द्विपद प्रमेय: Difference between revisions
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|caption= | |caption=द्विपद गुणांक(एनके) पास्कल के त्रिभुज की nवीं पंक्ति में प्रविष्टि के रूप में प्रतीत होता है, गिनती 0 से शुरू होती है। प्रत्येक प्रविष्टि इसके ऊपर दो का योग होता है।}} | ||
प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय या द्विपद विस्तार | प्रारंभिक बीजगणित में, द्विपद प्रमेय(या द्विपद विस्तार) द्विपद बहुपद के घातांक के बीजगणितीय प्रसार का वर्णन करता है। प्रमेय के अनुसार, बहुपद {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के रूप में पद वाले योग से विस्तारित करना संभव होता है, जहां घातांक {{mvar|b}} तथा {{mvar|c}} के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक {{math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} हैं और गुणांक {{mvar|a}} के प्रत्येक पद का एक विशिष्ट धनात्मक पूर्णांक है जो {{mvar|n}} और {{mvar|b}} पर निर्भर करता है। तथा उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math> | ||
<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math> | |||
{{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया | {{math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} के पद में गुणांक a को द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{b}</math> या <math>\tbinom{n}{c}</math> के रूप में जाना जाता है, दोनों का मूल्य समान होता है। अलग-अलग के लिए ये गुणांक {{mvar|n}} तथा {{mvar|b}} पास्कल का त्रिभुज बनाने के लिए व्यवस्थित किया जाता है। ये नंबर साहचर्य में भी होते हैं, जहां <math>\tbinom{n}{b}</math> उन तत्वों के विभिन्न संयोजनों की संख्या देता है जिन्हें n-तत्व के समुच्चय से चुना जाता है। इसलिए <math>\tbinom{n}{b}</math> को अधिकांशता {{mvar|n}} और {{mvar|b}} के रूप में उच्चारित किया जाता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
द्विपद प्रमेय | द्विपद प्रमेय में विशेष स्थितियां कम से कम चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से ज्ञात थी, जब यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने घातांक {{math|2}} के लिए द्विपद प्रमेय के विशेष स्थितियो का उल्लेख किया था।<ref name=wolfram>{{cite web| url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=द्विपद प्रमेय|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|title=द्विपद प्रमेय की कहानी|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly| volume=56| issue=3|date=1949|pages=147–157|doi=10.2307/2305028|jstor = 2305028}}</ref> इस बात के प्रमाण हैं कि घन के लिए द्विपद प्रमेय भारत में छठी शताब्दी ईस्वी तक जाना जाता था।<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" /> | ||
बिना प्रतिस्थापन के {{mvar|n}} में {{mvar|k}} वस्तुओं के चयन तरीकों की संख्या को व्यक्त करने वाले संयोजी मात्राओं के रूप में द्विपद गुणांक, प्राचीन भारतीय गणितज्ञों के लिए रुचिकर थे। इस संयोजी समस्या का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ, भारतीय गीतकार पिंगला द्वारा रचित चंदशास्त्र है। 200 ईसा पूर्व, जिसमें इसके समाधान की विधि निहित है।<ref name=Chinese>{{cite book|title=चीनी गणित का इतिहास|author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer| year=1987}}</ref>{{rp|230}} 10वीं शताब्दी ईस्वी के टिप्पणीकार हलायुध ने इस विधि की व्याख्या की है जिसे अब पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।<ref name=Chinese /> छठी शताब्दी ईस्वी तक, भारतीय गणितज्ञ अनुमानतः यह जानते थे कि इसे भागफल के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए <math display="inline">\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=कॉम्बिनेटरिक्स की जड़ें| journal=Historia Math.|volume=6|date=1979|issue=2|pages=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0|doi-access=free}}</ref> और इस नियम का स्पष्ट विवरण भास्कर द्वितीय द्वारा लिखित 12वीं शताब्दी के ग्रंथ लीलावती में पाया जाता है।<ref name="Biggs" /> | |||
हमारे ज्ञान के लिए द्विपद प्रमेय और द्विपद गुणांक की तालिका का पहला सूत्रीकरण, अल-काराजी के एक काम में पाया जा सकता है, जिसे अल-समावली ने अपने अल-बहिर में उद्धृत किया है।<ref>{{Cite web|url=https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://core.ac.uk/download/pdf/82000184.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|website=core.ac.uk|access-date=2019-01-08|title=द्विपद प्रमेय: मध्यकालीन इस्लामी गणित में एक व्यापक अवधारणा|page=401}}</ref><ref>{{Cite journal|title=अज्ञात को वश में करना। पुरातनता से बीसवीं सदी की शुरुआत तक बीजगणित का इतिहास|url=https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2015-52-04/S0273-0979-2015-01491-6/S0273-0979-2015-01491-6.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|page=727|quote=हालांकि, बीजगणित अन्य मामलों में उन्नत हुआ। लगभग 1000, अल-काराजी ने द्विपद प्रमेय को बताया}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=vSkClSvU_9AC&pg=PA62|title=अरबी गणित का विकास: अंकगणित और बीजगणित के बीच|last=Rashed|first=R.|date=1994-06-30|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780792325659|language=en|page=63}}</ref> अल-काराजी ने द्विपद गुणांकों के त्रिकोणीय डिज़ाइन का वर्णन किया<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> और गणितीय प्रेरण के प्रारंभिक रूप का उपयोग करते हुए द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिकोण दोनों का गणितीय प्रमाण भी प्रदान किया।<ref name=Karaji /> फारसी कवि और गणितज्ञ उमर खय्याम अनुमानतः उच्च क्रम के सूत्र से परिचित थे, चूँकि, उनके कई गणितीय कार्य गुम हो गए थे।<ref name="Coolidge" /> 13वीं शताब्दी के यांग हुई के गणितीय कार्यों में छोटी घात के द्विपद विस्तार ज्ञात थे<ref>{{cite web | last = Landau | first = James A. | title =हिस्टोरिया मैटमैटिका मेलिंग लिस्ट आर्काइव: पुन: [एचएम] पास्कल का त्रिभुज| work = Archives of Historia Matematica | format = mailing list email | access-date = 2007-04-13 | date = 1999-05-08 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html }}</ref> और चू शिह-चीह भी।<ref name="Coolidge" /> यांग हुई ने इस पद्धति का श्रेय जिया जियान के 11वीं शताब्दी के पाठ को दिया है, चूँकि, अब वे लेख भी खो गए हैं।<ref name=Chinese />{{rp|142}} | |||
1544 में, माइकल स्टिफ़ेल ने द्विपद गुणांक शब्द को पेश किया और दिखाया कि उन्हें कैसे व्यक्त किया जाए <math>(1+a)^n</math> के अनुसार <math>(1+a)^{n-1}</math>पास्कल के त्रिकोण के माध्यम से।<ref name="Kline">{{cite book|title=गणितीय सोच का इतिहास|first=Morris| last=Kline| author-link=Morris Kline|page=273|publisher=Oxford University Press|year=1972}}</ref> ब्लेज़ पास्कल ने अपने ट्रैटे डू त्रिकोण अंकगणित में व्यापक रूप से नामांकित त्रिभुज का अध्ययन किया।<ref>{{Cite book|last=Katz|first=Victor|title=गणित का इतिहास: एक परिचय|publisher=Addison-Wesley|year=2009|isbn=978-0-321-38700-4|pages=491|chapter=14.3: Elementary Probability}}</ref> चूँकि, संख्याओं का डिज़ाइन पहले ही देर से पुनर्जागरण के यूरोपीय गणितज्ञों के लिए जाना जाता था, जिसमें स्टिफ़ेल, निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और साइमन स्टीविन सम्मिलित थे।<ref name="Kline" /> | |||
आईएएएसी न्यूटन को सामान्यता सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के साथ श्रेय दिया जाता है, जो किसी भी तर्कसंगत घातांक के लिए मान्य होता है।<ref name="Kline" /><ref>{{cite book| title=गणित पेपरबैक के इतिहास के तत्व|date=18 November 1998|first=N.|last=Bourbaki|others=J. Meldrum (Translator)|isbn=978-3-540-64767-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour}}</ref> | |||
== कथन == | == कथन == | ||
प्रमेय के अनुसार, | प्रमेय के अनुसार, {{math|''x'' + ''y''}} फॉर्म के योग में किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात का विस्तार करना संभव होता है। | ||
<math display="block">(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1} y^1 + {n \choose 2}x^{n-2} y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math> | <math display="block">(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1} y^1 + {n \choose 2}x^{n-2} y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math> | ||
जहाँ पे <math>n \geq 0</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math> \tbinom nk </math> एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे द्विपद गुणांक के रूप में जाना जाता है। जब घातांक शून्य होता है, तो संबंधित घात अभिव्यक्ति को 1 माना जाता है और इस गुणन कारक को अधिकांशता शब्द से हटा दिया जाता है। इसलिए अधिकांशता दाहिने हाथ की ओर लिखा हुआ दिखाई देता है <math display="inline">\binom{n}{0} x^n + \cdots</math>.) इस सूत्र को द्विपद सूत्र या द्विपद सर्वसमिका भी कहा जाता है। योग संकेतन का उपयोग करके, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है।<math display="block">(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.</math> | |||
<math display="block">(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.</math> | |||
अंतिम अभिव्यक्ति | |||
अंतिम अभिव्यक्ति प्रथम अभिव्यक्ति में जब {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} की समरूपता होती है और तुलना करके यह इस प्रकार के सूत्र में द्विपद गुणकों का क्रम सममित करता है। तो प्रतिस्थापन(बीजगणित) द्वारा द्विपद सूत्र का सरल संस्करण प्राप्त किया जाता है {{math|1}} के लिये {{mvar|y}}, ताकि इसमें केवल एक चर(गणित) सम्मिलित हो। इस रूप में, सूत्र दिखता है | |||
द्विपद सूत्र का एक सरल संस्करण y के लिए 1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है, चूँकि इसमें केवल एक चर सम्मिलित हो। सूत्र को इस रूप में पढ़ा जा सकता है | |||
<math display="block">(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math> | <math display="block">(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,</math> | ||
या समकक्ष | या समकक्ष | ||
| Line 44: | Line 59: | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ | यहाँ द्विपद प्रमेय के पहले कुछ कारक हैं | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
(x+y)^0 & = 1, \\[8pt] | (x+y)^0 & = 1, \\[8pt] | ||
| Line 56: | Line 71: | ||
(x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8. | (x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
सामान्यता , {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} के विस्तार के लिए {{mvar|n}}वीं पंक्ति में दाहिनी ओर क्रमांकित चूँकि शीर्ष पंक्ति 0 वीं पंक्ति हो, | |||
* | * पदों में {{mvar|x}} के घातांक {{math|''n'', ''n'' − 1, ..., 2, 1, 0}} हैं, अंतिम पद में अंतर्निहित रूप से {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}}, | ||
* | * शब्दों में {{mvar|y}} के घातांक {{math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} हैं, पहले पद में स्पष्ट रूप से {{math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}}) सम्मिलित है, | ||
* गुणांक | * गुणांक पास्कल के त्रिभुज की {{mvar|n}}वीं पंक्ति बनाते हैं | ||
* समान पदों के संयोजन से पहले, | * समान पदों के संयोजन से पहले, विस्तार में {{math|2<sup>''n''</sup>}} वाँ पद {{math|''x''<sup>''i''</sup>''y''<sup>''j''</sup>}} नहीं दिखाया गया | ||
*समान पदों के संयोजन के बाद, | *समान पदों के संयोजन के बाद, {{math|''n'' + 1}} पद होते हैं, और उनके गुणांकों का योग {{math|2<sup>''n''</sup>}}.होता है। | ||
अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाने वाला एक उदाहरण | अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाने वाला एक उदाहरण | ||
<math display="block">\begin{align} | |||
(x+y)^3 & = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy & (2^3 \text{ terms}) \\ | (x+y)^3 & = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy & (2^3 \text{ terms}) \\ | ||
& = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 & (3 + 1 \text{ terms}) | & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 & (3 + 1 \text{ terms}) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
साथ <math>1 + 3 + 3 + 1 = 2^3</math>. | |||
{{math|''y''}} के विशिष्ट धनात्मक मान के साथ एक सरल उदाहरण | |||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
(x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\ | (x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\ | ||
&= x^3 + 6x^2 + 12x + 8. | &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math>{{math|''y''}} के विशिष्ट ऋणात्मक मान के साथ एक सरल उदाहरण | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
(x-2)^3 &= x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3 \\ | (x-2)^3 &= x^3 - 3x^2(2) + 3x(2)^2 - 2^3 \\ | ||
| Line 78: | Line 97: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
=== ज्यामितीय व्याख्या === | |||
[[File:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|चौथी शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]{{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए द्विपद प्रमेय के साथ {{math|1=''n'' = 2}} ज्यामितीय रूप से स्पष्ट तथ्य यह है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} वाले वर्ग को भुजा {{mvar|a}} वाले वर्ग, भुजा {{mvar|b}},वाले वर्ग और भुजाओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}.वाले दो आयतों में बाँटा जा सकता है। {{math|1=''n'' = 3}} के साथ, प्रमेय कहता है कि भुजा {{math|''a'' + ''b''}} के घन को भुजा {{mvar|a}} के घन, भुजा {{mvar|b}} के घन, तीन {{math|''a'' × ''a'' × ''b''}} आयताकार बक्से, और तीन {{math|''a'' × ''b'' × ''b''}} आयताकार बक्से में बाँटा जा सकता है। | |||
=== | कलन में, यह चित्र अवकलज का ज्यामितीय प्रमाण भी देता है <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = ''एन''-क्यूब की समरूपता द्वारा कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र की गणना| doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004}}</ref> अगर कोई सम्मुचय करता है <math>a=x</math> तथा <math>b=\Delta x,</math> {{mvar|b}} को {{mvar|a}} में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन के रूप में व्याख्या करना, यह चित्र एक{{mvar|n}}-आयामी अतिविम के आयतन में अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है,<math>(x+\Delta x)^n,</math> जहां रैखिक शब्द का गुणांक (में <math>\Delta x</math>) है <math>nx^{n-1},</math> {{mvar|n}} फलकों का क्षेत्र, प्रत्येक का आयाम {{math|''n'' − 1}} है<math display="block">(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \binom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>एक अंतर भागफल और सीमा लेने के माध्यम से व्युत्पन्न की परिभाषा में इसे प्रतिस्थापित करने का अर्थ है कि उच्च क्रम की शर्तें, <math>(\Delta x)^2</math> और उच्चतर, नगण्य हो जाते हैं, और सूत्र प्राप्त करते हैं <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> के रूप में व्याख्या की है, किसी {{mvar|n}}-घन के आयतन में परिवर्तन की अतिसूक्ष्म दर, भुजा की लंबाई के रूप में भिन्न होती है, इसके {{math|(''n'' − 1)}} विमीय फलकों के n का क्षेत्रफ है। | ||
यदि कोई इस चित्र को समाकलित करता है, जो कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करने के अनुरूप है, तो उससे कैवलियरी का चतुर्भुज सूत्र, समाकलन प्राप्त होता है <math>\textstyle{\int x^{n-1}\,dx = \tfrac{1}{n} x^n}</math> - विवरण के लिए कैवलियरी के चतुर्भुज सूत्र का प्रमाण देखें।<ref name="barth2004" /> | |||
यदि कोई इस चित्र को | |||
{{clear}} | {{clear}} | ||
== द्विपद गुणांक == | == द्विपद गुणांक == | ||
{{Main| | {{Main|द्विपद गुणांक}} | ||
द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। | द्विपद प्रसार में प्रकट होने वाले गुणांक द्विपद गुणांक कहलाते हैं। इन्हें सामान्तया <math>\tbinom{n}{k},</math> के रूप में लिखा जाता है, {{mvar|n}} को चुन कर {{mvar|k}} का उच्चारण किया जाता है। | ||
=== सूत्र === | === सूत्र === | ||
{{math|''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} का गुणांक सूत्र द्वारा दिया गया है | |||
<math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!},</math> | <math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!},</math> | ||
जिसे | जिसे क्रमगुणित फलन {{math|''n''!}} के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से यह सूत्र लिखा जा सकता है | ||
<math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math> | <math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell} = \prod_{\ell=0}^{k-1} \frac{n-\ell}{k - \ell}</math> | ||
भिन्न के अंश और हर दोनों में {{mvar|k}} गुणकों के साथ है। चूँकि इस सूत्र में एक अंश सम्मिलित है, द्विपद गुणांक <math>\tbinom{n}{k}</math> वास्तव में एक पूर्णांक है। | |||
=== मिश्रित व्याख्या === | === मिश्रित व्याख्या === | ||
द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> | द्विपद गुणांक <math> \tbinom nk </math> की व्याख्या {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से {{mvar|k}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के रूप में की जा सकती है। यह निम्नलिखित कारणों से द्विपदों से संबंधित है, यदि हम {{math|1=(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} को गुणनफल के रूप में लिखते हैं। | ||
<math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math> | <math display="block">(x+y)(x+y)(x+y)\cdots(x+y),</math><br />फिर, वितरण नियम के अनुसार, गुणनफल के प्रत्येक द्विपद से {{mvar|x}} या {{mvar|y}} के प्रत्येक विकल्प के विस्तार में एक शब्द होता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक द्विपद से x को चुनने के संगत केवल एक पद {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} होता है। चूँकि , {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}}, के रूप में कई पद होते है, {{mvar|y}}.का योगदान करने के लिए ठीक दो द्विपदों को चुनने के प्रत्येक तरीके के लिए हैं। इसलिए, समान पदों के संयोजन के बाद, का गुणांक {{math|''x''<sup>''n''−2</sup>''y''<sup>2</sup>}} {{mvar|n}}-तत्व सम्मुचय से ठीक {{math|2}} तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर होता है। | ||
फिर, वितरण नियम के अनुसार, | |||
== प्रमाण == | == प्रमाण == | ||
| Line 118: | Line 131: | ||
&= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3 | &= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
बराबर <math>\tbinom{3}{2}=3</math> क्योंकि वहाँ तीन {{math|''x'',''y''}} लंबाई 3 के तार बिल्कुल साथ हैं, अर्थात्। | |||
<math display="block">xyy, \; yxy, \; yyx,</math> | <math display="block">xyy, \; yxy, \; yyx,</math> | ||
अर्थात्{{math|{{mset|1, 2, 3}}}},के तीन-तत्वों के 2-उपसमूहों के अनुरूप, | |||
<math display="block">\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\}, </math> | <math display="block">\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\}, </math> | ||
==== सामान्य | जहां प्रत्येक उपसमुच्चय संबंधित श्रृंखला में {{mvar|y}} की स्थिति निर्दिष्ट करता है। | ||