रेखा खंड: Difference between revisions
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[[Image:Segment definition.svg|thumb|250px|right|एक बंद रेखा खंड की ज्यामितीय परिभाषा: सभी बिंदुओं का प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) A के दाईं ओर या B के बाईं ओर या सभी बिंदुओं के साथ]]फ़ाइल: फोटोथेक डीएफ टीजी 0003359 ज्यामिति ^ निर्माण ^ मार्ग ^ Messinstrument.jpg|thumb|ऐतिहासिक छवि - एक रेखा खंड बनाएं (1699) | [[Image:Segment definition.svg|thumb|250px|right|एक बंद रेखा खंड की ज्यामितीय परिभाषा: सभी बिंदुओं का प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) A के दाईं ओर या B के बाईं ओर या सभी बिंदुओं के साथ]]फ़ाइल: फोटोथेक डीएफ टीजी 0003359 ज्यामिति ^ निर्माण ^ मार्ग ^ Messinstrument.jpg|thumb|ऐतिहासिक छवि - एक रेखा खंड बनाएं (1699) | ||
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[[ ज्यामिति |ज्यामिति]] में, रेखा खंड, [[ रेखा (गणित) |रेखा (गणित)]] का एक | [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] में, रेखा खंड, [[ रेखा (गणित) |रेखा (गणित)]] का एक अंश होता है जो दो अलग-अलग अंत [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु (ज्यामिति)]] से घिरा होता है, और उस रेखा पर प्रत्येक बिंदु होता है जो इसके अंत बिंदुओं के बीच होता है। एक रेखाखंड की [[ लंबाई |लंबाई]] उसके अंतिम बिंदुओं के बीच [[ यूक्लिडियन दूरी |यूक्लिडियन दूरी]] द्वारा दी जाती है। एक बंद रेखा खंड में दोनों समापन बिंदु सम्मिलित होते हैं, जबकि एक खुली रेखा खंड में दोनों समापन बिंदु सम्मिलित नहीं होते हैं; आधे-खुले रेखा खंड में ठीक एक अंतिम बिंदु सम्मिलित होता है। ज्यामिति में, एक रेखा खंड को प्रायः दो समापन बिंदुओं के लिए प्रतीकों के ऊपर एक रेखा का उपयोग करके दर्शाया जाता है (जैसे- <math>\overline{AB}</math>).<ref>{{Cite web|title=रेखा खंड परिभाषा - गणित खुला संदर्भ|url=https://www.mathopenref.com/linesegment.html|access-date=2020-09-01|website=www.mathopenref.com}}</ref> रेखाखंडों के उदाहरणों में त्रिभुज या वर्ग की भुजाएँ सम्मिलित हैं। आम तौर पर, जब दोनों खंड के अंत बिंदु [[ बहुभुज |बहुभुज]] या [[ बहुतल |बहुतल]] के शिखर होते हैं, तो रेखा खंड या तो एक किनारा होता है (उस बहुभुज या पॉलीहेड्रॉन का) यदि वे आसन्न कोने हैं या [[ विकर्ण |विकर्ण]] होते हैं। जब दोनों अंत बिंदु एक [[ वक्र |वक्र]] (जैसे एक वृत्त) पर स्थित होते हैं, तो एक रेखा खंड को एक जीवा (ज्यामिति) (उस वक्र का) कहा जाता है। | ||
== वास्तविक या जटिल सदिश स्थानों में == | == वास्तविक या जटिल सदिश स्थानों में == | ||
यदि V एक सदिश समष्टि <math>\mathbb{R}</math> या <math>\mathbb{C}</math>, और L, V का एक उपसमुच्चय है, तो L एक 'रेखाखंड' है, यदि L को इस प्रकार परिचालित किया जा सकता है | यदि V एक सदिश समष्टि <math>\mathbb{R}</math> या <math>\mathbb{C}</math>, और L, V का एक उपसमुच्चय है, तो L एक 'रेखाखंड' है, यदि L को इस प्रकार परिचालित किया जा सकता है: | ||
:<math>L = \{ \mathbf{u} + t\mathbf{v} \mid t \in [0,1]\}</math> | :<math>L = \{ \mathbf{u} + t\mathbf{v} \mid t \in [0,1]\}</math> | ||
कुछ सदिश के लिए <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!</math>. किस स्थिति में, सदिश u और {{nowrap|'''u''' + '''v'''}} L के अंतिम बिंदु कहलाते हैं। | कुछ सदिश के लिए <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!</math>. किस स्थिति में, सदिश u और {{nowrap|'''u''' + '''v'''}} L के अंतिम बिंदु कहलाते हैं। | ||
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:<math>\left\{ (x,y) \mid \sqrt{(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2} + \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2} = \sqrt{(c_x-a_x)^2 + (c_y-a_y)^2} \right\} .</math> | :<math>\left\{ (x,y) \mid \sqrt{(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2} + \sqrt{(x-a_x)^2 + (y-a_y)^2} = \sqrt{(c_x-a_x)^2 + (c_y-a_y)^2} \right\} .</math> | ||
== गुण == | == गुण == | ||
* | *रेखा खंड एक [[ जुड़ा सेट |जुड़ा सेट]], गैर-खाली [[ सेट (गणित) |सेट (गणित)]] है। | ||
*यदि वी एक [[ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस |टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] है, तो एक बंद रेखा खंड V में एक [[ बंद सेट |बंद सेट]] है। हालांकि, एक खुले रेखा खंड V में एक [[ खुला उपसमुच्चय |खुला उपसमुच्चय]] है यदि V एक-आयामी अंतरिक्ष है। | *यदि वी एक [[ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस |टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] है, तो एक बंद रेखा खंड V में एक [[ बंद सेट |बंद सेट]] है। हालांकि, एक खुले रेखा खंड V में एक [[ खुला उपसमुच्चय |खुला उपसमुच्चय]] है यदि V एक-आयामी अंतरिक्ष है। | ||
* आम तौर पर ऊपर से अधिक, एक रेखा खंड की अवधारणा को एक क्रमबद्ध ज्यामिति में परिभाषित किया जा सकता है। | * आम तौर पर ऊपर से अधिक, एक रेखा खंड की अवधारणा को एक क्रमबद्ध ज्यामिति में परिभाषित किया जा सकता है। | ||
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== प्रमाणों में == | == प्रमाणों में == | ||
ज्यामिति के एक स्वयंसिद्ध उपचार में, बीच की धारणा को या तो एक निश्चित संख्या में स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है, या | ज्यामिति के एक स्वयंसिद्ध उपचार में, बीच की धारणा को या तो एक निश्चित संख्या में स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है, या रेखा के एक [[ आइसोमेट्री |आइसोमेट्री]] के रूप में परिभाषित किया जाता है (एक समन्वय प्रणाली के रूप में उपयोग किया जाता है)। | ||
अनुभाग अन्य सिद्धांतों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, उत्तल समुच्चय में, समुच्चय के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला अनुभाग समुच्चय में समाहित होता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उत्तल समुच्चयों के कुछ विश्लेषणों को एक रेखाखंड के विश्लेषण में बदल देता है। [[ खंड जोड़ अभिधारणा |खंड जोड़ अभिधारणा]] का उपयोग सर्वांगसम अनुभाग या समान लंबाई वाले अनुभाग को जोड़ने के लिए किया जा सकता है, और इसके परिणामस्वरूप अनुभाग को सर्वांगसम बनाने के लिए अन्य अनुभाग को दूसरे कथन में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। | अनुभाग अन्य सिद्धांतों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, उत्तल समुच्चय में, समुच्चय के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला अनुभाग समुच्चय में समाहित होता है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह उत्तल समुच्चयों के कुछ विश्लेषणों को एक रेखाखंड के विश्लेषण में बदल देता है। [[ खंड जोड़ अभिधारणा |खंड जोड़ अभिधारणा]] का उपयोग सर्वांगसम अनुभाग या समान लंबाई वाले अनुभाग को जोड़ने के लिए किया जा सकता है, और इसके परिणामस्वरूप अनुभाग को सर्वांगसम बनाने के लिए अन्य अनुभाग को दूसरे कथन में प्रतिस्थापित किया जा सकता है। | ||
==पतित दीर्घवृत्त के रूप में== | ==पतित दीर्घवृत्त के रूप में== | ||
रेखा अनुभाग को दीर्घवृत्त के पतित मामले के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें अर्ध-लघु अक्ष [[ फोकस (ज्यामिति) |फोकस (ज्यामिति)]] शून्य हो जाता है, नाभियां समापन बिंदुओं पर जाती हैं, और उत्केन्द्रता एक हो जाती है। दीर्घवृत्त की एक मानक परिभाषा उन बिंदुओं का समूह है जिसके लिए एक बिंदु की दो फ़ोकस (ज्यामिति) की दूरी का योग एक स्थिरांक है; यदि यह स्थिरांक नाभियों के बीच की दूरी के बराबर है, तो रेखा अनुभाग परिणाम है। इस दीर्घवृत्त की एक पूर्ण कक्षा रेखा अनुभाग को दो बार पार करती है। एक पतित कक्षा के रूप में, यह एक रेडियल अण्डाकार प्रक्षेपवक्र है। | |||
== अन्य ज्यामितीय आकृतियों में == | == अन्य ज्यामितीय आकृतियों में == | ||
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त्रिभुज में कुछ बहुत बार माने जाने वाले खंड तीन [[ ऊंचाई (ज्यामिति) |ऊंचाई (ज्यामिति)]] (प्रत्येक लंबवत रूप से एक पक्ष या इसके [[ विस्तारित पक्ष |विस्तारित पक्ष]] को विपरीत [[ शीर्ष (ज्यामिति) |शीर्ष (ज्यामिति)]] से जोड़ते हैं), तीन [[ माध्यिका (ज्यामिति) |माध्यिका (ज्यामिति)]] (प्रत्येक पक्ष के [[ मध्य |मध्य]] बिंदु को जोड़ते हैं) विपरीत शीर्ष), पक्षों के लंबवत द्विभाजक (एक पक्ष के मध्य बिंदु को दूसरी तरफ से लंबवत रूप से जोड़ना), और [[ कोण द्विभाजक |कोण द्विभाजक]] (प्रत्येक एक शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ते हैं)। प्रत्येक मामले में, इन खंडों की लंबाई को दूसरों से संबंधित (विभिन्न प्रकार के खंडों पर लेखों में चर्चा की गई), साथ ही त्रिकोण असमानताओं की सूची में विभिन्न समानताएं (गणित) हैं। | त्रिभुज में कुछ बहुत बार माने जाने वाले खंड तीन [[ ऊंचाई (ज्यामिति) |ऊंचाई (ज्यामिति)]] (प्रत्येक लंबवत रूप से एक पक्ष या इसके [[ विस्तारित पक्ष |विस्तारित पक्ष]] को विपरीत [[ शीर्ष (ज्यामिति) |शीर्ष (ज्यामिति)]] से जोड़ते हैं), तीन [[ माध्यिका (ज्यामिति) |माध्यिका (ज्यामिति)]] (प्रत्येक पक्ष के [[ मध्य |मध्य]] बिंदु को जोड़ते हैं) विपरीत शीर्ष), पक्षों के लंबवत द्विभाजक (एक पक्ष के मध्य बिंदु को दूसरी तरफ से लंबवत रूप से जोड़ना), और [[ कोण द्विभाजक |कोण द्विभाजक]] (प्रत्येक एक शीर्ष को विपरीत दिशा से जोड़ते हैं)। प्रत्येक मामले में, इन खंडों की लंबाई को दूसरों से संबंधित (विभिन्न प्रकार के खंडों पर लेखों में चर्चा की गई), साथ ही त्रिकोण असमानताओं की सूची में विभिन्न समानताएं (गणित) हैं। | ||
त्रिभुज में रुचि के अन्य खंडों में वे | त्रिभुज में रुचि के अन्य खंडों में वे सम्मिलित हैं जो विभिन्न त्रिभुज केंद्रों को एक-दूसरे से जोड़ते हैं, विशेष रूप से अंतः[[ केंद्र में |केंद्र में]], परिकेंटर, [[ नौ सूत्री केंद्र |नौ सूत्री केंद्र]], [[ केन्द्रक |केन्द्रक]] और [[ ऑर्थोसेंटर |ऑर्थोसेंटर]]। | ||
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Latest revision as of 10:57, 22 November 2022
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एक बंद रेखा खंड की ज्यामितीय परिभाषा: सभी बिंदुओं का प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) A के दाईं ओर या B के बाईं ओर या सभी बिंदुओं के साथ
फ़ाइल: फोटोथेक डीएफ टीजी 0003359 ज्यामिति ^ निर्माण ^ मार्ग ^ Messinstrument.jpg|thumb|ऐतिहासिक छवि - एक रेखा खंड बनाएं (1699)
| ज्यामिति |
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| File:Stereographic projection in 3D.svg |
| जियोमेटर्स |
ज्यामिति में, रेखा खंड, रेखा (गणित) का एक अंश होता है जो दो अलग-अलग अंत बिंदु (ज्यामिति) से घिरा होता है, और उस रेखा पर प्रत्येक बिंदु होता है जो इसके अंत बिंदुओं के बीच होता है। एक रेखाखंड की लंबाई उसके अंतिम बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी द्वारा दी जाती है। एक बंद रेखा खंड में दोनों समापन बिंदु सम्मिलित होते हैं, जबकि एक खुली रेखा खंड में दोनों समापन बिंदु सम्मिलित नहीं होते हैं; आधे-खुले रेखा खंड में ठीक एक अंतिम बिंदु सम्मिलित होता है। ज्यामिति में, एक रेखा खंड को प्रायः दो समापन बिंदुओं के लिए प्रतीकों के ऊपर एक रेखा का उपयोग करके दर्शाया जाता है (जैसे- ).[1] रेखाखंडों के उदाहरणों में त्रिभुज या वर्ग की भुजाएँ सम्मिलित हैं। आम तौर पर, जब दोनों खंड के अंत बिंदु बहुभुज या बहुतल के शिखर होते हैं, तो रेखा खंड या तो एक किनारा होता है (उस बहुभुज या पॉलीहेड्रॉन का) यदि वे आसन्न कोने हैं या विकर्ण होते हैं। जब दोनों अंत बिंदु एक वक्र (जैसे एक वृत्त) पर स्थित होते हैं, तो एक रेखा खंड को एक जीवा (ज्यामिति) (उस वक्र का) कहा जाता है।
वास्तविक या जटिल सदिश स्थानों में
यदि V एक सदिश समष्टि या , और L, V का एक उपसमुच्चय है, तो L एक 'रेखाखंड' है, यदि L को इस प्रकार परिचालित किया जा सकता है: