द्विघात सूत्र: Difference between revisions

{{confused|quadratic function|quadratic equation}}

[[File:Quadratic roots.svg|alt=A graph of a parabolaआकार का फलन, जो x-अक्ष को x = 1 और x = 4 पर प्रतिच्छेद करता है।|अंगूठे|231x231px|द्विघात फलन {{nowrap|1=''y'' = {{sfrac|1|2}}''x''² − {{sfrac|5|2}}''x'' + 2}}, जड़ों के साथ {{nowrap|1=''x'' = 1}} तथा {{nowrap|1=''x'' = 4}}.]]प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात [[सूत्र]] एक सूत्र है जो [[द्विघात समीकरण]] का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय एक द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे कि [[गुणन]]खंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहन, गुणनखंडन # द्विघात एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, एक फलन का ग्राफ और अन्य।

प्रपत्र के एक सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए

साथ {{math|''x''}} एक अज्ञात का प्रतिनिधित्व करते हुए, के साथ {{math|''a''}}, {{math|''b''}} तथा {{math|''c''}} निरंतर (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हुए, और साथ {{math|''a'' ≠ 0}}, द्विघात सूत्र है:

जहाँ धन–ऋण चिह्न|धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो हल हैं।<ref>{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&q=quadratic+formula&pg=PA219|page=219}}</ref> अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:

इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण के फलन |मूल (या शून्य) का शून्य भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें प्रतिनिधित्व करती हैं {{math|''x''}}-मान जिस पर कोई [[परवलय]], स्पष्ट रूप से दिया गया है {{math|1=''y'' = ''ax''² + ''bx'' + ''c''}}, पार करता है {{math|''x''}}-एक्सिस।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=द्विघात सूत्र को समझना|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>

साथ ही एक सूत्र होने के नाते जो किसी भी पैराबोला के शून्य उत्पन्न करता है, क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का उपयोग पैराबोला की समरूपता के अक्ष की पहचान के लिए भी किया जा सकता है,<ref>{{Cite web|url=https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php|title=परवलय की सममिति का अक्ष। समीकरण या ग्राफ़ से अक्ष कैसे पता करें। समरूपता की धुरी खोजने के लिए ...|website=www.mathwarehouse.com|access-date=2019-11-10}}</ref> और द्विघात समीकरण में [[वास्तविक संख्या]] शून्य की संख्या होती है।<ref>{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review|title=भेदभावपूर्ण समीक्षा|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}</ref>

अभिव्यक्ति बी² − 4ac को विवेचक के रूप में जाना जाता है। यदि {{nowrap|''b''² − 4''ac'' ≥ 0}} तब विवेचक का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी; अन्यथा यह एक सम्मिश्र संख्या होगी। यदि {{nowrap|''a'' ≠ 0}}, b, और c तब वास्तविक संख्याएँ हैं

#अगर बी² − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं {{nowrap|1=''ax''{{isup|2}} + ''bx'' + ''c'' = 0}}.

#अगर बी² − 4ac = 0 तो हमारे पास एक बारंबार वास्तविक समाधान है।

#अगर बी² − 4ac < 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

== समतुल्य फॉर्मूलेशन ==

सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर का उपयोग करते समय जड़ों को खोजना आसान बनाता है। <br />

 

मामले में जब भेदभाव करनेवाला <math>b^2 - 4ac</math> ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ जड़ें शामिल हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

 

=== मुलर की विधि ===

एक कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जिसका प्रयोग मुलर की विधि में किया जाता है और जिसे विएटा के सूत्रों से पाया जा सकता है, प्रदान करता है (मानते हुए) {{math|''a'' ≠ 0, ''c'' ≠ 0}}) समान जड़ें समीकरण के माध्यम से:

 

===वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन पर आधारित सूत्रीकरण ===

द्विघात समीकरण का मानक पैरामीट्रिजेशन है

कुछ स्रोत, विशेष रूप से पुराने स्रोत, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक पैरामीटरीकरण का उपयोग करते हैं जैसे कि

: <math>ax^2 - 2b_1 x + c = 0</math>, कहाँ पे <math>b_1 = -b/2</math>,<ref name="kahan">{{Citation |first=Willian |last=Kahan |title=On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic |url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Qdrtcs.pdf |date=November 20, 2004 |access-date=2012-12-25}}</ref>

: <math>ax^2 + 2b_2 x + c = 0</math>, कहाँ पे <math>b_2 = b/2</math>.<ref>{{Citation |url=http://www.proofwiki.org/wiki/Quadratic_Formula |title=Quadratic Formula |journal=Proof Wiki |access-date=2016-10-08}}</ref>

इन वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन के परिणामस्वरूप समाधान के लिए थोड़ा अलग रूप होते हैं, लेकिन जो अन्यथा मानक पैरामीट्रिजेशन के बराबर होते हैं।

=={{anchor|Other derivations}} सूत्र की व्युत्पत्ति ==

साहित्य में द्विघात सूत्र को प्राप्त करने के लिए कई अलग-अलग तरीके उपलब्ध हैं। मानक एक पूर्ण वर्ग तकनीक का एक सरल अनुप्रयोग है।<ref>{{citation

द्वारा द्विघात समीकरण को विभाजित करें <math>a</math>, जिसकी अनुमति है क्योंकि <math>a</math> गैर-शून्य है:

घटाना {{math|{{sfrac|''c''|''a''}}}} समीकरण के दोनों पक्षों से, उपज:

द्विघात समीकरण अब एक ऐसे रूप में है जिस पर वर्ग को पूर्ण करने की विधि लागू होती है। वास्तव में, समीकरण के दोनों पक्षों में एक स्थिरांक इस प्रकार जोड़ने पर कि बायां पक्ष एक पूर्ण वर्ग बन जाए, द्विघात समीकरण बन जाता है:

इस प्रकार वर्ग पूरा हो गया है। हम दोनों पक्षों का [[वर्गमूल]] निकाल कर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

# प्रत्येक पक्ष को गुणा करें<math>4a</math>,

# जोड़ें<math>b^2</math>वर्ग को पूरा करने के लिए दोनों तरफ।

# बायां पक्ष बहुपद का परिणाम है<math>(2ax + b)^2</math>.

# आइसोलेट<math>x</math>.

द्विघात सूत्र की यह व्युत्पत्ति प्राचीन है और भारत में कम से कम 1025 के रूप में जाना जाता था।<ref name=Smith1958>{{cite book|last=Smith|first=David E.|title=गणित का इतिहास, वॉल्यूम। द्वितीय|year=1958|publisher=Dover Publications|isbn=0486204308|page=446}}</ref> मानक उपयोग में व्युत्पत्ति की तुलना में, यह वैकल्पिक व्युत्पत्ति अंतिम चरण तक अंशों और वर्ग अंशों से बचती है और इसलिए दाईं ओर एक सामान्य भाजक प्राप्त करने के लिए चरण 3 के बाद पुनर्व्यवस्था की आवश्यकता नहीं होती है।<ref name=Hoehn1975/>

 

=== प्रतिस्थापन द्वारा ===

एक अन्य तकनीक [[प्रतिस्थापन (बीजगणित)]] द्वारा समाधान है।<ref>Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1</ref> इस तकनीक में, हम स्थानापन्न करते हैं <math>x = y+m</math> प्राप्त करने के लिए द्विघात में:

परिणाम का विस्तार करना और फिर की शक्तियों को एकत्रित करना <math>y</math> पैदा करता है:

हमने अभी तक दूसरी शर्त नहीं लगाई है <math>y</math> तथा <math>m</math>, तो अब हम चुनते हैं <math>m</math> ताकि मध्य पद लुप्त हो जाए। वह है, <math>2am + b = 0</math> या <math>\textstyle m = \frac{-b}{2a}</math>.

बता दें कि मानक द्विघात समीकरण की जड़ें हैं {{math|''r''₁}} तथा {{math|''r''₂}}. पहचान को याद करके व्युत्पत्ति शुरू होती है:

गुणांक के बाद से {{math|1=''a'' ≠ 0}}, हम मानक समीकरण को विभाजित कर सकते हैं {{math|''a''}} समान मूल वाले द्विघात बहुपद प्राप्त करने के लिए। अर्थात्,

इससे हम देख सकते हैं कि मानक द्विघात समीकरण के मूलों का योग इस प्रकार दिया गया है {{math|−{{sfrac|''b''|''a''}}}}, और उन जड़ों का गुणनफल दिया जाता है {{math|{{sfrac|''c''|''a''}}}}.

 

 

 

इसलिए पहचान को फिर से लिखा जा सकता है:

 

द्विघात सूत्र निकालने का एक वैकल्पिक तरीका लैग्रेंज विलायकों की विधि के माध्यम से है,<ref name=Clark>Clark, A. (1984). ''Elements of abstract algebra''. Courier Corporation. p. 146.</ref> जो गैल्वा सिद्धांत का प्रारंभिक भाग है।<ref name="efei">{{citation

}}, [https://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]</ref>

इस विधि को क्यूबिक बहुपद और क्वार्टिक बहुपद की जड़ें देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और गैलोज़ सिद्धांत की ओर जाता है, जो किसी को उनकी जड़ों के [[समरूपता समूह]], गैलोइस समूह के संदर्भ में किसी भी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को समझने की अनुमति देता है।

यह दृष्टिकोण मूल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की तुलना में जड़ों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। एक मोनिक द्विघात बहुपद दिया गया है

कहाँ पे {{math|''p'' {{=}} −(''α'' + ''β'')}} तथा {{math|''q'' {{=}} ''αβ''}}.

चूंकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता, कोई स्विच कर सकता है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} और के मूल्य {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}} नहीं बदलेगा: कोई ऐसा कह सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}} में [[सममित बहुपद]] हैं {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}. वास्तव में, वे [[प्राथमिक सममित बहुपद]] हैं - कोई भी सममित बहुपद {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|''α'' + ''β''}} तथा {{math|''αβ''}}. बहुपदों का विश्लेषण और हल करने के लिए गैलोज़ सिद्धांत दृष्टिकोण है: बहुपद के गुणांक दिए गए हैं, जो जड़ों में सममित कार्य हैं, क्या कोई समरूपता को तोड़ सकता है और जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है? इस प्रकार डिग्री के बहुपद को हल करना {{math|''n''}} पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों से संबंधित है (क्रम[[परिवर्तन]]) {{math|''n''}} शर्तें, जिसे [[सममित समूह]] कहा जाता है {{math|''n''}} पत्र, और निरूपित {{math|''S{{sub|n}}''}}. द्विघात बहुपद के लिए, दो पदों को पुनर्व्यवस्थित करने का एकमात्र तरीका उन्हें छोड़ देना या उन्हें अदला-बदली करना है (उन्हें [[स्थानान्तरण (गणित)]]), और इस प्रकार एक द्विघात बहुपद को हल करना सरल है।

जड़ें खोजने के लिए {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, उनके योग और अंतर पर विचार करें:

इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है; ध्यान दें कि इनमें से एक जड़ों के क्रम पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य बिंदु है। उपरोक्त समीकरणों को उल्टा करके कोई भी रिज़ॉल्वेंट से जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है:

अब {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} ''α'' + ''β''}} में एक सममित कार्य है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}}, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, और वास्तव में {{math|''r''{{sub|1}} {{=}} −''p''}} जैसा कि ऊपर उल्लेखित है। परंतु {{math|''r''{{sub|2}} {{=}} ''α'' − ''β''}} स्विचिंग के बाद से सममित नहीं है {{math|''α''}} तथा {{math|''β''}} पैदावार {{math|−''r''{{sub|2}} {{=}} ''β'' − ''α''}} (औपचारिक रूप से, इसे जड़ों के सममित समूह की [[समूह क्रिया (गणित)]] कहा जाता है)। तब से {{math|''r''{{sub|2}}}} सममित नहीं है, इसे गुणांकों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}, क्योंकि ये जड़ों में सममित हैं और इस प्रकार कोई भी बहुपद अभिव्यक्ति उनमें शामिल है। जड़ों का क्रम बदलने से ही परिवर्तन होता है {{math|''r''{{sub|2}}}} -1 के एक गुणक द्वारा, और इस प्रकार वर्ग {{math|''r''{{sub|2}}{{sup|2}} {{=}} (''α'' − ''β''){{sup|2}}}} जड़ों में सममित है, और इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है {{math|''p''}} तथा {{math|''q''}}. समीकरण का उपयोग करना