JSTOR 2333389.
• Sornette, Didier (2006). Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools. Springer Series in Synergetics (2nd ed.). Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-30882-9.
• Stumpf, M.P.H.; Porter, M.A. (2012). "Critical Truths about Power Laws". Science. 335 (6069): 665–666. Bibcode:2012Sci...335..665S. doi:10.1126/science.1216142. PMID 22323807. S2CID 206538568.

बाहरी संबंध

• Zipf, Power-laws, and Pareto – a ranking tutorial Archived 2007-10-26 at the Wayback Machine
• Stream Morphometry and Horton's Laws
• "How the Finance Gurus Get Risk All Wrong" by Benoit Mandelbrot & Nassim Nicholas Taleb. Fortune, July 11, 2005.
• "Million-dollar Murray": power-law distributions in homelessness and other social problems; by Malcolm Gladwell. The New Yorker, February 13, 2006.
• Benoit Mandelbrot & Richard Hudson: The Misbehaviour of Markets (2004)
• Philip Ball: Critical Mass: How one thing leads to another (2005)
• Tyranny of the Power Law from The Econophysics Blog
• So You Think You Have a Power Law – Well Isn't That Special? from Three-Toed Sloth, the blog of Cosma Shalizi, Professor of Statistics at Carnegie-Mellon University.
• Simple MATLAB script which bins data to illustrate power-law distributions (if any) in the data.
• The Erdős Webgraph Server Archived 2021-03-01 at the Wayback Machine visualizes the distribution of the degrees of the webgraph on the download page.