सजातीय विविधता: Difference between revisions

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[[File:Cubic with double point.svg|thumb|द्वारा दिया गया एक [[घन समतल वक्र]] <math>y^2 = x^2(x+1)</math>]][[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, एक संबधित विविधता, या बीजगणितीय विविधता, {{math|''k''}} affine स्थान में शून्य-स्थल है {{math|''k''<sup>''n''</sup>}} के [[बहुपद]]ों के कुछ परिमित परिवार का {{math|''n''}} में गुणांक के साथ चर {{math|''k''}} जो एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है। यदि एक अभाज्य गुणज उत्पन्न करने की स्थिति को हटा दिया जाता है, तो ऐसे समुच्चय को बीजगणितीय समुच्चय (affine) कहा जाता है। एक [[जरिस्की टोपोलॉजी]] एक संबधित किस्म की उप-प्रजाति को [[अर्ध-एफ़ाइन किस्म]] कहा जाता है।
[[File:Cubic with double point.svg|thumb|[[घन समतल वक्र]] <math>y^2 = x^2(x+1)</math>]]बीजगणितीय ज्यामिति में, संवृत क्षेत्र {{math|''k''}} पर '''सजातीय विविधता''', {{math|''k''}} में गुणांक वाले {{math|''n''}} चर के बहुपदों के कुछ परिमित समूह के सजातीय अंतरिक्ष {{math|''k''<sup>''n''</sup>}} में शून्य-बिंदु होते है जो प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है। यदि अभाज्य गुणज उत्पन्न करने की स्थिति को हटा दिया जाता है, ऐसे समुच्चय को बीजगणितीय समुच्चय (सजातीय) कहा जाता है। सजातीय विविधता की जरिस्की सांस्थिति की उप-विविधता को अर्ध-सजातीय विविधता कहा जाता है।


कुछ ग्रंथों को एक प्रमुख आदर्श की आवश्यकता नहीं होती है, और एक [[प्रधान आदर्श]] द्वारा परिभाषित एक बीजगणितीय विविधता '' इरिड्यूसिबल '' कहते हैं। यह लेख आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्शों के शून्य-लोकी को संदर्भित नहीं करता है जैसे कि बीजीय [[बीजगणितीय सेट]]।
कुछ ग्रंथों को प्रमुख आदर्श की आवश्यकता नहीं होती है, और [[प्रधान आदर्श]] द्वारा परिभाषित बीजगणितीय विविधता को अलघुकरणीय कहते हैं। यह लेख आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्शों के शून्य-लोकस को संदर्भित नहीं करता है जैसे कि बीजगणितीय समुच्चय है।


कुछ संदर्भों में, क्षेत्र को अलग करना उपयोगी होता है {{mvar|k}} जिसमें बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र से गुणांकों पर विचार किया जाता है {{mvar|K}} (युक्त {{mvar|k}}) जिसके ऊपर शून्य-लोकस माना जाता है (अर्थात् एफ़ाइन किस्म के बिंदु अंदर होते हैं {{math|''K''<sup>''n''</sup>}}). इस मामले में, विविधता को परिभाषित कहा जाता है {{mvar|k}}, और विविधता के बिंदु जो संबंधित हैं {{math|''k''<sup>''n''</sup>}} कहा जाता है{{mvar|k}}-तर्कसंगत या तर्कसंगत अधिक {{mvar|k}}. सामान्य मामले में जहां {{mvar|k}} [[वास्तविक संख्या]]ओं का क्षेत्र है, a {{mvar|k}}-रामेय बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं।<ref name="ReidUAG">{{harvp|Reid|1988}}</ref> जब मैदान {{mvar|k}} निर्दिष्ट नहीं है, परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमेय है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का दावा है कि affine बीजगणितीय किस्म (यह एक वक्र है) द्वारा परिभाषित {{math|''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;{{=}}&nbsp;0}} का किसी पूर्णांक के लिए कोई परिमेय बिंदु नहीं है {{mvar|n}} दो से अधिक।
कुछ संदर्भों में, बीजगणितीय रूप से संवृत  क्षेत्र {{mvar|K}} (युक्त {{mvar|k}}) से भिन्न करना उपयोगी होता है जिसे गुणांक माना जाता है, जिस पर शून्य को लोकस माना जाता है (अर्थात् सजातीय विविधता के बिंदु {{math|''K''<sup>''n''</sup>}} में हैं)। इस स्तिथि में, विविधता को {{mvar|k}} पर परिभाषित किया जाता है, और {{mvar|k}} से संबंधित विविधता बिंदु {{mvar|k}} को तर्कसंगत कहा जाता है। सामान्य स्थिति में जहाँ k [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] का क्षेत्र है, {{mvar|k}}- तर्कसंगत बिंदु को वास्तविक बिंदु कहते हैं।<ref name="ReidUAG">{{harvp|Reid|1988}}</ref> जब क्षेत्र {{mvar|k}} निर्दिष्ट नहीं होता है, तब परिमेय बिंदु वह बिंदु है जो परिमेय संख्याओं पर परिमित होती है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय है कि {{math|''x''<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;''y''<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;{{=}}&nbsp;0}} द्वारा परिभाषित सजातीय बीजगणितीय विविधता (यह वक्र है) में दो से अधिक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए कोई परिमेय बिंदु नहीं है।


== परिचय ==
== परिचय ==
एक affine बीजगणितीय सेट बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में समाधान का सेट है {{math|''k''}} में गुणांकों के साथ बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली {{math|''k''}}. अधिक सटीक, अगर <math>f_1, \ldots, f_m</math> में गुणांक वाले बहुपद हैं {{math|''k''}}, वे एक सजातीय बीजगणितीय सेट को परिभाषित करते हैं
सजातीय बीजगणितीय समुच्चय {{math|''k''}} में गुणांक वाले बहुपद समीकरणों की प्रणाली के बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र {{math|''k''}} में समाधान का समुच्चय है। यदि <math>f_1, \ldots, f_m</math> में गुणांक वाले बहुपद है, वे सजातीय बीजगणितीय समुच्चय को परिभाषित करते हैं
:<math> V(f_1,\ldots, f_m) = \left\{(a_1,\ldots,a_n)\in k^n \;|\;f_1(a_1,\ldots, a_n)=\ldots=f_m(a_1,\ldots, a_n)=0\right\}.</math>
:<math> V(f_1,\ldots, f_m) = \left\{(a_1,\ldots,a_n)\in k^n \;|\;f_1(a_1,\ldots, a_n)=\ldots=f_m(a_1,\ldots, a_n)=0\right\}.</math>
एक affine (बीजीय) किस्म एक affine बीजगणितीय सेट है जो दो उचित affine बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है। इस तरह के एक सजातीय बीजगणितीय सेट को अक्सर '' इर्रिड्यूसिबल '' कहा जाता है।
सजातीय (बीजीय) विविधता बीजगणितीय समुच्चय है जो दो उचित सजातीय बीजगणितीय उपसमुच्चय का मिलन नहीं है। इस प्रकार के सजातीय बीजगणितीय समुच्चय को प्रायः अलघुकरणीय कहा जाता है।


अगर {{math|''X''}} एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है, और {{math|''I''}} उन सभी बहुपदों की गुणजावली है जिन पर शून्य है {{mvar|X}}, फिर [[भागफल की अंगूठी]] <math>R=k[x_1, \ldots, x_n]/I</math> कहा जाता है{{vanchor|coordinate ring}''एक्स'' का }. यदि ''X'' एक संबधित किस्म है, तो ''I'' अभाज्य है, इसलिए निर्देशांक वलय एक अभिन्न डोमेन है। समन्वय वलय ''आर'' के तत्वों को विविधता पर ''नियमित कार्य'' या ''बहुपद कार्य'' भी कहा जाता है। वे विविधता पर ''नियमित कार्यों की अंगूठी'' बनाते हैं, या, बस, ''विविधता की अंगूठी''; दूसरे शब्दों में (#स्ट्रक्चर शीफ देखें), यह ''एक्स'' के स्ट्रक्चर शीफ के ग्लोबल सेक्शन का स्पेस है।
यदि {{math|''X''}} सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है, और {{math|''I''}} उन सभी बहुपदों की गुणजावली है जिन {{mvar|X}} पर शून्य है, तब [[भागफल की अंगूठी|भागफल वलय]] <math>R=k[x_1, \ldots, x_n]/I</math> को ''X'' का ऑर्डिनेट वलय कहा जाता है निर्देशांक वलय ''R'' के तत्वों को विविधता पर नियमित फलन या बहुपद फलन भी कहा जाता है। वे विविधता पर नियमित फलनों की वलय बनाते हैं, विविधता की वलय; दूसरे शब्दों में (संरचना शीफ देखें), यह X के संरचना बंड़ल के वैश्विक खंड का अंतरिक्ष है।


विविधता का आयाम प्रत्येक विविधता से जुड़ा एक पूर्णांक है, और यहां तक ​​​​कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट के लिए, जिसका महत्व बड़ी संख्या में इसकी समकक्ष परिभाषाओं पर निर्भर करता है (बीजगणितीय विविधता का आयाम देखें)।
विविधता का आयाम प्रत्येक पूर्णांक से जुड़ा है, और प्रत्येक बीजगणितीय समुच्चय के लिए, बड़ी संख्या में इसकी समकक्ष परिभाषाओं पर निर्भर करता है (बीजगणितीय विविधता का आयाम देखें)।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
* एक affine किस्म में एक hypersurface का पूरक {{math|''X''}} (वह है {{math|1=''X'' - { ''f'' = 0 } }} कुछ बहुपद के लिए {{math|''f''}}) एफ़िन है। इसके परिभाषित समीकरण [[संतृप्ति (कम्यूटेटिव बीजगणित)]] द्वारा प्राप्त किए जाते हैं {{mvar|f}} का परिभाषित आदर्श {{math|''X''}}. इस प्रकार निर्देशांक वलय एक वलय का स्थानीयकरण है <math>k[X][f^{-1}]</math>.
* सजातीय विविधता में {{math|''X''}} (जो कि कुछ बहुपद {{math|''f''}} के लिए {{math|1=''X'' - { ''f'' = 0 } }} है) में हाइपरसफेस का पूरक सजातीय है। इसके परिभाषित समीकरणों को {{math|''X''}} के आदर्श {{mvar|f}} द्वारा [[संतृप्ति (कम्यूटेटिव बीजगणित)|संतृप्ति]] करके प्राप्त किया जाता है। समन्वय वलय का स्थानीयकरण <math>k[X][f^{-1}]</math> है।
* विशेष रूप से, <math>\mathbb C - 0</math> (मूल के साथ affine रेखा हटा दी गई है) affine है।
* विशेष रूप से, <math>\mathbb C - 0</math> (सजातीय रेखा जिसके मूल को हटा दिया गया है) सजातीय है।
* वहीं दूसरी ओर, <math>\mathbb C^2 - 0</math> (मूल के साथ संबधित तल) एक सजातीय किस्म नहीं है; सी एफ हार्टोग्स का विस्तार प्रमेय।
* वहीं दूसरी ओर, <math>\mathbb C^2 - 0</math> (ऐफिन प्लेन जिसकी उत्पत्ति हटा दी गई है) सजातीय विविधता नहीं है।
* एफ़िन स्पेस में कोडिमेंशन वन की उप-किस्में <math>k^n</math> वास्तव में हाइपरसर्फ्स हैं, जो कि एक बहुपद द्वारा परिभाषित किस्में हैं।
* सजातीय अंतरिक्ष में कोडिमेंशन वन की उप-विविधता <math>k^n</math> वास्तव में हाइपरसर्फएक्स हैं, जो कि बहुपद द्वारा परिभाषित विविधता हैं।
* इरेड्यूसिबल एफाइन किस्म की [[सामान्य योजना]] एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी तरह, एक प्रक्षेपी किस्म का सामान्यीकरण एक प्रक्षेपी किस्म है।)
* अलघुकरणीय एफाइन विविधता का [[सामान्य योजना|सामान्यीकरण]] एफाइन है; सामान्यीकरण का समन्वय वलय विविधता के समन्वय वलय का अभिन्न समापन है। (इसी प्रकार , प्रक्षेपी विविधता का सामान्यीकरण प्रक्षेपी विविधता है।)


== वाजिब बिंदु ==
== तर्कसंगत बिंदु ==
[[File:Doubling oriented.svg|thumb|right|वक्र के वास्तविक बिंदुओं का आरेखण {{math|''y''<sup>2</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;16''x''.}}]]
[[File:Doubling oriented.svg|thumb|right|वक्र के वास्तविक बिंदुओं का आरेखण {{math|''y''<sup>2</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;16''x''.}}]]
{{main|rational point}}
{{main|तर्कसंगत बिंदु}}
सजातीय विविधता के लिए <math>V\subseteq K^n</math> बीजगणितीय रूप से संवृत  क्षेत्र {{math|''K''}} पर, और {{math|''k''}} का उपक्षेत्र {{math|''K''}}, {{math|''V''}} का {{math|''k''}}-तार्किक बिंदु है <math>p\in V\cap k^n.</math> अर्थात {{math|''V''}} का बिंदु जिसके निर्देशांक {{math|''k''}} के तत्व हैं। सजातीय विविधता {{math|''V''}} के {{math|''k''}}- तर्कसंगत बिंदुओं का संग्रह अधिकतर निरूपित किया जाता है <math>V(k).</math> अधिकतर, यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ {{math|'''C'''}} हैं, वे बिंदु जो {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत हैं (जहां {{math|'''R'''}} वास्तविक संख्या है) विविधता के वास्तविक बिंदु कहलाते हैं, और {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगतबिंदु({{math|'''Q'''}} परिमेय संख्याएँ) अधिकतर परिमेय बिंदु कहलाते हैं।


एक एफ़िन किस्म के लिए <math>V\subseteq K^n</math> बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर {{math|''K''}}, और एक उपक्षेत्र {{math|''k''}} का {{math|''K''}}, ए {{math|''k''}}-तार्किक बिंदु {{math|''V''}} बिंदु है <math>p\in V\cap k^n.</math> यानी एक बिंदु {{math|''V''}} जिसके निर्देशांक तत्व हैं {{math|''k''}}. का संग्रह {{math|''k''}}-एक सजातीय किस्म के तर्कसंगत बिंदु {{math|''V''}} को अक्सर निरूपित किया जाता है <math>V(k).</math> अक्सर, यदि आधार क्षेत्र सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं {{math|'''C'''}}, बिंदु जो हैं {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत (जहां {{math|'''R'''}} वास्तविक संख्या है) विविधता के वास्तविक बिंदु कहलाते हैं, और {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत अंक ({{math|'''Q'''}} परिमेय संख्याएँ) अक्सर केवल परिमेय बिंदु कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए, {{math|(1, 0)}} विविधता का {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत और {{math|'''R'''}}- तर्कसंगत बिंदु <math>V = V(x^2+y^2-1)\subseteq\mathbf{C}^2,</math> क्योंकि यह {{math|''V''}} में है और इसके सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं। बिंदु {{math|({{sqrt|2}}/2, {{sqrt|2}}/2)}} {{mvar|V}} का वास्तविक बिंदु है जो कि {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत नहीं है ,और <math>(i,\sqrt{2})</math> {{math|''V''}} का बिन्दु है जो कि {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत नहीं है। इस विविधता को वृत्त कहा जाता है, क्योंकि इसका {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत बिंदुओं का समुच्चय इकाई वृत्त है। इसमें अपरिमित रूप से अनेक {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत बिंदु हैं
 
उदाहरण के लिए, {{math|(1, 0)}} एक है {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत और एक {{math|'''R'''}}-किस्म का तर्कसंगत बिंदु <math>V = V(x^2+y^2-1)\subseteq\mathbf{C}^2,</math> जैसा इसमें है {{math|''V''}} और इसके सभी निर्देशांक पूर्णांक हैं। बिंदु {{math|({{sqrt|2}}/2, {{sqrt|2}}/2)}} का वास्तविक बिंदु है {{mvar|V}} जो कि नहीं {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत, और <math>(i,\sqrt{2})</math> का एक बिन्दु है {{math|''V''}} जो कि नहीं {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत। इस किस्म को एक वृत्त कहा जाता है, क्योंकि इसका सेट {{math|'''R'''}}-रेशनल पॉइंट्स [[यूनिट सर्कल]] है। इसमें अपरिमित रूप से अनेक हैं {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत बिंदु जो बिंदु हैं
:<math>\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)</math>
:<math>\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)</math>
कहाँ {{mvar|t}} एक परिमेय संख्या है।
जहाँ {{mvar|t}} परिमेय संख्या है।
 
वृत्त <math>V(x^2+y^2-3)\subseteq\mathbf{C}^2</math> डिग्री दो के [[बीजगणितीय वक्र]] का एक उदाहरण है जिसमें कोई नहीं है {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत बिंदु। इसका अंदाजा इस बात से लगाया जा सकता है कि, [[मॉड्यूलर अंकगणित]] {{math|4}}, दो वर्गों का योग नहीं हो सकता {{math|3}}.
 
यह सिद्ध किया जा सकता है कि a के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र {{math|'''Q'''}}-रेशनल पॉइंट के अपरिमित रूप से कई अन्य होते हैं {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत अंक; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है।


जटिल किस्म <math>V(x^2+y^2+1)\subseteq\mathbf{C}^2</math> है कोई {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत बिंदु, लेकिन कई जटिल बिंदु हैं।
वृत्त <math>V(x^2+y^2-3)\subseteq\mathbf{C}^2</math> डिग्री दो के [[बीजगणितीय वक्र]] का उदाहरण है जिसमें कोई {{math|'''Q'''}}-तर्कसंगत बिंदु नहीं है। यह इस तथ्य से निकाला जा सकता है, [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर]] {{math|4}}, दो वर्गों का योग {{math|3}} नहीं हो सकता है।


अगर {{math|''V''}} में एक एफ़ाइन किस्म है {{math|'''C'''<sup>2</sup>}} जटिल संख्याओं पर परिभाषित {{math|'''C'''}}, द {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत अंक {{math|''V''}} को कागज के एक टुकड़े पर या रेखांकन सॉफ्टवेयर द्वारा खींचा जा सकता है। दाईं ओर का आंकड़ा दिखाता है {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत अंक <math>V(y^2-x^3+x^2+16x)\subseteq\mathbf{C}^2.</math>
यह सिद्ध किया जा सकता है कि {{math|'''Q'''}} तर्कसंगत बिंदु के साथ डिग्री दो का बीजगणितीय वक्र के अपरिमित रूप से कई अन्य {{math|'''Q'''}} तर्कसंगतबिंदुहोते हैं; ऐसा प्रत्येक बिंदु वक्र का दूसरा प्रतिच्छेदन बिंदु है और परिमेय बिंदु से गुजरने वाली परिमेय ढलान वाली रेखा है।


जटिल विविधता <math>V(x^2+y^2+1)\subseteq\mathbf{C}^2</math> का कोई {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत बिंदु नहीं हैं, किंतु कई जटिल बिंदु हैं।


== एकवचन बिंदु और स्पर्शरेखा स्थान ==
यदि {{math|''V''}} जटिल संख्या {{math|'''C'''}} पर परिभाषित {{math|'''C'''<sup>2</sup>}} में सजातीय विविधता हैं {{math|''V''}} के {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत बिंदु को कागज के समूह पर या रेखांकन सॉफ्टवेयर द्वारा खींचा जा सकता है। दाईं ओर का आंकड़ा {{math|'''R'''}}-तर्कसंगत बिंदु दर्शाता है<math>V(y^2-x^3+x^2+16x)\subseteq\mathbf{C}^2.</math>
होने देना {{mvar|V}} बहुपदों द्वारा परिभाषित एक सजातीय किस्म हो <math>f_1, \dots, f_r\in  k[x_1, \dots, x_n],</math> और <math>a=(a_1, \dots,a_n)</math> का एक बिंदु हो {{mvar|V}}.
== एकवचन बिंदु और स्पर्शरेखा समिष्ट ==
मान लीजिए {{mvar|V}} बहुपदों द्वारा परिभाषित सजातीय विविधता हो <math>f_1, \dots, f_r\in  k[x_1, \dots, x_n],</math> और <math>a=(a_1, \dots,a_n)</math> का बिंदु हो .


[[जैकबियन मैट्रिक्स]] {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} का {{mvar|V}} पर {{mvar|a}} आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स है
{{mvar|a}} पर {{mvar|V}} का [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन]] आव्यूह {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} आंशिक डेरिवेटिव का आव्यूह है
:<math> \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n).</math>
:<math> \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n).</math>
बिंदु {{mvar|a}} की रैंक नियमित है {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} बीजगणितीय विविधता के आयाम के बराबर है {{mvar|V}}, और एकवचन अन्यथा।
बिंदु {{mvar|a}} नियमित है यदि {{math|''J''{{sub|''V''}}(''a'')}} की रैंक {{mvar|V}} बीजगणितीय विविधता के आयाम के समान है,औरअन्यथा एकवचन है ।


अगर {{mvar|a}} नियमित है, स्पर्शरेखा स्थान {{mvar|V}} पर {{mvar|a}} का एफिन उपस्थान है <math>k^n</math> रैखिक समीकरणों द्वारा परिभाषित<ref>{{harvp|Milne|2017|loc=Ch. 5}}</ref>
यदि {{mvar|a}} नियमित है, {{mvar|V}} पर {{mvar|a}} पर स्पर्शरेखा समिष्ट एफिन उपस्थान है <math>k^n</math> रैखिक समीकरणों द्वारा परिभाषित<ref>{{harvp|Milne|2017|loc=Ch. 5}}</ref>
:<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n) (x_i - a_i) = 0, \quad j = 1, \dots, r.</math>
:<math>\sum_{i=1}^n \frac{\partial f_j} {\partial {x_i}}(a_1, \dots, a_n) (x_i - a_i) = 0, \quad j = 1, \dots, r.</math>
यदि बिंदु एकवचन है, तो इन समीकरणों द्वारा परिभाषित एफ़िन उप-स्थान को कुछ लेखकों द्वारा स्पर्शरेखा स्थान भी कहा जाता है, जबकि अन्य लेखकों का कहना है कि एकवचन बिंदु पर कोई स्पर्शरेखा स्थान नहीं है।<ref>{{harvp|Reid|1988|p=94}}.</ref>
यदि बिंदु एकवचन है, तो इन समीकरणों द्वारा परिभाषित सजातीय उप-समिष्ट को कुछ लेखकों द्वारा स्पर्शरेखा समिष्ट भी कहा जाता है, जबकि अन्य लेखकों का कहना है कि एकवचन बिंदु पर कोई स्पर्शरेखा समिष्ट नहीं है।<ref>{{harvp|Reid|1988|p=94}}.</ref>
एक अधिक आंतरिक परिभाषा, जो निर्देशांक का उपयोग नहीं करती है, ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान द्वारा दी गई है।
अधिक आंतरिक परिभाषा, जो निर्देशांक का उपयोग नहीं करती है, ज़रिस्की टेंगेंट स्पेस द्वारा दी गई है।


== जारिस्की टोपोलॉजी ==
== जारिस्की सांस्थिति ==
{{main|Zariski topology}}
{{main|जरिस्की टोपोलॉजी}}
के के affine बीजगणितीय सेट<sup>n</sup> k पर टोपोलॉजी के बंद सेट बनाते हैं<sup>n</sup>, जिसे 'ज़ारिस्की टोपोलॉजी' कहा जाता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि <math>V(0)=k[x_1,\ldots, x_n],</math> <math>V(1)=\emptyset,</math> <math>V(S)\cup V(T)=V(ST),</math> और <math>V(S)\cap V(T)=V(S+T)</math> (वास्तव में, affine बीजगणितीय सेटों का एक गणनीय प्रतिच्छेदन एक affine बीजगणितीय सेट है)।


ज़ारिस्की टोपोलॉजी को बेस (टोपोलॉजी) के माध्यम से भी वर्णित किया जा सकता है, जहाँ ज़ारिस्की-ओपन सेट फॉर्म के सेटों के गणनीय संघ हैं <math>U_f = \{p\in k^n:f(p)\neq 0\}</math> के लिए <math>f\in k[x_1,\ldots, x_n].</math> ये बुनियादी खुले सेट k में पूरक हैं<sup>n</sup> बंद सेटों में से <math>V(f)=D_f=\{p\in k^n:f(p)=0\},</math> एकल बहुपद का शून्य लोकी। यदि k नोथेरियन वलय है (उदाहरण के लिए, यदि k एक फ़ील्ड (गणित) या एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है), तो k का प्रत्येक आदर्श अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, इसलिए प्रत्येक खुला सेट बुनियादी खुले सेटों का एक परिमित संघ है।
''k<sup>n</sup>'' के संबध बीजगणितीय समुच्चय ''k<sup>n</sup>'' पर एक सांस्थिति के संवृत  समुच्चय बनाते हैं, जिसे 'ज़ारिस्की सांस्थिति' कहा जाता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि <math>V(0)=k[x_1,\ldots, x_n],</math> <math>V(1)=\emptyset,</math> <math>V(S)\cup V(T)=V(ST),</math> और <math>V(S)\cap V(T)=V(S+T)</math> (वास्तव में, सजातीय बीजगणितीय समुच्चय का गणनीय प्रतिच्छेदन सजातीय बीजगणितीय समुच्चय है)।


यदि V, k की एक सजातीय उप-किस्म है<sup>n</sup> V पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी केवल k पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी से विरासत में मिली सबस्पेस टोपोलॉजी है<sup>एन</sup>.
ज़ारिस्की सांस्थिति को मूलभूत खुले समुच्चय के माध्यम से भी वर्णित किया जा सकता है, जहाँ ज़ारिस्की-खुले समुच्चयफॉर्म के समुच्चय के गणनीय संघ हैं <math>U_f = \{p\in k^n:f(p)\neq 0\}</math> के लिए <math>f\in k[x_1,\ldots, x_n].</math> ये मूलभूत खुले समुच्चय संवृत  समुच्चय ''k<sup>n</sup>'' में पूरक हैं <math>V(f)=D_f=\{p\in k^n:f(p)=0\},</math> बहुपद का शून्य लोकी। यदि k नोथेरियन वलय है (उदाहरण के लिए, यदि k क्षेत्र या [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है), k का प्रत्येक आदर्श अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, इसलिए प्रत्येक विवृत समुच्चयमूलभूत खुले समुच्चय का परिमित संघ है।
 
यदि V, ''k<sup>n</sup>'' संबधित उप-संस्कृति है, V पर ज़ारिस्की सांस्थिति एकमात्र ''k<sup>n</sup>'' पर ज़ारिस्की सांस्थिति से विरासत में मिली अंतरिक्ष सांस्थिति है।.


== ज्यामिति-बीजगणित पत्राचार ==
== ज्यामिति-बीजगणित पत्राचार ==
एक सजातीय किस्म की ज्यामितीय संरचना इसके समन्वय वलय की बीजगणितीय संरचना से गहरे तरीके से जुड़ी हुई है। I और J को k [V] के आदर्श होने दें, जो एक affine किस्म V का समन्वय वलय है। I (V) को सभी बहुपदों का समुच्चय होने दें <math>k[x_1, \ldots, x_n],</math> जो वी पर गायब हो जाता है, और जाने दो <math>\sqrt{I}</math> आदर्श I के एक आदर्श के रेडिकल को निरूपित करें, बहुपद f का सेट जिसके लिए f की कुछ शक्ति I में है। आधार क्षेत्र को बीजगणितीय रूप से बंद करने की आवश्यकता का कारण यह है कि affine किस्में स्वचालित रूप से हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज को संतुष्ट करती हैं: एक आदर्श के लिए जे में <math>k[x_1, \ldots, x_n],</math> जहाँ k एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, <math>I(V(J))=\sqrt{J}.</math>
सजातीय विविधता की ज्यामितीय संरचना इसके समन्वय वलय की बीजगणितीय संरचना से गहरे तरीके से जुड़ी हुई है। I और J को k [V] के आदर्श होने दें, जो सजातीय विविधता V का समन्वय वलय है। I (V) को सभी बहुपदों का समुच्चय होने दें <math>k[x_1, \ldots, x_n],</math> जो वी पर लुप्त हो जाता है, और जाने दो <math>\sqrt{I}</math> आदर्श I के मूलांक को दर्शाता है, बहुपद f का समुच्चय जिसके लिए f की कुछ शक्ति I में है। आधार क्षेत्र को बीजगणितीय रूप से संवृत  करने का कारण यह है कि सजातीय विविधताओं स्वचालित रूप से हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज को संतुष्ट करती हैं: आदर्श के लिए जे में <math>k[x_1, \ldots, x_n],</math> जहाँ k बीजगणितीय रूप से संवृत  क्षेत्र है, <math>I(V(J))=\sqrt{J}.</math>
के [वी] के कट्टरपंथी आदर्श (आदर्श जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी हैं) वी के बीजगणितीय उपसमुच्चय के अनुरूप हैं। वास्तव में, कट्टरपंथी आदर्शों I और J के लिए, <math>I\subseteq J</math> अगर और केवल अगर <math>V(J)\subseteq V(I).</math> इसलिए V(I)=V(J) अगर और केवल अगर I=J. इसके अलावा, फलन बीजगणितीय सेट W को ग्रहण करता है और I(W) लौटाता है, सभी कार्यों का सेट जो W के सभी बिंदुओं पर भी गायब हो जाता है, फ़ंक्शन का व्युत्क्रम होता है, जो बीजगणितीय सेट को कट्टरपंथी आदर्श के लिए निर्दिष्ट करता है, नलस्टेलेंसैट द्वारा। इसलिए affine बीजगणितीय सेट और कट्टरपंथी आदर्शों के बीच पत्राचार एक आपत्ति है। एक affine बीजगणितीय सेट का समन्वय रिंग कम रिंग (nilpotent-free) है, एक रिंग R में एक आदर्श I के रूप में कट्टरपंथी है अगर और केवल अगर भागफल रिंग R/I कम हो जाता है।


समन्वयित वलय के प्रधान आदर्श एफ़िन उप-किस्मों के अनुरूप होते हैं। एक सजातीय बीजीय समुच्चय V(I) को दो अन्य बीजगणितीय समुच्चयों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है यदि और केवल यदि I=JK उचित आदर्शों के लिए J और K I के बराबर नहीं है (किस मामले में <math>V(I)=V(J)\cup V(K)</math>). यह मामला है अगर और केवल अगर मैं प्रधान नहीं हूं। Affine उपप्रकार ठीक वे हैं जिनकी समन्वय रिंग एक अभिन्न डोमेन है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक आदर्श प्रधान है अगर और केवल अगर आदर्श द्वारा रिंग का भागफल एक अभिन्न डोमेन है।
''k[V]'' के मौलिक आदर्श (आदर्श जो अपने स्वयं के मौलिकहैं) ''V'' के बीजगणितीय उपसमुच्चय के अनुरूप हैं। वास्तव में, मौलिक आदर्शों I और J के लिए, <math>I\subseteq J</math> यदि <math>V(J)\subseteq V(I).</math> इसलिए V(I)=V(J) यदि I=J इसके अतिरिक्त, फलन बीजगणितीय समुच्चय W को ग्रहण करता है और I(W) लौटाता है, सभी फलनों का समुच्चयजो W के सभी बिंदुओं पर भी गायब हो जाता है, फलन का व्युत्क्रम होता है, जो बीजगणितीय समुच्चयको मौलिक आदर्श के लिए निर्दिष्ट करता है, नलस्टेलेंसैट द्वारा। इसलिए सजातीय बीजगणितीय समुच्चय और मौलिक आदर्शों के मध्य पत्राचार आपत्ति है। सजातीय बीजगणितीय समुच्चयका समन्वय वलय कम हो जाती है (शून्य से मुक्त) ,वलय R में आदर्श I के रूप में मौलिकहै यदि भागफल वलय R/I कम हो जाता है।


के [वी] के अधिकतम आदर्श वी के बिंदुओं के अनुरूप हैं। यदि मैं और जे कट्टरपंथी आदर्श हैं, तो <math>V(J)\subseteq V(I)</math> अगर और केवल अगर <math>I\subseteq J.</math> जैसा कि अधिकतम आदर्श कट्टरपंथी हैं, अधिकतम आदर्श न्यूनतम बीजगणितीय सेट (जिनमें कोई उचित बीजगणितीय उपसमुच्चय नहीं है) के अनुरूप हैं, जो V में बिंदु हैं। यदि V समन्वय वलय के साथ एक परिशोधित किस्म है <math>R=k[x_1, \ldots, x_n]/\langle f_1, \ldots, f_m\rangle,</math> यह पत्राचार मानचित्र के माध्यम से स्पष्ट हो जाता है <math>(a_1,\ldots, a_n) \mapsto \langle \overline{x_1-a_1}, \ldots, \overline{x_n-a_n}\rangle,</math> कहाँ <math>\overline{x_i-a_i}</math> बहुपद के भागफल बीजगणित आर में छवि को दर्शाता है <math>x_i-a_i.</math> एक बीजगणितीय उपसमुच्चय एक बिंदु है यदि और केवल यदि उपसमुच्चय का समन्वय वलय एक क्षेत्र है, क्योंकि एक अधिकतम आदर्श द्वारा एक वलय का भागफल एक क्षेत्र है।
समन्वयित वलय के प्रधान आदर्श सजातीय उप- विविधताओं के अनुरूप होते हैं। सजातीय बीजीय समुच्चय V(I) को दो अन्य बीजगणितीय समुच्चयों के मिलन के रूप में लिखा जा सकता है यदि I=JK उचित आदर्शों के लिए J और K I  <math>V(I)=V(J)\cup V(K)</math>). यह स्तिथि है यदि मैं प्रधान नहीं हूं। सजातीय उपप्रकार ठीक वे हैं जिनकी समन्वय वलयअभिन्न डोमेन है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आदर्श प्रधान है यदि आदर्श द्वारावलयका भागफल अभिन्न डोमेन है।


निम्न तालिका इस पत्राचार को सारांशित करती है, एक सजातीय विविधता के बीजगणितीय उपसमुच्चय और संबंधित समन्वय अंगूठी के आदर्शों के लिए:
''k[V]'' के अधिकतम आदर्श ''V'' के बिंदुओं के अनुरूप हैं। यदि ''I'' और ''J'' मौलिक आदर्श हैं, तो <math>V(J)\subseteq V(I)</math> यदि <math>I\subseteq J.</math> जैसा कि अधिकतम आदर्श मौलिकहैं, अधिकतम आदर्श न्यूनतम बीजगणितीय समुच्चय (जिनमें कोई उचित बीजगणितीय उपसमुच्चय नहीं होते है) के अनुरूप हैं, जो V में बिंदु हैं। यदि V समन्वय वलय के साथ परिशोधित विविधता है <math>R=k[x_1, \ldots, x_n]/\langle f_1, \ldots, f_m\rangle,</math> यह पत्राचार मानचित्र के माध्यम से स्पष्ट हो जाता है <math>(a_1,\ldots, a_n) \mapsto \langle \overline{x_1-a_1}, \ldots, \overline{x_n-a_n}\rangle,</math> कहाँ <math>\overline{x_i-a_i}</math> बहुपद के भागफल बीजगणित ''R'' में छवि को दर्शाता है <math>x_i-a_i.</math> बीजगणितीय उपसमुच्चय बिंदु है यदि उपसमुच्चय का समन्वय वलय क्षेत्र है, क्योंकि अधिकतम आदर्श द्वारा वलय का भागफल क्षेत्र है।
 
निम्न तालिका इस पत्राचार को सारांशित करती है, सजातीय विविधता के बीजगणितीय उपसमुच्चय और संबंधित समन्वय वलय के आदर्शों के लिए:
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{| class="wikitable"
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! Type of algebraic set !! Type of ideal !! Type of coordinate ring
! बीजगणितीय समुच्चयका प्रकार !! आदर्श प्रकार !! समन्वय की वलय का प्रकार
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| affine algebraic subset || radical ideal || reduced ring
| सजातीय बीजगणितीय उपसमुच्चय || मौलिक आदर्श || कम वलय
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| affine subvariety || prime ideal || integral domain
| सजातीय उप-विविधताओं || प्रधान आदर्श || अभिन्न डोमेन