3डी रोटेशन समूह: Difference between revisions

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~~[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] और [[ज्यामिति]] में,~~ 3डी [[ ROTATION |रोटेशन]] समूह, जिसे अधिकांशतः [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]] (3) से दर्शाया जाता है, त्रि-आयामी समिष्ट की [[उत्पत्ति (गणित)]] के बारे में सभी घुमावों का [[समूह (गणित)]] है। त्रि-आयामी समिष्ट <math>\R^3</math> फलन संरचना के संचालन के ~~तहत~~ आता है।<ref>Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.</ref>

'''3डी [[ ROTATION |रोटेशन]] समूह''',[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] और ज्यामिति में जिसे अधिकांशतः विशेष ऑर्थोगोनल समूह (3) से दर्शाया जाता है, त्रि-आयामी समिष्ट की [[उत्पत्ति (गणित)]] के बारे में सभी घुमावों का [[समूह (गणित)]] है। त्रि-आयामी समिष्ट <math>\R^3</math> फलन संरचना के संचालन के अनुसार आता है।<ref>Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.</ref>

परिभाषा के अनुसार, मूल के बारे में घूर्णन परिवर्तन है जो मूल, [[यूक्लिडियन दूरी]] (इसलिए यह [[आइसोमेट्री]] है), और [[अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)|अभिविन्यास ~~(अर्थात्, स्थान के हाथ के मुड़ को)~~]] को संरक्षित करता है। दो घूर्णनों को संयोजित करने से एक और घूर्णन होता है, प्रत्येक घूर्णन में अद्वितीय व्युत्क्रम फलन घूर्णन होता है, और [[पहचान मानचित्र]] घूर्णन की परिभाषा को संतुष्ट करता है। उपरोक्त गुणों (मिश्रित घुमावों की साहचर्य संपत्ति के साथ) के कारण, सभी घुमावों का समूह संरचना के ~~तहत~~ समूह (गणित) है।

परिभाषा के अनुसार, मूल के बारे में घूर्णन परिवर्तन है जो मूल, [[यूक्लिडियन दूरी]] (इसलिए यह [[आइसोमेट्री]] है), और [[अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)|अभिविन्यास]] को संरक्षित करता है। दो घूर्णनों को संयोजित करने से एक और घूर्णन होता है, प्रत्येक घूर्णन में अद्वितीय व्युत्क्रम फलन घूर्णन होता है, और पहचान मानचित्र घूर्णन की परिभाषा को संतुष्ट करता है। उपरोक्त गुणों (मिश्रित घुमावों की साहचर्य संपत्ति के साथ) के कारण, सभी घुमावों का समूह संरचना के अनुसार समूह (गणित) है।

प्रत्येक गैर-तुच्छ घूर्णन उसके घूर्णन अक्ष (मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा) और उसके घूर्णन कोण द्वारा निर्धारित होता है। घूर्णन क्रमविनिमेय नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, x-y समतल में R 90° को यात्रा करने के बाद y-z समतल में S 90° को यात्रा करना R को यात्रा करने के समान नहीं है), जिससे 3डी घूर्णन समूह गैर-एबेलियन समूह बन जाता है। इसके अतिरिक्त, रोटेशन समूह में प्राकृतिक संरचना होती है जिसके लिए समूह संचालन [[सुचारू कार्य]] होता है, इसलिए यह वास्तव में [[झूठ समूह]] है। यह [[सघन स्थान|सघन]] समिष्ट है और इसका आयाम 3 है।

प्रत्येक गैर-तुच्छ घूर्णन उसके घूर्णन अक्ष (मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा) और उसके घूर्णन कोण द्वारा निर्धारित होता है। घूर्णन क्रमविनिमेय नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, x-y समतल में R 90° को यात्रा करने के बाद y-z समतल में S 90° को यात्रा करना R को यात्रा करने के समान नहीं है), जिससे 3डी घूर्णन समूह गैर-एबेलियन समूह बन जाता है। इसके अतिरिक्त, रोटेशन समूह में प्राकृतिक संरचना होती है जिसके लिए समूह संचालन [[सुचारू कार्य]] होता है, इसलिए यह वास्तव में [[झूठ समूह|लाइ समूह]] है। यह [[सघन स्थान|सघन]] समिष्ट है और इसका आयाम 3 है।

घूर्णन [[रैखिक परिवर्तन]] <math>\R^3</math> हैं और इसलिए इसे सदिश समष्टि के आधार पर बार [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\R^3</math> चुना गया है। विशेष रूप से, यदि हम लम्बवत आधार चुनते हैं <math>\R^3</math>, प्रत्येक रोटेशन को ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा वर्णित किया गया ~~है ।~~ ऑर्थोगोनल 3 × 3 आव्युह (~~यानी~~, वास्तविक प्रविष्टियों के साथ 3 × 3 ~~मैट्रिक्स~~, जो इसके स्थानान्तरण से गुणा होने पर, पहचान आव्युह में परिणत होता है) निर्धारक 1 के साथ। समूह SO(3) इसलिए [[मैट्रिक्स गुणन|आव्युह गुणन]] के ~~तहत~~ इन आव्युह के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। इन आव्यूहों को विशेष ऑर्थोगोनल आव्यूह के रूप में जाना जाता है, जो संकेतन SO(3) की व्याख्या करते हैं।

घूर्णन रैखिक परिवर्तन <math>\R^3</math> हैं और इसलिए इसे सदिश समष्टि के आधार पर बार [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\R^3</math> चुना गया है। विशेष रूप से, यदि हम लम्बवत आधार चुनते हैं <math>\R^3</math>, प्रत्येक रोटेशन को ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा वर्णित किया गया है। ऑर्थोगोनल 3 × 3 आव्युह (अर्थात , वास्तविक प्रविष्टियों के साथ 3 × 3 आव्युह , जो इसके स्थानान्तरण से गुणा होने पर, पहचान आव्युह में परिणत होता है) निर्धारक 1 के साथ। समूह SO(3) इसलिए [[मैट्रिक्स गुणन|आव्युह गुणन]] के अनुसार इन आव्युह के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। इन आव्यूहों को विशेष ऑर्थोगोनल आव्यूह के रूप में जाना जाता है, जो संकेतन SO(3) की व्याख्या करते हैं।

समूह SO(3) का उपयोग किसी वस्तु की संभावित घूर्णी समरूपता, साथ ही समिष्ट में किसी वस्तु के संभावित अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसके समूह निरूपण भौतिकी में महत्वपूर्ण हैं, जहां वे पूर्णांक [[स्पिन (भौतिकी)]] के [[प्राथमिक कण|प्राथमिक कणों]] का उत्पन्न होता है।

==लंबाई और [[कोण]]==

मात्र लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, घूर्णन सदिशों के बीच के कोणों को भी संरक्षित करता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि दो सदिश यू और वी के बीच मानक [[डॉट उत्पाद]] हो सकता है जो केवल लंबाई के पूर्ण रूप में लिखा जा सकता है।

मात्र लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, घूर्णन सदिशों के बीच के कोणों को भी संरक्षित करता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि दो सदिश '''u''' और '''v''' के बीच मानक [[डॉट उत्पाद]] हो सकता है जो केवल लंबाई के पूर्ण रूप में लिखा जा सकता है।

<math display="block">\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \left(\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 - \|\mathbf{u}\|^2 - \|\mathbf{v}\|^2\right).</math>

इसका परिणाम है कि <math>\R^3</math> में हर लंबाई संरक्षित रूपी रैखिक परिवर्तन डॉट उत्पन्न करता है, और इसलिए सदिश के बीच के कोण को भी संरक्षित करता है। घुमावों को अधिकांशतः रैखिक परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो <math>\R^3</math> पर आंतरिक गुणन को संरक्षित रखने के रूप में, जो उन्हें लंबाई को संरक्षित रखने की आवश्यकता के समान ~~है।इस~~ अधिक सामान्य दृष्टिकोण के उपचार के लिए [[शास्त्रीय समूह|"शास्त्रीय समूह]]" देखें, जहाँ {{math|SO(3)}} विशेष स्थितियों के रूप में प्रकट होता है।

इसका परिणाम है कि <math>\R^3</math> में हर लंबाई संरक्षित रूपी रैखिक परिवर्तन डॉट उत्पन्न करता है, और इसलिए सदिश के बीच के कोण को भी संरक्षित करता है। घुमावों को अधिकांशतः रैखिक परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो <math>\R^3</math> पर आंतरिक गुणन को संरक्षित रखने के रूप में, जो उन्हें लंबाई को संरक्षित रखने की आवश्यकता के समान है। इस अधिक सामान्य दृष्टिकोण के उपचार के लिए [[शास्त्रीय समूह|"शास्त्रीय समूह]]" देखें, जहाँ {{math|SO(3)}} विशेष स्थितियों के रूप में प्रकट होता है।

==ऑर्थोगोनल और रोटेशन ~~मैट्रिक्स~~==

==ऑर्थोगोनल और रोटेशन आव्युह ==

प्रत्येक घूर्णन <math>\R^3</math> लंबात्मक आधार का मानचित्रण करता है। किसी अन्य दैहिक आधार पर। [[परिमित-आयामी]] सदिश स्थानों के किसी भी रैखिक परिवर्तन की ~~तरह~~, रोटेशन को ~~हमेशा~~ आव्युह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। होने देना {{math|''R''}} दिया गया घुमाव हो। [[मानक आधार]] के संबंध में {{math|'''e'''1, '''e'''2, '''e'''3}} का <math>\R^3</math> के कॉलम {{math|''R''}} द्वारा दिए गए हैं {{math|(''R'''''e'''1, ''R'''''e'''2, ''R'''''e'''3)}}. चूँकि मानक आधार लम्बवत् है, और तब से {{math|''R''}} कोणों और लंबाई, स्तंभों को सुरक्षित रखता है {{math|''R''}} और लंबात्मक आधार बनाएं। इस रूढ़िबद्धता की स्थिति को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

प्रत्येक घूर्णन <math>\R^3</math> लंबात्मक आधार का मानचित्रण करता है। किसी अन्य दैहिक आधार पर। [[परिमित-आयामी]] सदिश स्थानों के किसी भी रैखिक परिवर्तन की प्रकार , रोटेशन को सदैव आव्युह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। होने देना {{math|''R''}} दिया गया घुमाव हो। [[मानक आधार]] के संबंध में {{math|'''e'''1, '''e'''2, '''e'''3}} का <math>\R^3</math> के कॉलम {{math|''R''}} द्वारा दिए गए हैं {{math|(''R'''''e'''1, ''R'''''e'''2, ''R'''''e'''3)}}. चूँकि मानक आधार लम्बवत् है, और तब से {{math|''R''}} कोणों और लंबाई, स्तंभों को सुरक्षित रखता है {{math|''R''}} और लंबात्मक आधार बनाएं। इस रूढ़िबद्धता की स्थिति को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

:<math>R^\mathsf{T}R = RR^\mathsf{T} = I,</math>

~~कहाँ~~ {{math|''R''{{sans-serif|T}}}} के स्थानान्तरण को दर्शाता है {{math|''R''}} और {{mvar|I}} है {{math|3 × 3}} शिनाख्त सांचा। वे आव्युह जिनके लिए यह गुण धारण करता है, [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल]] आव्युह कहलाते हैं। सबका समूह {{math|3 × 3}} ऑर्थोगोनल आव्युह को दर्शाया गया है {{math|O(3)}}, और इसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव ~~शामिल~~ हैं।

जहाँ {{math|''R''{{sans-serif|T}}}} के स्थानान्तरण को दर्शाता है {{math|''R''}} और {{mvar|I}} है {{math|3 × 3}} शिनाख्त सांचा। वे आव्युह जिनके लिए यह गुण धारण करता है, [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल]] आव्युह कहलाते हैं। सबका समूह {{math|3 × 3}} ऑर्थोगोनल आव्युह को दर्शाया गया है {{math|O(3)}}, और इसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव सम्मलित हैं।

लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, उचित घुमाव को अभिविन्यास को भी संरक्षित करना रखना आवश्यक है। आव्युह का निर्धारक ~~सकारात्मक~~ है या ~~नकारात्मक~~, इसके अनुसार आव्युह अभिविन्यास को संरक्षित या उलट देगा। ऑर्थोगोनल आव्युह के लिए {{math|''R''}}, ध्यान दें कि {{math|1=det ''R''{{sans-serif|T}} = det ''R''}} तात्पर्य {{math|1=(det ''R'')2 = 1}}, ~~ताकि~~ {{math|1=det ''R'' = ±1}}. निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह का [[उपसमूह]] {{math|+1}} को विशेष [[ऑर्थोगोनल समूह]] कहा जाता है, जिसे दर्शाया गया है {{math|SO(3)}}.

लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, उचित घुमाव को अभिविन्यास को भी संरक्षित करना रखना आवश्यक है। आव्युह का निर्धारक धनात्मक है या ऋधात्मक, इसके अनुसार आव्युह अभिविन्यास को संरक्षित या उलट देगा। ऑर्थोगोनल आव्युह के लिए {{math|''R''}}, ध्यान दें कि {{math|1=det ''R''{{sans-serif|T}} = det ''R''}} तात्पर्य {{math|1=(det ''R'')2 = 1}}, जिससे कि {{math|1=det ''R'' = ±1}}. निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह का [[उपसमूह]] {{math|+1}} को विशेष [[ऑर्थोगोनल समूह]] कहा जाता है, जिसे दर्शाया गया है {{math|SO(3)}}.

इस प्रकार प्रत्येक घुमाव को इकाई निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि घूर्णन की संरचना आव्युह गुणन से मेल खाती है, इसलिए घूर्णन समूह विशेष ऑर्थोगोनल समूह {{math|SO(3)}} के [[समरूपी]] है।

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==समूह संरचना==

रोटेशन समूह फलन संरचना (या समकक्ष [[मैट्रिक्स उत्पाद|आव्युह उत्पाद]]) के अंतर्गत समूह (गणित) है। यह [[सामान्य रैखिक समूह]] का उपसमूह है जिसमें [[वास्तविक समन्वय स्थान|वास्तविक समन्वय]] समिष्ट के सभी [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा]] आव्युह रैखिक परिवर्तन ~~शामिल~~ हैं । वास्तविक 3-समिष्ट <math>\R^3</math>.<ref>''n'' × ''n'' real matrices are identical to linear transformations of <math>\R^n</math> expressed in its [[standard basis]].</ref>

रोटेशन समूह फलन संरचना (या समकक्ष [[मैट्रिक्स उत्पाद|आव्युह उत्पाद]]) के अंतर्गत समूह (गणित) है। यह [[सामान्य रैखिक समूह]] का उपसमूह है जिसमें [[वास्तविक समन्वय स्थान|वास्तविक समन्वय]] समिष्ट के सभी [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा]] आव्युह रैखिक परिवर्तन सम्मलित हैं । वास्तविक 3-समिष्ट <math>\R^3</math>.<ref>''n'' × ''n'' real matrices are identical to linear transformations of <math>\R^n</math> expressed in its [[standard basis]].</ref>

इसके अतिरिक्त, घूर्णन समूह [[नॉनबेलियन समूह]] है। अर्थात्, घुमावों की रचना के क्रम से फर्क पड़ता है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक x-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर और उसके बाद सकारात्मक y-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर, पहले y और फिर x के चारों ओर घूमने से प्राप्त घुमाव से भिन्न घूर्णन है।

ऑर्थोगोनल समूह, जिसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव ~~शामिल~~ हैं, प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। प्रत्येक उचित घुमाव दो प्रतिबिंबों की संरचना है, जो कार्टन-ड्युडोने प्रमेय का विशेष ~~मामला~~ है।

इसके अतिरिक्त, घूर्णन समूह [[नॉनबेलियन समूह]] है। अर्थात्, घुमावों की रचना के क्रम से असमानता पड़ता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक x-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर और उसके बाद धनात्मक y-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर, पहले y और फिर x के चारों ओर घूमने से प्राप्त घुमाव से भिन्न घूर्णन है।

ऑर्थोगोनल समूह, जिसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव सम्मलित हैं, प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। प्रत्येक उचित घुमाव दो प्रतिबिंबों की संरचना है, जो कार्टन-ड्युडोने प्रमेय का विशेष स्थितियों है।

===परिमित उपसमूहों का पूर्ण वर्गीकरण===

के परिमित उपसमूह <math>\mathrm{SO}(3)</math> पूर्णतः [[वर्गीकरण प्रमेय]] हैं।<ref name="coxeter">{{cite book |last1=Coxeter |first1=H. S. M. |title=नियमित पॉलीटोप्स|date=1973 |location=New York |isbn=0-486-61480-8 |page=53 |edition=Third}}</ref>

प्रत्येक परिमित उपसमूह समतल सममिति के दो गणनीय अनंत परिवारों में से किसी के तत्व के लिए समरूपी होता है: [[चक्रीय समूह]] <math>C_n</math> या [[डायहेड्रल समूह]] <math>D_{2n}</math>, या तीन अन्य समूहों में से एक[[चतुष्फलकीय समूह]] समूह <math>\cong A_4</math>, [[अष्टफलकीय समूह]] <math>\cong S_4</math>, या [[इकोसाहेड्रल समूह]] <math>\cong A_5</math>.

==घूर्णन अक्ष==

~~3 आयामों में~~ प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित घुमाव अद्वितीय 1-आयामी रैखिक उप-समिष्ट को ठीक करता है <math>\R^3</math> जिसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है (यह यूलर का घूर्णन प्रमेय है)। ऐसा प्रत्येक घुमाव इस अक्ष के [[ओर्थोगोनल]] समतल में सामान्य 2-आयामी घुमाव के रूप में कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक 2-आयामी घुमाव को कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है, ~~मनमाना~~ 3-आयामी घुमाव को इस अक्ष के चारों ओर घूमने के कोण के साथ-साथ घूर्णन की धुरी द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। (तकनीकी तौर पर, किसी को अक्ष के लिए अभिविन्यास निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है और क्या इस अभिविन्यास के संबंध में रोटेशन को [[दक्षिणावर्त और [[वामावर्त]]]] या वामावर्त माना जाता है)।

प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित घुमाव 3 आयामों में अद्वितीय 1-आयामी रैखिक उप-समिष्ट को ठीक करता है <math>\R^3</math> जिसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है (यह यूलर का घूर्णन प्रमेय है)। ऐसा प्रत्येक घुमाव इस अक्ष के [[ओर्थोगोनल]] समतल में सामान्य 2-आयामी घुमाव के रूप में कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक 2-आयामी घुमाव को कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है, इच्छानुसार 3-आयामी घुमाव को इस अक्ष के चारों ओर घूमने के कोण के साथ-साथ घूर्णन की धुरी द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। (तकनीकी तौर पर, किसी को अक्ष के लिए अभिविन्यास निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है और क्या इस अभिविन्यास के संबंध में रोटेशन को [[दक्षिणावर्त और [[वामावर्त]]]] या वामावर्त माना जाता है)।

उदाहरण के लिए, कोण φ द्वारा ~~सकारात्मक~~ z-अक्ष के बारे में वामावर्त घूर्णन द्वारा दिया जाता है

उदाहरण के लिए, कोण φ द्वारा धनात्मक z-अक्ष के बारे में वामावर्त घूर्णन द्वारा दिया जाता है

:<math>R_z(\phi) = \begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.</math>

Line 52:

Line 54:

* आर({{pi}} + φ, 'n') = R({{pi}} − φ, −'n').

इन गुणों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि किसी भी घूर्णन को 0 ≤ φ ≤ की सीमा में अद्वितीय कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है। {{pi}} और ~~यूनिट~~ सदिश n ऐसा है

इन गुणों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि किसी भी घूर्णन को 0 ≤ φ ≤ की सीमा में अद्वितीय कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है। {{pi}} और इकाई सदिश n ऐसा है

* n ~~मनमाना~~ है यदि ''φ'' = 0

* '''n''' इच्छानुसार है यदि ''φ'' = 0

* n अद्वितीय है यदि 0 < ''φ'' < {{pi}}

* '''n''' अद्वितीय है यदि 0 < ''φ'' < {{pi}}

* n चिन्ह (गणित) तक अद्वितीय है यदि ''φ'' = {{pi}} (अर्थात्, घूर्णन R({{pi}}, ±n) समान हैं)।

* '''n''' चिन्ह (गणित) तक अद्वितीय है यदि ''φ'' = {{pi}} (अर्थात्, घूर्णन R({{pi}}, ±n) समान हैं)।

अगले अनुभाग में, घुमावों के इस प्रतिनिधित्व का उपयोग त्रि-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य समिष्ट के साथ स्थलीय रूप से SO(3) की पहचान करने के लिए किया जाता है।

==टोपोलॉजी==

लाई समूह SO(3) [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान|वास्तविक प्रक्षेप्य]] समिष्ट से [[भिन्नता]] है <math>\mathbb{P}^3(\R).</math><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Proposition 1.17</ref>

ठोस गेंद पर विचार करें <math>\R^3</math> त्रिज्या का {{pi}} (अर्थात, के सभी बिंदु <math>\R^3</math> दूरी का {{pi}} या मूल से कम)। उपरोक्त को देखते हुए, इस गेंद में प्रत्येक बिंदु के लिए घूर्णन होता है, जिसमें अक्ष बिंदु और मूल बिंदु से होकर गुजरती है, और घूर्णन कोण मूल से बिंदु की दूरी के बराबर होता है। पहचान घुमाव गेंद के केंद्र पर बिंदु से मेल खाता है। 0 और - के बीच के कोणों से घूमना{{pi}} मूल बिंदु से समान अक्ष और दूरी पर लेकिन मूल के विपरीत दिशा में स्थित बिंदु के अनुरूप। शेष मुद्दा यह है कि दो घूर्णन होते हैं {{pi}} और इसके माध्यम से −{{pi}} समान हैं। तो हम गेंद की सतह पर एंटीपोडल बिंदुओं को कोटिएंट समिष्ट (टोपोलॉजी) (या साथ गोंद) करते हैं। इस पहचान के बाद, हम रोटेशन समूह के लिए [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] समिष्ट [[होम्योमॉर्फिक]] पर पहुंचते हैं।

~~दरअसल~~, ~~पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली~~ गेंद ~~चिकनी मैनिफोल्ड~~ है, और ~~[[चिकनी कई गुना]] रोटेशन समूह~~ के ~~लिए भिन्नता~~ है। ~~यह वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान।वास्तविक 3~~-~~आयामी प्रक्षेप्य समिष्ट~~ से ~~भिन्न भी~~ है ~~<math>\mathbb~~{P}^3(\R),~~</math> इसलिए उत्तरार्द्ध~~ रोटेशन समूह के लिए टोपोलॉजिकल ~~मॉडल के रूप में भी काम कर सकता है।~~

ठोस गेंद पर विचार करें <math>\R^3</math> त्रिज्या का {{pi}} (अर्थात, के सभी बिंदु <math>\R^3</math> दूरी का {{pi}} या मूल से कम)। उपरोक्त को देखते हुए, इस गेंद में प्रत्येक बिंदु के लिए घूर्णन होता है, जिसमें अक्ष बिंदु और मूल बिंदु से होकर गुजरती है, और घूर्णन कोण मूल से बिंदु की दूरी के समान होता है। पहचान घुमाव गेंद के केंद्र पर बिंदु से मेल खाता है। 0 और -{{pi}} के बीच के कोणों से घूमना मूल बिंदु से समान अक्ष और दूरी पर किन्तु मूल के विपरीत दिशा में स्थित बिंदु के अनुरूप। शेष मुद्दा यह है कि दो घूर्णन होते हैं और {{pi}} इसके माध्यम से −{{pi}} समान हैं। तो हम गेंद की सतह पर एंटीपोडल बिंदुओं को कोटिएंट समिष्ट (टोपोलॉजी) (या साथ गोंद) करते हैं। इस पहचान के बाद, हम रोटेशन समूह के लिए [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] समिष्ट [[होम्योमॉर्फिक]] पर पहुंचते हैं।

ये पहचान दर्शाती हैं कि SO(3) [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ]] समिष्ट है लेकिन केवल कनेक्टेड नहीं है। उत्तरार्द्ध के संबंध में, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद में, उत्तरी ध्रुव से सीधे आंतरिक भाग से होते हुए दक्षिणी ध्रुव तक चलने वाले पथ पर विचार करें। यह बंद लूप है, ~~क्योंकि उत्तरी ध्रुव~~ और ~~दक्षिणी ध्रुव की पहचान की जाती~~ है। इस लूप को बिंदु तक छोटा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप लूप को कैसे विकृत करते हैं, प्रारंभ और अंत बिंदु को एंटीपोडल रहना होगा, अन्यथा लूप टूट कर खुल जाएगा। घूर्णन के संदर्भ में, यह ~~लूप z~~-~~अक्ष के बारे में घूर्णन के निरंतर अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता~~ है (~~उदाहरण के लिए) पहचान (गेंद के केंद्र~~) ~~पर शुरू होता है~~, ~~दक्षिणी ध्रुव~~ के माध्यम से, उत्तरी ध्रुव पर कूदता है और फिर से पहचान रोटेशन पर समाप्त होता है (यानी, ए) कोण φ के ~~माध्यम से घूर्णन की श्रृंखला जहां φ 0 से मोड़ (ज्यामिति)।2 तक चलता है{{pi}}).~~

मुख्य रूप से, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद चिकनी मैनिफोल्ड है, और [[चिकनी कई गुना]] रोटेशन समूह के लिए भिन्नता है। यह वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान।वास्तविक 3-आयामी प्रक्षेप्य समिष्ट से भिन्न भी है <math>\mathbb{P}^3(\R),</math> इसलिए उत्तरार्द्ध रोटेशन समूह के लिए टोपोलॉजिकल मॉडल के रूप में भी काम कर सकता है।

~~आश्चर्य की बात~~ है, ~~यदि आप पथ पर दो बार दौड़ते हैं, यानी~~, उत्तरी ध्रुव से ~~नीचे~~ दक्षिणी ध्रुव तक ~~दौड़ते हैं~~, उत्तरी ध्रुव ~~पर वापस कूदते हैं (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि उत्तरी~~ और दक्षिणी ध्रुव ~~पहचाने जाते हैं), और फिर उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिण~~ की ~~ओर दौड़ते हैं ध्रुव, ताकि φ 0 से 4 तक चले{{pi}}, आपको बंद~~ लूप ~~मिलता है जिसे~~ बिंदु तक छोटा किया जा सकता है~~: पहले पथों~~ को ~~लगातार गेंद की सतह पर ले जाएं~~, ~~फिर भी उत्तरी ध्रुव को दक्षिणी ध्रुव से दो बार कनेक्ट करें। फिर दूसरे पथ~~ को ~~पथ को बिल्कुल भी बदले बिना~~ एंटीपोडल ~~पक्ष पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है। अब हमारे पास~~ गेंद ~~की सतह~~ पर ~~साधारण बंद लूप~~ है, ~~जो उत्तरी~~ ध्रुव ~~को बड़े वृत्त के साथ जोड़ता है। इस वृत्त को बिना किसी समस्या~~ के उत्तरी ध्रुव ~~तक छोटा किया जा सकता है। [[ प्लेट चाल |प्लेट चाल]]~~ और ~~इसी तरह~~ की ~~ट्रिक्स इसे व्यावहारिक रूप~~ से ~~प्रदर्शित करती हैं।~~

ये पहचान दर्शाती हैं कि SO(3) [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ]] समिष्ट है किन्तु केवल जुड़ा हुआ नहीं है। उत्तरार्द्ध के संबंध में, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद में, उत्तरी ध्रुव से सीधे आंतरिक भाग से होते हुए दक्षिणी ध्रुव तक चलने वाले पथ पर विचार करें। यह बंद लूप है, क्योंकि उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव की पहचान की जाती है। इस लूप को बिंदु तक छोटा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप लूप को कैसे विकृत करते हैं, प्रारंभ और अंत बिंदु को एंटीपोडल रहना होगा, अन्यथा लूप टूट कर खुल जाएगा। घूर्णन के संदर्भ में, यह लूप z-अक्ष के बारे में घूर्णन के निरंतर अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है (उदाहरण के लिए) पहचान (गेंद के केंद्र) पर प्रारंभ होता है, दक्षिणी ध्रुव के माध्यम से, उत्तरी ध्रुव पर कूदता है और फिर से पहचान रोटेशन पर समाप्त होता है (अर्थात कोण φ के माध्यम से घूर्णन की श्रृंखला जहां φ 0 से मोड़ 2{{pi}} तक चलता है).

~~समान तर्क सामान्य रूप~~ से किया जा सकता है, ~~और यह दर्शाता~~ है कि SO(3) का मूल समूह क्रम 2 का चक्रीय समूह है (दो तत्वों वाला मूल समूह)। भौतिकी अनुप्रयोगों में, [[~~मौलिक समूह~~]] की ~~गैर-तुच्छता (~~ से अधिक तत्व) [[स्पिनर]]्स के रूप में ज्ञात वस्तुओं के अस्तित्व की अनुमति देती है, और स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के विकास में महत्वपूर्ण उपकरण है।

आश्चर्य की बात है, यदि आप पथ पर दो बार दौड़ते हैं, अर्थात, उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिणी ध्रुव तक दौड़ते हैं, उत्तरी ध्रुव पर वापस कूदते हैं (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव पहचाने जाते हैं), और फिर उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिण की ओर दौड़ते हैं ध्रुव, ताकि φ 0 से 4 तक चले {{pi}}, आपको बंद लूप मिलता है जिसे बिंदु तक छोटा किया जा सकता है: पहले पथों को लगातार गेंद की सतह पर ले जाएं, फिर भी उत्तरी ध्रुव को दक्षिणी ध्रुव से दो बार जोड़ करें। फिर दूसरे पथ को पथ को बिल्कुल भी बदले बिना एंटीपोडल पक्ष पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है। अब हमारे पास गेंद की सतह पर साधारण बंद लूप है, जो उत्तरी ध्रुव को बड़े वृत्त के साथ जोड़ता है। इस वृत्त को बिना किसी समस्या के उत्तरी ध्रुव तक छोटा किया जा सकता है। [[ प्लेट चाल |प्लेट चाल]] और इसी प्रकार की विधि इसे व्यावहारिक रूप से प्रदर्शित करती हैं।

SO(3) का [[सार्वभौमिक आवरण]] [[स्पिन(3)]] नामक ~~झूठ~~ समूह है। समूह स्पिन(3) [[विशेष एकात्मक समूह]] ~~एसयू~~(2) का समरूपी है; यह इकाई 3-गोले ~~एस से भिन्न भी है~~3और इसे छंदों के समूह (पूर्ण मान 1 के साथ चतुर्भुज) के रूप में समझा जा सकता है। चतुर्भुज और घूर्णन के बीच संबंध, जो ~~आमतौर पर~~ [[ कंप्यूटर चित्रलेख |कंप्यूटर चित्रलेख]] में उपयोग किया जाता है, चतुर्भुज और स्थानिक घुमावों में समझाया गया है। ~~एस से नक्शा~~3SO(3) पर जो S ~~के एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करता है~~3 [[कर्नेल (बीजगणित)]] {±1} के साथ, लाई समूहों का [[विशेषण]] [[समरूपता]] है। स्थलाकृतिक दृष्टि से, यह मानचित्र दो-से- कवर करने वाला मानचित्र है। (प्लेट ट्रिक देखें।)

समान तर्क सामान्य रूप से किया जा सकता है, और यह दर्शाता है कि SO(3) का मूल समूह क्रम 2 का चक्रीय समूह है (दो तत्वों वाला मूल समूह)। भौतिकी अनुप्रयोगों में, [[मौलिक समूह]] की गैर-तुच्छता ( से अधिक तत्व) [[स्पिनर]] के रूप में ज्ञात वस्तुओं के अस्तित्व की अनुमति देती है, और स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के विकास में महत्वपूर्ण उपकरण है।

SO(3) का [[सार्वभौमिक आवरण]] [[स्पिन(3)]] नामक लाइ समूह है। समूह स्पिन(3) [[विशेष एकात्मक समूह]] SU(2) का समरूपी है; यह इकाई 3-गोले S3 से भिन्न भी हैऔर इसे छंदों के समूह (पूर्ण मान 1 के साथ चतुर्भुज) के रूप में समझा जा सकता है। चतुर्भुज और घूर्णन के बीच संबंध, जो सामान्यतः [[ कंप्यूटर चित्रलेख |कंप्यूटर चित्रलेख]] में उपयोग किया जाता है, चतुर्भुज और स्थानिक घुमावों में समझाया गया है। S3 से नक्शा SO(3) पर जो S3 के एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करता है [[कर्नेल (बीजगणित)]] {±1} के साथ, लाई समूहों का [[विशेषण]] [[समरूपता]] है। स्थलाकृतिक दृष्टि से, यह मानचित्र दो-से- कवर करने वाला मानचित्र है। (प्लेट ट्रिक देखें।)

==SO(3) और SU(2) के बीच संबंध==

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===इकाई मानदंड के चतुर्भुज का उपयोग करना ===

समूह {{math|SU(2)}} द्वारा दिए गए मानचित्र के माध्यम से इकाई मानदंड के चतुष्कोणों के लिए [[समूह समरूपता]] है<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 95.</ref>

<math display="block">q = a\mathbf{1} + b\mathbf{i} + c\mathbf{j} + d\mathbf{k} = \alpha + \beta \mathbf{j} \leftrightarrow \begin{bmatrix}\alpha & -\overline \beta \\ \beta & \overline \alpha\end{bmatrix} = U</math>

तक सीमित <math display="inline">a^2+ b^2 + c^2 + d^2 = |\alpha|^2 +|\beta|^2 = 1</math> ~~कहाँ~~ <math display="inline"> q \in \mathbb{H}</math>, <math display="inline">a, b, c, d \in \R</math>, <math display="inline"> U \in \operatorname{SU}(2)</math>, और <math>\alpha = a+bi \in\mathbb{C}</math>, <math>\beta = c+di \in \mathbb{C}</math>.

तक सीमित <math display="inline">a^2+ b^2 + c^2 + d^2 = |\alpha|^2 +|\beta|^2 = 1</math> जहाँ <math display="inline"> q \in \mathbb{H}</math>, <math display="inline">a, b, c, d \in \R</math>, <math display="inline"> U \in \operatorname{SU}(2)</math>, और <math>\alpha = a+bi \in\mathbb{C}</math>, <math>\beta = c+di \in \mathbb{C}</math>.

आइये अब पहचानते हैं <math>\R^3</math> के विस्तार के साथ <math>\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}</math>. इसके बाद कोई इसे सत्यापित कर सकता है <math>v</math> में है <math>\R^3</math> और <math>q</math> तो फिर, इकाई चतुर्भुज है

आइये अब पहचानते हैं <math>\R^3</math> के विस्तार के साथ <math>\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}</math>. इसके बाद कोई इसे सत्यापित कर सकता है <math>v</math> में है <math>\R^3</math> और <math>q</math> तो फिर, इकाई चतुर्भुज है<math display="block">qvq^{-1}\in \R^3.</math>

इसके अतिरिक्त, मानचित्र <math>v\mapsto qvq^{-1}</math> का चक्र है <math>\R^3.</math> इसके अतिरिक्त, <math>(-q)v(-q)^{-1}</math> वैसा ही है जैसा कि <math>qvq^{-1}</math>. इसका मतलब यह है कि वहाँ है {{math|2:1}} इकाई मानदंड के चतुर्भुज से 3डी रोटेशन समूह तक समरूपता {{math|SO(3)}}.

कोई इस समरूपता को स्पष्ट रूप से कार्यान्वित कर सकता है: इकाई चतुर्भुज, {{mvar|q}}, साथ

<math display="block">\begin{align}

इसके अतिरिक्त, मानचित्र <math>v\mapsto qvq^{-1}</math> का चक्र है <math>\R^3.</math> इसके अतिरिक्त, <math>(-q)v(-q)^{-1}</math> वैसा ही है जैसा कि <math>qvq^{-1}</math>. इसका तात्पर्य यह है कि वहाँ है {{math|2:1}} इकाई मानदंड के चतुर्भुज से 3डी रोटेशन समूह तक समरूपता {{math|SO(3)}}.

कोई इस समरूपता को स्पष्ट रूप से कार्यान्वित कर सकता है: इकाई चतुर्भुज, {{mvar|q}}, साथ<math display="block">\begin{align}

q &= w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} , \\

1 &= w^2 + x^2 + y^2 + z^2 ,

\end{align}</math>

रोटेशन आव्युह में मैप किया गया है

रोटेशन आव्युह में मैप किया गया है<math display="block"> Q = \begin{bmatrix}

<math display="block"> Q = \begin{bmatrix}

1 - 2 y^2 - 2 z^2 & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\

2 x y + 2 z w & 1 - 2 x^2 - 2 z^2 & 2 y z - 2 x w \\

2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2

\end{bmatrix}. </math>

यह सदिश के चारों ओर घूर्णन है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} कोण से {{math|2''θ''}}, ~~कहाँ~~ {{math|1=cos ''θ'' = ''w''}} और {{math|1={{!}}sin ''θ''{{!}} = {{norm|(''x'', ''y'', ''z'')}}}}. के लिए उचित संकेत {{math|sin ''θ''}} निहित है, बार अक्ष घटकों के संकेत तय हो गए हैं। वह {{nowrap|{{math|2:1}}-nature}} दोनों से स्पष्ट है {{math|''q''}} और {{math|−''q''}} उसी के लिए मानचित्र {{math|''Q''}}.

यह सदिश के चारों ओर घूर्णन है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} कोण से {{math|2''θ''}}, जहाँ {{math|1=cos ''θ'' = ''w''}} और {{math|1={{!}}sin ''θ''{{!}} = {{norm|(''x'', ''y'', ''z'')}}}}. के लिए उचित संकेत {{math|sin ''θ''}} निहित है, बार अक्ष घटकों के संकेत तय हो गए हैं। वह {{nowrap|{{math|2:1}}-nature}} दोनों से स्पष्ट है {{math|''q''}} और {{math|−''q''}} उसी के लिए मानचित्र {{math|''Q''}}.

===मोबियस परिवर्तनों का उपयोग करना===

[[Image:Stereoprojnegone.svg|thumb|right|300px|त्रिज्या के गोले से त्रिविम प्रक्षेपण {{math|{{sfrac|1|2}}}}उत्तरी ध्रुव से {{math|1=(''x'', ''y'', ''z'') = (0, 0, {{sfrac|1|2}})}} विमान पर {{mvar|M}} द्वारा दिए गए {{math|1=''z'' = −{{sfrac|1|2}}}} द्वारा समन्वित किया गया {{math|(''ξ'', ''η'')}}, यहां क्रॉस सेक्शन में दिखाया गया है।]]इस अनुभाग के लिए सामान्य संदर्भ है {{harvtxt|~~Gelfand~~|~~Minlos~~|~~Shapiro~~|1963}}. बिन्दु {{math|''P''}} गोले पर

[[Image:Stereoprojnegone.svg|thumb|right|300px|त्रिज्या के गोले से त्रिविम प्रक्षेपण {{math|{{sfrac|1|2}}}}उत्तरी ध्रुव से {{math|1=(''x'', ''y

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3डी रोटेशन समूह: Difference between revisions

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 {{Short description|Group of rotations in 3 dimensions}}
-[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] और [[ज्यामिति]] में, 3डी [[ ROTATION |रोटेशन]] समूह, जिसे अधिकांशतः [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]] (3) से दर्शाया जाता है, त्रि-आयामी समिष्ट की [[उत्पत्ति (गणित)]] के बारे में सभी घुमावों का [[समूह (गणित)]] है। त्रि-आयामी समिष्ट <math>\R^3</math> फलन संरचना के संचालन के तहत आता है।<ref>Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.</ref>
+'''3डी [[ ROTATION |रोटेशन]] समूह''',[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] और ज्यामिति में जिसे अधिकांशतः विशेष ऑर्थोगोनल समूह (3) से दर्शाया जाता है, त्रि-आयामी समिष्ट की [[उत्पत्ति (गणित)]] के बारे में सभी घुमावों का [[समूह (गणित)]] है। त्रि-आयामी समिष्ट <math>\R^3</math> फलन संरचना के संचालन के अनुसार आता है।<ref>Jacobson (2009), p. 34, Ex. 14.</ref>
-परिभाषा के अनुसार, मूल के बारे में घूर्णन परिवर्तन है जो मूल, [[यूक्लिडियन दूरी]] (इसलिए यह [[आइसोमेट्री]] है), और [[अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)|अभिविन्यास (अर्थात्, स्थान के हाथ के मुड़ को)]] को संरक्षित करता है। दो घूर्णनों को संयोजित करने से एक और घूर्णन होता है, प्रत्येक घूर्णन में अद्वितीय व्युत्क्रम फलन घूर्णन होता है, और [[पहचान मानचित्र]] घूर्णन की परिभाषा को संतुष्ट करता है। उपरोक्त गुणों (मिश्रित घुमावों की साहचर्य संपत्ति के साथ) के कारण, सभी घुमावों का समूह संरचना के तहत समूह (गणित) है।
+परिभाषा के अनुसार, मूल के बारे में घूर्णन परिवर्तन है जो मूल, [[यूक्लिडियन दूरी]] (इसलिए यह [[आइसोमेट्री]] है), और [[अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)|अभिविन्यास]] को संरक्षित करता है। दो घूर्णनों को संयोजित करने से एक और घूर्णन होता है, प्रत्येक घूर्णन में अद्वितीय व्युत्क्रम फलन घूर्णन होता है, और पहचान मानचित्र घूर्णन की परिभाषा को संतुष्ट करता है। उपरोक्त गुणों (मिश्रित घुमावों की साहचर्य संपत्ति के साथ) के कारण, सभी घुमावों का समूह संरचना के अनुसार समूह (गणित) है।
-प्रत्येक गैर-तुच्छ घूर्णन उसके घूर्णन अक्ष (मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा) और उसके घूर्णन कोण द्वारा निर्धारित होता है। घूर्णन क्रमविनिमेय नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, x-y समतल में R 90° को यात्रा करने के बाद y-z समतल में S 90° को यात्रा करना R को यात्रा करने के समान नहीं है), जिससे 3डी घूर्णन समूह गैर-एबेलियन समूह बन जाता है। इसके अतिरिक्त, रोटेशन समूह में प्राकृतिक संरचना होती है जिसके लिए समूह संचालन [[सुचारू कार्य]] होता है, इसलिए यह वास्तव में [[झूठ समूह]] है। यह [[सघन स्थान|सघन]] समिष्ट है और इसका आयाम 3 है।
+प्रत्येक गैर-तुच्छ घूर्णन उसके घूर्णन अक्ष (मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा) और उसके घूर्णन कोण द्वारा निर्धारित होता है। घूर्णन क्रमविनिमेय नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, x-y समतल में R 90° को यात्रा करने के बाद y-z समतल में S 90° को यात्रा करना R को यात्रा करने के समान नहीं है), जिससे 3डी घूर्णन समूह गैर-एबेलियन समूह बन जाता है। इसके अतिरिक्त, रोटेशन समूह में प्राकृतिक संरचना होती है जिसके लिए समूह संचालन [[सुचारू कार्य]] होता है, इसलिए यह वास्तव में [[झूठ समूह|लाइ समूह]] है। यह [[सघन स्थान|सघन]] समिष्ट है और इसका आयाम 3 है।
-घूर्णन [[रैखिक परिवर्तन]] <math>\R^3</math> हैं और इसलिए इसे सदिश समष्टि के आधार पर बार [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\R^3</math> चुना गया है। विशेष रूप से, यदि हम लम्बवत आधार चुनते हैं <math>\R^3</math>, प्रत्येक रोटेशन को ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा वर्णित किया गया है । ऑर्थोगोनल 3 × 3 आव्युह (यानी, वास्तविक प्रविष्टियों के साथ 3 × 3 मैट्रिक्स, जो इसके स्थानान्तरण से गुणा होने पर, पहचान आव्युह में परिणत होता है) निर्धारक 1 के साथ। समूह SO(3) इसलिए [[मैट्रिक्स गुणन|आव्युह गुणन]] के तहत इन आव्युह के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। इन आव्यूहों को विशेष ऑर्थोगोनल आव्यूह के रूप में जाना जाता है, जो संकेतन SO(3) की व्याख्या करते हैं।
+घूर्णन रैखिक परिवर्तन <math>\R^3</math> हैं और इसलिए इसे सदिश समष्टि के आधार पर बार [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>\R^3</math> चुना गया है। विशेष रूप से, यदि हम लम्बवत आधार चुनते हैं <math>\R^3</math>, प्रत्येक रोटेशन को ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा वर्णित किया गया है। ऑर्थोगोनल 3 × 3 आव्युह (अर्थात , वास्तविक प्रविष्टियों के साथ 3 × 3 आव्युह , जो इसके स्थानान्तरण से गुणा होने पर, पहचान आव्युह में परिणत होता है) निर्धारक 1 के साथ। समूह SO(3) इसलिए [[मैट्रिक्स गुणन|आव्युह गुणन]] के अनुसार इन आव्युह के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। इन आव्यूहों को विशेष ऑर्थोगोनल आव्यूह के रूप में जाना जाता है, जो संकेतन SO(3) की व्याख्या करते हैं।
 समूह SO(3) का उपयोग किसी वस्तु की संभावित घूर्णी समरूपता, साथ ही समिष्ट में किसी वस्तु के संभावित अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसके समूह निरूपण भौतिकी में महत्वपूर्ण हैं, जहां वे पूर्णांक [[स्पिन (भौतिकी)]] के [[प्राथमिक कण|प्राथमिक कणों]] का उत्पन्न होता है।
 ==लंबाई और [[कोण]]==
-मात्र लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, घूर्णन सदिशों के बीच के कोणों को भी संरक्षित करता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि दो सदिश यू और वी के बीच मानक [[डॉट उत्पाद]] हो सकता है जो केवल लंबाई के पूर्ण रूप में लिखा जा सकता है।
+मात्र लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, घूर्णन सदिशों के बीच के कोणों को भी संरक्षित करता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि दो सदिश '''u''' और '''v''' के बीच मानक [[डॉट उत्पाद]] हो सकता है जो केवल लंबाई के पूर्ण रूप में लिखा जा सकता है।
 <math display="block">\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \left(\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 - \|\mathbf{u}\|^2 - \|\mathbf{v}\|^2\right).</math>
-इसका परिणाम है कि <math>\R^3</math> में हर लंबाई संरक्षित रूपी रैखिक परिवर्तन डॉट उत्पन्न करता है, और इसलिए सदिश के बीच के कोण को भी संरक्षित करता है। घुमावों को अधिकांशतः रैखिक परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो <math>\R^3</math> पर आंतरिक गुणन को संरक्षित रखने के रूप में, जो उन्हें लंबाई को संरक्षित रखने की आवश्यकता के समान है।इस अधिक सामान्य दृष्टिकोण के उपचार के लिए [[शास्त्रीय समूह|"शास्त्रीय समूह]]" देखें, जहाँ {{math|SO(3)}} विशेष स्थितियों के रूप में प्रकट होता है।
+इसका परिणाम है कि <math>\R^3</math> में हर लंबाई संरक्षित रूपी रैखिक परिवर्तन डॉट उत्पन्न करता है, और इसलिए सदिश के बीच के कोण को भी संरक्षित करता है। घुमावों को अधिकांशतः रैखिक परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो <math>\R^3</math> पर आंतरिक गुणन को संरक्षित रखने के रूप में, जो उन्हें लंबाई को संरक्षित रखने की आवश्यकता के समान है। इस अधिक सामान्य दृष्टिकोण के उपचार के लिए [[शास्त्रीय समूह|"शास्त्रीय समूह]]" देखें, जहाँ {{math|SO(3)}} विशेष स्थितियों के रूप में प्रकट होता है।
-==ऑर्थोगोनल और रोटेशन मैट्रिक्स==
+==ऑर्थोगोनल और रोटेशन आव्युह ==
 {{Main|ऑर्थोगोनल आव्युह|रोटेशन आव्युह}}
-प्रत्येक घूर्णन <math>\R^3</math> लंबात्मक आधार का मानचित्रण करता है। किसी अन्य दैहिक आधार पर। [[परिमित-आयामी]] सदिश स्थानों के किसी भी रैखिक परिवर्तन की तरह, रोटेशन को हमेशा आव्युह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। होने देना {{math|''R''}} दिया गया घुमाव हो। [[मानक आधार]] के संबंध में {{math|'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>}} का <math>\R^3</math> के कॉलम {{math|''R''}} द्वारा दिए गए हैं {{math|(''R'''''e'''<sub>1</sub>, ''R'''''e'''<sub>2</sub>, ''R'''''e'''<sub>3</sub>)}}. चूँकि मानक आधार लम्बवत् है, और तब से {{math|''R''}} कोणों और लंबाई, स्तंभों को सुरक्षित रखता है {{math|''R''}} और लंबात्मक आधार बनाएं। इस रूढ़िबद्धता की स्थिति को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+प्रत्येक घूर्णन <math>\R^3</math> लंबात्मक आधार का मानचित्रण करता है। किसी अन्य दैहिक आधार पर। [[परिमित-आयामी]] सदिश स्थानों के किसी भी रैखिक परिवर्तन की प्रकार , रोटेशन को सदैव आव्युह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। होने देना {{math|''R''}} दिया गया घुमाव हो। [[मानक आधार]] के संबंध में {{math|'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>}} का <math>\R^3</math> के कॉलम {{math|''R''}} द्वारा दिए गए हैं {{math|(''R'''''e'''<sub>1</sub>, ''R'''''e'''<sub>2</sub>, ''R'''''e'''<sub>3</sub>)}}. चूँकि मानक आधार लम्बवत् है, और तब से {{math|''R''}} कोणों और लंबाई, स्तंभों को सुरक्षित रखता है {{math|''R''}} और लंबात्मक आधार बनाएं। इस रूढ़िबद्धता की स्थिति को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>R^\mathsf{T}R = RR^\mathsf{T} = I,</math>
-कहाँ {{math|''R''<sup>{{sans-serif|T}}</sup>}} के स्थानान्तरण को दर्शाता है {{math|''R''}} और {{mvar|I}} है {{math|3 × 3}} शिनाख्त सांचा। वे आव्युह जिनके लिए यह गुण धारण करता है, [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल]] आव्युह कहलाते हैं। सबका समूह {{math|3 × 3}} ऑर्थोगोनल आव्युह को दर्शाया गया है {{math|O(3)}}, और इसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव शामिल हैं।
+जहाँ {{math|''R''<sup>{{sans-serif|T}}</sup>}} के स्थानान्तरण को दर्शाता है {{math|''R''}} और {{mvar|I}} है {{math|3 × 3}} शिनाख्त सांचा। वे आव्युह जिनके लिए यह गुण धारण करता है, [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल]] आव्युह कहलाते हैं। सबका समूह {{math|3 × 3}} ऑर्थोगोनल आव्युह को दर्शाया गया है {{math|O(3)}}, और इसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव सम्मलित हैं।
-लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, उचित घुमाव को अभिविन्यास को भी संरक्षित करना रखना आवश्यक है। आव्युह का निर्धारक सकारात्मक है या नकारात्मक, इसके अनुसार आव्युह अभिविन्यास को संरक्षित या उलट देगा। ऑर्थोगोनल आव्युह के लिए {{math|''R''}}, ध्यान दें कि {{math|1=det ''R''<sup>{{sans-serif|T}}</sup> = det ''R''}} तात्पर्य {{math|1=(det ''R'')<sup>2</sup> = 1}}, ताकि {{math|1=det ''R'' = ±1}}. निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह का [[उपसमूह]] {{math|+1}} को विशेष [[ऑर्थोगोनल समूह]] कहा जाता है, जिसे दर्शाया गया है {{math|SO(3)}}.
+लंबाई को संरक्षित करने के अतिरिक्त, उचित घुमाव को अभिविन्यास को भी संरक्षित करना रखना आवश्यक है। आव्युह का निर्धारक धनात्मक है या ऋधात्मक, इसके अनुसार आव्युह अभिविन्यास को संरक्षित या उलट देगा। ऑर्थोगोनल आव्युह के लिए {{math|''R''}}, ध्यान दें कि {{math|1=det ''R''<sup>{{sans-serif|T}}</sup> = det ''R''}} तात्पर्य {{math|1=(det ''R'')<sup>2</sup> = 1}}, जिससे कि {{math|1=det ''R'' = ±1}}. निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह का [[उपसमूह]] {{math|+1}} को विशेष [[ऑर्थोगोनल समूह]] कहा जाता है, जिसे दर्शाया गया है {{math|SO(3)}}.
 इस प्रकार प्रत्येक घुमाव को इकाई निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि घूर्णन की संरचना आव्युह गुणन से मेल खाती है, इसलिए घूर्णन समूह विशेष ऑर्थोगोनल समूह {{math|SO(3)}} के [[समरूपी]] है।
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 ==समूह संरचना==
-रोटेशन समूह फलन संरचना (या समकक्ष [[मैट्रिक्स उत्पाद|आव्युह उत्पाद]]) के अंतर्गत समूह (गणित) है। यह [[सामान्य रैखिक समूह]] का उपसमूह है जिसमें [[वास्तविक समन्वय स्थान|वास्तविक समन्वय]] समिष्ट के सभी [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा]] आव्युह रैखिक परिवर्तन शामिल हैं । वास्तविक 3-समिष्ट <math>\R^3</math>.<ref>''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' real matrices are identical to linear transformations of <math>\R^n</math> expressed in its [[standard basis]].</ref>
+रोटेशन समूह फलन संरचना (या समकक्ष [[मैट्रिक्स उत्पाद|आव्युह उत्पाद]]) के अंतर्गत समूह (गणित) है। यह [[सामान्य रैखिक समूह]] का उपसमूह है जिसमें [[वास्तविक समन्वय स्थान|वास्तविक समन्वय]] समिष्ट के सभी [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा]] आव्युह रैखिक परिवर्तन सम्मलित हैं । वास्तविक 3-समिष्ट <math>\R^3</math>.<ref>''n''&nbsp;×&nbsp;''n'' real matrices are identical to linear transformations of <math>\R^n</math> expressed in its [[standard basis]].</ref>
-इसके अतिरिक्त, घूर्णन समूह [[नॉनबेलियन समूह]] है। अर्थात्, घुमावों की रचना के क्रम से फर्क पड़ता है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक x-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर और उसके बाद सकारात्मक y-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर, पहले y और फिर x के चारों ओर घूमने से प्राप्त घुमाव से भिन्न घूर्णन है।
-ऑर्थोगोनल समूह, जिसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव शामिल हैं, प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। प्रत्येक उचित घुमाव दो प्रतिबिंबों की संरचना है, जो कार्टन-ड्युडोने प्रमेय का विशेष मामला है।
+इसके अतिरिक्त, घूर्णन समूह [[नॉनबेलियन समूह]] है। अर्थात्, घुमावों की रचना के क्रम से असमानता पड़ता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक x-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर और उसके बाद धनात्मक y-अक्ष के चारों ओर चौथाई चक्कर, पहले y और फिर x के चारों ओर घूमने से प्राप्त घुमाव से भिन्न घूर्णन है।
+ऑर्थोगोनल समूह, जिसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव सम्मलित हैं, प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। प्रत्येक उचित घुमाव दो प्रतिबिंबों की संरचना है, जो कार्टन-ड्युडोने प्रमेय का विशेष स्थितियों है।
 ===परिमित उपसमूहों का पूर्ण वर्गीकरण===
 के परिमित उपसमूह <math>\mathrm{SO}(3)</math> पूर्णतः [[वर्गीकरण प्रमेय]] हैं।<ref name="coxeter">{{cite book |last1=Coxeter |first1=H. S. M. |title=नियमित पॉलीटोप्स|date=1973 |location=New York |isbn=0-486-61480-8 |page=53 |edition=Third}}</ref>
 प्रत्येक परिमित उपसमूह समतल सममिति के दो गणनीय अनंत परिवारों में से किसी के तत्व के लिए समरूपी होता है: [[चक्रीय समूह]] <math>C_n</math> या [[डायहेड्रल समूह]] <math>D_{2n}</math>, या तीन अन्य समूहों में से एक[[चतुष्फलकीय समूह]] समूह <math>\cong A_4</math>, [[अष्टफलकीय समूह]] <math>\cong S_4</math>, या [[इकोसाहेड्रल समूह]] <math>\cong A_5</math>.
 ==घूर्णन अक्ष==
-{{main|Axis–angle representation}}
+{{main|अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व}}
-आयामों में प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित घुमाव अद्वितीय 1-आयामी रैखिक उप-समिष्ट को ठीक करता है <math>\R^3</math> जिसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है (यह यूलर का घूर्णन प्रमेय है)। ऐसा प्रत्येक घुमाव इस अक्ष के [[ओर्थोगोनल]] समतल में सामान्य 2-आयामी घुमाव के रूप में कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक 2-आयामी घुमाव को कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है, मनमाना 3-आयामी घुमाव को इस अक्ष के चारों ओर घूमने के कोण के साथ-साथ घूर्णन की धुरी द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। (तकनीकी तौर पर, किसी को अक्ष के लिए अभिविन्यास निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है और क्या इस अभिविन्यास के संबंध में रोटेशन को [[दक्षिणावर्त और [[वामावर्त]]]] या वामावर्त माना जाता है)।
+प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित घुमाव 3 आयामों में अद्वितीय 1-आयामी रैखिक उप-समिष्ट को ठीक करता है <math>\R^3</math> जिसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है (यह यूलर का घूर्णन प्रमेय है)। ऐसा प्रत्येक घुमाव इस अक्ष के [[ओर्थोगोनल]] समतल में सामान्य 2-आयामी घुमाव के रूप में कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक 2-आयामी घुमाव को कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है, इच्छानुसार 3-आयामी घुमाव को इस अक्ष के चारों ओर घूमने के कोण के साथ-साथ घूर्णन की धुरी द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। (तकनीकी तौर पर, किसी को अक्ष के लिए अभिविन्यास निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है और क्या इस अभिविन्यास के संबंध में रोटेशन को [[दक्षिणावर्त और [[वामावर्त]]]] या वामावर्त माना जाता है)।
-उदाहरण के लिए, कोण φ द्वारा सकारात्मक z-अक्ष के बारे में वामावर्त घूर्णन द्वारा दिया जाता है
+उदाहरण के लिए, कोण φ द्वारा धनात्मक z-अक्ष के बारे में वामावर्त घूर्णन द्वारा दिया जाता है
 :<math>R_z(\phi) = \begin{bmatrix}\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.</math>
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 * आर({{pi}} + φ, 'n') = R({{pi}} − φ, −'n').
-इन गुणों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि किसी भी घूर्णन को 0 ≤ φ ≤ की सीमा में अद्वितीय कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है। {{pi}} और यूनिट सदिश n ऐसा है
+इन गुणों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि किसी भी घूर्णन को 0 ≤ φ ≤ की सीमा में अद्वितीय कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है। {{pi}} और इकाई सदिश n ऐसा है
-* n मनमाना है यदि ''φ'' = 0
+* '''n''' इच्छानुसार है यदि ''φ'' = 0
-* n अद्वितीय है यदि 0 < ''φ'' < {{pi}}
+* '''n''' अद्वितीय है यदि 0 < ''φ'' < {{pi}}
-* n चिन्ह (गणित) तक अद्वितीय है यदि ''φ'' = {{pi}} (अर्थात्, घूर्णन R({{pi}}, ±n) समान हैं)।
+* '''n''' चिन्ह (गणित) तक अद्वितीय है यदि ''φ'' = {{pi}} (अर्थात्, घूर्णन R({{pi}}, ±n) समान हैं)।
 अगले अनुभाग में, घुमावों के इस प्रतिनिधित्व का उपयोग त्रि-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य समिष्ट के साथ स्थलीय रूप से SO(3) की पहचान करने के लिए किया जाता है।
 ==टोपोलॉजी==
-{{Main|Hypersphere of rotations}}
+{{Main|घूर्णन का हाइपरस्फेयर}}
 लाई समूह SO(3) [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान|वास्तविक प्रक्षेप्य]] समिष्ट से [[भिन्नता]] है <math>\mathbb{P}^3(\R).</math><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Proposition 1.17</ref>
-ठोस गेंद पर विचार करें <math>\R^3</math> त्रिज्या का {{pi}} (अर्थात, के सभी बिंदु <math>\R^3</math> दूरी का {{pi}} या मूल से कम)। उपरोक्त को देखते हुए, इस गेंद में प्रत्येक बिंदु के लिए घूर्णन होता है, जिसमें अक्ष बिंदु और मूल बिंदु से होकर गुजरती है, और घूर्णन कोण मूल से बिंदु की दूरी के बराबर होता है। पहचान घुमाव गेंद के केंद्र पर बिंदु से मेल खाता है। 0 और - के बीच के कोणों से घूमना{{pi}} मूल बिंदु से समान अक्ष और दूरी पर लेकिन मूल के विपरीत दिशा में स्थित बिंदु के अनुरूप। शेष मुद्दा यह है कि दो घूर्णन होते हैं {{pi}} और इसके माध्यम से −{{pi}} समान हैं। तो हम गेंद की सतह पर एंटीपोडल बिंदुओं को कोटिएंट समिष्ट (टोपोलॉजी) (या साथ गोंद) करते हैं। इस पहचान के बाद, हम रोटेशन समूह के लिए [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] समिष्ट [[होम्योमॉर्फिक]] पर पहुंचते हैं।
-दरअसल, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद चिकनी मैनिफोल्ड है, और [[चिकनी कई गुना]] रोटेशन समूह के लिए भिन्नता है। यह वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान।वास्तविक 3-आयामी प्रक्षेप्य समिष्ट से भिन्न भी है <math>\mathbb{P}^3(\R),</math> इसलिए उत्तरार्द्ध रोटेशन समूह के लिए टोपोलॉजिकल मॉडल के रूप में भी काम कर सकता है।
+ठोस गेंद पर विचार करें <math>\R^3</math> त्रिज्या का {{pi}} (अर्थात, के सभी बिंदु <math>\R^3</math> दूरी का {{pi}} या मूल से कम)। उपरोक्त को देखते हुए, इस गेंद में प्रत्येक बिंदु के लिए घूर्णन होता है, जिसमें अक्ष बिंदु और मूल बिंदु से होकर गुजरती है, और घूर्णन कोण मूल से बिंदु की दूरी के समान होता है। पहचान घुमाव गेंद के केंद्र पर बिंदु से मेल खाता है। 0 और -{{pi}} के बीच के कोणों से घूमना मूल बिंदु से समान अक्ष और दूरी पर किन्तु मूल के विपरीत दिशा में स्थित बिंदु के अनुरूप। शेष मुद्दा यह है कि दो घूर्णन होते हैं और {{pi}} इसके माध्यम से −{{pi}} समान हैं। तो हम गेंद की सतह पर एंटीपोडल बिंदुओं को कोटिएंट समिष्ट (टोपोलॉजी) (या साथ गोंद) करते हैं। इस पहचान के बाद, हम रोटेशन समूह के लिए [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल]] समिष्ट [[होम्योमॉर्फिक]] पर पहुंचते हैं।
-ये पहचान दर्शाती हैं कि SO(3) [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ]] समिष्ट है लेकिन केवल कनेक्टेड नहीं है। उत्तरार्द्ध के संबंध में, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद में, उत्तरी ध्रुव से सीधे आंतरिक भाग से होते हुए दक्षिणी ध्रुव तक चलने वाले पथ पर विचार करें। यह बंद लूप है, क्योंकि उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव की पहचान की जाती है। इस लूप को बिंदु तक छोटा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप लूप को कैसे विकृत करते हैं, प्रारंभ और अंत बिंदु को एंटीपोडल रहना होगा, अन्यथा लूप टूट कर खुल जाएगा। घूर्णन के संदर्भ में, यह लूप z-अक्ष के बारे में घूर्णन के निरंतर अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है (उदाहरण के लिए) पहचान (गेंद के केंद्र) पर शुरू होता है, दक्षिणी ध्रुव के माध्यम से, उत्तरी ध्रुव पर कूदता है और फिर से पहचान रोटेशन पर समाप्त होता है (यानी, ए) कोण φ के माध्यम से घूर्णन की श्रृंखला जहां φ 0 से मोड़ (ज्यामिति)।2 तक चलता है{{pi}}).
+मुख्य रूप से, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद चिकनी मैनिफोल्ड है, और [[चिकनी कई गुना]] रोटेशन समूह के लिए भिन्नता है। यह वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान।वास्तविक 3-आयामी प्रक्षेप्य समिष्ट से भिन्न भी है <math>\mathbb{P}^3(\R),</math> इसलिए उत्तरार्द्ध रोटेशन समूह के लिए टोपोलॉजिकल मॉडल के रूप में भी काम कर सकता है।
-आश्चर्य की बात है, यदि आप पथ पर दो बार दौड़ते हैं, यानी, उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिणी ध्रुव तक दौड़ते हैं, उत्तरी ध्रुव पर वापस कूदते हैं (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव पहचाने जाते हैं), और फिर उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिण की ओर दौड़ते हैं ध्रुव, ताकि φ 0 से 4 तक चले{{pi}}, आपको बंद लूप मिलता है जिसे बिंदु तक छोटा किया जा सकता है: पहले पथों को लगातार गेंद की सतह पर ले जाएं, फिर भी उत्तरी ध्रुव को दक्षिणी ध्रुव से दो बार कनेक्ट करें। फिर दूसरे पथ को पथ को बिल्कुल भी बदले बिना एंटीपोडल पक्ष पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है। अब हमारे पास गेंद की सतह पर साधारण बंद लूप है, जो उत्तरी ध्रुव को बड़े वृत्त के साथ जोड़ता है। इस वृत्त को बिना किसी समस्या के उत्तरी ध्रुव तक छोटा किया जा सकता है। [[ प्लेट चाल |प्लेट चाल]] और इसी तरह की ट्रिक्स इसे व्यावहारिक रूप से प्रदर्शित करती हैं।
+ये पहचान दर्शाती हैं कि SO(3) [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ]] समिष्ट है किन्तु केवल जुड़ा हुआ नहीं है। उत्तरार्द्ध के संबंध में, पहचाने गए एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद में, उत्तरी ध्रुव से सीधे आंतरिक भाग से होते हुए दक्षिणी ध्रुव तक चलने वाले पथ पर विचार करें। यह बंद लूप है, क्योंकि उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव की पहचान की जाती है। इस लूप को बिंदु तक छोटा नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप लूप को कैसे विकृत करते हैं, प्रारंभ और अंत बिंदु को एंटीपोडल रहना होगा, अन्यथा लूप टूट कर खुल जाएगा। घूर्णन के संदर्भ में, यह लूप z-अक्ष के बारे में घूर्णन के निरंतर अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है (उदाहरण के लिए) पहचान (गेंद के केंद्र) पर प्रारंभ होता है, दक्षिणी ध्रुव के माध्यम से, उत्तरी ध्रुव पर कूदता है और फिर से पहचान रोटेशन पर समाप्त होता है (अर्थात कोण φ के माध्यम से घूर्णन की श्रृंखला जहां φ 0 से मोड़ 2{{pi}} तक चलता है).
-समान तर्क सामान्य रूप से किया जा सकता है, और यह दर्शाता है कि SO(3) का मूल समूह क्रम 2 का चक्रीय समूह है (दो तत्वों वाला मूल समूह)। भौतिकी अनुप्रयोगों में, [[मौलिक समूह]] की गैर-तुच्छता ( से अधिक तत्व) [[स्पिनर]]्स के रूप में ज्ञात वस्तुओं के अस्तित्व की अनुमति देती है, और स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के विकास में महत्वपूर्ण उपकरण है।
+आश्चर्य की बात है, यदि आप पथ पर दो बार दौड़ते हैं, अर्थात, उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिणी ध्रुव तक दौड़ते हैं, उत्तरी ध्रुव पर वापस कूदते हैं (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव पहचाने जाते हैं), और फिर उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिण की ओर दौड़ते हैं ध्रुव, ताकि φ 0 से 4 तक चले {{pi}}, आपको बंद लूप मिलता है जिसे बिंदु तक छोटा किया जा सकता है: पहले पथों को लगातार गेंद की सतह पर ले जाएं, फिर भी उत्तरी ध्रुव को दक्षिणी ध्रुव से दो बार जोड़ करें। फिर दूसरे पथ को पथ को बिल्कुल भी बदले बिना एंटीपोडल पक्ष पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है। अब हमारे पास गेंद की सतह पर साधारण बंद लूप है, जो उत्तरी ध्रुव को बड़े वृत्त के साथ जोड़ता है। इस वृत्त को बिना किसी समस्या के उत्तरी ध्रुव तक छोटा किया जा सकता है। [[ प्लेट चाल |प्लेट चाल]] और इसी प्रकार की विधि इसे व्यावहारिक रूप से प्रदर्शित करती हैं।
-SO(3) का [[सार्वभौमिक आवरण]] [[स्पिन(3)]] नामक झूठ समूह है। समूह स्पिन(3) [[विशेष एकात्मक समूह]] एसयू(2) का समरूपी है; यह इकाई 3-गोले एस से भिन्न भी है<sup>3</sup>और इसे छंदों के समूह (पूर्ण मान 1 के साथ चतुर्भुज) के रूप में समझा जा सकता है। चतुर्भुज और घूर्णन के बीच संबंध, जो आमतौर पर [[ कंप्यूटर चित्रलेख |कंप्यूटर चित्रलेख]] में उपयोग किया जाता है, चतुर्भुज और स्थानिक घुमावों में समझाया गया है। एस से नक्शा<sup>3</sup>SO(3) पर जो S के एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करता है<sup>3</sup> [[कर्नेल (बीजगणित)]] {±1} के साथ, लाई समूहों का [[विशेषण]] [[समरूपता]] है। स्थलाकृतिक दृष्टि से, यह मानचित्र दो-से- कवर करने वाला मानचित्र है। (प्लेट ट्रिक देखें।)
+समान तर्क सामान्य रूप से किया जा सकता है, और यह दर्शाता है कि SO(3) का मूल समूह क्रम 2 का चक्रीय समूह है (दो तत्वों वाला मूल समूह)। भौतिकी अनुप्रयोगों में, [[मौलिक समूह]] की गैर-तुच्छता ( से अधिक तत्व) [[स्पिनर]] के रूप में ज्ञात वस्तुओं के अस्तित्व की अनुमति देती है, और स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के विकास में महत्वपूर्ण उपकरण है।
+SO(3) का [[सार्वभौमिक आवरण]] [[स्पिन(3)]] नामक लाइ समूह है। समूह स्पिन(3) [[विशेष एकात्मक समूह]] SU(2) का समरूपी है; यह इकाई 3-गोले S<sup>3</sup> से भिन्न भी हैऔर इसे छंदों के समूह (पूर्ण मान 1 के साथ चतुर्भुज) के रूप में समझा जा सकता है। चतुर्भुज और घूर्णन के बीच संबंध, जो सामान्यतः [[ कंप्यूटर चित्रलेख |कंप्यूटर चित्रलेख]] में उपयोग किया जाता है, चतुर्भुज और स्थानिक घुमावों में समझाया गया है। S<sup>3</sup> से नक्शा SO(3) पर जो S<sup>3</sup> के एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान करता है [[कर्नेल (बीजगणित)]] {±1} के साथ, लाई समूहों का [[विशेषण]] [[समरूपता]] है। स्थलाकृतिक दृष्टि से, यह मानचित्र दो-से- कवर करने वाला मानचित्र है। (प्लेट ट्रिक देखें।)
 ==SO(3) और SU(2) के बीच संबंध==
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 ===इकाई मानदंड के चतुर्भुज का उपयोग करना ===
-{{main|Quaternions and spatial rotation}}
+{{main|चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन}}
 समूह {{math|SU(2)}} द्वारा दिए गए मानचित्र के माध्यम से इकाई मानदंड के चतुष्कोणों के लिए [[समूह समरूपता]] है<ref>{{harvnb|Rossmann|2002}} p. 95.</ref>
 <math display="block">q = a\mathbf{1} + b\mathbf{i} + c\mathbf{j} + d\mathbf{k} = \alpha + \beta \mathbf{j} \leftrightarrow \begin{bmatrix}\alpha & -\overline \beta \\ \beta & \overline \alpha\end{bmatrix} = U</math>
-तक सीमित <math display="inline">a^2+ b^2 + c^2 + d^2 = |\alpha|^2 +|\beta|^2 = 1</math> कहाँ <math display="inline"> q \in \mathbb{H}</math>, <math display="inline">a, b, c, d \in \R</math>, <math display="inline"> U \in \operatorname{SU}(2)</math>, और <math>\alpha = a+bi \in\mathbb{C}</math>, <math>\beta = c+di \in \mathbb{C}</math>.
+तक सीमित <math display="inline">a^2+ b^2 + c^2 + d^2 = |\alpha|^2 +|\beta|^2 = 1</math> जहाँ <math display="inline"> q \in \mathbb{H}</math>, <math display="inline">a, b, c, d \in \R</math>, <math display="inline"> U \in \operatorname{SU}(2)</math>, और <math>\alpha = a+bi \in\mathbb{C}</math>, <math>\beta = c+di \in \mathbb{C}</math>.
-आइये अब पहचानते हैं <math>\R^3</math> के विस्तार के साथ <math>\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}</math>. इसके बाद कोई इसे सत्यापित कर सकता है <math>v</math> में है <math>\R^3</math> और <math>q</math> तो फिर, इकाई चतुर्भुज है
+आइये अब पहचानते हैं <math>\R^3</math> के विस्तार के साथ <math>\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}</math>. इसके बाद कोई इसे सत्यापित कर सकता है <math>v</math> में है <math>\R^3</math> और <math>q</math> तो फिर, इकाई चतुर्भुज है<math display="block">qvq^{-1}\in \R^3.</math>
-<math display="block">qvq^{-1}\in \R^3.</math>
-इसके अतिरिक्त, मानचित्र <math>v\mapsto qvq^{-1}</math> का चक्र है <math>\R^3.</math> इसके अतिरिक्त, <math>(-q)v(-q)^{-1}</math> वैसा ही है जैसा कि <math>qvq^{-1}</math>. इसका मतलब यह है कि वहाँ है {{math|2:1}} इकाई मानदंड के चतुर्भुज से 3डी रोटेशन समूह तक समरूपता {{math|SO(3)}}.
-कोई इस समरूपता को स्पष्ट रूप से कार्यान्वित कर सकता है: इकाई चतुर्भुज, {{mvar|q}}, साथ
-<math display="block">\begin{align}
+इसके अतिरिक्त, मानचित्र <math>v\mapsto qvq^{-1}</math> का चक्र है <math>\R^3.</math> इसके अतिरिक्त, <math>(-q)v(-q)^{-1}</math> वैसा ही है जैसा कि <math>qvq^{-1}</math>. इसका तात्पर्य यह है कि वहाँ है {{math|2:1}} इकाई मानदंड के चतुर्भुज से 3डी रोटेशन समूह तक समरूपता {{math|SO(3)}}.
+कोई इस समरूपता को स्पष्ट रूप से कार्यान्वित कर सकता है: इकाई चतुर्भुज, {{mvar|q}}, साथ<math display="block">\begin{align}
   q &= w + x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} , \\
 &= w^2 + x^2 + y^2 + z^2 ,
 \end{align}</math>
-रोटेशन आव्युह में मैप किया गया है
+रोटेशन आव्युह में मैप किया गया है<math display="block"> Q = \begin{bmatrix}
-<math display="block"> Q = \begin{bmatrix}
 - 2 y^2 - 2 z^2 & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\
 x y + 2 z w & 1 - 2 x^2 - 2 z^2 & 2 y z - 2 x w \\
 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2
 \end{bmatrix}. </math>
-यह सदिश के चारों ओर घूर्णन है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} कोण से {{math|2''θ''}}, कहाँ {{math|1=cos ''θ'' = ''w''}} और {{math|1={{!}}sin ''θ''{{!}} = {{norm|(''x'', ''y'', ''z'')}}}}. के लिए उचित संकेत {{math|sin ''θ''}} निहित है, बार अक्ष घटकों के संकेत तय हो गए हैं। वह {{nowrap|{{math|2:1}}-nature}} दोनों से स्पष्ट है {{math|''q''}} और {{math|−''q''}} उसी के लिए मानचित्र {{math|''Q''}}.
+यह सदिश के चारों ओर घूर्णन है {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} कोण से {{math|2''θ''}}, जहाँ {{math|1=cos ''θ'' = ''w''}} और {{math|1={{!}}sin ''θ''{{!}} = {{norm|(''x'', ''y'', ''z'')}}}}. के लिए उचित संकेत {{math|sin ''θ''}} निहित है, बार अक्ष घटकों के संकेत तय हो गए हैं। वह {{nowrap|{{math|2:1}}-nature}} दोनों से स्पष्ट है {{math|''q''}} और {{math|−''q''}} उसी के लिए मानचित्र {{math|''Q''}}.
 ===मोबियस परिवर्तनों का उपयोग करना===
-[[Image:Stereoprojnegone.svg|thumb|right|300px|त्रिज्या के गोले से त्रिविम प्रक्षेपण {{math|{{sfrac|1|2}}}}उत्तरी ध्रुव से {{math|1=(''x'', ''y'', ''z'') = (0, 0, {{sfrac|1|2}})}} विमान पर {{mvar|M}} द्वारा दिए गए {{math|1=''z'' = −{{sfrac|1|2}}}} द्वारा समन्वित किया गया {{math|(''ξ'', ''η'')}}, यहां क्रॉस सेक्शन में दिखाया गया है।]]इस अनुभाग के लिए सामान्य संदर्भ है {{harvtxt|Gelfand|Minlos|Shapiro|1963}}. बिन्दु {{math|''P''}} गोले पर
+[[Image:Stereoprojnegone.svg|thumb|right|300px|त्रिज्या के गोले से त्रिविम प्रक्षेपण {{math|{{sfrac|1|2}}}}उत्तरी ध्रुव से {{math|1=(''x'', ''y