अतान2 (atan2): Difference between revisions

[[File:Arctangent2.svg|thumb|<math>\operatorname{atan2}(y, x)</math> का <math>y / x</math> ग्राफ  ]][[कम्प्यूटिंग]] और गणित में, फलन (गणित)  '''atan2''' 2-तर्क चाप [[स्पर्शरेखा]] है। परिभाषा के अनुसार, <math>\theta = \operatorname{atan2}(y, x)</math> [[कोण माप]] है (रेडियन में, <math>-\pi < \theta \leq \pi</math>) धनात्मक <math>x</math>-अक्ष और किरण के बीच मूल से बिंदु तक <math>(x,\,y)</math> कार्तीय तल में। समान रूप से, <math>\operatorname{atan2}(y, x)</math> [[जटिल संख्या]] <math>x + iy.</math>का [[तर्क (जटिल विश्लेषण)]] (जिसे चरण या कोण भी कहा जाता है) है  

<math>\operatorname{atan2}</math> h> फलन पहली बार 1961 में प्रोग्रामिंग भाषा [[फोरट्रान]] में दिखाई दिया। मूल रूप से इसका उद्देश्य कोण के लिए एक सही और स्पष्ट मान लौटाना था {{mvar|θ}} कार्तीय निर्देशांक से परिवर्तित करने में {{math|(''x'', ''y'')}} ध्रुवीय निर्देशांक के लिए {{math|(''r'', ''θ'')}}. यदि <math>\theta = \operatorname{atan2}(y, x)</math> तथा <math display=inline>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>, फिर <math>x = r \cos \theta</math> तथा <math>y = r \sin \theta.</math>

यदि {{math|''x'' > 0}}, वांछित कोण माप है <math display=inline>\theta = \operatorname{atan2}(y,x) = \arctan\left( y / x \right).</math> चूँकि, जब {{math|''x'' < 0}}, कोना <math>\arctan(y / x)</math> [[एंटीपोडल बिंदु]] वांछित कोण है, और ±{{pi}} (एक आधा [[मोड़ (कोण)]]) बिंदु को सही [[चतुर्भुज (विमान ज्यामिति)|चतुर्भुज]] में रखने के लिए जोड़ा जाना चाहिए।<ref>http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph116A/arg_11.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> <math>\operatorname{atan2}</math> का फलन का उपयोग इस सुधार को दूर करता है, कोड और गणितीय सूत्रों को सरल करता है।

[[File:Atan2 argument sign graph.svg|thumb|−{{pi}} से +{{pi}} तक y/x के संबंधित संकेतों के साथ स्पर्शरेखा फ़ंक्शन का ग्राफ़। हरा तीर atan2(-1, -1) और atan2(1, 1) के परिणामों की ओर संकेत करता है। ]]सामान्य एकल-तर्क चाप स्पर्शरेखा फलन अंतराल में केवल कोण माप देता है <math>{\left[-\tfrac12\pi, +\tfrac12\pi\right]},</math> और इसके बीच के कोण को खोजने के लिए इसका आह्वान करते समय {{mvar|x}}-अक्ष और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली तल में एक मनमाना वेक्टर, बाएं आधे-तल (एक बिंदु) में एक दिशा को संकेत करने का कोई आसान उपाय नहीं है <math>(x,\,y)</math> साथ <math>x < 0</math>). एंटीपोडल बिंदु कोण उपायों में समान स्पर्शरेखा होती है क्योंकि <math>y/x = (-y) / (-x),</math> तो स्पर्शरेखा <math>y/x</math> एक कोण को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए अपने आप में पर्याप्त नहीं है।

दिए गए बिंदु या सदिश एक बिंदु <math>(x, y),</math> गणितीय सूत्र या कंप्यूटर कोड को कई स्तिथियों को संभालना चाहिए; कम से कम एक <math>x</math> के धनात्मक मानों के लिए और एक <math>x,</math> के ऋणात्मक मानों के लिए, और कभी-कभी अतिरिक्त स्थितियाँ जब <math>y</math>  ऋणात्मक हो या एक निर्देशांक शून्य हो। वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कोण के उपायों को खोजना और कार्टेशियन को [[ध्रुवीय समन्वय प्रणाली]] में परिवर्तित करना सरल है, और यह कोड बेमानी और त्रुटि-प्रवण है।     

}}</ref> मात्रा {{math|atan2(''y'',''x'')}} {{mvar|x}}-अक्ष और मूल से एक किरण के बीच कार्तीय तल में कहीं भी एक बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} के बीच का कोण माप है।  {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}}  के चिह्नों का उपयोग परिणाम के चतुर्थांश को निर्धारित करने के लिए किया जाता है और बहुमान फलन {{math|Arctan(''y''/''x'')}} की सही शाखा का चयन किया जाता है। {{math|atan2}} फलन [[यूक्लिडियन वेक्टर]] से जुड़े कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है जैसे कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर दिशा खोजना या [[रोटेशन मैट्रिक्स]] को [[यूलर कोण|यूलर कोणों]] में परिवर्तित करना। वह {{math|atan2}} फलन अब कई अन्य प्रोग्रामिंग भाषाओं में सम्मलित है, और सामान्यतः पूरे विज्ञान और इंजीनियरिंग में गणितीय सूत्रों में भी पाया जाता है।

1961 में, फोरट्रान ने तर्क क्रम <math>(y, x)</math> के साथ {{math|atan2}} फलन दर्शाया जिससे  एक सम्मिश्र संख्या का तर्क (चरण कोण)<math>\operatorname{arg}z = \operatorname{atan2}(\operatorname{Im}z, \operatorname{Re}z).</math>  यह <math>y / x,</math> लिखे अंश के बाएँ से दाएँ क्रम का अनुसरण करता है ताकि <math>\operatorname{atan2}(y, x) = \operatorname{atan}(y / x)</math> <math>x.</math> के सकारात्मक मूल्यों के लिए यह जटिल संख्याओं के पारंपरिक घटक क्रम के विपरीत है, <math>z = x + iy,</math> या निर्देशांक के रूप में <math>(\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z).</math> अनुभाग परिभाषा और संगणना देखें।

कुछ अन्य प्रोग्रामिंग भाषा(देखें सामान्य कंप्यूटर भाषाओं में फलन के प्रति) ने इसके अतिरिक्त विपरीत क्रम चुना। उदाहरण के लिए <math>\operatorname{Atan2}(x,y),</math> [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]] उपयोग करता है  <math>\operatorname{arctan2}(x,y),</math> और गणितज्ञ उपयोग करता है <math>\operatorname{ArcTan}[x,y],</math> यदि एक तर्क के साथ बुलाया जाता है तो एक-तर्क स्पर्शरेखा के लिए डिफ़ॉल्ट।

{{anchor|Definition}}कार्यक्रम {{math|atan2}} जटिल संख्या {{math|''x'' + ''i''&hairsp;''y''}} पर लागू तर्क फलन के मुख्य मान की गणना करता है। अर्थात्, {{math|1=atan2(''y'', ''x'') = Pr arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'') = Arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'')}}  कोण में कोई फर्क किए बिना तर्क को {{math|2π}} (मूल के चारों ओर एक पूर्ण मोड़ के अनुरूप) के मनमाने ढंग से बदला जा सकता है, लेकिन {{math|atan2}} को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए  <math>( -\pi, \pi ]</math> {{math|−''π'' < atan2(''y'', ''x'') ≤ ''π''}}   

जबकि फलन {{math|atan2}} नकारात्मक के साथ असंतत है {{mvar|x}}-अक्ष, इस तथ्य को दर्शाता है कि कोण को लगातार परिभाषित नहीं किया जा सकता है, इस व्युत्पन्न को मूल को छोड़कर लगातार परिभाषित किया जाता है, इस तथ्य को दर्शाता है कि मूल को छोड़कर हर जगह अनंत (और वास्तव में स्थानीय) परिवर्तन को परिभाषित किया जा सकता है। पथ के साथ इस व्युत्पन्न को एकीकृत करने से पथ पर कोण में कुल परिवर्तन होता है, और एक बंद लूप पर एकीकृत करने से [[घुमावदार संख्या]] मिलती है।

# <math>\operatorname{Arg} (x + i y) = \operatorname{atan2} (y, x)</math>, कहाँ पे <math>\operatorname{Arg}</math> तर्क है (जटिल विश्लेषण)#गणना।

देखने के लिए (4), हमारे पास तर्क (जटिल विश्लेषण) पहचान है <math>e^{i \operatorname{Arg} \zeta} = \bar{\zeta}</math> कहाँ पे <math>\bar{\zeta} = \zeta / \left|\zeta\right|</math>, इसलिये <math>\operatorname{Arg} (e^{i \operatorname{Arg} \zeta_1} e^{i \operatorname{Arg} \zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2})</math>. इसके अतिरिक्त, चूंकि <math>\operatorname{Arg} \zeta = \operatorname{Arg} a \zeta</math> किसी भी सकारात्मक वास्तविक मूल्य के लिए <math>a</math>, तो यदि हम करते हैं <math>\zeta = \zeta_1 \zeta_2</math> तथा <math>a = \frac{1}{\left|\zeta_1\right|\left|\zeta_2\right|}</math> तो हमारे पास हैं <math>\operatorname{Arg} (\bar{\zeta_1} \bar{\zeta_2}) = \operatorname{Arg} (\zeta_1 \zeta_2)</math>.

परिणाम: यदि <math>(y_1, x_1)</math> तथा <math>(y_2, x_2)</math> 2-आयामी वैक्टर हैं, उन वैक्टरों के बीच कोण की सहायता से गणना करने के लिए अभ्यास में अंतर सूत्र का प्रायः <math>\operatorname{atan2}</math> उपयोग किया जाता है , क्योंकि परिणामी संगणना  <math>(-\pi, \pi]</math>सीमा में सौम्य व्यवहार करती है और इस प्रकार कई व्यावहारिक स्थितियों में रेंज चेक के बिना इसका उपयोग किया जा सकता है।

== पूर्व-वामावर्त, उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा में, आदि। <math>\mathrm{atan2}</math> h> फलन मूल रूप से शुद्ध गणित में सम्मेलन के लिए डिज़ाइन किया गया था जिसे पूर्व-वामावर्त कहा जा सकता है। व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, चूँकि , उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-दक्षिणावर्त सम्मेलन प्रायः आदर्श होते हैं। वायुमंडलीय विज्ञान में, उदाहरण के लिए, [[हवा की दिशा]] का उपयोग करके <math>\mathrm{atan2}</math> गणना की जा सकती है  इसके तर्कों के रूप में पवन सदिश के पूर्व- और उत्तर-घटकों के साथ कार्य करना;<ref>Wind Direction Quick Reference, NCAR UCAR Earth Observing Laboratory. https://www.eol.ucar.edu/content/wind-direction-quick-reference</ref> [[सौर दिगंश कोण]] की गणना सौर वेक्टर के पूर्व और उत्तर-घटकों के तर्कों के समान ही की जा सकती है। हवा की दिशा सामान्य रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त अर्थ में परिभाषित की जाती है, और सौर दिगंश कोण व्यापक रूप से उत्तर-दक्षिणावर्त और दक्षिण-घड़ी की दिशा दोनों का उपयोग करता है।<ref>{{cite journal|doi=10.1016/j.renene.2021.03.047|title=एक सौर दिगंश सूत्र जो गणितीय कठोरता से समझौता किए बिना परिस्थितिजन्य उपचार को अनावश्यक बनाता है: गणितीय सेटअप, सबसोलर बिंदु और atan2 फ़ंक्शन के आधार पर एक सूत्र का अनुप्रयोग और विस्तार|year=2021|last1=Zhang|first1=Taiping|last2=Stackhouse|first2=Paul W.|last3=MacPherson|first3=Bradley|last4=Mikovitz|first4=J. Colleen|journal=Renewable Energy|volume=172|pages=1333–1340|s2cid=233631040}}</ref> इन विभिन्न परिपाटियों को पदों की आदान-प्रदान करके और x- y-तर्कों के संकेतों को निम्नानुसार बदलकर महसूस किया जा सकता है:

एक उदाहरण के रूप में, चलो <math>x_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> तथा <math>y_{0}=\frac{1}{2}</math>, तो पूर्व-वामावर्त स्वरूप <math>\mathrm{atan2}(y_{0}, x_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=30^{\circ}</math> देता है , उत्तर-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(x_{0}, y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=60^{\circ}</math> प्रारूप देता है , और दक्षिण-दक्षिणावर्त <math>\mathrm{atan2}(-x_{0}, -y_{0})\cdot\frac{180}{\pi}=-120^{\circ}</math>प्रारूप देता है .

* माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में,<ref>{{cite web|url=http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/bb238940.aspx|title=माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल Atan2 विधि|publisher=Microsoft}}</ref> OpenOffice.org Calc, [[LibreOffice Calc]],<ref>{{cite web|url=https://help.libreoffice.org/Calc/Mathematical_Functions#ATAN2|title=लिब्रे ऑफिस कैल्क ATAN2|publisher=Libreoffice.org}}</ref> [[गूगल दस्तावेज़]],<ref>{{Cite web|url=https://support.google.com/docs/topic/1361471 |title=कार्य और सूत्र – दस्तावेज़ संपादक सहायता|website=support.google.com}}</ref> [[नंबर (स्प्रेडशीट)]],<ref>{{cite web|url=https://www.apple.com/mac/numbers/compatibility/functions.html#trigonometric |title=संख्याओं के त्रिकोणमितीय कार्यों की सूची|publisher=Apple }}</ref> और SQL:2008|ANSI SQL:2008 मानक,<ref>{{cite web|url=http://www.info.teradata.com/HTMLPubs/DB_TTU_15_00/index.html#page/SQL_Reference/B035_1145_015K/Arithmetic.062.225.html#ww15697556 |title=एएनएसआई एसक्यूएल: 2008 मानक|publisher=Teradata |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20150820094929/http://www.info.teradata.com/HTMLPubs/DB_TTU_15_00/index.html |archive-date=2015-08-20 }}</ref> 2-तर्क आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन के मानक अनुक्रम में दो तर्क हैं <math>(\operatorname{Re}, \operatorname{Im})</math> (उपर्युक्त चर्चा में प्रयुक्त सम्मेलन के सापेक्ष उलटा)।

* अधिकांश TI रेखांकन कैलकुलेटर ([[TI-85]] और [[TI-86]] को छोड़कर) पर, समतुल्य फ़ंक्शन को R►Pθ कहा जाता है और इसमें तर्क होते हैं <math>(\operatorname{Re}, \operatorname{Im})</math>.

* टीआई-85 पर {{math|arg}} समारोह कहा जाता है <code>angle(x,y)</code> और यद्यपि ऐसा लगता है कि यह दो तर्क लेता है, वास्तव में इसमें केवल एक जटिल तर्क है जिसे संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है: {{math|''x'' + ''i''&hairsp;''y'' {{=}} (''x'', ''y'')}}. <math>(\operatorname{Im}, \operatorname{Re})</math> h> सम्मेलन द्वारा प्रयोग किया जाता है:

* सी समारोह <code>atan2</code>, और अधिकांश अन्य कंप्यूटर कार्यान्वयन, कार्तीय को ध्रुवीय निर्देशांक में बदलने के प्रयास को कम करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं और इसलिए हमेशा परिभाषित करते हैं <code>atan2(0, 0)</code>. बिना हस्ताक्षरित शून्य के कार्यान्वयन पर, या सकारात्मक शून्य तर्क दिए जाने पर, इसे सामान्य रूप से 0 के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह हमेशा सीमा में एक मान लौटाएगा {{closed-closed|−π, π}} त्रुटि उठाने या [[NaN]] (संख्या नहीं) वापस करने के बजाय।

* [[सामान्य लिस्प]] में, जहाँ वैकल्पिक तर्क मौजूद होते हैं, <code>atan</code> फ़ंक्शन किसी को वैकल्पिक रूप से x निर्देशांक की आपूर्ति करने की अनुमति देता है: <code>(atan&nbsp;''y''&nbsp;''x'')</code>.<ref>{{cite web|url=http://www.lispworks.com/documentation/HyperSpec/Body/f_asin_.htm|title=CLHS: फंक्शन ASIN, ACOS, ATAN|publisher=LispWorks}}</ref>

* जूलिया (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में, स्थिति सामान्य लिस्प के समान है: के बजाय <code>atan2</code>, भाषा के लिए एक-पैरामीटर और दो-पैरामीटर रूप है <code>atan</code>.<ref>{{Cite web|url=https://docs.julialang.org/en/v1/base/math/|title=गणित · जूलिया भाषा|website=docs.julialang.org}}</ref> हालांकि, संकलन समय पर आक्रामक अनुकूलन की अनुमति देने के लिए इसकी दो से अधिक विधियां हैं (अनुभाग देखें कि आप मैटलैब/पायथन/आर/... कोड को जूलिया में संकलित क्यों नहीं करते? <ref>{{Cite web|url=https://docs.julialang.org/en/v1/manual/faq/|title=अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न · जूलिया भाषा|website=docs.julialang.org}}</ref>).

* सिग्नेचर ज़ीरो, [[अनंतता]], या [[संख्या नहीं]] (उदाहरण के लिए, [[IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट]]) को लागू करने वाली प्रणालियों के लिए, उचित एक्सटेंशन को लागू करना आम है जो शामिल करने के लिए उत्पादित मूल्यों की सीमा को बढ़ा सकता है -{{math|π}} और -0 कब {{math|''y''}} = -0। ये भी NaN लौटा सकते हैं या NaN तर्क दिए जाने पर अपवाद बढ़ा सकते हैं।

* स्रोत कोड के अलावा गणितीय लेखन में, जैसे किताबों और लेखों में, अंकन आर्कटन<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=2LIMMD9FVXkC&q=four+quadrant+inverse+tangent+mathematical+notation&pg=PA234|title=डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग के सिद्धांत: मौलिक तकनीकें|first1=Wilhelm|last1=Burger|first2=Mark J.|last2=Burge|date=7 July 2010|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-84800-191-6|access-date=20 April 2018|via=Google Books}}</ref> और तन^-1<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=7nNjaH9B0_0C&q=four+quadrant+inverse+tangent+mathematical+notation&pg=PA345|title=सर्किट विश्लेषण और डिजाइन का परिचय|first=Tildon H.|last=Glisson|date=18 February 2011|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9789048194438|access-date=20 April 2018|via=Google Books}}</ref> उपयोग किया गया है; ये व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन#नोटेशन आर्कटान और टैन के कैपिटलाइज़्ड वेरिएंट हैं^-1. यह प्रयोग जटिल तर्क # अंकन के अनुरूप है, जैसे कि {{math|Atan(''y'', ''x'') {{=}} Arg(''x'' + ''i''&hairsp;''y'')}}.

* [[हेवलेट पैकर्ड]] कैलकुलेटर पर, निर्देशांक को एक जटिल संख्या के रूप में मानें और फिर लें <code>ARG</code>. या <code><< C->R ARG >> 'ATAN2' STO</code>.

* वैज्ञानिक कैलकुलेटर पर फ़ंक्शन की गणना अक्सर दिए गए कोण के रूप में की जा सकती है {{math|(''x'', ''y'')}} [[आयताकार निर्देशांक]] से ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित हो जाता है।

* [[netlib]] से उपलब्ध मुफ्त गणित पुस्तकालय एफडीएलआईबीएम (स्वतंत्र रूप से वितरण योग्य एलआईबीएम) में स्रोत कोड है जो दिखाता है कि यह कैसे लागू होता है <code>atan2</code> विभिन्न आईईईई असाधारण मूल्यों को संभालने सहित।

* एक हार्डवेयर गुणक समारोह के बिना सिस्टम के लिए {{math|atan2}} [[CORDIC]] पद्धति द्वारा संख्यात्मक रूप से विश्वसनीय तरीके से लागू किया जा सकता है। इस प्रकार के कार्यान्वयन {{math|atan(''y'')}} शायद गणना करना चुनेंगे {{math|atan2(''y'', 1)}}.

;Other implementations/code for atan2

[[Category: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

 

 

[[Category: Machine Translated Page]]