रिक्की वक्रता: Difference between revisions

[[विभेदक ज्यामिति]] में '''रिक्की वक्रता''' टेंसर को मुख्य रूप से जिसका नाम [[ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो]] के नाम पर रखा गया है, यह एक प्रकार से ज्यामितीय से जुड़ा ऐसा तत्व है, जो [[ कई गुना |कई गुना]] हो जाने पर [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] या [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड]] या स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक की आवश्यकता से निर्धारित होती है। मुख्य रूप से इसे उस डिग्री के माप के रूप में माना जाता है, जिस तक किसी दिए गए मीट्रिक टेंसर की ज्यामिति सामान्य [[स्यूडो-[[यूक्लिडियन स्थान]]]] या स्यूडो-यूक्लिडियन स्थान से स्थानीय रूप से भिन्न होती है।

रिक्की टेंसर को इस माप से पहचाना जा सकता है कि स्थान में [[जियोडेसिक]] के साथ चलते समय आकृति कैसे विकृत हो जाती है। [[सामान्य सापेक्षता]] में, जिसमें स्यूडो-रिमानियन सेटिंग उपस्थित है, यह रायचौधुरी समीकरण में रिक्की टेंसर की उपस्थिति से परिलक्षित होता है। इसे आंशिक रूप से इसी कारण आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों के प्रस्ताव पर आधारित किया गया है, क्योंकि स्पेसटाइम को स्यूडो-रीमैनियन मीट्रिक द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें रिक्की टेंसर और ब्रह्मांड के लिए पदार्थों के बीच आश्चर्यजनक सरल संबंध स्थापित हो जाता है।

मीट्रिक टेंसर के समान, रिक्की टेंसर मैनिफ़ोल्ड के प्रत्येक [[स्पर्शरेखा स्थान]] को [[सममित द्विरेखीय रूप]]  {{harv|बेसे|1987|p=43}} प्रदान करता है।<ref>Here it is assumed that the manifold carries its unique [[Levi-Civita connection]]. For a general [[affine connection]], the Ricci tensor need not be symmetric.</ref> मुख्य रूप से कोई रीमैनियन ज्यामिति में रिक्की वक्रता की भूमिका को कार्यों के विश्लेषण में [[लाप्लास ऑपरेटर]] की भूमिका के अनुरूप बनाता है, इस सादृश्य में [[रीमैन वक्रता टेंसर]], जिसमें से रिक्की वक्रता प्राकृतिक उप-उत्पाद है, फलन के दूसरे डेरिवेटिव के पूर्ण आव्यूह के अनुरूप होगा। चूंकि, समान सादृश्य निकालने के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर हैं।

[[ निम्न-आयामी टोपोलॉजी |निम्न-आयामी टोपोलॉजी]] या थ्री-डायमेंशनल टोपोलॉजी में, रिक्की टेंसर में वह सारी जानकारी होती है जो उच्च आयामों में अधिक जटिल रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा एन्कोड की जाती है। इसकी कुछ सीमा तक यह स्थिति कई ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक उपकरणों के अनुप्रयोग की अनुमति देती है, जिसके कारण रिचर्ड एस हैमिल्टन और [[ग्रिगोरी पेरेलमैन]] के काम के माध्यम से पोंकारे अनुमान का हल प्राप्त हुआ हैं।

विभेदक ज्यामिति में, रीमैनियन मैनिफोल्ड पर रिक्की टेंसर पर निचली सीमाएं स्थिर वक्रता वाले [[अंतरिक्ष रूप|स्थान रूप]] की ज्यामिति के साथ तुलना करके वैश्विक ज्यामितीय और टोपोलॉजिकल जानकारी निकालने की अनुमति देती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि रिक्की टेंसर पर निचली सीमाओं का उपयोग रीमानियन ज्यामिति में लंबाई कार्यात्मकता का अध्ययन करने में सफलतापूर्वक किया जा सकता है, जैसा कि पहली बार 1941 में मायर्स प्रमेय के माध्यम से दिखाया गया था।

रिक्की टेंसर का सामान्य स्रोत यह है कि यह तब उत्पन्न होता है जब कोई टेंसर लाप्लासियन के साथ सहसंयोजक व्युत्पन्न को स्थानांतरित करता है। उदाहरण के लिए, यह बोचनर के सूत्र में इसकी उपस्थिति की व्याख्या करता है, जिसका उपयोग रीमैनियन ज्यामिति में सर्वव्यापी रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह सूत्र बताता है कि क्यों [[शिंग-तुंग याउ]] और चेंग-याउ और ली-याउ असमानताओं जैसे उनके विकास होने के कारण ग्रेडिएंट अनुमान लगभग सदैव रिक्की वक्रता के लिए निचली सीमा पर निर्भर करते हैं।

2007 में, [[जॉन लोट (गणितज्ञ)]], [[कार्ल-थियोडोर स्टर्म]] और [[सेड्रिक विलानी]] ने निर्णायक रूप से प्रदर्शित किया कि रिक्की वक्रता पर निचली सीमा को पूर्ण रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड की मीट्रिक स्थान संरचना के साथ-साथ इसके आयतन प्रारूप के संदर्भ में समझा जा सकता है।<ref>{{cite arXiv|last1=Lott|first1=John|last2=Villani|first2=Cedric|date=2006-06-23|title=इष्टतम परिवहन के माध्यम से मीट्रिक-माप स्थानों के लिए रिक्की वक्रता|eprint=math/0412127}}</ref> इसने रिक्की वक्रता और [[वासेरस्टीन मीट्रिक]] और [[परिवहन सिद्धांत (गणित)]] के बीच गहरा संबंध स्थापित किया, जो वर्तमान समय में बहुत शोध का विषय है।

इसके कारण ऐसा लगता है कि <math>\left( M, g \right)</math> <math>n</math>आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड से सुसज्जित होने के कारण [[लेवी-सिविटा कनेक्शन]] <math>\nabla</math> के साथ [[रीमैनियन वक्रता टेंसर]] <math>M</math> का ऐसा नक्शा है, जो सहज सदिश क्षेत्र <math>X</math>, <math>Y</math>, और <math>Z</math> को उपयोग करता है और इसी के आधार पर सदिश क्षेत्र लौटाता है।<math display="block">R(X,Y)Z := \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_XZ - \nabla_{[X,Y]}Z</math>[[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश क्षेत्र]] पर <math>X, Y, Z</math>. तब से <math>R</math> के लिए टेंसर क्षेत्र है, जिसे प्रत्येक बिंदु <math>p \in M</math>, यह (बहुरेखीय) मानचित्र को जन्म देता है:<math display="block">\operatorname{R}_p:T_pM\times T_pM\times T_pM\to T_pM.</math>प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित करता हैं, इस प्रकार <math>p \in M</math> वो नक्शा <math>\operatorname{Ric}_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb{R}</math> से प्रदर्शित होता हैं।<math display="block">\operatorname{Ric}_p(Y,Z) := \operatorname{tr}\big(X\mapsto \operatorname{R}_p(X,Y)Z\big).</math>अर्ताथ यहाँ पर तय किया जा सकता है कि <math>Y</math> और <math>Z</math> किसी भी आधार पर इस प्रकार प्रदर्शित होगा।

 

<math>v_1, \ldots, v_n</math> सदिश स्थान का <math>T_p M</math> के लिए इस प्रकार होगा।<math display="block">\operatorname{Ric}_p(Y,Z) = \sum_{i=1} \langle\operatorname{R}_p(v_i, Y) Z, v_i \rangle.</math>

यह विविध रैखिक का मानक अभ्यास है, यहाँ पर बीजगणित यह सत्यापित करने के लिए कि इस परिभाषा के आधार के रूप पर निर्भर नहीं करती है

यहां हम यह कह सकते हैं कि <math>-R(X,Y)Z;</math> के समान हैं, जिसे फिर से परिभाषित करना पड़ता हैं। इस प्रकार <math>\operatorname{Ric}_p</math> के लिए जैसे <math>-\operatorname{tr}(X\mapsto \operatorname{R}_p(X,Y)Z).</math> रीमैन टेंसर के बारे में संकेत परंपराएं भिन्न हैं, अपितु वे इसके लिए भिन्न रूप में नहीं हैं।

===समतल मैनिफोल्ड पर स्थानीय निर्देशांक के माध्यम से परिभाषा===

<math>\left( M, g \right)</math> समतल रीमैनियन मैनिफोल्ड बनें या स्यूडो-रिमानियन मैनिफोल्ड या स्यूडो-रिमानियन <math>n</math>-कई गुना होने के साथ एक सहज चार्ट <math>\left( U, \varphi \right)</math> दिया गया हैं, जिसके लिए फलन <math>g_{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> हैं। प्रत्येक <math>g^{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> के लिए <math>i, j = 1, \ldots, n</math> के यह मान संतुष्ट करता है।<math display="block">

यहाँ पर सभी <math>x \in \varphi(U)</math> के लिए यह उत्तरार्द्ध मान दिखाता है कि इसे आव्यूह, <math>g^{ij}(x) = (g^{-1})_{ij}(x)</math> के रूप में व्यक्त किया गया हैं। इस प्रकार फलन <math>g_{ij}</math> के मूल्यांकन के लिए इसे <math>g</math> पर परिभाषित किया जाता है, सदिश क्षेत्रों का समन्वय करें, जबकि फलन <math>g^{ij}</math> इस प्रकार परिभाषित किया गया है, इस प्रकार आव्यूह के इसे मान के लिए फलन के रूप में वे आव्यूह-वैल्यू का व्युत्क्रम फलन <math>x \mapsto g_{ij}(x)</math> प्रदान करते हैं।

मानचित्र <math>\varphi: U \rightarrow \mathbb{R}</math> के रूप में <math>\left( U, \varphi \right)</math> और <math>\left( V, \psi \right)</math> के साथ दो सहज चार्ट <math>U \cap V \neq \emptyset</math> बनाये जाते हैं, माना कि <math>R_{ij}: \varphi(U) \rightarrow \mathbb{R}</math> चार्ट के माध्यम से उपरोक्त फलन <math>\left( U, \varphi \right)</math>  की गणना करें, और <math>r_{ij}: \psi(V) \rightarrow \mathbb{R}</math> चार्ट के माध्यम से उपरोक्त फलन <math>\left( V, \psi \right)</math> की गणना करें। फिर कोई श्रृंखला नियम और उत्पाद नियम के साथ गणना करके जांच कर सकता है।<math display="block">

R_{ij}(x) = \sum_{k,l=1}^n r_{kl}\left(\psi\circ\varphi^{-1}(x)\right)D_i\Big|_x \left(\psi\circ\varphi^{-1}\right)^kD_j\Big|_x \left(\psi\circ\varphi^{-1}\right)^l.

<math display="block">

(X, Y) \in T_p M \times T_p M \mapsto \operatorname{Ric}_p(X,Y) = \sum_{i,j=1}^n R_{ij}(\varphi(x))X^i(p)Y^j(p),

जहाँ <math>X^1, \ldots, X^n</math> और <math>Y^1, \ldots, Y^n</math> हैं, स्पर्शरेखा सदिशों के घटक <math>p</math> में <math>X</math> और <math>Y</math> के सापेक्ष समन्वय सदिश क्षेत्र <math>\left( U, \varphi \right)</math> है।

मान लीजिए कि <math>M</math> एक सहज विविधता के प्रदर्शित करता हैं, और इसी प्रकार मान लाजिए {{mvar|g}} एक रीमानियन या छद्म-रीमानियन मीट्रिक बनाता हैं। इस कारण स्थानीय सहज निर्देशांक में, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों को परिभाषित करता हैं।

जिसे इस प्रकार <math>R_{ij}</math> पर (0,2)-टेंसर फ़ील्ड को <math>M</math> परिभाषित करता हैं। विशेष रूप से, यदि<math>X</math> और <math>Y</math> वेक्टर <math>M</math> पर सदिश क्षेत्र हैं,

अंतिम पंक्ति में यह प्रदर्शन उपस्थित है कि द्विरेखीय मानचित्र रिक अच्छी तरह से परिभाषित है, जिसे अनौपचारिक संकेतन के साथ लिखना बहुत साधारण है।

उपरोक्त दोनों परिभाषाएँ समान हैं। परिभाषित करने वाले सूत्र <math>\Gamma_{ij}^k</math> और <math>R_{ij}</math> समन्वय दृष्टिकोण में लेवी-सिविटा कनेक्शन और लेवी-सिविटा संयोग के माध्यम से रीमैन वक्रता को परिभाषित करने वाले सूत्रों में सटीक समानता है। तर्कसंगत रूप से, सीधे स्थानीय निर्देशांक का उपयोग करने वाली परिभाषाएँ उत्तम हैं, क्योंकि ऊपर उल्लिखित रीमैन टेंसर की महत्वपूर्ण संपत्ति की आवश्यकता है <math>M</math> धारण करने के लिए हॉसडॉर्फ रहता हैं। इसके विपरीत, स्थानीय समन्वय दृष्टिकोण के लिए केवल सहज एटलस की आवश्यकता होती है। स्थानीय दृष्टिकोण में अंतर्निहित अपरिवर्तनवादी दर्शन को [[स्पिनर क्षेत्र]] जैसे अधिक विदेशी ज्यामितीय वस्तुओं के निर्माण की विधियों से जोड़ना भी कुछ सीमा तक साधारण है।

परिभाषित करने वाला जटिल सूत्र <math>R_{ij}</math> परिचयात्मक अनुभाग में निम्नलिखित अनुभाग के समान ही है। इस प्रकार इसका अंतर केवल इतना है कि शब्दों को समूहीकृत किया गया है, जिससे कि <math>R_{ij}=R_{ji}.</math> से इसे देखना साधारण हो सके।

<math display="block">\operatorname{Ric}(X ,Y) = \operatorname{Ric}(Y,X)</math>

इस प्रकार यह रैखिक-बीजगणितीय रूप से अनुसरण करता है कि रिक्की टेंसर पूर्ण रूप से निर्धारित है, यह मात्रा जानकर <math>\operatorname{Ric}(X, X)</math> सभी वैक्टर के लिए इस प्रकार हैं। <math>X</math> इकाई लंबाई का. इकाई स्पर्शरेखा सदिशों के सेट पर यह फलन इसे अधिकांशतः रिक्की वक्रता भी कहा जाता है, क्योंकि इसे जानना इसके बराबर है जैसे कि रिक्की वक्रता टेंसर को जानना इसका विषय हैं।

रिक्की वक्रता रीमैनियन के [[अनुभागीय वक्रता]] द्वारा निर्धारित की जाती है, इसके लिए कई गुना होने के साथ अपितु सामान्य रूप से इसमें कम जानकारी होती है। वास्तव में यदि यह मान <math>\xi</math> है। रीमैनियन पर इकाई लंबाई का सदिश <math>n</math>-तो फिर कई गुना <math>\operatorname{Ric}(\xi, \xi)</math> बिल्कुल सही है <math>(n - 1)</math> सभी 2-तलों पर ली गई अनुभागीय वक्रता के औसत मान का युक्त <math>\xi</math> गुना हैं। जहाँ <math>(n - 2)</math>-आयामी परिवार है, इस कारण ऐसे 2-तलों का, और इसलिए केवल आयाम 2 और 3 में रिक्की टेंसर निर्धारित करता है, इस प्रकार पूर्णतयः वक्रता टेंसर उल्लेखनीय अपवाद तब होता है जब मैनिफ़ोल्ड को a दिया जाता है, इसके आधार पर यूक्लिडियन स्थान की हाइपर सतह के रूप में प्राथमिकता देती हैं। इसका दूसरा मौलिक रूप जो गॉस-कोडाज़ी समीकरणों के माध्यम से पूर्ण वक्रता निर्धारित करता है। इसके आधार पर गॉस-कोडाज़ी समीकरण के लिए स्वयं रिक्की टेंसर और प्रिंसिपल वक्रता द्वारा निर्धारित होता है। इस प्रकार [[ ऊनविम पृष्ठ |ऊनविम पृष्ठ]] की रिक्की टेंसर की ईजेनदिशाएं भी हैं। इसी कारण से रिक्की द्वारा टेंसर के प्रारंभ में की गई थी।

जैसा कि दूसरी बियांची पहचान से देखा जा सकता है,<math display="block">\operatorname{div}\operatorname{Ric} = \frac{1}{2}dR,</math>जहाँ <math>R</math> [[अदिश वक्रता]] है, जिसे स्थानीय निर्देशांक <math>g^{ij}R_{ij}.</math> में परिभाषित किया गया है  इसे अधिकांशतः अनुबंधित दूसरी बियांची पहचान कहा जाता है।

रिक्की वक्रता को कभी-कभी (का ऋणात्मक गुणज) माना जाता है, इसके आधार पर मीट्रिक टेंसर का [[लाप्लासियन]] {{harv|चाऊ|नाॅफ|2004|loc=लेमा 3.32}} हैं।<ref>{{Cite book |last=Chow |first=Bennett |url=https://www.worldcat.org/oclc/54692148 |title=The Ricci flow : an introduction |date=2004 |publisher=American Mathematical Society |others=Dan Knopf |isbn=0-8218-3515-7 |location=Providence, R.I. |oclc=54692148}}</ref> जिसे विशेष रूप से, [[हार्मोनिक निर्देशांक]] में स्थानीय निर्देशांक घटक संतुष्ट करते हैं।

जहाँ <math>\Delta = \nabla \cdot \nabla</math> लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है, यहां इसे स्थानीय रूप से परिभाषित कार्यों पर <math>g_{ij}</math> फलन करने वाला माना जाता है, उदाहरण के लिए यह तथ्य [[रिक्की प्रवाह]] समीकरण की प्रारंभिक स्थिति को प्रेरित करता है, इसके लिए मीट्रिक मान के लिए ऊष्मा समीकरण के प्राकृतिक विस्तार के रूप में वैकल्पिक रूप से,[[सामान्य निर्देशांक]] के आधार पर <math>p</math> द्वारा प्रदर्शित करते हैं।