फोइल विधि: Difference between revisions

फोइल विधि
	A visual representation of the FOIL rule. Each colored line represents two terms that must be multiplied.
Type	Method
Field	Elementary algebra, elementary arithmetic
Statement	A technique for multiplying two binomials in an algebraic expression using distributive law.
First stated by	William Betz
First stated in	1929; 97 years ago

Latest revision as of 19:55, 9 February 2023

माध्यमिक विद्यालय में, फोइल दो द्विपदों को गुणा करने की मानक विधि के लिए एक स्मरक है ^[1] इसलिए विधि को फोइल विधि के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। शब्द फोइल शब्द उत्पाद के चार शब्दों का संक्षिप्त रूप है:

प्रथम ("प्रथम" प्रत्येक द्विपद के पदों को एक साथ गुणा किया जाता है)
बाहरी ("बाहर" शब्दों को गुणा किया जाता है - अर्थात, पहले द्विपद का पहला पद और दूसरे का दूसरा पद)
आंतरिक ("अंदर" शब्दों को गुणा किया जाता है - पहले द्विपद का दूसरा पद और दूसरे का पहला पद)
अंतिम ("प्रत्येक द्विपद के अंतिम" शब्द गुणा किए जाते हैं)

सामान्य रूप है

(a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.

ध्यान दें कि $a$ एक पहला शब्द और बाहरी शब्द दोनों है; $b$ दोनों एक अंतिम और आंतरिक शब्द है, और आगे। योग में चार शब्दों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है और फोइल शब्द के अक्षरों के क्रम से मेल खाना आवश्यक नहीं है।

इतिहास

फोइल विधिविधि वितरण कानून का उपयोग करके बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को गुणा करने के लिए अधिक सामान्य विधि का एक विशेष स्थितियों है। फोइल शब्द मूल रूप से बीजगणित सीखने वाले हाई-स्कूल के छात्रों के लिए एक स्मरक के रूप में अभिप्रेत था। यह शब्द विलियम बेट्ज़ के 1929 के पाठ अलजेब्रा फॉर टुडे में दिखाई देता है, जहां वह कहता है :^[2]

... पहला पद, बाहरी पद, भीतरी पद, अंतिम पद। (उपर्युक्त नियम को फोइल शब्द से भी याद किया जा सकता है, जो पहले, बाहरी, आंतरिक, अंतिम शब्दों के पहले अक्षरों द्वारा सुझाया गया है।

विलियम बेट्ज़ उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में गणित में सुधार के आंदोलन में सक्रिय थे, उन्होंने प्राथमिक गणित विषयों पर कई ग्रंथ लिखे थे और "गणित शिक्षा के सुधार के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया था"। ^[3] विलियम बेट्ज़ उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में गणित में सुधार के आंदोलन में सक्रिय थे, उन्होंने प्राथमिक गणित विषयों पर कई ग्रंथ लिखे थे और "गणित शिक्षा के सुधार के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया था"।^[4]

उदाहरण

रैखिक द्विपदों को गुणा करने के लिए विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए,

{\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}

यदि किसी भी द्विपद में घटाव सम्मलित है, तो संबंधित शर्तों को अस्वीकार किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए,

{\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}

वितरण कानून

फोइल विधि वितरण कानून से जुड़ी दो-चरणीय प्रक्रिया के बराबर है: ^[5]

{\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}

पहले चरण में, $c + d$ ) को पहले द्विपद में जोड़ पर वितरित किया जाता है। दूसरे चरण में, वितरण नियम का उपयोग दो शब्दों में से प्रत्येक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि इस प्रक्रिया में वितरण संपत्ति के कुल तीन अनुप्रयोग सम्मलित हैं। विधि के विपरीत, वितरण का उपयोग करने वाली विधि को उत्पादों पर आसानी से लागू किया जा सकता है जैसे ट्रिनोमियल और उच्चतर।

रिवर्स फोइल

फोइल नियम दो द्विपदों के गुणनफल को चार (या कम, यदि समान पद संयुक्त हों तो) एकपदी के योग में परिवर्तित करता है।^[6] रिवर्स प्रक्रिया को फैक्टरिंग या फैक्टराइजेशन कहा जाता है। विशेष रूप से, यदि उपरोक्त प्रमाण को उल्टा पढ़ा जाता है तो यह समूहीकरण द्वारा फैक्टरिंग नामक तकनीक को दर्शाता है।

फोइल के विकल्प के रूप में तालिका

एक विज़ुअल मेमोरी टूल बहुपदों की एक जोड़ी के लिए फोइल स्मरक को किसी भी संख्या में शब्दों के साथ बदल सकता है। पहले बहुपद के पदों को बाएँ किनारे पर और दूसरे बहुपद के पदों को शीर्ष किनारे पर रखते हुए एक तालिका बनाएँ, फिर तालिका को गुणा के गुणनफल से भरें। फोइल नियम के समतुल्य तालिका इस तरह दिखती है:

{\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}

इस स्थितियों में कि ये बहुपद हैं, $(ax + b)(cx + d)$ ,दी गई डिग्री की शर्तों को प्रतिविषम के साथ जोड़कर पाया जाता है:

{\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}

इसलिए $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.$

$(a + b + c)(w + x + y + z)$ ,को गुणा करने के लिए तालिका इस प्रकार होगी:

{\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}

तालिका प्रविष्टियों का योग बहुपदों का उत्पाद है। इस प्रकार:

{\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}

इसी प्रकार, गुणा करने के लिए $(ax 2 + bx + c)(dx 3 + ex 2 + fx + g)$ , एक ही तालिका लिखती है:

{\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}

और प्रतिविषम के साथ रकम::

{\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}

सामान्यीकरण

फोइल नियम को दो से अधिक बहुभाजित संक्रिया या दो से अधिक योग वाले बहुभाजित संक्रिया वाले विस्तारित उत्पादों पर सीधे लागू नहीं किया जा सकता है। सम्मलित, साहचर्य कानून और पुनरावर्ती फ़ॉइलिंग को लागू करने से ऐसे उत्पादों का विस्तार करने की अनुमति मिलती है। उदाहरण के लिए:

{\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}

वितरण पर आधारित वैकल्पिक विधि फोइल नियम के उपयोग को छोड़ देते हैं, किन्तु याद रखना और लागू करना आसान हो सकता है। उदाहरण के लिए:

\begin{aligned} (a + b + c + d) (x + y + z + w) & = (a + (b + c + d)) (x + y + z + w) \\ = a (x + y + z + w) + (b + c + d) (x + y + z + w) \\ = a (x + y + z + w) + (b + (c + d)) (x + y + z + w) \\ = a (x + y + z + w) + b (x + y + z + w) \\ + (c + d) (x + y + z + w) \\ = a (x + y + z + w) + b (x + y + z + w) \\ + c (x + y + z + w) + d (x + y + z + w) \\ = a x + a y + a z + a w + b x + b y + b z + b w \\ + c x + c y + c \end{aligned}

यह भी देखें

द्विपद प्रमेय
फैक्टराइजेशन

संदर्भ

↑ "Simplifying using the FOIL Method Lessons". Retrieved 10 May 2018.
↑ Betz, William (1929), Algebra for Today (vol. 1), Ginn and Company, p. 291.
↑ W. D. R. (November 1937), "Review of Algebra for Today : First Year", The Mathematics Teacher, National Council for the Teaching of Mathematics, 30 (7): 348.
↑ McCrea, Emma (2019-05-01). Making Every Maths Lesson Count: Six principles to support great maths teaching (Making Every Lesson Count series) (in English). Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9.
↑ Khare, Apoorva; Lachowska, Anna (2015). Beautiful, Simple, Exact, Crazy: Mathematics in the Real World (in English). Yale University Press. p. 3. ISBN 978-0-300-19089-2. This is sometimes called the "FOIL" method – essentially, it is simply the distributive law applied twice.
↑ Kirkland, Carla C.; Cleveland, Chan (2020-01-29). Praxis Core For Dummies with Online Practice Tests (in English). John Wiley & Sons. p. 78. ISBN 978-1-119-62047-1. ...reverse FOIL can take you in the opposite direction from one expression to two-term expressions times each other. It's a form of factoring.

अग्रिम पठन

Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Schaum's Outline of Theory and Problems of Intermediate Algebra. Schaum's Outline Series. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-060839-9.

[1] "Simplifying using the FOIL Method Lessons". Retrieved 10 May 2018.

[2] Betz, William (1929), Algebra for Today (vol. 1), Ginn and Company, p. 291.

[3] W. D. R. (November 1937), "Review of Algebra for Today : First Year", The Mathematics Teacher, National Council for the Teaching of Mathematics, 30 (7): 348.

[4] McCrea, Emma (2019-05-01). Making Every Maths Lesson Count: Six principles to support great maths teaching (Making Every Lesson Count series) (in English). Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9.

[5] Khare, Apoorva; Lachowska, Anna (2015). Beautiful, Simple, Exact, Crazy: Mathematics in the Real World (in English). Yale University Press. p. 3. ISBN 978-0-300-19089-2. This is sometimes called the "FOIL" method – essentially, it is simply the distributive law applied twice.

[6] Kirkland, Carla C.; Cleveland, Chan (2020-01-29). Praxis Core For Dummies with Online Practice Tests (in English). John Wiley & Sons. p. 78. ISBN 978-1-119-62047-1. ...reverse FOIL can take you in the opposite direction from one expression to two-term expressions times each other. It's a form of factoring.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Mnemonic for finding the product of two binomial functions}}
-{{refimprove|date=April 2016}}
 {{Infobox mathematical statement
 | name = {{PAGENAMEBASE}}
@@ Line 13: / Line 12: @@
 | first stated date = {{date and age|1929}}
 }}
-माध्यमिक विद्यालय में, '' पन्नी '' दो [[द्विपद (बहुपद)]] को गुणा करने की मानक विधि के लिए एक [[mnemonic]] है<ref>{{cite web |url=https://www.wyzant.com/resources/lessons/math/algebra/foil | title=Simplifying using the FOIL Method Lessons | access-date=10 May 2018}}</ref>& mdash; इसलिए विधि को पन्नी विधि के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।शब्द '' पन्नी '' उत्पाद के चार शब्दों के लिए एक संक्षिप्त नाम है:
+माध्यमिक विद्यालय में, फोइल दो [[द्विपद (बहुपद)|द्विपदों]] को गुणा करने की मानक विधि के लिए एक स्मरक है <ref>{{cite web |url=https://www.wyzant.com/resources/lessons/math/algebra/foil | title=Simplifying using the FOIL Method Lessons | access-date=10 May 2018}}</ref> इसलिए विधि को  फोइल विधि के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। शब्द'' फोइल '' शब्द उत्पाद के चार शब्दों का संक्षिप्त रूप है:
-* पहले (प्रत्येक द्विपद की पहली शर्तें एक साथ गुणा की जाती हैं)
+* प्रथम ("प्रथम" प्रत्येक द्विपद के पदों को एक साथ गुणा किया जाता है)
-* बाहरी (बाहर की शर्तें गुणा की जाती हैं - यानी, पहले द्विपद का पहला शब्द और दूसरे का दूसरा कार्यकाल)
+* बाहरी ("बाहर" शब्दों को गुणा किया जाता है - अर्थात, पहले द्विपद का पहला पद और दूसरे का दूसरा पद)
-* आंतरिक (अंदर की शर्तों को गुणा किया जाता है - पहले द्विपद का एक शब्द शब्द और दूसरे के पहले शब्द)
+* आंतरिक ("अंदर" शब्दों को गुणा किया जाता है - पहले द्विपद का दूसरा पद और दूसरे का पहला पद)
-* अंतिम (प्रत्येक द्विपद की अंतिम शर्तें गुणा हैं)
+* अंतिम ("प्रत्येक द्विपद के अंतिम" शब्द गुणा किए जाते हैं)
 सामान्य रूप है
 : <math>(a + b)(c + d) = \underbrace{ac}_\text{first} + \underbrace{ad}_\text{outside} + \underbrace{bc}_\text{inside} + \underbrace{bd}_\text{last}.</math>
-ध्यान दें कि {{mvar|a}} एक पहला शब्द और बाहरी शब्द दोनों है; {{mvar|b}} दोनों एक अंतिम और आंतरिक शब्द है, और आगे।योग में चार शब्दों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है और पन्नी शब्द में अक्षरों के क्रम से मेल खाने की आवश्यकता नहीं है।
+ध्यान दें कि {{mvar|a}} एक पहला शब्द और बाहरी शब्द दोनों है; {{mvar|b}} दोनों एक अंतिम और आंतरिक शब्द है, और आगे। योग में चार शब्दों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है और फोइल शब्द के अक्षरों के क्रम से मेल खाना आवश्यक नहीं है।
 == इतिहास ==
-पन्नी विधि वितरण कानून का उपयोग करके बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को गुणा करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि का एक विशेष मामला है।पन्नी शब्द मूल रूप से पूरी तरह से उच्च विद्यालय के छात्रों के लिए एक एमनेमोनिक के रूप में था, जो बीजगणित सीख रहा था।यह शब्द विलियम बेट्ज़ के 1929 के पाठ बीजगणित में आज के लिए दिखाई देता है, जहां वह कहता है:<ref>{{citation |first=William |last=Betz |title=Algebra for Today (vol. 1) |year=1929 |publisher=Ginn and Company |page=291}}.</ref>
+फोइल विधिविधि वितरण कानून का उपयोग करके [[बीजगणितीय अंश|बीजगणितीय]] अभिव्यक्तियों को गुणा करने के लिए अधिक सामान्य विधि का एक विशेष स्थितियों है। फोइल शब्द मूल रूप से बीजगणित सीखने वाले हाई-स्कूल के छात्रों के लिए एक स्मरक के रूप में अभिप्रेत था। यह शब्द विलियम बेट्ज़ के 1929 के पाठ अलजेब्रा फॉर टुडे में दिखाई देता है, जहां वह कहता है :<ref>{{citation |first=William |last=Betz |title=Algebra for Today (vol. 1) |year=1929 |publisher=Ginn and Company |page=291}}.</ref>
 <blockquote>
-... पहली शर्तें, बाहरी शब्द, आंतरिक शब्द, अंतिम शर्तें।(ऊपर कहा गया नियम पन्नी शब्द से भी याद किया जा सकता है, जो पहले, बाहरी, आंतरिक, अंतिम शब्दों के पहले अक्षरों द्वारा सुझाया गया है।)
+... पहला पद, बाहरी पद, भीतरी पद, अंतिम पद। (उपर्युक्त नियम को फोइल शब्द से भी याद किया जा सकता है, जो पहले, बाहरी, आंतरिक, अंतिम शब्दों के पहले अक्षरों द्वारा सुझाया गया है।
 </blockquote>
-विलियम बेट्ज़ उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में गणित में सुधार के आंदोलन में सक्रिय थे, ने [[प्राथमिक गणित]] के विषयों पर कई ग्रंथ लिखे थे और उन्होंने अपने जीवन को गणित की शिक्षा के सुधार के लिए समर्पित किया था।<ref>{{citation |author=W. D. R. |title=Review of Algebra for Today : First Year |journal=The Mathematics Teacher |volume=30 |issue=7 |date=November 1937 |page=348 |publisher=National Council for the Teaching of Mathematics}}.</ref> अमेरिका में कई छात्र और शिक्षक अब दो द्विपद के उत्पाद का विस्तार करने के लिए एक क्रिया के रूप में पन्नी शब्द का उपयोग करते हैं।<ref>{{Cite book |last=McCrea |first=Emma |url=https://books.google.com/books?id=IA-TDwAAQBAJ&dq=%22to+expand+the+product+of+two+binomials%22&pg=PT70 |title=Making Every Maths Lesson Count: Six principles to support great maths teaching (Making Every Lesson Count series) |date=2019-05-01 |publisher=Crown House Publishing Ltd |isbn=978-1-78583-421-9 |language=en}}</ref>
+'''''विलियम बेट्ज़''''' उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में गणित में सुधार के आंदोलन में सक्रिय थे, उन्होंने प्राथमिक गणित विषयों पर कई ग्रंथ लिखे थे और "गणित शिक्षा के सुधार के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया था"। <ref>{{citation |author=W. D. R. |title=Review of Algebra for Today : First Year |journal=The Mathematics Teacher |volume=30 |issue=7 |date=November 1937 |page=348 |publisher=National Council for the Teaching of Mathematics}}.</ref> विलियम बेट्ज़ उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में गणित में सुधार के आंदोलन में सक्रिय थे, उन्होंने प्राथमिक गणित विषयों पर कई ग्रंथ लिखे थे और "गणित शिक्षा के सुधार के लिए अपना जीवन समर्पित कर दिया था"।<ref>{{Cite book |last=McCrea |first=Emma |url=https://books.google.com/books?id=IA-TDwAAQBAJ&dq=%22to+expand+the+product+of+two+binomials%22&pg=PT70 |title=Making Every Maths Lesson Count: Six principles to support great maths teaching (Making Every Lesson Count series) |date=2019-05-01 |publisher=Crown House Publishing Ltd |isbn=978-1-78583-421-9 |language=en}}</ref>
 == उदाहरण ==
-विधि का उपयोग आमतौर पर रैखिक फ़ंक्शन बिनोमियल को गुणा करने के लिए किया जाता है।उदाहरण के लिए,
+रैखिक द्विपदों को गुणा करने के लिए विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए,
 : <math>\begin{align}
 (x + 3)(x + 5) &= x \cdot x + x \cdot 5 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5 \\
@@ Line 38: / Line 35: @@
                 &= x^2 + 8x + 15.
 \end{align}</math>
-यदि या तो द्विपद में [[घटाव]] शामिल है, तो संबंधित शब्दों को [[नकार]] दिया जाना चाहिए।उदाहरण के लिए,
+यदि किसी भी द्विपद में घटाव सम्मलित है, तो संबंधित शर्तों को अस्वीकार किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए,
 : <math>\begin{align}
 (2x - 3)(3x - 4) &= (2x)(3x) + (2x)(-4) + (-3)(3x) + (-3)(-4) \\
@@ Line 44: / Line 41: @@
                   &= 6x^2 - 17x + 12.
 \end{align}</math>
+== वितरण कानून ==
+{{See also|
+वितरण कानून}}
+फोइल विधि वितरण कानून से जुड़ी दो-चरणीय प्रक्रिया के बराबर है: <ref>{{Cite book |last1=Khare |first1=Apoorva |url=https://books.google.com/books?id=6jFOCgAAQBAJ&dq=FOIL+method++distributive+law:&pg=PA3 |title=Beautiful, Simple, Exact, Crazy: Mathematics in the Real World |last2=Lachowska |first2=Anna |date=2015 |publisher=Yale University Press |isbn=978-0-300-19089-2 |pages=3 |language=en |quote=This is sometimes called the “FOIL” method – essentially, it is simply the distributive law applied twice}}.</ref>
-== वितरण कानून ==
-{{See also|Distributive law}}
-पन्नी विधि एक दो-चरण प्रक्रिया के बराबर है जिसमें वितरण कानून शामिल है:<ref>{{Cite book |last1=Khare |first1=Apoorva |url=https://books.google.com/books?id=6jFOCgAAQBAJ&dq=FOIL+method++distributive+law:&pg=PA3 |title=Beautiful, Simple, Exact, Crazy: Mathematics in the Real World |last2=Lachowska |first2=Anna |date=2015 |publisher=Yale University Press |isbn=978-0-300-19089-2 |pages=3 |language=en |quote=This is sometimes called the “FOIL” method – essentially, it is simply the distributive law applied twice}}.</ref>
 : <math>\begin{align}
 (a + b)(c + d) &= a(c + d) + b(c + d) \\
                 &= ac + ad + bc + bd.
 \end{align}</math>
-पहले चरण में,{{math|''c'' + ''d''}}) पहले द्विपद में इसके अलावा वितरित किया जाता है।दूसरे चरण में, वितरण कानून का उपयोग दो शब्दों में से प्रत्येक को सरल बनाने के लिए किया जाता है।ध्यान दें कि इस प्रक्रिया में वितरण संपत्ति के कुल तीन अनुप्रयोग शामिल हैं।पन्नी विधि के विपरीत, वितरण का उपयोग करने वाली विधि को अधिक शर्तों जैसे कि [[त्रिनोमील]] और उच्चतर के साथ उत्पादों पर आसानी से लागू किया जा सकता है।
+पहले चरण में, {{math|''c'' + ''d''}}) को पहले द्विपद में जोड़ पर वितरित किया जाता है। दूसरे चरण में, वितरण नियम का उपयोग दो शब्दों में से प्रत्येक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि इस प्रक्रिया में वितरण संपत्ति के कुल तीन अनुप्रयोग सम्मलित हैं। विधि के विपरीत, वितरण का उपयोग करने वाली विधि को उत्पादों पर आसानी से लागू किया जा सकता है जैसे ट्रिनोमियल और उच्चतर।
-== रिवर्स पन्नी ==
+== रिवर्स फोइल ==
-पन्नी नियम दो द्विपदों के एक उत्पाद को चार (या कम, यदि [[शर्तों की तरह]] संयुक्त रूप से संयुक्त) में परिवर्तित करता है।<ref>{{Cite book |last1=Kirkland |first1=Carla C. |url=https://books.google.com/books?id=Om_NDwAAQBAJ&dq=Reverse+FOIL&pg=PA78 |title=Praxis Core For Dummies with Online Practice Tests |last2=Cleveland |first2=Chan |date=2020-01-29 |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-1-119-62047-1 |pages=78 |language=en |quote=...reverse FOIL can take you in the opposite direction from one expression to two-term expressions times each other. It's a form of factoring.}}</ref> रिवर्स प्रक्रिया को फैक्टरिंग या फैक्टरकरण कहा जाता है।विशेष रूप से, यदि उपरोक्त प्रमाण को रिवर्स में पढ़ा जाता है, तो यह तकनीक को दर्शाता है जिसे [[गुणन]]#फैक्टरिंग द्वारा समूहीकृत किया जाता है।
+फोइल नियम दो द्विपदों के गुणनफल को चार (या कम, यदि समान पद संयुक्त हों तो) एकपदी के योग में परिवर्तित करता है।<ref>{{Cite book |last1=Kirkland |first1=Carla C. |url=https://books.google.com/books?id=Om_NDwAAQBAJ&dq=Reverse+FOIL&pg=PA78 |title=Praxis Core For Dummies with Online Practice Tests |last2=Cleveland |first2=Chan |date=2020-01-29 |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-1-119-62047-1 |pages=78 |language=en |quote=...reverse FOIL can take you in the opposite direction from one expression to two-term expressions times each other. It's a form of factoring.}}</ref> रिवर्स प्रक्रिया को फैक्टरिंग या फैक्टराइजेशन कहा जाता है। विशेष रूप से, यदि उपरोक्त प्रमाण को उल्टा पढ़ा जाता है तो यह समूहीकरण द्वारा फैक्टरिंग नामक तकनीक को दर्शाता है।
-== पन्नी के विकल्प के रूप में तालिका ==
+== फोइल के विकल्प के रूप में तालिका ==
-एक दृश्य मेमोरी टूल किसी भी संख्या के साथ बहुपद की एक जोड़ी के लिए पन्नी मेनेमोनिक को बदल सकता है।बाएं किनारे पर पहले बहुपद और शीर्ष किनारे पर दूसरे की शर्तों के साथ एक तालिका बनाएं, फिर गुणन के उत्पादों के साथ तालिका में भरें।पन्नी नियम के बराबर तालिका इस तरह दिखती है:
+एक विज़ुअल मेमोरी टूल बहुपदों की एक जोड़ी के लिए फोइल स्मरक को किसी भी संख्या में शब्दों के साथ बदल सकता है। पहले बहुपद के पदों को बाएँ किनारे पर और दूसरे बहुपद के पदों को शीर्ष किनारे पर रखते हुए एक तालिका बनाएँ, फिर तालिका को गुणा के गुणनफल से भरें। फोइल नियम के समतुल्य तालिका इस तरह दिखती है:
 : <math>\begin{array}{c|cc}
 \times & c  & d \\
@@ Line 66: / Line 63: @@
 b      & bc & bd
 \end{array}</math>
-मामले में कि ये बहुपद हैं, {{math|(''ax'' + ''b'')(''cx'' + ''d'')}}, किसी दिए गए डिग्री की शर्तें [[वंशज]]्स के साथ जोड़कर पाई जाती हैं:
+इस स्थितियों में कि ये बहुपद हैं,{{math|(''ax'' + ''b'')(''cx'' + ''d'')}},दी गई डिग्री की शर्तों को प्रति[[विषम कटैलिसीस|विषम]] के साथ जोड़कर पाया जाता है:
 : <math>\begin{array}{c|cc}
 \times & cx    & d \\
@@ Line 74: / Line 71: @@
 \end{array}</math>
 इसलिए <math>(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd.</math>
-गुणा करने के लिए {{math|(''a'' + ''b'' + ''c'')(''w'' + ''x'' + ''y'' + ''z'')}}, तालिका इस प्रकार होगी:
+{{math|(''a'' + ''b'' + ''c'')(''w'' + ''x'' + ''y'' + ''z'')}},को गुणा करने के लिए तालिका इस प्रकार होगी:
 : <math>\begin{array}{c|cccc}
 \times & w & x & y & z \\
@@ Line 82: / Line 80: @@
 c & cw & cx & cy & cz
 \end{array}</math>
-तालिका प्रविष्टियों का योग बहुपद का उत्पाद है।इस प्रकार:
+तालिका प्रविष्टियों का योग बहुपदों का उत्पाद है। इस प्रकार:
 :<math>\begin{align}
   (a + b + c)(w + x + y + z) &= (aw + ax + ay + az) \\
@@ Line 88: / Line 86: @@
   &+ (cw + cx + cy + cz).
 \end{align}</math>
-इसी तरह, गुणा करने के लिए {{math|(''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'')(''dx''<sup>3</sup> + ''ex''<sup>2</sup> + ''fx'' + ''g'')}}, एक ही तालिका लिखती है:
+इसी प्रकार, गुणा करने के लिए {{math|(''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'')(''dx''<sup>3</sup> + ''ex''<sup>2</sup> + ''fx'' + ''g'')}}, एक ही तालिका लिखती है:
 :<math>\begin{array}{c|cccc}
 \times & d & e & f & g \\
@@ Line 96: / Line 94: @@
 c & cd & ce & cf & cg
 \end{array}</math>
-और Antidiagonals के साथ रकम:
+और प्रतिविषम के साथ रकम::
 : <math>\begin{align}
 (ax^2 &+ bx + c)(dx^3 + ex^2 + fx + g) \\
        &= adx^5 + (ae + bd)x^4 + (af + be + cd)x^3 + (ag + bf + ce)x^2 + (bg + cf)x + cg.
 \end{align}</math>
 == सामान्यीकरण ==
-पन्नी नियम को सीधे दो से अधिक मल्टीप्लाइंड या दो से अधिक संक्षेपों के साथ उत्पादों के विस्तार के लिए लागू नहीं किया जा सकता है।हालांकि, सहयोगी और पुनरावर्ती पन्नी को लागू करने से किसी को ऐसे उत्पादों का विस्तार करने की अनुमति मिलती है।उदाहरण के लिए:
+फोइल नियम को दो से अधिक बहुभाजित संक्रिया या दो से अधिक योग वाले बहुभाजित संक्रिया वाले विस्तारित उत्पादों पर सीधे लागू नहीं किया जा सकता है। सम्मलित, साहचर्य कानून और पुनरावर्ती फ़ॉइलिंग को लागू करने से ऐसे उत्पादों का विस्तार करने की अनुमति मिलती है। उदाहरण के लिए:
 : <math>\begin{align}
 (a + b + c + d)(x + y + z + w) &= ((a + b) + (c + d))((x + y) + (z + w)) \\
@@ Line 112: / Line 108: @@
   &+ cx + cy + dx + dy + cz + cw + dz + dw.
 \end{align}</math>
-पन्नी नियम के उपयोग को वितरित करने के आधार पर वैकल्पिक तरीके, लेकिन याद रखना और लागू करना आसान हो सकता है।उदाहरण के लिए:
+वितरण पर आधारित वैकल्पिक विधि फोइल नियम के उपयोग को छोड़ देते हैं, किन्तु याद रखना और लागू करना आसान हो सकता है। उदाहरण के लिए:
 :<math>\begin{align}
 (a + b + c + d)(x + y + z + w) &= (a + (b + c + d))(x + y + z + w) \\
@@ Line 124: / Line 120: @@
   &\qquad + cx + cy + cz + cw + dx + dy + dz + dw.
 \end{align}</math>
 == यह भी देखें ==
 * [[द्विपद प्रमेय]]
@@ Line 137: / Line 131: @@
 * {{cite book |first1=Ray |last1=Steege |first2=Kerry |last2=Bailey |title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Intermediate Algebra |year=1997 |publisher=McGraw–Hill |place=New York |series=Schaum's Outline Series |isbn=978-0-07-060839-9 }}
-{{Math mnemonics}}
+{{DEFAULTSORT:Foil Method}}
-{{DEFAULTSORT:Foil Method}}[[Category: प्राथमिक बीजगणित]] [[Category: मेनेमोनिक संक्षिप्त नाम]] [[Category: विज्ञान -विज्ञान]] [[Category: गुणा]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Foil Method]]
-[[Category:Created On 03/02/2023]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:Created On 03/02/2023|Foil Method]]
+[[Category:Lua-based templates|Foil Method]]
+[[Category:Machine Translated Page|Foil Method]]
+[[Category:Pages with script errors|Foil Method]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Foil Method]]
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