न्युड्सन नंबर

न्युड्सन संख्या (Kn) आयामहीन संख्या है जिसे आणविक माध्य मुक्त पथ लंबाई और प्रतिनिधि भौतिक लंबाई माप के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार से यह लंबाई का माप, उदाहरण के लिए, किसी तरल पदार्थ में किसी पिंड की त्रिज्या हो सकता है। इस संख्या का नाम डेनमार्क के भौतिक विज्ञानी मार्टिन न्युड्सन (1871-1949) के नाम पर रखा गया है।

इस प्रकार से न्युड्सन संख्या यह निर्धारित करने में सहायता करती है कि किसी स्थिति को मॉडल करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी या द्रव गतिशीलता के सातत्य यांत्रिकी सूत्रीकरण का उपयोग किया जाना चाहिए या नहीं किया जाना चाहिए। यदि न्युड्सन संख्या के समीप या उससे अधिक है, तब अणु का औसत मुक्त पथ समस्या की लंबाई के माप के समान होते है, और द्रव यांत्रिकी की सातत्य धारणा अब उचित अनुमान नहीं है। अर्थात इस स्तिथियों में, सांख्यिकीय विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए.

परिभाषा

अतः न्युड्सन संख्या आयामहीन संख्या है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}},$

जहाँ

$\lambda$ = माध्य मुक्त पथ [L¹],

$L$ = प्रतिनिधि भौतिक लंबाई माप [L¹].

जहाँ $L$, माना जाने वाला प्रतिनिधि लंबाई माप एक प्रणाली के विभिन्न भौतिक लक्षणों के अनुरूप हो सकता है किन्तु सामान्यतः अंतराल की लंबाई से संबंधित होता है जिस पर वाष्प चरण के माध्यम से थर्मल परिवहन या उच्च माप पर परिवहन होता है। इस प्रकार से यह छिद्रपूर्ण और दानेदार सामग्रियों की स्तिथि है, जहां वाष्प चरण के माध्यम से थर्मल परिवहन इसके दबाव और इस चरण में अणुओं के परिणामी औसत मुक्त पथ पर अत्यधिक निर्भर करता है। और बोल्ट्जमान वाष्प के लिए, माध्य मुक्त पथ की गणना सरलता से की जा सकती है, जिससे

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}pL}}={\frac {k_{\text{B}}}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}\rho R_{s}L}},$

जहाँ

$k_{\text{B}}$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक (1.380649 × 10⁻²³ J/K in SI units) [M¹ L² T⁻² Θ⁻¹],

$T$ थर्मोडायनामिक तापमान [θ¹], है

$d$ कण हार्ड-शेल व्यास [L¹] है,

$p$ स्थैतिक दबाव [M¹ L⁻¹ T⁻²] है ,

$R_{s}$ वाष्प स्थिरांक या विशिष्ट वाष्प स्थिरांक है [L² T⁻² θ⁻¹] (वायु के लिए 287.05 J/(किग्रा K)),

$\rho$ घनत्व [M¹ L⁻³] है .

यदि तापमान बढ़ाया जाता है, किन्तु आयतन स्थिर रखा जाता है, तब न्युड्सन संख्या (और माध्य मुक्त पथ) परिवर्तन (एक आदर्श वाष्प के लिए) नहीं होते है। इस स्थिति में, घनत्व समान रहता है। यदि तापमान बढ़ा दिया जाए और दबाव स्थिर रखा जाए तो वाष्प फैलती है और इसलिए उसका घनत्व कम हो जाता है। इस स्तिथि में, माध्य मुक्त पथ बढ़ता है और न्युड्सन संख्या भी बढ़ती है। इसलिए, यह ध्यान रखना उपयोगी हो सकता है कि माध्य मुक्त पथ (और इसलिए न्युड्सन संख्या) वास्तव में थर्मोडायनामिक वेरिएबल घनत्व (घनत्व के व्युत्क्रम के आनुपातिक) पर निर्भर है, और केवल अप्रत्यक्ष रूप से तापमान और दबाव पर निर्भर रहते है।

इस प्रकार से वायुमंडल में कण गतिशीलता के लिए, और मानक तापमान और दबाव, अर्थात 0 डिग्री सेल्सियस और 1 एटीएम मानने के लिए, हमारे पास $\lambda$ ≈ 8×10⁻⁸ m (80 एनएम) है।

वाष्पों में मैक और रेनॉल्ड्स संख्याओं से संबंध

इस प्रकार से न्युड्सन संख्या मैक संख्या और रेनॉल्ड्स संख्या से संबंधित हो सकती है।

गतिशील श्यानता का उपयोग करना है।

$\mu ={\frac {1}{2}}\rho {\bar {c}}\lambda ,$

औसत अणु गति के साथ (मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण से)

${\bar {c}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}},$

माध्य मुक्त पथ निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

$\lambda ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}.$

एल (कुछ विशिष्ट लंबाई) से विभाजित करने पर, न्युड्सन संख्या प्राप्त होती है:

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}},$

जहाँ

${\bar {c}}$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण [L¹ T⁻¹],से औसत आणविक गति हैː

T थर्मोडायनामिक तापमान [θ¹], है

μ गतिशील श्यानता [M¹ L² T⁻² θ⁻¹], है

m आणविक द्रव्यमान [M¹], है

k_B बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक [M¹ L² T⁻² θ⁻¹] है,

$\rho$ घनत्व [M¹ L⁻³] है.

आयामहीन मच संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\mathrm {Ma} ={\frac {U_{\infty }}{c_{\text{s}}}},$

जहां ध्वनि की गति दी जाती है

$c_{\text{s}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}},$

जहाँ

U_∞फ्रीस्ट्रीम गति [L¹ T⁻¹] है,

R सार्वभौमिक वाष्प स्थिरांक है (SI में 8.314 47215 J K⁻¹ mol⁻¹) [M¹ L² T⁻² θ⁻¹ mol⁻¹],,

M दाढ़ द्रव्यमान [M¹ mol⁻¹] है

$\gamma$ विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात [1] है।

आयामहीन रेनॉल्ड्स संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\mathrm {Re} ={\frac {\rho U_{\infty }L}{\mu }}.$

मैक संख्या को रेनॉल्ड्स संख्या से विभाजित करना:

$\frac{\mathrm{M}\mathrm{a}}{\mathrm{R}\mathrm{e}}=\frac{U_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}/c_{\text{s}}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}{U}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}L/\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}L{c}_{\text{s}}}=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$