गणित की नींव: Difference between revisions

Latest revision as of 20:24, 9 February 2023

गणित की नींव दर्शन और तार्किक का अध्ययन है^[1] और/या गणित का कलन विधि आधार, या, व्यापक अर्थ में, गणित की प्रकृति से संबंधित दार्शनिक सिद्धांतों के आधार पर गणितीय जांच करने के लिए किया जाता है।^[2] इस बाद के अर्थ में, गणित की नींव और गणित के दर्शन के बीच का अंतर अस्पष्ट हो जाता है।

गणित की नींव को मौलिक गणितीय अवधारणाओं (सेट, फ़ंक्शन, ज्यामितीय आकृति, संख्या, आदि) के अध्ययन के रूप में माना जा सकता है और वे कैसे अधिक जटिल संरचनाओं और अवधारणाओं के पदानुक्रम बनाते हैं, विशेष रूप से मौलिक रूप से महत्वपूर्ण संरचनाएं जो गणित की भाषा बनाती हैं। (सूत्र, सिद्धांत और उनके मॉडल सिद्धांत जो सूत्रों, परिभाषाओं, प्रमाणों, एल्गोरिदम आदि को अर्थ देते हैं) को मेटामैथमैटिक्स भी कहा जाता है, जिसमें दार्शनिक पहलुओं और गणित की एकता पर केंद्रित होती है। गणित की नींव की खोज गणित के दर्शन का केंद्रीय प्रश्न है, गणितीय वस्तुओं की अमूर्त प्रकृति विशेष दार्शनिक चुनौतियाँ प्रस्तुत करती है।

समग्र रूप से गणित की नींव का उद्देश्य हर गणितीय विषय की नींव रखना नहीं है।

सामान्यतः, अध्ययन के क्षेत्र की नींव इसकी सबसे मौलिक या मौलिक अवधारणाओं, इसकी वैचारिक एकता और इसके प्राकृतिक क्रम या अवधारणाओं के पदानुक्रम के अधिक या कम व्यवस्थित विश्लेषण को संदर्भित करती है, जो इसे बाकी मानव के साथ जोड़ने में मदद कर सकती है। ज्ञान या नींव का विकास, उद्भव और स्पष्टीकरण किसी क्षेत्र के इतिहास में देर से आता है और हो सकता है कि हर कोई इसके सबसे रोचक भाग के रूप में न देखे।

गणित वैज्ञानिक सोच में विशेष भूमिका निभाता है, प्राचीन काल से तर्कसंगत जांच के लिए सत्य और कठोरता के मॉडल के रूप में सेवा कर रहा है, और अन्य विज्ञानों (विशेष रूप से भौतिकी) के लिए उपकरण या नींव भी दे रहा है। 19वीं शताब्दी में गणित के उच्च अमूर्तीकरण की दिशा में हुए कई विकासों ने नई चुनौतियाँ और विरोधाभास लाए, जो गणितीय सत्य की प्रकृति और मानदंडों की गहन और अधिक व्यवस्थित जाँच के साथ-साथ गणित की विविध शाखाओं के सुसंगत पूरे में एकीकरण का आग्रह करते हैं।

गणित की नींव के लिए व्यवस्थित खोज 19वीं शताब्दी के अंत में प्रारंभ हुई और गणितीय तर्क नामक नए गणितीय अनुशासन का गठन किया, जिसका बाद में सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के साथ शक्तिशाली संबंध था।

यह विरोधाभासी परिणामों के साथ संकटों की श्रृंखला के माध्यम से चला गया, जब तक कि 20 वीं शताब्दी के दौरान कई पहलुओं या घटकों (सेट सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत, आदि) के साथ गणितीय ज्ञान के बड़े और सुसंगत निकाय के रूप में खोजों को स्थिर नहीं किया गया, जिनके विस्तृत गुण और संभावित वेरिएंट अभी भी सक्रिय शोध क्षेत्र हैं।

इसके उच्च स्तर के तकनीकी परिष्कार ने कई दार्शनिकों को यह अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया कि यह अन्य विज्ञानों की नींव के लिए मॉडल या पैटर्न के रूप में कार्य कर सकता है।

ऐतिहासिक संदर्भ

प्राचीन यूनानी गणित

जबकि गणित का अभ्यास पहले अन्य सभ्यताओं में विकसित हुआ था, इसके सैद्धांतिक और मूलभूत पहलुओं में विशेष रुचि प्राचीन यूनानियों के कार्य में स्पष्ट रूप से स्पष्ट थी।

आरंभिक यूनानी दार्शनिकों ने इस बात पर विवाद किया कि कौन अधिक मौलिक अंकगणितीय या ज्यामिति है।

एलिया का ज़ेनो (490 – सी या 430 ईसा पूर्व) ने चार विरोधाभास उत्पन्न किए जो परिवर्तन की असंभवता को प्रदर्शित करते प्रतीत होते हैं। पाइथागोरसवाद ने मूल रूप से जोर देकर कहा कि केवल प्राकृतिक और परिमेय संख्याएँ ही अस्तित्व में हैं। की अपरिमेय संख्या की खोज √2, वर्ग के विकर्ण का उसके किनारे से अनुपात (लगभग 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व), उनके लिए झटका था जिसे उन्होंने केवल अनिच्छा से स्वीकार किया गया। परिमेय और वास्तविक के बीच की विसंगति को अंततः प्लेटो के छात्र कनिडस का यूडोक्सस (408-355 ईसा पूर्व) द्वारा हल किया गया, जिन्होंने दो अपरिमेय अनुपातों की तुलना में सम्मलित परिमाणों के गुणकों की तुलना को कम कर दिया। उनकी पद्धति का अनुमान था कि रिचर्ड डेडेकिंड (1831-1916) द्वारा वास्तविक संख्या की आधुनिक परिभाषा में डेडेकाइंड कट कटौती की गई थी।^[3]

पश्च विश्लेषिकी में, अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) ने आदिम अवधारणाओं, स्वयंसिद्धों, अभिधारणाओं, परिभाषाओं और प्रमेयों के माध्यम से तार्किक रूप से ज्ञान के क्षेत्र को व्यवस्थित करने के लिए स्वयंसिद्ध पद्धति निर्धारित की गई थी। इसके लिए अरस्तू ने अपने अधिकांश उदाहरण अंकगणित और ज्यामिति से लिए किया जाता हैं।

यह पद्धति यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों (300 ईसा पूर्व) के साथ अपने उच्च बिंदु पर पहुंच गई, गणित पर ग्रंथ जो कठोरता के बहुत उच्च मानकों के साथ संरचित है: यूक्लिड प्रत्येक प्रस्ताव को न्यायवाक्य की श्रृंखला के रूप में प्रदर्शन द्वारा उचित ठहराता है चूंकि वे सदैव कड़ाई से अनुरूप नहीं होते हैं।

यूक्लिड के तत्वों द्वारा उदाहरणित स्वयंसिद्ध पद्धति के साथ अरस्तू के तर्कशास्त्रीय तर्क को प्राचीन ग्रीस की वैज्ञानिक उपलब्धियों के रूप में मान्यता प्राप्त है।

गणित के दर्शन के रूप में प्लैटोनिज्म

19वीं शताब्दी के अंत से, गणितज्ञों के अभ्यास के बीच गणित का प्लैटोनिस्ट दृष्टिकोण आम हो गया।^{[citation needed]} अवधारणाएँ या, जैसा कि प्लैटोनिस्टों के पास होगा, गणित की वस्तुएँ अमूर्त हैं और रोज़मर्रा के अवधारणात्मक अनुभव से दूर हैं: ज्यामितीय आकृतियों को वस्तुओं के प्रभावी रेखाचित्रों और आकृतियों से अलग करने के लिए आदर्शों के रूप में माना जाता है, और संख्याओं को कंक्रीट की गिनती के साथ भ्रमित नहीं किया जाता है। इस प्रकार उनका अस्तित्व और प्रकृति विशेष दार्शनिक चुनौतियाँ प्रस्तुत करती हैं: गणितीय वस्तुएँ उनके ठोस प्रतिनिधित्व से कैसे भिन्न होती हैं? क्या वे अपने प्रतिनिधित्व में, या हमारे मन में, या कहीं और स्थित हैं? हम उन्हें कैसे जान सकते हैं?

प्राचीन यूनानी दार्शनिकों ने ऐसे प्रश्नों को बड़ी गम्भीरता से लिया। दरअसल, उनके कई सामान्य दार्शनिक विचार-विमर्श ज्यामिति और अंकगणित के व्यापक संदर्भ में किए गए थे। प्लेटो (424/423 ईसा पूर्व – 348/347 ईसा पूर्व) ने जोर देकर कहा कि गणितीय वस्तुओं, अन्य प्लेटोनिक विचारों (रूपों या सार) की तरह, पूरी तरह से अमूर्त होना चाहिए और मनुष्यों से स्वतंत्र गणितीय वस्तुओं की दुनिया में अलग, गैर-भौतिक प्रकार का अस्तित्व होना चाहिए। उनका मानना था कि इन वस्तुओं के बारे में सच्चाई भी मानव मन से स्वतंत्र रूप से सम्मलित है, किन्तु मनुष्यों द्वारा खोजी जाती है। कम में प्लेटो के शिक्षक सुकरात का दावा है कि स्मृति पुनर्प्राप्ति जैसी प्रक्रिया द्वारा इस सत्य को जानना संभव है।

प्लेटो की अकादमी के प्रवेश द्वार के ऊपर प्रसिद्ध शिलालेख दिखाई दिया था: कोई भी व्यक्ति जो ज्यामिति से अनभिज्ञ हो, यहां प्रवेश न करे। इस प्रकार प्लेटो ने ज्यामिति के बारे में अपनी उच्च राय का संकेत दिया। उन्होंने अपने अमूर्त चरित्र के कारण ज्यामिति को दार्शनिकों के प्रशिक्षण में पहली आवश्यक माना था।

प्लैटोनिज्म (गणित) का यह दर्शन कई गणितज्ञों द्वारा साझा किया गया है।^{[citation needed]} कुछ लेखकों का तर्क है कि प्लैटोनिज्म किसी भी गणितीय कार्य के तहत आवश्यक धारणा के रूप में आता है।^[4]

इस दृष्टि से, प्रकृति के नियमों और गणित के नियमों की समान स्थिति है, और प्राकृतिक विज्ञान में गणित की अनुचित प्रभावशीलता अब अनुचित नहीं है। हमारे स्वयंसिद्ध नहीं, बल्कि गणितीय वस्तुओं की वास्तविक दुनिया नींव बनाती है।

अरस्तू ने अपने तत्वमीमांसा (अरस्तू) में इस विचार को खंडित और खारिज कर दिया। ये प्रश्न दार्शनिक विश्लेषण और बहस के लिए बहुत अधिक ईंधन प्रदान करते हैं।

अरिस्टोटेलियन यथार्थवाद

मध्य युग और पुनर्जागरण

2,000 से अधिक वर्षों के लिए, यूक्लिड के तत्व गणित के लिए पूरी तरह से ठोस आधार के रूप में खड़े थे, क्योंकि इसकी तर्कसंगत अन्वेषण की पद्धति ने गणितज्ञों, दार्शनिकों और वैज्ञानिकों को 19वीं शताब्दी में अच्छी तरह से निर्देशित किया।

मध्य युग में सार्वभौम (प्लैटोनिक विचार) की सत्तामूलक स्थिति पर विवाद देखा गया: दार्शनिक यथार्थवाद ने धारणा से स्वतंत्र रूप से अपने अस्तित्व पर जोर दिया, संकल्पनात्मकता ने उनके अस्तित्व को मन के भीतर ही बल दिया, नाममात्रवाद ने या तो इनकार किया, केवल सार्वभौमिकों को अलग-अलग वस्तुओं के संग्रह के नाम के रूप में देखा गया हैं।

रेने डेसकार्टेस ने ला जियोमेट्री (1637) को प्रकाशित किया, जिसका उद्देश्य निर्देशांक प्रणालियों के माध्यम से ज्यामिति को बीजगणित में कम करना था, जिससे बीजगणित को अधिक मूलभूत भूमिका मिली (जबकि यूनानियों ने संख्याओं को परिभाषित करने के लिए लंबाई का उपयोग किया था जिन्हें वर्तमान में वास्तविक संख्या कहा जाता है)। डेसकार्टेस की पुस्तक 1649 के बाद प्रसिद्ध हुई और इसने अतिसूक्ष्म कलन का मार्ग प्रशस्त किया था।

इंग्लैंड में आइजैक न्यूटन (1642-1727) और जर्मनी में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) ने स्वतंत्र रूप से आधार पर अत्यल्प कैलकुलस विकसित किया जिसके लिए नई नींव की आवश्यकता थी। विशेष रूप से, लीबनिज ने इनफिनिटिमल्स को उन संख्याओं के रूप में वर्णित किया है जो अनंत रूप से शून्य के करीब हैं, अवधारणा जो गणित के पिछले आधारभूत ढांचे में फिट नहीं होती है, और 20 वीं शताब्दी से पहले औपचारिक रूप से नहीं थी। प्रोटेस्टेंट दार्शनिक जॉर्ज बर्कले (1685-1753) के पैम्फलेट द्वारा गणित की नींव पर इनफिनिटिमल कैलकुलस के शक्तिशाली प्रभाव को दर्शाया गया है, जिन्होंने लिखा था कि इन्फिनिटिमल्स न तो परिमित मात्राएँ हैं, न ही मात्राएँ असीम रूप से छोटी हैं, और न ही बची हुई मात्राओं में और कुछ। क्या हम उन्हें दिवंगत राशियों के भूत नहीं कह सकते?^[5] लाइबनिट्स ने तर्कशास्त्र पर भी कार्य किया किन्तु इस पर उनका अधिकांश लेखन 1903 तक अप्रकाशित रहा।

फिर भौतिक अनुप्रयोगों में गणित बहुत तेजी से और सफलतापूर्वक विकसित हुआ।

19वीं सदी

गणित के इतिहास 19वीं शताब्दी में, गणित उत्तरोत्तर अमूर्त होता गया। इस प्रकार तार्किक अंतराल और विभिन्न क्षेत्रों में विसंगतियों के बारे में चिंताओं ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों के विकास को जन्म दिया था।

वास्तविक विश्लेषण

कॉची (1789-1857) ने पहले के लेखकों द्वारा उपयोग किए गए बीजगणित की व्यापकता के अनुमानी सिद्धांत को खारिज करते हुए, अत्यल्प कलन के प्रमेय को कठोर तरीके से तैयार करने और सिद्ध करने की परियोजना प्रारंभ की। अपने 1821 के कार्य कोर्स डी'एनैलाइज में उन्होंने घटते हुए अनुक्रमों के संदर्भ में अपरिमेय को परिभाषित किया जो कि 0 में अभिसरण करता है, जिसे उन्होंने तब निरंतरता को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया था। किन्तु उन्होंने अभिसरण की अपनी धारणा को औपचारिक रूप नहीं दिया हैं।

आधुनिक (ε, δ) - सीमा और निरंतर कार्य की परिभाषा पहली बार 1817 में बर्नार्ड बोलजानो द्वारा विकसित की गई थी, किन्तु अपेक्षाकृत अज्ञात बनी रही। यह वास्तविक संख्या के सेट के आधार पर असीम कलन का कठोर आधार देता है, यकीनन ज़ेनो विरोधाभास और बर्कले के तर्कों को हल करता है।

कार्ल वीयरस्ट्रास (1815-1897) जैसे गणितज्ञों ने वेइरस्ट्रास फ़ंक्शन|निरंतर, कहीं नहीं-विभेदक कार्यों जैसे रोग संबंधी कार्यों की खोज की। संगणना के लिए नियम के रूप में किसी फ़ंक्शन की पिछली अवधारणाएं, या सहज ग्राफ़, अब पर्याप्त नहीं थीं। वीयरस्ट्रैस ने विश्लेषण के अंकगणित का अध्ययन करना प्रारंभ किया, प्राकृतिक संख्याओं के गुणों का उपयोग करके विश्लेषण को स्वयंसिद्ध करने के लिए किया था।

1858 में, रिचर्ड डेडेकिंड ने वास्तविक संख्याओं की परिभाषा प्रस्तावित की, जैसे कि डेडेकिंड परिमेय संख्याओं की कटौती करता है। परिमेय संख्याओं और इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के संदर्भ में वास्तविक संख्याओं और निरंतर कार्यों की यह कमी, बाद में जॉर्ज कैंटर द्वारा अपने निर्धारित सिद्धांत में एकीकृत की गई, और हिल्बर्ट और बर्नेज़ द्वारा दूसरे क्रम अंकगणित के संदर्भ में अभिगृहीत की गई थी।

समूह सिद्धांत

पहली बार गणित की सीमाओं की खोज की गई। नील्स हेनरिक एबेल (1802-1829), नॉर्वेजियन, और एवरिस्ट गैलोइस, (1811-1832) फ्रांसीसी, ने विभिन्न बहुपद समीकरणों के समाधान की जांच की, और सिद्ध किया कि चार से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए कोई सामान्य बीजगणितीय समाधान नहीं है (एबेल) -रफ़िनी प्रमेय)। इन अवधारणाओं के साथ, पियरे वांजेल (1837) ने सिद्ध किया कि अकेले सीधा किनारा और कम्पास न तो मनमाने कोण को तिरछा कर सकते हैं और न ही घन को दोगुना कर सकते हैं। 1882 में, चार्ल्स हर्मिट के कार्य पर फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन बिल्डिंग ने दिखाया कि सर्कल का सीधा और कम्पास चतुर्भुज (किसी दिए गए सर्कल के क्षेत्रफल के बराबर वर्ग का निर्माण) भी असंभव था, यह सिद्ध करके कि पाई या $π$ एक पारलौकिक संख्या है। प्राचीन यूनानियों के समय से ही गणितज्ञों ने इन सभी समस्याओं को हल करने का व्यर्थ प्रयास किया था।

एबेल और गैल्वा के कार्यों ने समूह सिद्धांत (जो बाद में भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में समरूपता का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाएगा), और सार बीजगणित के विकास के लिए रास्ता खोल दिया। 1827 में अगस्त फर्डिनेंड मोबियस या मोबियस द्वारा बेरिकेंट्रिक निर्देशांक (गणित) की अवधारणा से वेक्टर रिक्त स्थान की अवधारणाएं उभरीं, 1888 में पीआनो द्वारा वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक मानचित्रों की आधुनिक परिभाषा के लिए। ज्यामिति अब तीन आयामों तक सीमित नहीं थी।

इन अवधारणाओं ने संख्याओं का सामान्यीकरण नहीं किया, किन्तु कार्यों और सेटों की संयुक्त धारणाएं जो अभी तक औपचारिक नहीं थीं, परिचित गणितीय वस्तुओं से अलग हो गईं हैं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

अन्य अभिगृहीतों से समानांतर अवधारणा को प्राप्त करने के कई असफल प्रयासों के बाद, जोहान हेनरिक लैम्बर्ट (1728-1777) द्वारा अभी भी काल्पनिक अतिपरवलयिक ज्यामिति के अध्ययन ने उन्हें अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य को प्रस्तुत करने और अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने के लिए प्रेरित किया (जहां का योग कोण 180° से कम है)। फिर रूसी गणितज्ञ निकोलाई लोबचेव्स्की (1792-1856) ने 1826 में स्थापित किया (और 1829 में प्रकाशित) इस ज्यामिति की सुसंगतता (इस प्रकार समानांतर अभिधारणा की स्वतंत्रता), 1832 में हंगेरियन गणितज्ञ जानोस बोल्याई (1802-1860) के समानांतर , और गॉस के साथ किया।

बाद में 19वीं शताब्दी में, जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन ने एलिप्टिक ज्यामिति विकसित की, अन्य गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति जहां कोई समानांतर नहीं पाया जा सकता है और त्रिकोण में कोणों का योग 180° से अधिक है। यह निश्चित क्षेत्र पर एंटीपोडल बिंदुओं की जोड़ी और गोले पर महान वृत्त के अर्थ के लिए बिंदु को परिभाषित करके सुसंगत सिद्ध हुआ था। उस समय, स्वयंसिद्धों के समुच्चय की संगति को सिद्ध करने का मुख्य तरीका इसके लिए मॉडल (गणितीय तर्क) प्रदान करना था।

प्रक्षेपी ज्यामिति

कटौतीत्मक प्रणाली में जाल में से परिपत्र तर्क है, समस्या जो प्रक्षेपी ज्यामिति पर पड़ती थी जब तक कि इसे कार्ल वॉन स्टॉड्ट द्वारा हल नहीं किया गया था। जैसा कि रूसी इतिहासकारों द्वारा समझाया गया है:^[6]

उन्नीसवीं सदी के मध्य में प्रक्षेपी ज्यामिति में सिंथेटिक और विश्लेषणात्मक तरीकों के समर्थकों के बीच एक तीखा विवाद था, दोनों पक्ष एक दूसरे पर प्रक्षेपी और मीट्रिक अवधारणाओं को मिलाने का आरोप लगाते थे। वास्तव में प्रक्षेपी ज्यामिति की सिंथेटिक प्रस्तुति में लागू होने वाली मूल अवधारणा, एक रेखा के चार बिंदुओं का क्रॉस-अनुपात, अंतराल की लंबाई के विचार के माध्यम से प्रस्तुति की गई थी।

वॉन स्टॉड्ट का विशुद्ध रूप से ज्यामितीय दृष्टिकोण प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म के संबंध को व्यक्त करने के लिए पूर्ण चतुर्भुज पर आधारित था। फिर उन्होंने अपने कार्ल वॉन स्टॉड बीजगणित ऑफ थ्रो के साथ परिचित संख्यात्मक गुणों को व्यक्त करने का साधन बनाया था। क्षेत्र (गणित) के गुणों को कम करने की इस प्रक्रिया के अंग्रेजी भाषा संस्करण या तो ओसवाल्ड वेब्लेन और जॉन यंग, प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री (1938) की पुस्तक में या हाल ही में जॉन स्टिलवेल के फोर पिलर्स ऑफ ज्योमेट्री (2005) में पाए जा सकते हैं। स्टिलवेल पेज 120 पर लिखते हैं।

प्रक्षेपी ज्यामिति एक निश्चित अर्थ में बीजगणित की तुलना में सरल है, क्योंकि हम नौ फ़ील्ड स्वयंसिद्धों को प्राप्त करने के लिए केवल पाँच ज्यामितीय स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हैं।

फेंकने के बीजगणित को सामान्यतः क्रॉस-अनुपात की विशेषता के रूप में देखा जाता है क्योंकि छात्र सामान्यतः उनके आधार के बारे में चिंता किए बिना संख्याओं पर विश्वास करते हैं। चूंकि, क्रॉस-रेशियो की गणना ज्यामिति की मीट्रिक (गणित) विशेषताओं का उपयोग करती है, ऐसी विशेषताएँ जिन्हें शुद्धतावादियों द्वारा स्वीकार नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1

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 {{Short description|Study of the basic mathematical concepts}}
-{{For|हिल्बर्ट और बर्नेज़ की पुस्तक|ग्रुंडलगेन डेर मैथेमेटिक}}
-{{Math topics TOC|expanded=Pure mathematics}}
 गणित की नींव [[दर्शन]] और तार्किक का अध्ययन है<ref>[https://www.britannica.com/EBchecked/topic/369221/foundations-of-mathematics Joachim Lambek (2007), "Foundations of mathematics", ''Encyc. Britannica'']</ref> और/या गणित का [[कलन विधि]] आधार, या, व्यापक अर्थ में, गणित की प्रकृति से संबंधित दार्शनिक सिद्धांतों के आधार पर गणितीय जांच करने के लिए किया जाता है।<ref>[http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/#MatLogFouMat Leon Horsten (2007, rev. 2012), "Philosophy of Mathematics" ''SEP'']</ref> इस बाद के अर्थ में, गणित की नींव और गणित के दर्शन के बीच का अंतर अस्पष्ट हो जाता है।
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 === 19वीं सदी ===
-गणित के इतिहास#19वीं शताब्दी में, गणित उत्तरोत्तर अमूर्त होता गया। इस प्रकार तार्किक अंतराल और विभिन्न क्षेत्रों में विसंगतियों के बारे में चिंताओं ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों के विकास को जन्म दिया था।
+गणित के इतिहास 19वीं शताब्दी में, गणित उत्तरोत्तर अमूर्त होता गया। इस प्रकार तार्किक अंतराल और विभिन्न क्षेत्रों में विसंगतियों के बारे में चिंताओं ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों के विकास को जन्म दिया था।
 ==== वास्तविक विश्लेषण ====
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 [[कॉची]] (1789-1857) ने पहले के लेखकों द्वारा उपयोग किए गए [[बीजगणित की व्यापकता]] के अनुमानी सिद्धांत को खारिज करते हुए, अत्यल्प कलन के प्रमेय को कठोर तरीके से तैयार करने और सिद्ध करने की परियोजना प्रारंभ की। अपने 1821 के कार्य कोर्स डी'एनैलाइज में उन्होंने घटते हुए अनुक्रमों के संदर्भ में अपरिमेय को परिभाषित किया जो कि 0 में अभिसरण करता है, जिसे उन्होंने तब निरंतरता को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया था। किन्तु उन्होंने अभिसरण की अपनी धारणा को औपचारिक रूप नहीं दिया हैं।
-आधुनिक (ε, δ) - सीमा और [[निरंतर कार्य]]ों की परिभाषा पहली बार 1817 में [[बर्नार्ड बोलजानो]] द्वारा विकसित की गई थी, किन्तु अपेक्षाकृत अज्ञात बनी रही। यह वास्तविक संख्या के सेट के आधार पर असीम कलन का कठोर आधार देता है, यकीनन ज़ेनो विरोधाभास और बर्कले के तर्कों को हल करता है।
+आधुनिक (ε, δ) - सीमा और [[निरंतर कार्य]] की परिभाषा पहली बार 1817 में [[बर्नार्ड बोलजानो]] द्वारा विकसित की गई थी, किन्तु अपेक्षाकृत अज्ञात बनी रही। यह वास्तविक संख्या के सेट के आधार पर असीम कलन का कठोर आधार देता है, यकीनन ज़ेनो विरोधाभास और बर्कले के तर्कों को हल करता है।
 [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] (1815-1897) जैसे गणितज्ञों ने वेइरस्ट्रास फ़ंक्शन|निरंतर, कहीं नहीं-विभेदक कार्यों जैसे रोग संबंधी कार्यों की खोज की। संगणना के लिए नियम के रूप में किसी फ़ंक्शन की पिछली अवधारणाएं, या सहज ग्राफ़, अब पर्याप्त नहीं थीं। वीयरस्ट्रैस ने विश्लेषण के अंकगणित का अध्ययन करना प्रारंभ किया, प्राकृतिक संख्याओं के गुणों का उपयोग करके विश्लेषण को स्वयंसिद्ध करने के लिए किया था।
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 ==== गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति ====
 {{See also|गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति#इतिहास}}
-अन्य अभिगृहीतों से समानांतर अवधारणा को प्राप्त करने के कई असफल प्रयासों के बाद, [[जोहान हेनरिक लैम्बर्ट]] (1728-1777) द्वारा अभी भी काल्पनिक अतिपरवलयिक ज्यामिति के अध्ययन ने उन्हें [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]]ों को प्रस्तुत करने और [[अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण]] के क्षेत्र की गणना करने के लिए प्रेरित किया (जहां का योग कोण 180° से कम है)। फिर रूसी गणितज्ञ [[निकोलाई लोबचेव्स्की]] (1792-1856) ने 1826 में स्थापित किया (और 1829 में प्रकाशित) इस ज्यामिति की सुसंगतता (इस प्रकार [[समानांतर अभिधारणा]] की स्वतंत्रता), 1832 में हंगेरियन गणितज्ञ जानोस बोल्याई (1802-1860) के समानांतर , और [[गॉस]] के साथ किया।
+अन्य अभिगृहीतों से समानांतर अवधारणा को प्राप्त करने के कई असफल प्रयासों के बाद, [[जोहान हेनरिक लैम्बर्ट]] (1728-1777) द्वारा अभी भी काल्पनिक अतिपरवलयिक ज्यामिति के अध्ययन ने उन्हें [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य]] को प्रस्तुत करने और [[अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण]] के क्षेत्र की गणना करने के लिए प्रेरित किया (जहां का योग कोण 180° से कम है)। फिर रूसी गणितज्ञ [[निकोलाई लोबचेव्स्की]] (1792-1856) ने 1826 में स्थापित किया (और 1829 में प्रकाशित) इस ज्यामिति की सुसंगतता (इस प्रकार [[समानांतर अभिधारणा]] की स्वतंत्रता), 1832 में हंगेरियन गणितज्ञ जानोस बोल्याई (1802-1860) के समानांतर , और [[गॉस]] के साथ किया।
 बाद में 19वीं शताब्दी में, जर्मन गणितज्ञ [[बर्नहार्ड रीमैन]] ने एलिप्टिक ज्यामिति विकसित की, अन्य [[गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति]] जहां कोई समानांतर नहीं पाया जा सकता है और त्रिकोण में कोणों का योग 180° से अधिक है। यह निश्चित क्षेत्र पर एंटीपोडल बिंदुओं की जोड़ी और गोले पर महान वृत्त के अर्थ के लिए बिंदु को परिभाषित करके सुसंगत सिद्ध हुआ था। उस समय, स्वयंसिद्धों के समुच्चय की संगति को सिद्ध करने का मुख्य तरीका इसके लिए [[मॉडल (गणितीय तर्क)]] प्रदान करना था।
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